В квантовой теории поля распределения Вайтмана могут быть аналитически продолжены до аналитических функций в евклидовом пространстве с областью определения, ограниченной упорядоченным множеством точек в евклидовом пространстве без совпадающих точек. [1] Эти функции называются функциями Швингера (названы в честь Джулиана Швингера ), и они являются вещественно-аналитическими, симметричными относительно перестановки аргументов (антисимметричными для фермионных полей ), евклидово ковариантными и удовлетворяют свойству, известному как положительность отражения . Свойства функций Швингера известны как аксиомы Остервальдера–Шрадера (названы в честь Конрада Остервальдера и Роберта Шрадера ). [2] Функции Швингера также называются евклидовыми корреляционными функциями .
Здесь мы описываем аксиомы Остервальдера–Шрадера (ОС) для евклидовой квантовой теории поля эрмитова скалярного поля , . Отметим, что типичная квантовая теория поля будет содержать бесконечно много локальных операторов, включая также составные операторы, и их корреляторы также должны удовлетворять аксиомам ОС, аналогичным описанным ниже.
Функции Швингера обозначаются как
Аксиомы ОС из [2] пронумерованы (E0)-(E4) и имеют следующее значение:
Аксиома темперированности (E0) гласит, что функции Швингера являются темперированными распределениями вдали от совпадающих точек. Это означает, что их можно интегрировать с тестовыми функциями Шварца , которые исчезают со всеми их производными в конфигурациях, где совпадают две или более точек. Из этой аксиомы и других аксиом ОС (но не из условия линейного роста) можно показать, что функции Швингера на самом деле являются вещественно-аналитическими вдали от совпадающих точек.
Аксиома ковариантности Евклида (E1) гласит, что функции Швингера преобразуются ковариантно при вращениях и переносах, а именно:
для произвольной матрицы вращения и произвольного вектора трансляции . Аксиомы ОС могут быть сформулированы для функций Швингера полей, преобразующихся в произвольных представлениях группы вращения. [2] [3]
Аксиома симметрии (E3) гласит, что функции Швингера инвариантны относительно перестановок точек:
где — произвольная перестановка . Функции Швингера фермионных полей, напротив, антисимметричны; для них это уравнение будет иметь знак ±, равный сигнатуре перестановки.
Свойство кластера (E4) гласит, что функция Швингера сводится к произведению , если две группы точек отделены друг от друга большим постоянным сдвигом:
Предел понимается в смысле распределений. Также есть техническое предположение, что две группы точек лежат по обе стороны гиперплоскости , а вектор параллелен ей:
Аксиомы положительности (E2) утверждают следующее свойство, называемое (Остервальдера–Шрадера) положительностью отражения. Выберите любую произвольную координату τ и выберите тестовую функцию f N с N точками в качестве ее аргументов. Предположим, что f N имеет свой носитель в «упорядоченном по времени» подмножестве из N точек с 0 < τ 1 < ... < τ N . Выберите одну такую f N для каждого положительного N , причем f равны нулю для всех N, больших некоторого целого числа M . Для данной точки , пусть будет отраженной точкой относительно гиперплоскости τ = 0 . Тогда,
где * представляет комплексное сопряжение .
Иногда в литературе по теоретической физике положительность отражения формулируется как требование, чтобы функция Швингера произвольного четного порядка была неотрицательной, если точки вставлены симметрично относительно гиперплоскости :
Это свойство действительно следует из положительности отражения, но оно слабее, чем положительность полного отражения.
Один из способов (формального) построения функций Швингера, удовлетворяющих указанным выше свойствам, — через евклидов интеграл по траектории . В частности, евклидовы интегралы по траектории (формально) удовлетворяют положительности отражения. Пусть F — любой полиномиальный функционал поля φ , который зависит только от значения φ ( x ) для тех точек x, чьи координаты τ неотрицательны. Тогда
Поскольку действие S является действительным и может быть разделено на , которое зависит только от φ на положительном полупространстве ( ), и которое зависит только от φ на отрицательном полупространстве ( ), и если S также оказывается инвариантным относительно совместного действия отражения и комплексного сопряжения всех полей, то предыдущая величина должна быть неотрицательной.
Теорема Остервальдера –Шрадера [4] утверждает, что евклидовы функции Швингера, удовлетворяющие приведенным выше аксиомам (E0)–(E4) и дополнительному свойству (E0'), называемому условием линейного роста , могут быть аналитически продолжены до лоренцевских распределений Вайтмана, которые удовлетворяют аксиомам Вайтмана и, таким образом, определяют квантовую теорию поля .
Это условие, называемое (E0') в [4], утверждает, что когда функция Швингера порядка спаривается с произвольной тестовой функцией Шварца , которая обращается в нуль в совпадающих точках, мы имеем следующую границу:
где — целая константа, — полунорма пространства Шварца порядка , т.е.
и последовательность констант факториального роста , т.е. с некоторыми константами .
Условие линейного роста является тонким, поскольку оно должно быть выполнено для всех функций Швингера одновременно. Оно также не было выведено из аксиом Вайтмана , так что система аксиом ОС (E0)-(E4) плюс условие линейного роста (E0') представляется более сильной, чем аксиомы Вайтмана .
Сначала Остервальдер и Шрадер заявили более сильную теорему о том, что аксиомы (E0)-(E4) сами по себе подразумевают аксиомы Вайтмана , [2] однако их доказательство содержало ошибку, которую нельзя было исправить без добавления дополнительных предположений. Два года спустя они опубликовали новую теорему с условием линейного роста, добавленным в качестве предположения, и правильным доказательством. [4] Новое доказательство основано на сложном индуктивном аргументе (предложенном также Владимиром Глазером ), [5] с помощью которого область аналитичности функций Швингера постепенно расширяется в сторону пространства Минковского, а распределения Вайтмана восстанавливаются как предел. Условие линейного роста (E0') критически используется для того, чтобы показать, что предел существует и является умеренным распределением.
В статье Остервальдера и Шрадера также содержится еще одна теорема, заменяющая (E0') еще одним предположением, называемым . [4] Эта другая теорема используется редко, поскольку ее трудно проверить на практике. [3]
Альтернативный подход к аксиоматизации евклидовых корреляторов описан Глиммом и Джаффе в их книге. [6] В этом подходе предполагается, что дана мера на пространстве распределений . Затем рассматривается производящий функционал
который, как предполагается, удовлетворяет свойствам OS0-OS4:
является полностью аналитической функцией для любого набора компактно поддерживаемых тестовых функций . Интуитивно это означает, что мера затухает быстрее, чем любая экспонента.
Хотя вышеуказанные аксиомы были названы Глиммом и Джаффе (OS0)-(OS4) в честь Остервальдера и Шредера, они не эквивалентны аксиомам Остервальдера–Шредера.
Учитывая (OS0)-(OS4), можно определить функции Швингера как моменты меры и показать, что эти моменты удовлетворяют аксиомам Остервальдера–Шрадера (E0)-(E4), а также условиям линейного роста (E0'). Затем можно обратиться к теореме Остервальдера–Шрадера, чтобы показать, что функции Вайтмана являются умеренными распределениями. В качестве альтернативы, и гораздо проще, можно вывести аксиомы Вайтмана непосредственно из (OS0)-(OS4). [6]
Однако следует отметить, что полная квантовая теория поля будет содержать бесконечно много других локальных операторов помимо , таких как , и других составных операторов, построенных из и его производных. Нелегко извлечь эти функции Швингера из меры и показать, что они удовлетворяют аксиомам ОС, как это и должно быть.
Подводя итог, можно сказать, что аксиомы, называемые Глиммом и Джаффе (OS0)-(OS4), сильнее аксиом ОС в том, что касается корреляторов поля , но слабее полного набора аксиом ОС, поскольку они мало что говорят о корреляторах составных операторов.
Эти аксиомы были предложены Эдвардом Нельсоном . [7] См. также их описание в книге Барри Саймона. [8] Как и в приведенных выше аксиомах Глимма и Джаффе, предполагается, что поле является случайным распределением с мерой . Эта мера достаточно регулярна, так что поле имеет регулярность пространства Соболева отрицательного производного порядка. Важнейшей особенностью этих аксиом является рассмотрение поля, ограниченного поверхностью. Одной из аксиом является свойство Маркова , которое формализует интуитивное представление о том, что состояние поля внутри замкнутой поверхности зависит только от состояния поля на поверхности.