Характеристика показательной функции

Математическая концепция

В математике показательная функция может быть охарактеризована многими способами. В этой статье представлены некоторые общие характеристики, обсуждается, почему каждая из них имеет смысл, и доказывается, что все они эквивалентны .

Экспоненциальная функция естественным образом встречается во многих разделах математики. Вальтер Рудин назвал ее «самой важной функцией в математике». ^[1] Поэтому полезно иметь несколько способов ее определения (или характеристики). Каждая из характеристик ниже может быть более или менее полезной в зависимости от контекста. Характеристика «предела произведения» экспоненциальной функции была открыта Леонардом Эйлером . ^[2]

Характеристика

Ниже приведены шесть наиболее распространенных определений экспоненциальной функции для действительных значений . ${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

1. Лимит продукта. Определить по лимиту : ${\displaystyle e^{x}}$ $${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$$
2. Ряд степеней. Определим e x как значение бесконечного ряда (Здесь n ! обозначает факториал n . Одно ^{доказательство} того , что e иррационально , использует частный случай этой формулы . ) $${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots }$$
3. Обратный логарифм интегралу. Определим как уникальное число y > 0 такое, что То есть, является обратной функцией натурального логарифма , которая определяется этим интегралом. ${\displaystyle e^{x}}$ $${\displaystyle \int _{1}^{y}{\frac {dt}{t}}=x.}$$ ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle x=\ln(y)}$
4. Дифференциальное уравнение. Определим как единственное решение дифференциального уравнения с начальным значением : где обозначает производную y . ${\displaystyle y(x)=e^{x}}$ $${\displaystyle y'=y,\quad y(0)=1,}$$ ${\displaystyle y'={\tfrac {dy}{dx}}}$
5. Функциональное уравнение. Экспоненциальная функция — это единственная функция f с для всех и . Условие можно заменить на вместе с любым из следующих условий регулярности: ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle f'(0)=1}$ ${\displaystyle f'(0)=1}$ ${\displaystyle f(1)=e}$
   • f измерима по Лебегу (Хьюитт и Стромберг, 1965, упражнение 18.46).
   • f непрерывнав любой точке (Рудин, 1976, глава 8, упражнение 6) .
   • f возрастает на любом интервале.
   Для уникальности необходимо наложить некоторое условие регулярности, поскольку другие функции, удовлетворяющие , могут быть построены с использованием базиса действительных чисел над рациональными , как описано Хьюиттом и Штромбергом. ${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)}$
6. Элементарное определение по степеням. Определим показательную функцию с основанием как непрерывную функцию , значение которой на целых числах дается повторным умножением или делением , а значение которой на рациональных числах дается как . Затем определим как показательную функцию, основанием которой является единственное положительное действительное число, удовлетворяющее: ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle a^{x}}$ ${\displaystyle x=n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x=n/m}$ ${\displaystyle a^{n/m}=\ \ {\sqrt[{m}]{{\vphantom {A^{2}}}a^{n}}}}$ ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle a=e}$ $${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}=1.}$$

Большие домены

Один из способов определения экспоненциальной функции над комплексными числами состоит в том, чтобы сначала определить ее для области действительных чисел, используя одну из приведенных выше характеристик, а затем расширить ее как аналитическую функцию , которая характеризуется своими значениями на любом бесконечном множестве областей.

Также характеристики (1), (2) и (4) для применяются непосредственно для комплексного числа. Определение (3) представляет проблему, поскольку существуют неэквивалентные пути, по которым можно интегрировать; но уравнение (3) должно выполняться для любого такого пути по модулю . Что касается определения (5), аддитивное свойство вместе с комплексной производной достаточно, чтобы гарантировать . Однако условие начального значения вместе с другими условиями регулярности недостаточно. Например, для действительных x и y функция удовлетворяет трем перечисленным условиям регулярности в (5), но не равна . Достаточным условием является то, что и что является конформным отображением в некоторой точке; или же два начальных значения и вместе с другими условиями регулярности. ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle f'(0)=1}$ ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ ${\displaystyle f(1)=e}$ $${\displaystyle f(x+iy)=e^{x}(\cos(2y)+i\sin(2y))=e^{x+2iy}}$$ ${\displaystyle \exp(x+iy)}$ ${\displaystyle f(1)=e}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(1)=e}$ ${\textstyle f(i)=\cos(1)+i\sin(1)}$

Можно также определить экспоненту в других областях, таких как матрицы и другие алгебры . Определения (1), (2) и (4) имеют смысл для произвольных банаховых алгебр .

Доказательство того, что каждая характеристика имеет смысл

Некоторые из этих определений требуют обоснования, чтобы продемонстрировать, что они хорошо определены . Например, когда значение функции определяется как результат предельного процесса (т. е. бесконечной последовательности или ряда ), необходимо продемонстрировать, что такой предел всегда существует.

Характеристика 1

Погрешность выражения предела произведения описывается формулой: где степень многочлена (по x ) в члене со знаменателем n ^k равна 2 k . $${\displaystyle \left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}=e^{x}\left(1-{\frac {x^{2}}{2n}}+{\frac {x^{3}(8+3x)}{24n^{2}}}+\cdots \right),}$$

Характеристика 2

Так как из теста отношения следует , что оно сходится для всех x . $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {x^{n+1}/(n+1)!}{x^{n}/n!}}\right|=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {x}{n+1}}\right|=0<1.}$$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$

Характеристика 3

Поскольку подынтегральное выражение является интегрируемой функцией от t , интегральное выражение определено корректно. Необходимо показать, что функция от до , определенная с помощью , является биекцией . Поскольку 1/ t положительно для положительных t , эта функция строго возрастает , следовательно, инъективна . Если оба интеграла верны, то она также сюръективна . Действительно, эти интегралы верны ; они следуют из интегрального теста и расходимости гармонического ряда . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle x\mapsto \int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{1}^{\infty }{\frac {dt}{t}}&=\infty \\[8pt]\int _{1}^{0}{\frac {dt}{t}}&=-\infty \end{aligned}}}$$

Характеристика 6

Определение зависит от единственного положительного действительного числа, удовлетворяющего: Можно показать, что этот предел существует для любого , и он определяет непрерывную возрастающую функцию при и , поэтому теорема о промежуточном значении гарантирует существование такого значения . ${\displaystyle a=e}$ $${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}=1.}$$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(a)=\ln(a)}$ ${\displaystyle f(1)=0}$ ${\displaystyle \lim _{a\to \infty }f(a)=\infty }$ ${\displaystyle a=e}$

Эквивалентность характеристик

Следующие аргументы демонстрируют эквивалентность приведенных выше характеристик для показательной функции.

Характеристика 1 ⇔ характеристика 2

Следующий аргумент адаптирован из Рудина, теорема 3.31, стр. 63–65.

Пусть — фиксированное неотрицательное действительное число. Определим ${\displaystyle x\geq 0}$ $${\displaystyle t_{n}=\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n},\qquad s_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {x^{k}}{k!}},\qquad e^{x}=\lim _{n\to \infty }s_{n}.}$$

По биномиальной теореме ( используя x  ≥ 0 для получения окончательного неравенства), так что: Необходимо использовать lim sup, поскольку неизвестно, сходится ли t _n . $${\displaystyle {\begin{aligned}t_{n}&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{\frac {x^{k}}{n^{k}}}=1+x+\sum _{k=2}^{n}{\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-(k-1))x^{k}}{k!\,n^{k}}}\\[8pt]&=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)+{\frac {x^{3}}{3!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {2}{n}}\right)+\cdots \\[8pt]&{}\qquad \cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\cdots \left(1-{\frac {n-1}{n}}\right)\leq s_{n}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }t_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }s_{n}=e^{x}}$$

Для другого неравенства, по приведенному выше выражению для t _n , если 2 ≤  m ≤ n , имеем: $${\displaystyle 1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)+\cdots +{\frac {x^{m}}{m!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {2}{n}}\right)\cdots \left(1-{\frac {m-1}{n}}\right)\leq t_{n}.}$$

Зафиксируем m и пусть n стремится к бесконечности. Затем (опять же, нужно использовать lim inf , поскольку неизвестно, сходится ли t _n ). Теперь возьмем приведенное выше неравенство, пусть m стремится к бесконечности и сложим его с другим неравенством, чтобы получить: так что $${\displaystyle s_{m}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{m}}{m!}}\leq \liminf _{n\to \infty }\ t_{n}}$$ $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }t_{n}\leq e^{x}\leq \liminf _{n\to \infty }t_{n}}$$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }t_{n}=e^{x}.}$$

Эту эквивалентность можно распространить на отрицательные действительные числа, заметив и взяв предел, когда n стремится к бесконечности. ${\textstyle \left(1-{\frac {r}{n}}\right)^{n}\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{n}=\left(1-{\frac {r^{2}}{n^{2}}}\right)^{n}}$

Характеристика 1 ⇔ характеристика 3

Здесь функция натурального логарифма определяется через определенный интеграл, как указано выше. Согласно первой части основной теоремы исчисления , $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {d}{dx}}\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt={\frac {1}{x}}.}$$

Кроме, ${\textstyle \ln 1=\int _{1}^{1}{\frac {dt}{t}}=0}$

Теперь пусть x будет любым фиксированным действительным числом, и пусть $${\displaystyle y=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$$

Ln( y ) = x , что подразумевает, что y = e ^x , где e ^x в смысле определения 3. Имеем $${\displaystyle \ln y=\ln \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}=\lim _{n\to \infty }\ln \left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$$

Здесь используется непрерывность ln( y ), которая следует из непрерывности 1/ t : $${\displaystyle \ln y=\lim _{n\to \infty }n\ln \left(1+{\frac {x}{n}}\right)=\lim _{n\to \infty }{\frac {x\ln \left(1+(x/n)\right)}{(x/n)}}.}$$

Здесь был использован результат ln a ⁿ = n ln a . Этот результат может быть установлен для n как натурального числа по индукции или с использованием интегрирования путем подстановки. (Расширение до действительных степеней должно подождать, пока ln и exp не будут установлены как обратные друг другу величины, так что a ^b может быть определено для действительного b как e ^{b ln a} .) $${\displaystyle =x\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {\ln \left(1+h\right)}{h}}\quad {\text{ where }}h={\frac {x}{n}}}$$ $${\displaystyle =x\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {\ln \left(1+h\right)-\ln 1}{h}}}$$ $${\displaystyle =x\cdot {\frac {d}{dt}}\ln t{\Bigg |}_{t=1}}$$ $${\displaystyle \!\,=x.}$$

Характеристика 1 ⇔ характеристика 4

Обозначим решение задачи начального значения . Применение простейшей формы метода Эйлера с приращением и точками выборки дает рекурсивную формулу: ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle y'=y,\ y(0)=1}$ ${\displaystyle \Delta t={\frac {x}{n}}}$ ${\displaystyle t\ =\ 0,\ \Delta t,\ 2\Delta t,\ldots ,\ n\Delta t}$

${\displaystyle y(t+\Delta t)\ \approx \ y(t)+y'(t)\Delta t\ =\ y(t)+y(t)\Delta t\ =\ y(t)\,(1+\Delta t).}$

Эта рекурсия немедленно решается, давая приблизительное значение , и поскольку известно, что метод Эйлера сходится к точному решению, мы имеем: ${\displaystyle y(x)=y(n\Delta t)\approx (1+\Delta t)^{n}}$

${\displaystyle y(x)=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$

Характеристика 1 ⇔ характеристика 5

Следующее доказательство является упрощенной версией доказательства из Хьюитта и Стромберга, упражнение 18.46. Сначала доказывается, что измеримость (или здесь, интегрируемость по Лебегу) подразумевает непрерывность для ненулевой функции, удовлетворяющей , а затем доказывается, что непрерывность подразумевает для некоторого k , и, наконец, подразумевает k = 1 . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)}$ ${\displaystyle f(x)=e^{kx}}$ ${\displaystyle f(1)=e}$

Во-первых, доказаны несколько элементарных свойств из удовлетворяющих , а также предположение, что не является тождественно нулем: ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)}$ ${\displaystyle f(x)}$

• Если не равен нулю где-либо (скажем, при x = y ), то он не равен нулю везде. Доказательство: подразумевает . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(y)=f(x)f(y-x)\neq 0}$ ${\displaystyle f(x)\neq 0}$
• ${\displaystyle f(0)=1}$. Доказательство: и не равно нулю. ${\displaystyle f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)}$ ${\displaystyle f(x)}$
• ${\displaystyle f(-x)=1/f(x)}$. Доказательство: . ${\displaystyle 1=f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)}$
• Если непрерывна в любой точке (скажем, при x = y ), то она непрерывна всюду. Доказательство: как и непрерывность в точке  y . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x+\delta )-f(x)=f(x-y)[f(y+\delta )-f(y)]\to 0}$ ${\displaystyle \delta \to 0}$

Второе и третье свойства означают, что доказательство достаточно для положительных  x . ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$

Если — функция, интегрируемая по Лебегу , то ${\displaystyle f(x)}$ $${\displaystyle g(x)=\int _{0}^{x}f(x')\,dx'.}$$

Из этого следует, что $${\displaystyle g(x+y)-g(x)=\int _{x}^{x+y}f(x')\,dx'=\int _{0}^{y}f(x+x')\,dx'=f(x)g(y).}$$

Так как ненулевое, то можно выбрать некоторое y так, что и решить для в приведенном выше выражении. Следовательно: ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(y)\neq 0}$ ${\displaystyle f(x)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f(x+\delta )-f(x)&={\frac {[g(x+\delta +y)-g(x+\delta )]-[g(x+y)-g(x)]}{g(y)}}\\&={\frac {[g(x+y+\delta )-g(x+y)]-[g(x+\delta )-g(x)]}{g(y)}}\\&={\frac {f(x+y)g(\delta )-f(x)g(\delta )}{g(y)}}=g(\delta ){\frac {f(x+y)-f(x)}{g(y)}}.\end{aligned}}}$$

Конечное выражение должно стремиться к нулю, так как и является непрерывным. Отсюда следует, что является непрерывным. ${\displaystyle \delta \to 0}$ ${\displaystyle g(0)=0}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$

Теперь можно доказать, для некоторого k , для всех положительных рациональных чисел q . Пусть q = n / m для положительных целых чисел n и m . Тогда по элементарной индукции по n . Следовательно, и, таким образом , для . Если ограничиться действительными значениями , то всюду положительно и, следовательно, k действительно. ${\displaystyle f(q)=e^{kq}}$ $${\displaystyle f\left({\frac {n}{m}}\right)=f\left({\frac {1}{m}}+\cdots +{\frac {1}{m}}\right)=f\left({\frac {1}{m}}\right)^{n}}$$ ${\displaystyle f(1/m)^{m}=f(1)}$ $${\displaystyle f\left({\frac {n}{m}}\right)=f(1)^{n/m}=e^{k(n/m)}.}$$ ${\displaystyle k=\ln[f(1)]}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x)=f(x/2)^{2}}$

Наконец, по непрерывности, поскольку для всех рациональных x это должно быть верно для всех действительных x , поскольку замыкание рациональных чисел является действительными числами (то есть любое действительное x может быть записано как предел последовательности рациональных чисел). Если то k = 1. Это эквивалентно характеристике 1 (или 2, или 3), в зависимости от того, какое эквивалентное определение e используется. ${\displaystyle f(x)=e^{kx}}$ ${\displaystyle f(1)=e}$

Характеристика 2 ⇔ характеристика 4

Пусть n — неотрицательное целое число. В смысле определения 4 и по индукции, . ${\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}=y}$

Поэтому ${\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}{\Bigg |}_{x=0}=y(0)=1.}$

Используя ряд Тейлора , мы видим, что определение 4 подразумевает определение 2. $${\displaystyle y=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\,x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\,x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}$$

В смысле определения 2, $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}e^{x}&={\frac {d}{dx}}\left(1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nx^{n-1}}{n!}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n-1}}{(n-1)!}}\\[6pt]&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}},{\text{ where }}k=n-1\\[6pt]&=e^{x}\end{aligned}}}$$

Кроме того, это показывает, что определение 2 подразумевает определение 4. ${\textstyle e^{0}=1+0+{\frac {0^{2}}{2!}}+{\frac {0^{3}}{3!}}+\cdots =1.}$

Характеристика 2 ⇒ характеристика 5

В смысле определения 2 уравнение следует из почленной обработки степенных рядов, оправданной равномерной сходимостью , и результирующее равенство коэффициентов есть просто биномиальная теорема . Более того: ^[3] ${\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\exp '(0)&=\lim _{h\to 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\left(\left(1+h+{\frac {h^{2}}{2!}}+{\frac {h^{3}}{3!}}+{\frac {h^{4}}{4!}}+\cdots \right)-1\right)\\&=\lim _{h\to 0}\left(1+{\frac {h}{2!}}+{\frac {h^{2}}{3!}}+{\frac {h^{3}}{4!}}+\cdots \right)\ =\ 1.\\\end{aligned}}}$$

Характеристика 3 ⇔ характеристика 4

Характеристика 3 включает определение натурального логарифма до определения показательной функции. Во-первых, это означает, что натуральный логарифм равен (знаковой) площади под графиком между и . Если , то эта площадь считается отрицательной. Тогда определяется как обратная функция , что означает, что по определению обратной функции. Если — положительное действительное число, то определяется как . Наконец, определяется как число такое, что . Затем можно показать, что : По основной теореме исчисления производная от . Теперь мы можем доказать, что , удовлетворяя первой части задачи начального значения, приведенной в характеризации 4: Тогда нам просто нужно отметить, что , и все готово. Конечно, гораздо проще показать, что характеризация 4 подразумевает характеризацию 3. Если — единственная функция , удовлетворяющая , и , то может быть определена как ее обратная. Производную от можно найти следующим образом: Если мы дифференцируем обе части по , то получим Следовательно, $${\displaystyle \log x:=\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1/t}$ ${\displaystyle t=1}$ ${\displaystyle t=x}$ ${\displaystyle x<1}$ ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle \log }$ $${\displaystyle \exp(\log(x))=x{\text{ and }}\log(\exp(x))=x}$$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{x}}$ ${\displaystyle \exp(x\log(a))}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \log(a)=1}$ ${\displaystyle e^{x}=\exp(x)}$ $${\displaystyle e^{x}=\exp(x\log(e))=\exp(x)}$$ ${\textstyle \log x={\frac {1}{x}}}$ ${\textstyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Let }}y&=e^{x}=\exp(x)\\\log(y)&=\log(\exp(x))=x\\{\frac {1}{y}}{\frac {dy}{dx}}&=1\\{\frac {dy}{dx}}&=y=e^{x}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle e^{0}=\exp(0)=1}$ ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f'(x)=e^{x}}$ ${\displaystyle f(0)=1}$ ${\displaystyle \log }$ ${\displaystyle \log }$ $${\displaystyle y=\log x\implies x=e^{y}}$$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dy}}&=e^{y}\\{\frac {dy}{dx}}&={\frac {1}{e^{y}}}={\frac {1}{x}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt=\left[\log t\right]_{1}^{x}=\log x-\log 1=\log x-0=\log x}$$

Характеристика 5 ⇒ характеристика 4

Условия f' (0) = 1 и f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) подразумевают оба условия в характеристике 4. Действительно, начальное условие f (0) = 1 получается путем деления обеих частей уравнения на f (0) , а условие, что f′ ( x ) = f ( x ), следует из условия, что f′ (0) = 1, и определения производной следующим образом: $${\displaystyle f(0)=f(0+0)=f(0)f(0)}$$ $${\displaystyle {\begin{array}{rcccccc}f'(x)&=&\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}&=&\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(x)f(h)-f(x)}{h}}&=&\lim \limits _{h\to 0}f(x){\frac {f(h)-1}{h}}\\[1em]&=&f(x)\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(h)-1}{h}}&=&f(x)\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(0+h)-f(0)}{h}}&=&f(x)f'(0)=f(x).\end{array}}}$$

Характеристика 5 ⇒ характеристика 4

В смысле определения 5 свойство мультипликативности вместе с начальным условием подразумевают, что: ${\displaystyle \exp '(0)=1}$ $${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\frac {d}{dx}}\exp(x)&=&\lim _{h\to 0}{\frac {\exp(x{+}h)-\exp(x)}{h}}\\&=&\exp(x)\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {\exp(h)-1}{h}}\\&=&\exp(x)\exp '(0)=\exp(x).\end{array}}}$$

Характеристика 5 ⇔ характеристика 6

Мультипликативное свойство определения 5 подразумевает, что , и что согласно определению умножения/деления и корня возведения в степень для рационального числа в определении 6, где . Тогда условие означает, что . Также любое из условий определения 5 подразумевает, что является непрерывным при всех действительных . Обратное утверждение аналогично. ${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)}$ ${\displaystyle f(0)=1}$ ${\displaystyle f(x)=a^{x}}$ ${\displaystyle x=n/m}$ ${\displaystyle a=f(1)}$ ${\displaystyle f'(0)=1}$ ${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\tfrac {a^{h}-1}{h}}=1}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$

Ссылки

1. Уолтер Рудин (1987). Действительный и комплексный анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill . С. 1. ISBN 978-0-07-054234-1.
2. Эли Маор . e: История одного числа . стр. 156.
3. «Герман Юнг - Исчисление - Первый принцип найти d/Dx(e^x) 基本原理求 d/Dx(e^x)» . Ютуб .

• Уолтер Рудин , Принципы математического анализа , 3-е издание (McGraw–Hill, 1976), глава 8.
• Эдвин Хьюитт и Карл Стромберг, Реальный и абстрактный анализ (Springer, 1965).