Дифференциальная геометрия — математическая дисциплина, изучающая геометрию гладких форм и гладких пространств, также известных как гладкие многообразия . Он использует методы дифференциального исчисления , интегрального исчисления , линейной алгебры и полилинейной алгебры . Эта область берет свое начало в изучении сферической геометрии еще в древности . Это относится и к астрономии , геодезии Земли , а позднее к изучению гиперболической геометрии Лобачевского . Простейшими примерами гладких пространств являются плоские и пространственные кривые и поверхности в трехмерном евклидовом пространстве , и изучение этих форм легло в основу развития современной дифференциальной геометрии в XVIII и XIX веках.
С конца XIX века дифференциальная геометрия превратилась в область, занимающуюся более общими геометрическими структурами на дифференцируемых многообразиях . Геометрическая структура — это структура, которая определяет некоторое понятие размера, расстояния, формы, объема или другой структуры, придающей жесткость. Например, в римановой геометрии задаются расстояния и углы, в симплектической геометрии можно вычислять объемы, в конформной геометрии задаются только углы, а в калибровочной теории в пространстве заданы определенные поля . Дифференциальная геометрия тесно связана с дифференциальной топологией , а иногда и включает ее, которая касается свойств дифференцируемых многообразий, которые не полагаются на какую-либо дополнительную геометрическую структуру (подробнее о различии между двумя предметами см. В этой статье). Дифференциальная геометрия также связана с геометрическими аспектами теории дифференциальных уравнений , иначе известными как геометрический анализ .
Дифференциальная геометрия находит применение в математике и естественных науках . Наиболее заметно язык дифференциальной геометрии использовался Альбертом Эйнштейном в его общей теории относительности , а затем физиками при разработке квантовой теории поля и стандартной модели физики элементарных частиц . Помимо физики, дифференциальная геометрия находит применение в химии , экономике , технике , теории управления , компьютерной графике и компьютерном зрении , а с недавних пор и в машинном обучении .
История и развитие дифференциальной геометрии как предмета начинается, по крайней мере, еще в классической античности . Оно тесно связано с развитием геометрии в целом, понятия пространства и формы, а также топологии , особенно с изучением многообразий . В этом разделе мы сосредоточиваемся прежде всего на истории применения бесконечно малых методов к геометрии, а затем и на идеях касательных пространств , и, в конечном итоге, на развитии современного формализма предмета в терминах тензоров и тензорных полей .
Изучение дифференциальной геометрии или, по крайней мере, изучения геометрии гладких форм можно проследить, по крайней мере, до классической античности . В частности, многое было известно о геометрии Земли , сферической геометрии , во времена древнегреческих математиков . Как известно, Эратосфен вычислил окружность Земли около 200 г. до н.э., а около 150 г. н.э. Птолемей в своей «Географии» представил стереографическую проекцию для картографирования формы Земли. [1] Неявно на протяжении всего этого времени принципы, составляющие основу дифференциальной геометрии и исчисления, использовались в геодезии , хотя и в значительно упрощенной форме. А именно, еще в « Началах » Евклида считалось, что прямая линия может быть определена по ее свойству обеспечивать кратчайшее расстояние между двумя точками, и применение этого же принципа к поверхности Земли приводит к выводу, что большие круги , которые лишь локально похожи на прямые линии на плоской плоскости, обеспечивают кратчайший путь между двумя точками на поверхности Земли. Действительно, измерения расстояний по таким геодезическим путям Эратосфена и других можно считать элементарной мерой длины дуги кривых - концепция, которая не получила строгого определения с точки зрения исчисления до 1600-х годов.
Примерно в это же время существовало лишь минимальное явное применение теории бесконечно малых к изучению геометрии, что было предшественником современного изучения этого предмета, основанного на исчислении. В « Началах » Евклида обсуждается понятие касания линии к кругу, и Архимед применил метод исчерпывания для вычисления площадей гладких фигур, таких как круг , и объемов гладких трехмерных тел, таких как сфера. , конусы и цилиндры. [1]
Между античностью и началом эпохи Возрождения теория дифференциальной геометрии получила небольшое развитие . До развития исчисления Ньютоном и Лейбницем наиболее значительное развитие в понимании дифференциальной геометрии произошло благодаря разработке Герардом Меркатором проекции Меркатора как способа картографирования Земли. Меркатор понимал преимущества и недостатки конструкции своей карты и, в частности, осознавал конформную природу своей проекции, а также разницу между прагой , линиями кратчайшего расстояния на Земле, и директом , прямыми линиями. линии путей на его карте. Меркатор отметил, что в этой проекции праги имеют косую кривизну . [1] Этот факт отражает отсутствие сохраняющей метрику карты поверхности Земли на плоскую плоскость, следствие более поздней Теоремы Эгрегиума Гаусса .
Первое систематическое или строгое рассмотрение геометрии с использованием теории бесконечно малых и понятий исчисления началось примерно в 1600-х годах, когда исчисление было впервые разработано Готфридом Лейбницем и Исааком Ньютоном . В это время недавняя работа Рене Декарта , вводящая аналитические координаты в геометрию, позволила строго описывать геометрические формы возрастающей сложности. В частности, примерно в это же время Пьер де Ферма , Ньютон и Лейбниц начали изучение плоских кривых и исследование таких понятий, как точки перегиба и круги соприкосновения , которые помогают в измерении кривизны . Действительно, уже в своей первой статье об основах исчисления Лейбниц отмечает, что условие бесконечно малой указывает на существование точки перегиба. Вскоре после этого братья Бернулли , Якоб и Иоганн внесли важный вклад в использование бесконечно малых величин для изучения геометрии. В лекциях Иоганна Бернулли того времени, позже собранных Л'Опиталем в первый учебник по дифференциальному исчислению , касательные к плоским кривым различных типов вычисляются с использованием условия и аналогичным образом вычисляются точки перегиба. [1] В то же время реализуется ортогональность между соприкасающимися кругами плоской кривой и касательными направлениями, и записывается первая аналитическая формула для радиуса соприкасающегося круга, по сути, первая аналитическая формула для понятия кривизны . вниз.
Вслед за развитием аналитической геометрии и плоских кривых Алексис Клеро начал изучать пространственные кривые всего в возрасте 16 лет. [2] [1] В своей книге Клеро ввел понятие касательных и субкасательных направлений к пространственным кривым в относительно направлений, лежащих вдоль поверхности , на которой лежит пространственная кривая. Таким образом, Клеро продемонстрировал неявное понимание касательного пространства к поверхности и впервые изучил эту идею с помощью исчисления. Важно отметить, что Клеро ввел терминологию кривизны и двойной кривизны , по сути, понятие главных кривизн, позже изученное Гауссом и другими.
Примерно в это же время Леонард Эйлер , первоначально ученик Иоганна Бернулли, внес значительный вклад не только в развитие геометрии, но и в математику в более широком смысле. [3] Что касается дифференциальной геометрии, Эйлер изучил понятие геодезической на поверхности, выведя первое аналитическое уравнение геодезической , а позже ввел первый набор внутренних систем координат на поверхности, положив начало теории внутренней геометрии , на которой основана современная геометрическая геодезия. идеи основаны. [1] Примерно в это же время изучение механики Эйлером в « Механике» привело к осознанию того, что масса, движущаяся по поверхности, не подвергающейся действию какой-либо силы, будет пересекать геодезический путь, что стало ранним предшественником важных основополагающих идей общей теории относительности Эйнштейна . а также уравнениям Эйлера-Лагранжа и первой теории вариационного исчисления , которая лежит в основе современной дифференциальной геометрии многих методов симплектической геометрии и геометрического анализа . Эта теория была использована Лагранжем , соавтором вариационного исчисления, для вывода первого дифференциального уравнения, описывающего минимальную поверхность в терминах уравнения Эйлера-Лагранжа. В 1760 году Эйлер доказал теорему, выражающую кривизну пространственной кривой на поверхности через главные кривизны, известную как теорема Эйлера .
Позже, в 1700-х годах, новая французская школа под руководством Гаспара Монжа начала вносить вклад в дифференциальную геометрию. Монж внес важный вклад в теорию плоских кривых и поверхностей, изучил поверхности вращения и оболочки плоских кривых и пространственных кривых. Несколько учеников Монжа внесли свой вклад в эту же теорию, и, например, Шарль Дюпен предложил новую интерпретацию теоремы Эйлера с точки зрения основных кривизн, что является современной формой уравнения. [1]
Область дифференциальной геометрии стала областью исследования, рассматриваемой сама по себе, отличной от более широкой идеи аналитической геометрии, в 1800-х годах, прежде всего благодаря основополагающим работам Карла Фридриха Гаусса и Бернхарда Римана , а также благодаря важному вкладу Николая Лобачевского о гиперболической геометрии и неевклидовой геометрии и на протяжении всего этого же периода развитие проективной геометрии .
Названная самой важной работой в истории дифференциальной геометрии, [4] в 1827 году Гаусс выпустил « Общие исследования кривых поверхностных поверхностей» , в которых подробно изложена общая теория искривленных поверхностей. [5] [4] [6] В этой работе, а также в его последующих статьях и неопубликованных заметках по теории поверхностей Гаусса называют изобретателем неевклидовой геометрии и изобретателем внутренней дифференциальной геометрии. [6] В своей фундаментальной работе Гаусс ввел отображение Гаусса , гауссову кривизну , первую и вторую фундаментальные формы , доказал теорему Эгрегиум , показывающую внутреннюю природу гауссовой кривизны, и изучал геодезику, вычисляя площадь геодезического треугольника в различных не- Евклидовы геометрии на поверхностях.
В это время Гаусс уже придерживался мнения, что от стандартной парадигмы евклидовой геометрии следует отказаться, и располагал частными рукописями по неевклидовой геометрии, которые послужили основой для его изучения геодезических треугольников. [6] [7] Примерно в это же время Янош Бойяи и Лобачевский независимо друг от друга открыли гиперболическую геометрию и тем самым продемонстрировали существование непротиворечивой геометрии вне парадигмы Евклида. Конкретные модели гиперболической геометрии были созданы Эухенио Бельтрами позже, в 1860-х годах, а Феликс Кляйн ввел термин «неевклидова геометрия» в 1871 году и с помощью программы Эрлангена поставил евклидову и неевклидову геометрию на одну основу. [8] Неявно, сферическая геометрия Земли, которая изучалась с античности, была неевклидовой геометрией, эллиптической геометрией .
Развитие внутренней дифференциальной геометрии на языке Гаусса было подстегнуто его учеником Бернхардом Риманом в его работе «О гипотезах , лежащих в основе геометрии» . [9] В этой работе Риман впервые ввел понятие римановой метрики и тензора римановой кривизны и начал систематическое изучение дифференциальной геометрии в высших измерениях. Эта внутренняя точка зрения в терминах римановой метрики, обозначаемая Риманом, была развитием идеи Гаусса о линейном элементе поверхности. В это время Риман начал систематически использовать линейную алгебру и полилинейную алгебру в этом предмете, широко используя теорию квадратичных форм в своих исследованиях метрики и кривизны. В то время Риман еще не разработал современного понятия многообразия, поскольку еще не встречалось даже понятие топологического пространства , но он предположил, что можно исследовать или измерять свойства метрики пространства- времени посредством анализ масс в пространстве-времени, связанный с более ранним наблюдением Эйлера о том, что массы под действием каких-либо сил не будут перемещаться по геодезическим линиям на поверхностях, и предсказание фундаментального наблюдения Эйнштейном принципа эквивалентности за целых 60 лет до того, как оно появилось в научной литературе. [6] [4]
После нового описания Римана фокус методов, используемых для изучения дифференциальной геометрии, сместился от специальных и внешних методов изучения кривых и поверхностей к более систематическому подходу в терминах тензорного исчисления и программы Кляйна «Эрланген», и прогресс увеличился. в поле. Понятие групп преобразований было развито Софусом Ли и Жаном Гастоном Дарбу , что привело к важным результатам в теории групп Ли и симплектической геометрии . Понятие дифференциального исчисления на искривленных пространствах изучалось Элвином Кристоффелем , который ввел символы Кристоффеля , описывающие ковариантную производную, в 1868 году, а также другими, включая Эухенио Бельтрами , который изучал многие аналитические вопросы о многообразиях. [10] В 1899 году Луиджи Бьянки выпустил свои «Лекции по дифференциальной геометрии» , в которых дифференциальная геометрия изучалась с точки зрения Римана, а год спустя Туллио Леви-Чивита и Грегорио Риччи-Курбастро выпустили свой учебник, систематически развивая теорию абсолютного дифференциального исчисления и тензорного исчисления . [11] [4] Именно на этом языке дифференциальная геометрия использовалась Эйнштейном при разработке общей теории относительности и псевдоримановой геометрии .
Предмет современной дифференциальной геометрии возник в начале 1900-х годов в ответ на основополагающий вклад многих математиков, включая, что немаловажно, работу Анри Пуанкаре по основам топологии . [12] В начале 1900-х годов в математике произошло крупное движение по формализации основополагающих аспектов предмета, чтобы избежать кризисов строгости и точности, известное как программа Гильберта . В рамках этого более широкого движения понятие топологического пространства было сформулировано Феликсом Хаусдорфом в 1914 году, а к 1942 году существовало множество различных понятий многообразия комбинаторной и дифференциально-геометрической природы. [12]
Интерес к этому предмету был также усилен появлением общей теории относительности Эйнштейна и важностью уравнений поля Эйнштейна. Теория Эйнштейна популяризировала тензорное исчисление Риччи и Леви-Чивита и ввела обозначения для римановой метрики и символов Кристоффеля, оба из которых взяты из G в «Гравитации» . Эли Картан помог переформулировать основы дифференциальной геометрии гладких многообразий с точки зрения внешнего исчисления и теории движущихся систем отсчета , что привело в мире физики к теории Эйнштейна-Картана . [13] [4]
После этого раннего развития многие математики внесли свой вклад в развитие современной теории, в том числе Жан-Луи Кошуль , который ввел связи в векторных расслоениях , Шиинг-Шен Черн , который ввел в предмет характеристические классы и начал изучение комплексных многообразий , сэр Уильям Валланс. Дуглас Ходж и Жорж де Рам , которые расширили понимание дифференциальных форм , Чарльз Эресманн , который представил теорию расслоений и связей Эресмана , и другие. [13] [4] Особое значение имел Герман Вейль , который внес важный вклад в основы общей теории относительности, ввел тензор Вейля , дающий понимание конформной геометрии , и первым определил понятие калибровки, что привело к развитию калибровочной теории в физике . и математика .
В середине и конце 20 века дифференциальная геометрия как предмет расширилась и приобрела связи с другими областями математики и физики. Развитие калибровочной теории и теории Янга-Миллса в физике привлекло внимание к расслоениям и связям, что привело к развитию калибровочной теории . Были исследованы многие аналитические результаты, включая доказательство теоремы об индексе Атьи – Зингера . Развитие комплексной геометрии было стимулировано параллельными результатами в алгебраической геометрии , а результаты в геометрии и глобальном анализе комплексных многообразий были доказаны Шинг-Тунг Яу и другими. Во второй половине 20-го века были разработаны новые аналитические методы в отношении потоков кривизны, таких как поток Риччи , кульминацией которых стало доказательство Григорием Перельманом гипотезы Пуанкаре . В этот же период, прежде всего благодаря влиянию Майкла Атьи , сформировались новые связи между теоретической физикой и дифференциальной геометрией. Методы исследования уравнений Янга – Миллса и калибровочной теории использовались математиками для разработки новых инвариантов гладких многообразий. Физики, такие как Эдвард Виттен , единственный физик, награжденный медалью Филдса , внесли новый вклад в математику, используя топологическую квантовую теорию поля и теорию струн для предсказаний и создания основ для новой строгой математики, что привело, например, к предположительному зеркалу . симметрия и инварианты Зайберга–Виттена .
Риманова геометрия изучает римановы многообразия , гладкие многообразия с римановой метрикой . Это понятие расстояния, выраженное посредством гладкой положительно определенной симметричной билинейной формы , определенной в касательном пространстве в каждой точке. Риманова геометрия обобщает евклидову геометрию на пространства, которые не обязательно плоские, хотя они по-прежнему напоминают евклидово пространство в каждой точке бесконечно мало, то есть в первом порядке приближения . Различные концепции, основанные на длине, такие как длина дуги кривых, площадь плоских областей и объем твердых тел, имеют естественные аналоги в римановой геометрии. Понятие производной функции по направлению из исчисления многих переменных расширяется до понятия ковариантной производной тензора . Многие концепции анализа и дифференциальных уравнений были обобщены на случай римановых многообразий.
Диффеоморфизм , сохраняющий расстояние между римановыми многообразиями, называется изометрией . Это понятие можно определить и локально , т.е. для малых окрестностей точек. Любые две регулярные кривые локально изометричны. Однако Теорема Эгрегиум Карла Фридриха Гаусса показала, что для поверхностей существование локальной изометрии предполагает, что гауссовы кривизны в соответствующих точках должны быть одинаковыми. В более высоких измерениях тензор кривизны Римана является важным поточечным инвариантом, связанным с римановым многообразием, который измеряет, насколько оно близко к плоскому. Важным классом римановых многообразий являются римановы симметрические пространства , кривизна которых не обязательно постоянна. Это ближайшие аналоги «обычных» плоскости и пространства, рассматриваемых в евклидовой и неевклидовой геометрии .
Псевдориманова геометрия обобщает риманову геометрию на случай, когда метрический тензор не обязательно должен быть положительно определенным . Особым случаем этого является лоренцево многообразие , которое является математической основой общей теории относительности гравитации Эйнштейна .
В финслеровой геометрии основным объектом изучения являются финслеровые многообразия . Это дифференциальное многообразие с финслеровой метрикой , то есть банаховой нормой , определенной на каждом касательном пространстве. Римановы многообразия являются частными случаями более общих финслеровых многообразий. Финслеровой структурой на многообразии M называется функция F : TM → [0, ∞) такая, что:
Симплектическая геометрия — это изучение симплектических многообразий . Почти симплектическое многообразие — это дифференцируемое многообразие, снабженное гладко меняющейся невырожденной кососимметрической билинейной формой на каждом касательном пространстве, т. е. невырожденной 2- формой ω , называемой симплектической формой . Симплектическое многообразие — это почти симплектическое многообразие, для которого симплектическая форма ω замкнута: d ω = 0 .
Диффеоморфизм между двумя симплектическими многообразиями, сохраняющий симплектическую форму, называется симплектоморфизмом . Невырожденные кососимметричные билинейные формы могут существовать только в четномерных векторных пространствах, поэтому симплектические многообразия обязательно имеют четную размерность. В размерности 2 симплектическое многообразие — это просто поверхность, наделенная формой площади, а симплектоморфизм — это диффеоморфизм, сохраняющий площадь. Фазовое пространство механической системы представляет собой симплектическое многообразие, и они неявно появились уже в работах Жозефа Луи Лагранжа по аналитической механике , а затем в формулировках классической механики Карла Густава Якоби и Уильяма Роуэна Гамильтона .
В отличие от римановой геометрии, где кривизна обеспечивает локальный инвариант римановых многообразий, теорема Дарбу утверждает, что все симплектические многообразия локально изоморфны. Единственные инварианты симплектического многообразия носят глобальный характер, и топологические аспекты играют важную роль в симплектической геометрии. Первым результатом в симплектической топологии, вероятно, является теорема Пуанкаре–Биркгофа , выдвинутая Анри Пуанкаре и затем доказанная Г. Д. Биркгофом в 1912 году. Она утверждает, что если сохраняющая площадь карта кольца скручивает каждый компонент границы в противоположных направлениях, то карта имеет не менее двух фиксированных точек. [14]
Контактная геометрия имеет дело с некоторыми многообразиями нечетной размерности. Она близка к симплектической геометрии и, как и последняя, возникла из вопросов классической механики. Контактная структура на (2 n + 1) -мерном многообразии M задается гладким гиперплоским полем H в касательном расслоении , которое, насколько это возможно, не связано с множествами уровня дифференцируемой функции на M (технический термин есть «полностью неинтегрируемое распределение касательной гиперплоскости»). Вблизи каждой точки p гиперплоское распределение определяется никуда не исчезающей 1-формой , единственной с точностью до умножения на никуда не исчезающую функцию:
Локальная 1-форма на M называется контактной формой , если ограничение ее внешней производной на H является невырожденной двуформой и, таким образом, индуцирует симплектическую структуру на H p в каждой точке. Если распределение H может быть определено глобальной формой , то эта форма является контактной тогда и только тогда, когда верхнемерная форма
является формой объема на M , т. е. никуда не обращается в нуль. Имеет место контактный аналог теоремы Дарбу: все контактные структуры на нечетномерном многообразии локально изоморфны и могут быть приведены к некоторой локальной нормальной форме подходящим выбором системы координат.
Комплексная дифференциальная геометрия — это изучение комплексных многообразий . Почти комплексное многообразие — это вещественное многообразие , наделенное тензором типа (1, 1), т. е. эндоморфизмом векторного расслоения (называемым почти комплексной структурой ).
Из этого определения следует, что почти комплексное многообразие четномерно.
Почти комплексное многообразие называется комплексным, если , где – тензор типа (2, 1), связанный с , называемый тензором Нийенхейса (или иногда кручением ). Почти комплексное многообразие является комплексным тогда и только тогда, когда оно допускает голоморфный координатный атлас . Почти эрмитова структура задается почти комплексной структурой J вместе с римановой метрикой g , удовлетворяющей условию совместимости.
Почти эрмитова структура естественным образом определяет дифференциальную двуформу
Следующие два условия эквивалентны:
где связь Леви -Чивита . В этом случае называется кэлеровой структурой , а кэлерово многообразие — это многообразие, наделенное кэлеровой структурой. В частности, кэлерово многообразие является одновременно комплексным и симплектическим многообразием . Большой класс кэлеровых многообразий (класс многообразий Ходжа ) дают все гладкие комплексные проективные многообразия .
Геометрия CR — это изучение внутренней геометрии границ областей в комплексных многообразиях .
Конформная геометрия - это изучение набора сохраняющих угол (конформных) преобразований в пространстве.
Дифференциальная топология — это изучение глобальных геометрических инвариантов без метрической или симплектической формы.
Дифференциальная топология начинается с естественных операций, таких как производная Ли натуральных векторных расслоений и дифференциал де Рама форм . Помимо алгеброидов Ли , более важную роль начинают играть и алгеброиды Куранта .
Группа Ли — это группа из категории гладких многообразий. Помимо алгебраических свойств, он обладает также дифференциально-геометрическими свойствами. Наиболее очевидная конструкция — это конструкция алгебры Ли, которая представляет собой касательное пространство в единице, снабженное скобкой Ли между левоинвариантными векторными полями . Помимо теории структур существует также широкое поле теории представлений .
Геометрический анализ — это математическая дисциплина, в которой инструменты дифференциальных уравнений, особенно эллиптических уравнений в частных производных, используются для получения новых результатов в дифференциальной геометрии и дифференциальной топологии.
Калибровочная теория — это исследование связей векторных расслоений и главных расслоений, возникающее из проблем математической физики и физических калибровочных теорий , которые лежат в основе стандартной модели физики элементарных частиц . Калибровочная теория занимается изучением дифференциальных уравнений для связностей на расслоениях и возникающих в результате пространств геометрических модулей решений этих уравнений, а также инвариантов, которые могут быть получены из них. Эти уравнения часто возникают как уравнения Эйлера–Лагранжа , описывающие уравнения движения некоторых физических систем в квантовой теории поля , и поэтому их изучение представляет значительный интерес в физике.
Аппарат векторных расслоений , главных расслоений и связностей на расслоениях играет чрезвычайно важную роль в современной дифференциальной геометрии. Гладкое многообразие всегда содержит естественное векторное расслоение — касательное расслоение . Грубо говоря, этой структуры самой по себе достаточно только для развития анализа многообразия, в то время как выполнение геометрии требует, кроме того, какого-то способа связать касательные пространства в разных точках, то есть понятия параллельного переноса . Важным примером являются аффинные связи . Для поверхности в R 3 касательные плоскости в различных точках можно идентифицировать, используя естественный параллелизм по путям, индуцированный окружающим евклидовым пространством, которое имеет хорошо известное стандартное определение метрики и параллелизма. В римановой геометрии связь Леви -Чивита служит аналогичной цели. В более общем смысле, дифференциальная геометрия рассматривает пространства с векторным расслоением и произвольной аффинной связностью, которая не определена в терминах метрики. В физике многообразием может быть пространство-время , а пучки и связи связаны с различными физическими полями.
С начала и до середины XIX века дифференциальная геометрия изучалась с внешней точки зрения: кривые и поверхности считались лежащими в евклидовом пространстве более высокой размерности (например, поверхность в окружающем трехмерном пространстве ). . Простейшие результаты — это дифференциальная геометрия кривых и дифференциальная геометрия поверхностей. Начиная с работ Римана , была развита внутренняя точка зрения, при которой нельзя говорить о движении «вне» геометрического объекта, поскольку он считается заданным в отдельно стоящем виде. Фундаментальным результатом здесь является теорема Гаусса egregium о том, что гауссова кривизна является внутренним инвариантом.
Внутренняя точка зрения более гибкая. Например, это полезно в теории относительности, где пространство-время естественным образом не может рассматриваться как нечто внешнее. Однако приходится платить за техническую сложность: внутренние определения кривизны и соединений становятся гораздо менее интуитивно понятными.
Эти две точки зрения можно примирить, т. е. внешнюю геометрию можно рассматривать как структуру, дополнительную к внутренней. (См. теорему вложения Нэша .) В формализме геометрического исчисления как внешняя, так и внутренняя геометрия многообразия может быть охарактеризована одной бивекторнозначной одной формой, называемой оператором формы . [15]
Ниже приведены некоторые примеры того, как дифференциальная геометрия применяется к другим областям науки и математики.