Интеграл секущей функции

Первообразная секущей функции

График функции секанса (красный) и ее первообразной (синий)

В исчислении интеграл секущей функции можно оценить с помощью различных методов, и существует множество способов выражения первообразной , все из которых можно показать эквивалентными с помощью тригонометрических тождеств .

${\displaystyle \int \sec \theta \,d\theta ={\begin{cases}{\dfrac {1}{2}}\ln {\dfrac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}+C\\[15mu]\ln {{\bigl |}\sec \theta +\tan \theta \,{\bigr |}}+C\\[15mu]\ln {\left|\,{\tan }{\biggl (}{\dfrac {\theta }{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}{\biggr )}\right|}+C\end{cases}}}$

Эта формула полезна для оценки различных тригонометрических интегралов . В частности, ее можно использовать для оценки интеграла секанса в кубе , который, хотя и кажется особенным, довольно часто встречается в приложениях. ^[1]

Определенный интеграл секущей функции, начиная с есть обратная функция Гудермана , Для численных приложений все вышеприведенные выражения приводят к потере значимости для некоторых аргументов. Альтернативное выражение в терминах обратного гиперболического синуса arsinh численно хорошо ведет себя для действительных аргументов : ^[2] ${\displaystyle 0}$ ${\textstyle \operatorname {gd} ^{-1}.}$ ${\textstyle |\phi |<{\tfrac {1}{2}}\pi }$

${\displaystyle \operatorname {gd} ^{-1}\phi =\int _{0}^{\phi }\sec \theta \,d\theta =\operatorname {arsinh} (\tan \phi ).}$

Интеграл секущей функции исторически был одним из первых интегралов такого типа, когда-либо оцененных, до большей части развития интегрального исчисления. Он важен, поскольку является вертикальной координатой проекции Меркатора , используемой для морской навигации с постоянным компасным пеленгом .

Доказательство того, что различные первообразные эквивалентны

Тригонометрические формы

Три общих выражения для интеграла секанса,

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sec \theta \,d\theta &={\dfrac {1}{2}}\ln {\dfrac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}+C\\[5mu]&=\ln {{\bigl |}\sec \theta +\tan \theta \,{\bigr |}}+C\\[5mu]&=\ln {\left|\,{\tan }{\biggl (}{\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}{\biggr )}\right|}+C,\end{aligned}}}$

эквивалентны, потому что

${\displaystyle {\sqrt {\dfrac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}}={\bigl |}\sec \theta +\tan \theta \,{\bigr |}=\left|\,{\tan }{\biggl (}{\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}{\biggr )}\right|.}$

Доказательство: мы можем отдельно применить замену тангенса половинного угла к каждой из трех форм и показать, что они эквивалентны одному и тому же выражению в терминах При этой замене и ${\displaystyle t=\tan {\tfrac {1}{2}}\theta }$ ${\displaystyle t.}$ ${\displaystyle \cos \theta =(1-t^{2}){\big /}(1+t^{2})}$ ${\displaystyle \sin \theta =2t{\big /}(1+t^{2}).}$

Первый,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {\dfrac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}}&={\sqrt {\frac {1+{\dfrac {2t}{1+t^{2}}}}{1-{\dfrac {2t}{1+t^{2}}}}}}={\sqrt {\frac {1+t^{2}+2t}{1+t^{2}-2t}}}={\sqrt {\frac {(1+t)^{2}}{(1-t)^{2}}}}\\[5mu]&=\left|{\frac {1+t}{1-t}}\right|.\end{aligned}}}$

Второй,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl |}\sec \theta +\tan \theta \,{\bigr |}&=\left|{\frac {1}{\cos \theta }}+{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}\right|=\left|{\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}+{\frac {2t}{1-t^{2}}}\right|=\left|{\frac {(1+t)^{2}}{(1+t)(1-t)}}\right|\\[5mu]&=\left|{\frac {1+t}{1-t}}\right|.\end{aligned}}}$

В-третьих, используя тождество сложения касательных ${\displaystyle \tan(\phi +\psi )=(\tan \phi +\tan \psi ){\big /}(1-\tan \phi \,\tan \psi ),}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\,{\tan }{\biggl (}{\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}{\biggr )}\right|&=\left|{\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}\theta +\tan {\tfrac {1}{4}}\pi }{1-\tan {\tfrac {1}{2}}\theta \,\tan {\tfrac {1}{4}}\pi }}\right|=\left|{\frac {t+1}{1-t\cdot 1}}\right|\\[5mu]&=\left|{\frac {1+t}{1-t}}\right|.\end{aligned}}}$

Таким образом, все три выражения описывают одну и ту же величину.

Традиционное решение для ординаты проекции Меркатора можно записать без знаков абсолютной величины , поскольку широта лежит между и , ${\displaystyle \varphi }$ ${\textstyle -{\tfrac {1}{2}}\pi }$ ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}\pi }$

${\displaystyle y=\ln \,{\tan }{\biggl (}{\frac {\varphi }{2}}+{\frac {\pi }{4}}{\biggr )}.}$

Гиперболические формы

Позволять

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi &=\ln(\sec \theta +\tan \theta ),\\[4pt]e^{\psi }&=\sec \theta +\tan \theta ,\\[4pt]\sinh \psi &={\frac {e^{\psi }-e^{-\psi }}{2}}=\tan \theta ,\\[4pt]\cosh \psi &={\sqrt {1+\sinh ^{2}\psi }}=|\sec \theta \,|,\\[4pt]\tanh \psi &=\sin \theta .\end{aligned}}}$

Поэтому,

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sec \theta \,d\theta &=\operatorname {artanh} \left(\sin \theta \right)+C\\[-2mu]&=\operatorname {sgn}(\cos \theta )\operatorname {arsinh} \left(\tan \theta \right)+C\\[7mu]&=\operatorname {sgn}(\sin \theta )\operatorname {arcosh} {\left|\sec \theta \right|}+C.\end{aligned}}}$

История

Интеграл секущей функции был одной из «выдающихся открытых проблем середины семнадцатого века», решенной в 1668 году Джеймсом Грегори . ^[3] Он применил свой результат к проблеме, касающейся навигационных таблиц. ^[1] В 1599 году Эдвард Райт оценил интеграл численными методами — то, что мы сегодня называем суммами Римана . ^[4] Он хотел получить решение для целей картографии — в частности, для построения точной проекции Меркатора . ^[3] В 1640-х годах Генри Бонд, преподаватель навигации, геодезии и других математических дисциплин, сравнил численно вычисленную Райтом таблицу значений интеграла секущей с таблицей логарифмов функции тангенса и, следовательно, предположил , что ^[3]

${\displaystyle \int _{0}^{\varphi }\sec \theta \,d\theta =\ln \tan \left({\frac {\varphi }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right).}$

Эта гипотеза стала широко известна, и в 1665 году о ней узнал Исаак Ньютон . ^[5]

Оценки

Стандартной заменой (подход Грегори)

Стандартный метод оценки секанс-интеграла, представленный в различных источниках, включает в себя умножение числителя и знаменателя на sec  θ + tan  θ , а затем использование подстановки u = sec  θ + tan  θ . Эта подстановка может быть получена из производных секанса и тангенса, сложенных вместе, которые имеют секанс в качестве общего множителя. ^[6]

Начиная с

${\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\sec \theta =\sec \theta \tan \theta \quad {\text{and}}\quad {\frac {d}{d\theta }}\tan \theta =\sec ^{2}\theta ,}$

добавление их дает

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{d\theta }}(\sec \theta +\tan \theta )&=\sec \theta \tan \theta +\sec ^{2}\theta \\&=\sec \theta (\tan \theta +\sec \theta ).\end{aligned}}}$

Производная суммы, таким образом, равна сумме, умноженной на sec  θ . Это позволяет умножить sec  θ на sec  θ + tan  θ в числителе и знаменателе и выполнить следующие замены:

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=\sec \theta +\tan \theta \\du&=\left(\sec \theta \tan \theta +\sec ^{2}\theta \right)\,d\theta .\end{aligned}}}$

Интеграл вычисляется следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sec \theta \,d\theta &=\int {\frac {\sec \theta (\sec \theta +\tan \theta )}{\sec \theta +\tan \theta }}\,d\theta \\[6pt]&=\int {\frac {\sec ^{2}\theta +\sec \theta \tan \theta }{\sec \theta +\tan \theta }}\,d\theta &u&=\sec \theta +\tan \theta \\[6pt]&=\int {\frac {1}{u}}\,du&du&=\left(\sec \theta \tan \theta +\sec ^{2}\theta \right)\,d\theta \\[6pt]&=\ln |u|+C\\[4pt]&=\ln |\sec \theta +\tan \theta |+C,\end{aligned}}}$

как и утверждалось. Это была формула, открытая Джеймсом Грегори. ^[1]

С помощью простейших дробей и подстановки (подход Барроу)

Хотя Грегори доказал эту гипотезу в 1668 году в своих Exercitationes Geometricae , ^[7] доказательство было представлено в форме, которая делает его почти невозможным для понимания современными читателями; Исаак Барроу в своих Lectiones Geometricae 1670 года ^[8] дал первое «понятное» доказательство, хотя даже оно было «изложено в геометрической идиоме того времени». ^[3] Доказательство результата Барроу было самым ранним использованием простейших дробей в интегрировании. ^[3] Адаптированное к современным обозначениям доказательство Барроу начиналось следующим образом:

${\displaystyle \int \sec \theta \,d\theta =\int {\frac {1}{\cos \theta }}\,d\theta =\int {\frac {\cos \theta }{\cos ^{2}\theta }}\,d\theta =\int {\frac {\cos \theta }{1-\sin ^{2}\theta }}\,d\theta }$

Подставляя u = sin  θ , du = cos  θ dθ , уменьшаем интеграл до

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {1}{1-u^{2}}}\,du&=\int {\frac {1}{(1+u)(1-u)}}\,du\\[6pt]&=\int {\frac {1}{2}}\!\left({\frac {1}{1+u}}+{\frac {1}{1-u}}\right)du&&{\text{partial fraction decomposition}}\\[6pt]&={\frac {1}{2}}{\bigl (}\ln \left|1+u\right|-\ln \left|1-u\right|{\bigr )}+C\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\ln \left|{\frac {1+u}{1-u}}\right|+C\end{aligned}}}$

Поэтому,

${\displaystyle \int \sec \theta \,d\theta ={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}+C,}$

как и ожидалось. Принимать абсолютное значение не обязательно, поскольку и всегда неотрицательны для действительных значений ${\displaystyle 1+\sin \theta }$ ${\displaystyle 1-\sin \theta }$ ${\displaystyle \theta .}$

С помощью замены тангенса на половинный угол

Стандарт

При замене тангенса половинного угла ^[9] ${\textstyle t=\tan {\tfrac {1}{2}}\theta ,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sin \theta ={\frac {2t}{1+t^{2}}},\quad \cos \theta ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\quad d\theta ={\frac {2}{1+t^{2}}}\,dt,\\[10mu]&\tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {2t}{1-t^{2}}},\quad \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},\\[10mu]&\sec \theta +\tan \theta ={\frac {1+2t+t^{2}}{1-t^{2}}}={\frac {1+t}{1-t}}.\end{aligned}}}$

Поэтому интеграл секущей функции равен

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sec \theta \,d\theta &=\int \left({\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}\right)\!\left({\frac {2}{1+t^{2}}}\right)dt&&t=\tan {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]&=\int {\frac {2}{(1-t)(1+t)}}\,dt\\[6pt]&=\int \left({\frac {1}{1+t}}+{\frac {1}{1-t}}\right)dt&&{\text{partial fraction decomposition}}\\[6pt]&=\ln |1+t|-\ln |1-t|+C\\[6pt]&=\ln \left|{\frac {1+t}{1-t}}\right|+C\\[6pt]&=\ln |\sec \theta +\tan \theta |+C,\end{aligned}}}$

как и прежде.

Нестандартный

Интеграл также можно вывести, используя несколько нестандартную версию замены тангенса на половинный угол, которая проще в случае этого конкретного интеграла, опубликованного в 2013 году ^[10] , и выглядит следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\theta }{2}}\right)\\[10pt]{\frac {2x}{1+x^{2}}}&={\frac {2\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\theta }{2}}\right)}{\sec ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\theta }{2}}\right)}}=2\sin \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\theta }{2}}\right)\\[6pt]&=\sin \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)=\cos \theta &&{\text{by the double-angle formula}}\\[10pt]dx&={\frac {1}{2}}\sec ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\theta }{2}}\right)d\theta ={\frac {1}{2}}\left(1+x^{2}\right)d\theta \\[10pt]d\theta &={\frac {2}{1+x^{2}}}\,dx.\end{aligned}}}$

Замена:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sec \theta \,d\theta =\int {\frac {1}{\cos \theta }}\,d\theta &=\int {\frac {1+x^{2}}{2x}}\cdot {\frac {2}{1+x^{2}}}\,dx\\[6pt]&=\int {\frac {1}{x}}\,dx\\[6pt]&=\ln |x|+C\\[6pt]&=\ln \left|\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\theta }{2}}\right)\right|+C.\end{aligned}}}$

Двумя последовательными заменами

Интеграл также можно решить, манипулируя подынтегральным выражением и дважды подставляя его. Используя определение sec  θ = ⁠1/соз  θ⁠ и тождество cos ²  θ + sin ²  θ = 1 , интеграл можно переписать как

${\displaystyle \int \sec \theta \,d\theta =\int {\frac {1}{\cos \theta }}\,d\theta =\int {\frac {\cos \theta }{\cos ^{2}\theta }}\,d\theta =\int {\frac {\cos \theta }{1-\sin ^{2}\theta }}\,d\theta .}$

Подставляя u = sin  θ , du = cos  θ dθ, уменьшаем интеграл до

${\displaystyle \int {\frac {1}{1-u^{2}}}\,du.}$

Приведенный интеграл можно вычислить, подставив u = tanh  t , du = sech ²  t dt , а затем используя тождество 1 − tanh ²  t = sech ²  t .

${\displaystyle \int {\frac {\operatorname {sech} ^{2}t}{1-\tanh ^{2}t}}\,dt=\int {\frac {\operatorname {sech} ^{2}t}{\operatorname {sech} ^{2}t}}\,dt=\int dt.}$

Интеграл теперь сводится к простому интегралу, и обратная подстановка дает

${\displaystyle {\begin{aligned}\int dt&=t+C\\&=\operatorname {artanh} u+C\\[4pt]&=\operatorname {artanh} (\sin \theta )+C,\end{aligned}}}$

что является одной из гиперболических форм интеграла.

Аналогичную стратегию можно использовать для интегрирования функций косеканса , гиперболического секанса и гиперболического косеканса .

Другие гиперболические формы

Также можно найти две другие гиперболические формы напрямую, снова умножив и разделив на удобный член:

${\displaystyle \int \sec \theta \,d\theta =\int {\frac {\sec ^{2}\theta }{\sec \theta }}\,d\theta =\int {\frac {\sec ^{2}\theta }{\pm {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}\,d\theta ,}$

где означает, что , поскольку Подставляя u = tan  θ , du = sec ² θ dθ , сводится к стандартному интегралу: ${\displaystyle \pm }$ ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\cos \theta )}$ ${\displaystyle {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}=|\sec \theta \,|.}$ 

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {1}{\pm {\sqrt {1+u^{2}}}}}\,du&=\pm \operatorname {arsinh} u+C\\&=\operatorname {sgn}(\cos \theta )\operatorname {arsinh} \left(\tan \theta \right)+C,\end{aligned}}}$

где sgn — функция знака .

Так же:

${\displaystyle \int \sec \theta \,d\theta =\int {\frac {\sec \theta \tan \theta }{\tan \theta }}\,d\theta =\int {\frac {\sec \theta \tan \theta }{\pm {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}}\,d\theta .}$

Подставляя u = | sec  θ | , du = | sec  θ | tan  θ dθ , сводится к стандартному интегралу:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {1}{\pm {\sqrt {u^{2}-1}}}}\,du&=\pm \operatorname {arcosh} u+C\\&=\operatorname {sgn}(\sin \theta )\operatorname {arcosh} \left|\sec \theta \right|+C.\end{aligned}}}$

Использование комплексной экспоненциальной формы

При замене ${\displaystyle z=e^{i\theta },}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\theta =-i\ln z,\quad d\theta ={\frac {-i}{z}}dz,\quad \cos \theta ={\frac {z+z^{-1}}{2}},\quad \sin \theta ={\frac {z-z^{-1}}{2i}},\quad \\[5mu]&\sec \theta ={\frac {2}{z+z^{-1}}},\quad \tan \theta =-i{\frac {z-z^{-1}}{z+z^{-1}}},\quad \\[5mu]&\sec \theta +\tan \theta =-i{\frac {2i+z-z^{-1}}{z+z^{-1}}}=-i{\frac {(z+i)(1+iz^{-1})}{(z-i)(1+iz^{-1})}}=-i{\frac {z+i}{z-i}}\end{aligned}}}$

Таким образом, интеграл можно решить следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sec \theta \,d\theta &=\int {\frac {2}{z+z^{-1}}}\,{\frac {-i}{z}}dz&&z=e^{i\theta }\\[5mu]&=\int {\frac {-2i}{z^{2}+1}}dz\\&=\int {\frac {1}{z+i}}-{\frac {1}{z-i}}\,dz&&{\text{partial fraction decomposition}}\\[5mu]&=\ln(z+i)-\ln(z-i)+C\\[5mu]&=\ln {\frac {z+i}{z-i}}+C\\[5mu]&=\ln {\bigl (}i(\sec \theta +\tan \theta ){\bigr )}+C\\[5mu]&=\ln(\sec \theta +\tan \theta )+\ln i+C\end{aligned}}}$

Поскольку константа интегрирования может быть любой, дополнительный постоянный член может быть поглощен ею. Наконец, если тета имеет действительное значение, мы можем указать это с помощью скобок абсолютного значения, чтобы привести уравнение к его наиболее знакомой форме:

${\displaystyle \int \sec \theta \,d\theta =\ln \left|\tan \theta +\sec \theta \right|+C}$

Гудермановцы и Ламбертовцы

Функция Гудермана связывает площадь кругового сектора с площадью гиперболического сектора через общую стереографическую проекцию . Если удвоенная площадь синего гиперболического сектора равна ψ , то удвоенная площадь красного кругового сектора равна ϕ = gd ψ . Удвоенная площадь фиолетового треугольника равна стереографической проекции s = tan  ⁠1/2⁠ ϕ = тангенс  ⁠1/2⁠ ψ . Синяя точка имеет координаты (cosh  ψ , sinh  ψ ) . Красная точка имеет координаты (cos  ϕ , sin  ϕ ). Фиолетовая точка имеет координаты (0, s ).

Интеграл гиперболической секанс-функции определяет функцию Гудермана :

${\displaystyle \int _{0}^{\psi }\operatorname {sech} u\,du=\operatorname {gd} \psi .}$

Интеграл секущей функции определяет функцию Ламберта, которая является обратной функцией Гудермана:

${\displaystyle \int _{0}^{\varphi }\sec t\,dt=\operatorname {lam} \varphi =\operatorname {gd} ^{-1}\varphi .}$

Эти функции встречаются в теории картографических проекций: проекция Меркатора точки на сфере с долготой λ и широтой ϕ может быть записана ^[11] как:

${\displaystyle (x,y)={\bigl (}\lambda ,\operatorname {lam} \varphi {\bigr )}.}$

Смотрите также

• Математический портал

• Интеграл секанса в кубе

Примечания

1. Стюарт, Джеймс (2012). "Раздел 7.2: Тригонометрические интегралы". Исчисление - Ранние трансцендентные . Cengage Learning. стр. 475–6. ISBN 978-0-538-49790-9.
2. Например, эта форма используется в Karney, Charles FF (2011). «Поперечная проекция Меркатора с точностью до нескольких нанометров». Journal of Geodesy . 85 : 475–485.
3. V. Фредерик Рики и Филип М. Тучинский, Приложение географии к математике: история интеграла секущей в журнале Mathematics Magazine , том 53, номер 3, май 1980 г., страницы 162–166.
4. Эдвард Райт , Некоторые ошибки в навигации, возникающие вследствие обычного неправильного составления или отображения морских карт, компаса, крестового стержня и таблиц склонения Солнца и неподвижных звезд, обнаруженные и исправленные , Валентин Симмс, Лондон, 1599.
5. HW Turnbull, редактор, The Correspondence of Isaac Newton , Cambridge University Press, 1959–1960, том 1, страницы 13–16 и том 2, страницы 99–100.

   Д. Т. Уайтсайд , редактор, «Математические труды Исаака Ньютона» , Cambridge University Press, 1967, том 1, страницы 466–467 и 473–475.

6. Фельдман, Джоэл. "Интеграция sec x и sec3 x" (PDF) . Математический факультет Университета Британской Колумбии .

   «Интеграл секанса». MIT OpenCourseWare .

7. Грегори, Джеймс (1668). «Analogia Inter Lineam Meridianam Planispherii Nautici & Tangentes Artificiales Geometricè Demonstrata и т. д.» [Аналогия между меридианной линией морской планисферы и геометрически продемонстрированными искусственными касательными и т. д.]. Exercitationes Geometricae [ Геометрические упражнения ] (на латыни). Мозес Питт. стр. 14–24.
8. Барроу, Исаак (1674) [1670]. «Lectiones геометрические: XII, Приложение I». Lectiones Opticae & Geometricae (на латыни). Типис Гильельми Годбид. стр. 110–114.На английском языке «Лекция XII, Приложение I». Геометрические лекции Айзека Барроу . Перевод Чайлда, Джеймса Марка. Открытый суд. 1916. С. 165–169.
9. Стюарт, Джеймс (2012). «Раздел 7.4: Интеграция рациональных функций с помощью простейших дробей». Calculus: Early Transcendentals (7-е изд.). Belmont, CA, USA: Cengage Learning. стр. 493. ISBN 978-0-538-49790-9.
10. Харди, Майкл (2013). "Эффективность антидифференцирования секущей функции" . American Mathematical Monthly . 120 (6): 580.
11. Ли, Л. П. (1976). Конформные проекции на основе эллиптических функций . Cartographica Monographs . Том 16. Торонто: BV Gutsell, Йоркский университет. ISBN 0-919870-16-3.Приложение № 1 к журналу The Canadian Cartographer 13.

Ссылки

• Maseres, Francis, ред. (1791). Scriptores Logarithmici; Или, Сборник нескольких любопытных трактатов о природе и построении логарифмов. Т. 2. Дж. Дэвис.
• Штраус, Саймон В. (1980). «Интегралы и их пересмотр». Журнал Вашингтонской академии наук . 70 (4): 137–143. JSTOR  24537231. ${\textstyle \int \sec x\,dx}$ ${\textstyle \int \csc x\,dx}$