CR-коллектор

В математике CR-многообразие , или многообразие Коши–Римана , ^[1] представляет собой дифференцируемое многообразие вместе с геометрической структурой, смоделированной на основе реальной гиперповерхности в комплексном векторном пространстве или, в более общем смысле, на основе ребра клина .

Формально CR-многообразие — это дифференцируемое многообразие M вместе с предпочтительным комплексным распределением L или, другими словами, комплексное подрасслоение комплексифицированного касательного расслоения, такое что ${\displaystyle \mathbb {C} TM=TM\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$

• ${\displaystyle [L,L]\subseteq L}$( L формально интегрируема )​
• ${\displaystyle L\cap {\bar {L}}=\{0\}}$.

Подрасслоение L называется CR - структурой на многообразии M.

Аббревиатура CR означает « Коши–Риман » или «Комплексно-действительный». ^{[1] [2]}

Введение и мотивация

Понятие CR-структуры пытается описать по сути свойство быть гиперповерхностью (или некоторыми действительными подмногообразиями более высокой коразмерности) в комплексном пространстве путем изучения свойств голоморфных векторных полей , которые касаются гиперповерхности.

Предположим, например, что M — гиперповерхность, заданная уравнением ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle F(z,w):=|z|^{2}+|w|^{2}=1,}$

где z и w — обычные комплексные координаты на . Голоморфное касательное расслоение состоит из всех линейных комбинаций векторов ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}},\quad {\frac {\partial }{\partial w}}.}$

Распределение L на M состоит из всех комбинаций этих векторов, которые касательны к M. Касательные векторы должны аннулировать определяющее уравнение для M , поэтому L состоит из комплексных скалярных кратных

${\displaystyle {\bar {w}}{\frac {\partial }{\partial z}}-{\bar {z}}{\frac {\partial }{\partial w}}.}$

В частности, L состоит из голоморфных векторных полей, которые аннулируют F. Обратите внимание, что L задает CR-структуру на M , поскольку [ L , L ] = 0 (поскольку L одномерно) и поскольку ∂/∂ z и ∂/∂ w линейно независимы от своих комплексно сопряженных. ${\displaystyle L\cap {\bar {L}}=\{0\}}$

В более общем случае предположим, что M — действительная гиперповерхность в с определяющим уравнением F ( z ₁ , ..., z _n ) = 0. Тогда CR-структура L состоит из линейных комбинаций базисных голоморфных векторов на : ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial z_{n}}}}$

которые аннулируют определяющую функцию. В этом случае по той же причине, что и раньше. Более того, [ L , L ] ⊂ L , поскольку коммутатор голоморфных векторных полей, аннулирующих F , снова является голоморфным векторным полем, аннулирующим F . ${\displaystyle L\cap {\bar {L}}=\{0\}}$

Встроенные и абстрактные CR-многообразия

Существует резкий контраст между теориями вложенных CR-многообразий (гиперповерхность и ребра клиньев в комплексном пространстве) и абстрактными CR-многообразиями (теми, которые задаются комплексным распределением L ). Многие из формальных геометрических особенностей схожи. К ним относятся:

• Понятие выпуклости (предоставленное формой Леви )
• Дифференциальный оператор , аналогичный оператору Дольбо , и связанная с ним когомология ( касательный комплекс Коши–Римана ).

Однако вложенные CR-многообразия обладают некоторой дополнительной структурой: задачей Неймана и Дирихле для уравнений Коши–Римана.

В этой статье сначала рассматривается геометрия вложенных CR-многообразий, показывается, как определить эти структуры внутренне, а затем они обобщаются на абстрактный случай.

Встроенные коллекторы CR

Предварительные

Вложенные CR-многообразия — это, прежде всего, подмногообразия Определим пару подрасслоений комплексифицированного касательного расслоения следующим образом: ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes T\mathbb {C} ^{n}}$

• ${\displaystyle T^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}}$состоит из комплексных векторов, аннулирующих антиголоморфные функции. В голоморфных координатах :

${\displaystyle T^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}=\operatorname {span} \left({\frac {\partial }{\partial z_{1}}},\dots ,{\frac {\partial }{\partial z_{n}}}\right).}$

• ${\displaystyle T^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}}$состоит из комплексных векторов, аннулирующих голоморфные функции . В координатах:

${\displaystyle T^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}=\operatorname {span} \left({\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{1}}},\dots ,{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{n}}}\right).}$

Также актуальны характерные аннигиляторы из комплекса Дольбо :

• ${\displaystyle \Omega ^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}=\left(T^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}\right)^{\bot }.}$В координатах,

${\displaystyle \Omega ^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}=\operatorname {span} (dz_{1},\dots ,dz_{n}).}$

• ${\displaystyle \Omega ^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}=\left(T^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}\right)^{\bot }.}$В координатах,

${\displaystyle \Omega ^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}=\operatorname {span} (d{\bar {z}}_{1},\dots ,d{\bar {z}}_{n}).}$

Их внешние произведения обозначаются очевидным обозначением Ω ^{( p , q )} , а оператор Дольбо и его комплексно сопряженное отображение между этими пространствами — через:

${\displaystyle \partial :\Omega ^{(p,q)}\to \Omega ^{(p+1,q)}}$

${\displaystyle {\bar {\partial }}:\Omega ^{(p,q)}\to \Omega ^{(p,q+1)}}$

Кроме того, существует разложение обычной внешней производной через . ${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}$

Действительные подмногообразия комплексного пространства

Пусть — вещественное подмногообразие, локально определенное как геометрическое место системы гладких вещественных функций ${\displaystyle M\subset \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle F_{1}=0,F_{2}=0,\ldots ,F_{k}=0.}$

Предположим, что комплексно-линейная часть дифференциала этой системы имеет максимальный ранг в том смысле, что дифференциалы удовлетворяют следующему условию независимости :

${\displaystyle \partial F_{1}\wedge \dots \wedge \partial F_{k}\not =0.}$

Обратите внимание, что это условие строго сильнее, чем необходимо для применения теоремы о неявной функции : в частности, M является многообразием действительной размерности . Мы говорим, что M является общим вложенным CR-подмногообразием CR-коразмерности k . Прилагательное общий указывает на то, что касательное пространство охватывает касательное пространство над комплексными числами . В большинстве приложений k  = 1, и в этом случае говорят, что многообразие имеет тип гиперповерхности . ${\displaystyle 2n-k.}$  ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Пусть будет подрасслоением векторов, аннулирующим все определяющие функции Заметим, что по обычным соображениям для интегрируемых распределений на гиперповерхностях L является инволютивным. Более того, условие независимости подразумевает, что L является расслоением постоянного ранга n  −  k . ${\displaystyle L\subset T^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}|_{M}}$ ${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{k}.}$

В дальнейшем будем считать, что k  = 1 (так что CR-многообразие имеет тип гиперповерхности), если не указано иное.

Форма Леви

Пусть M — CR-многообразие гиперповерхностного типа с единственной определяющей функцией F = 0. Форма Леви многообразия M , названная в честь Эухенио Элиа Леви ^[3] , является эрмитовой 2-формой

${\displaystyle h=i\,\partial {\bar {\partial }}F|_{L\wedge {\bar {L}}}.}$

Это определяет метрику на L. M называется строго псевдовыпуклым (со стороны F<0 ), если h положительно определен (или псевдовыпуклым , если h положительно полуопределен). ^{[4] Многие} из аналитических результатов существования и единственности в теории CR-многообразий зависят от псевдовыпуклости.

Эта номенклатура пришла из изучения псевдовыпуклых областей : M является границей (строго) псевдовыпуклой области в тогда и только тогда, когда она является (строго) псевдовыпуклой как CR-многообразие со стороны области. (См. плюрисубгармонические функции и многообразие Штейна .) ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Абстрактные структуры CR

Абстрактная CR-структура на вещественном многообразии M вещественной размерности n состоит из комплексного подрасслоения L комплексифицированного касательного расслоения, которое формально интегрируемо в том смысле, что [ L , L ] ⊂ L , которое имеет нулевое пересечение со своим комплексно сопряженным. CR-коразмерность CR-структуры равна , где dim  L — комплексная размерность. В случае k  = 1 говорят, что CR-структура имеет тип гиперповерхности . Большинство примеров абстрактных CR-структур имеют тип гиперповерхности. ${\displaystyle k=n-2\dim L,}$

Форма Леви и псевдовыпуклость

Предположим, что M — CR-многообразие гиперповерхностного типа. Форма Леви — это векторнозначная 2-форма, определенная на L , со значениями в линейном расслоении

${\displaystyle V={\frac {TM\otimes \mathbb {C} }{L\oplus {\overline {L}}}}}$

предоставлено

${\displaystyle h(v,w)={\frac {1}{2i}}[v,{\overline {w}}]\mod L\oplus {\overline {L}},\quad v,w\in L.}$

h определяет полуторалинейную форму на L, поскольку она не зависит от того, как v и w расширены до секций L , по условию интегрируемости. Эта форма расширена до эрмитовой формы на расслоении тем же выражением. Расширенная форма также иногда называется формой Леви. ${\displaystyle L\oplus {\overline {L}}}$

Форму Леви можно альтернативно охарактеризовать в терминах двойственности. Рассмотрим линейное подрасслоение комплексного кокасательного расслоения, аннулирующее V

${\displaystyle H_{0}M=V^{*}=(L\oplus {\overline {L}})^{\perp }\subset T^{*}M\otimes \mathbb {C} .}$

Для каждого локального сечения α ∈ Γ( H ₀ M ) пусть

${\displaystyle h_{\alpha }(v,w)=d\alpha (v,{\overline {w}})=-\alpha ([v,{\overline {w}}]),\quad v,w\in L\oplus {\overline {L}}.}$

Форма h _α является комплекснозначной эрмитовой формой, связанной с α.

Обобщения формы Леви существуют, когда многообразие не является типом гиперповерхности, в этом случае форма больше не принимает значения в линейном расслоении, а скорее в векторном расслоении. Тогда можно говорить не о форме Леви, а о наборе форм Леви для структуры.

На абстрактных CR-многообразиях сильно псевдовыпуклого типа форма Леви порождает псевдоэрмитову метрику. Метрика определена только для голоморфных касательных векторов и поэтому является вырожденной. Затем можно определить связность и кручение и связанные с ними тензоры кривизны, например, кривизну Риччи и скалярную кривизну, используя эту метрику. Это порождает аналогичную CR- проблему Ямабе, впервые изученную Дэвидом Джерисоном и Джоном Ли . Связность, связанная с CR-многообразиями, была впервые определена и изучена Сиднеем М. Вебстером в его диссертации по изучению проблемы эквивалентности и независимо также определена и изучена Танакой. ^[5] Описания этих понятий можно найти в статьях. ^{[6] [7]}

Один из основных вопросов геометрии CR — спросить, когда гладкое многообразие, наделенное абстрактной структурой CR, может быть реализовано как вложенное многообразие в некотором . Таким образом, мы не только вкладываем многообразие, но и требуем для глобального вложения, чтобы отображение, встраивающее абстрактное многообразие в , должно было вытянуть обратно индуцированную структуру CR вложенного многообразия (исходя из того факта, что оно находится в ), так чтобы вытянутая структура CR точно согласовывалась с абстрактной структурой CR. Таким образом, глобальное вложение — это условие из двух частей. Здесь вопрос разделяется на два. Можно спросить о локальной вкладываемости или глобальной вкладываемости. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Глобальная вложимость всегда верна для абстрактно определенных, компактных CR-структур, которые являются строго псевдовыпуклыми, то есть форма Леви положительно определена, когда действительная размерность многообразия равна 5 или выше, согласно результату Луи Буте де Монвеля . ^[8]

В размерности 3 существуют препятствия для глобальной вложимости. При небольших возмущениях стандартной структуры CR на трех сферах полученная абстрактная структура CR не может быть вложена глобально. Иногда это называют примером Росси. ^[9] Пример на самом деле восходит к Гансу Грауэрту , а также появляется в статье Альдо Андреотти и Юм-Тонг Сиу . ^[10] ${\displaystyle S^{3},}$

Результат Джозефа Дж. Кона утверждает, что глобальная вложимость эквивалентна условию, что лапласиан Кона имеет замкнутый диапазон. ^[11] Это условие замкнутого диапазона не является условием CR-инварианта.

В размерности 3 непертурбативный набор условий, которые являются CR-инвариантными, был найден Сагуном Чанильо, Хун-Лин Чиу и Полом К. Янгом ^[12] , который гарантирует глобальную вложимость для абстрактных сильно псевдовыпуклых CR-структур, определенных на компактных многообразиях. При гипотезе, что CR-оператор Панейца неотрицателен, а константа CR-Ямабэ положительна, имеет место глобальное вложение. Второе условие можно ослабить до не-CR-инвариантного условия, потребовав, чтобы кривизна Вебстера абстрактного многообразия была ограничена снизу положительной константой. Это позволяет авторам получить точную нижнюю границу для первого положительного собственного значения лапласиана Кона. Нижняя граница является аналогом в CR-геометрии границы Андре Лихнеровича для первого положительного собственного значения оператора Лапласа–Бельтрами для компактных многообразий в римановой геометрии . ^[13] Неотрицательность оператора CR Панейца в размерности 3 является CR-инвариантным условием, как следует из конформно-ковариантных свойств оператора CR Панейца на CR-многообразиях действительной размерности 3, впервые обнаруженных Кенго Хирачи . ^[14] CR-версия оператора Панейца, так называемый оператор CR Панейца, впервые появляется в работе C. Robin Graham и John Lee . Известно, что оператор не является конформно-ковариантным в действительной размерности 5 и выше, но только в действительной размерности 3. Он всегда является неотрицательным оператором в действительной размерности 5 и выше. ^[15]

Можно спросить, все ли компактно вложенные CR-многообразия в имеют неотрицательные операторы Панейца. Это своего рода обратный вопрос к теоремам вложения, обсуждавшимся выше. В этом направлении Джеффри Кейс, Сагун Чанилло и Пол К. Янг доказали теорему об устойчивости. То есть, если начать с семейства компактных CR-многообразий, вложенных в , и CR-структура семейства изменяется вещественно-аналитическим образом относительно параметра и CR-константа Ямабэ семейства многообразий равномерно ограничена снизу положительной константой, то CR-оператор Панейца остается неотрицательным для всего семейства, при условии, что один член семейства имеет свой CR-оператор Панейца неотрицательным. ^[16] Обратный вопрос был окончательно решен Юей Такеучи. Он доказал, что для вложенных компактных CR-3-многообразий, которые являются строго псевдовыпуклыми, CR-оператор Панейца, связанный с этим вложенным многообразием, неотрицателен. ^[17] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2},}$ ${\displaystyle J_{t}}$ ${\displaystyle t,}$

Существуют также результаты глобального вложения для малых возмущений стандартной структуры CR для 3-мерной сферы, полученные Дэниелом Бернсом и Чарльзом Эпштейном . Эти результаты предполагают предположения о коэффициентах Фурье возмущения. ^[18]

Реализация абстрактного CR-многообразия как гладкого многообразия в некотором ограничит комплексное многообразие, которое в общем случае может иметь особенности. Это содержание проблемы комплексного плато, изученной в статье Ф. Риза Харви и Х. Блейна Лоусона . ^[19] Также есть дальнейшая работа по проблеме комплексного плато Стивена С.-Т. Яу. ^[20] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Локальное вложение абстрактных структур CR неверно в вещественной размерности 3 из-за примера Луиса Ниренберга (книга Чена и Мей-Чи Шоу, на которую мы ссылаемся ниже, также содержит презентацию доказательства Ниренберга). ^[21] Пример Л. Ниренберга можно рассматривать как гладкое возмущение неразрешимого комплексного векторного поля Ганса Леви . Можно начать с антиголоморфного векторного поля на группе Гейзенберга, заданного формулой ${\displaystyle {\overline {L}}}$

${\displaystyle {\overline {L}}={\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}-\imath z{\frac {\partial }{\partial t}},\qquad (z,t)\in \mathbb {C} \times \mathbb {R} ,\imath ={\sqrt {-1}}.}$

Определенное выше векторное поле имеет два линейно независимых первых интеграла. То есть существуют два решения однородного уравнения,

${\displaystyle {\overline {L}}Z_{i}=0,i=1,2,\qquad Z_{1}=z,Z_{2}=t+\imath |z|^{2},dZ_{1}\wedge dZ_{2}\not =0.}$

Поскольку мы находимся в реальном измерении три, формальное условие интегрируемости простое:

${\displaystyle \left[{\overline {L}},{\overline {L}}\right]=0}$

что происходит автоматически. Обратите внимание, что форма Леви строго положительно определена, как дает простой расчет,

${\displaystyle \left[{\overline {L}},L\right]=2i{\frac {\partial }{\partial t}},}$

где голоморфное векторное поле L задается выражением,

${\displaystyle L={\frac {\partial }{\partial z}}+\imath {\overline {z}}{\frac {\partial }{\partial t}}.}$

Первые интегралы, которые линейно независимы, позволяют нам реализовать структуру CR в виде графика, заданного формулой ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle (z,t)\to (z,t+\imath |z|^{2})}$

Структура CR тогда оказывается ничем иным, как ограничением комплексной структуры на граф. Ниренберг строит единое, неисчезающее комплексное векторное поле, определенное в окрестности начала координат в He, а затем показывает, что если , то должно быть константой. Таким образом, векторное поле не имеет первых интегралов. Векторные поля создаются из антиголоморфного векторного поля для группы Гейзенберга, показанного выше, путем возмущения его гладкой комплекснозначной функцией, как показано ниже: ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle Pu=0}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle P={\overline {L}}+\phi (z,{\overline {z}},t){\frac {\partial }{\partial t}}}$

Таким образом, это новое векторное поле P не имеет первых интегралов, кроме констант, и поэтому невозможно реализовать эту возмущенную CR-структуру каким-либо образом как график в любом Работа Л. Ниренберга была расширена до общего результата Говардом Якобовицем и Франсуа Тревом . ^[22] В действительной размерности 9 и выше локальное вложение абстрактных строго псевдовыпуклых CR-структур верно согласно работе Масатаке Кураниши , а в действительной размерности 7 — согласно работе Акахори ^[23] Упрощенное представление доказательства Кураниши принадлежит Вебстеру. ^[24] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$

Проблема локального вложения остается открытой в реальной размерности 5.

Характерные идеалы

Тангенциальный комплекс Коши–Римана (лапласиан Кона, комплекс Кона–Росси)

Прежде всего, необходимо определить оператор кограницы . Для CR-многообразий, которые возникают как границы комплексных многообразий, можно рассматривать этот оператор как ограничение от внутренней части к границе. Нижний индекс b напоминает, что мы находимся на границе. Оператор кограницы преобразует формы (0,p) в формы (0,p+1). Можно даже определить оператор кограницы для абстрактного CR-многообразия, даже если оно не является границей комплексного многообразия. Это можно сделать с помощью связности Вебстера. ^[25] Оператор кограницы образует комплекс, то есть . Этот комплекс называется тангенциальным комплексом Коши–Римана или комплексом Кона–Росси. Исследование этого комплекса и изучение групп когомологий этого комплекса было выполнено в фундаментальной статье Джозефа Дж. Кона и Хьюго Росси. ^[26] ${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}}$ ${\displaystyle {\overline {\partial }}}$ ${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}}$ ${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}\circ {\overline {\partial _{b}}}=0}$

С комплексом тангенциального CR связан фундаментальный объект в геометрии CR и нескольких комплексных переменных, лапласиан Кона. Он определяется как:

${\displaystyle \Box _{b}={\overline {\partial _{b}}}{\overline {\partial _{b}}}^{\star }+{\overline {\partial _{b}}}^{\star }{\overline {\partial _{b}}}}$

Здесь обозначает формальное сопряжение относительно того, где форма объема может быть получена из контактной формы, которая связана со структурой CR. См., например, статью Дж. М. Ли в американском журнале J., указанную ниже. Обратите внимание, что лапласиан Кона переводит формы (0,p) в формы (0,p). Функции, которые аннулируются лапласианом Кона, называются CR-функциями. Они являются граничными аналогами голоморфных функций . Действительные части CR-функций называются CR-плюригармоническими функциями. Лапласиан Кона является неотрицательным, формально самосопряженным оператором. Он вырожден и имеет характеристическое множество, где его символ обращается в нуль. На компактном, сильно псевдовыпуклом абстрактном CR-многообразии он имеет дискретные положительные собственные значения, которые стремятся к бесконечности, а также к нулю. Ядро состоит из CR-функций и поэтому является бесконечномерным. Если положительные собственные значения лапласиана Кона ограничены снизу положительной константой, то лапласиан Кона имеет замкнутый диапазон и наоборот. Таким образом, для вложенных CR-структур, используя результат Кона, изложенный выше, мы заключаем, что компактная CR-структура, которая является сильно псевдовыпуклой, является вложенной тогда и только тогда, когда лапласиан Кона имеет положительные собственные значения, ограниченные снизу положительной константой. Лапласиан Кона всегда имеет нулевое собственное значение, соответствующее функциям CR. ${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}^{\star }}$ ${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}}$ ${\displaystyle L^{2}(M)}$ ${\displaystyle \Box _{b}}$

Оценки для и были получены в различных функциональных пространствах в различных условиях. Эти оценки проще всего вывести, когда многообразие сильно псевдовыпуклое, поскольку тогда можно заменить многообразие, осциллируя его до достаточно высокого порядка с группой Гейзенберга. Затем, используя групповое свойство и сопутствующую сверточную структуру группы Гейзенберга, можно записать обратные/параметрические или относительные параметрические для . ^[27] ${\displaystyle \Box _{b}}$ ${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}}$ ${\displaystyle \Box _{b}}$

Конкретный пример оператора можно привести на группе Гейзенберга. Рассмотрим общую группу Гейзенберга и рассмотрим антиголоморфные векторные поля, которые также являются инвариантными слева относительно группы, ${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\overline {L}}_{j}={\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{j}}}}}-\imath z_{j}{\frac {\partial }{\partial t}},j=1,2,\ldots ,n,(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n},t\in \mathbb {R} .}$

Тогда для функции u мы имеем (0,1) форму ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega ={\overline {\partial _{b}}}u=\sum _{j=1}^{n}{\overline {L_{j}}}u\ d{\overline {z_{j}}}.}$

Поскольку обращается в нуль на функциях, мы также имеем следующую формулу для лапласиана Кона для функций на группе Гейзенберга: ${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}^{\star }}$

${\displaystyle \Box _{b}=-\sum _{j=1}^{n}L_{j}{\overline {L_{j}}}}$

где

${\displaystyle L_{j}={\frac {\partial }{\partial z_{j}}}+\imath {\overline {z_{j}}}{\frac {\partial }{\partial t}},}$

являются группой левоинвариантных, голоморфных векторных полей на группе Гейзенберга. Выражение для лапласиана Кона выше можно переписать следующим образом. Сначала легко проверить, что

${\displaystyle [L_{j},{\overline {L_{j}}}]=-2\imath T,T={\frac {\partial }{\partial t}},j=1,2,\ldots ,n}$

Таким образом, путем элементарного расчета имеем:

${\displaystyle \Box _{b}=-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}(L_{j}{\overline {L_{j}}}+{\overline {L_{j}}}L_{j})+\imath nT}$

Первый оператор справа — это действительный оператор, и на самом деле это действительная часть лапласиана Кона. Он называется сублапласианом. Это основной пример того, что называется оператором суммы квадратов Хермандера . ^{[28] [29]} Он, очевидно, неотрицателен, как можно увидеть с помощью интегрирования по частям. Некоторые авторы определяют сублапласиан с противоположным знаком. В нашем случае мы имеем, в частности:

${\displaystyle \Delta _{b}=-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}(L_{j}{\overline {L_{j}}}+{\overline {L_{j}}}L_{j})}$

где символ — традиционный символ для сублапласиана. Таким образом, ${\displaystyle \Delta _{b}}$

${\displaystyle \Box _{b}=\Delta _{b}+\imath nT}$

Примеры

Каноническим примером компактного CR-многообразия является вещественная сфера как подмногообразие . Описанное выше расслоение задается формулой ${\displaystyle 2n+1}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle L=\mathbb {C} TS^{2n+1}\cap T^{1,0}\mathbb {C} ^{n+1}}$

где - расслоение голоморфных векторов. Действительная форма этого задается как , расслоение задается в точке конкретно в терминах комплексной структуры, , на основе ${\displaystyle T^{1,0}\mathbb {C} ^{n+1}}$ ${\displaystyle P=\Re (L\oplus {\bar {L}})}$ ${\displaystyle p\in S^{2n+1}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}}$

${\displaystyle P_{p}=\{X\in T_{p}S^{2n+1}:IX\in T_{p}S^{2n+1}\subset T_{p}\mathbb {C} ^{n+1}\},}$

и почти комплексная структура на является просто ограничением . Сфера является примером CR-многообразия с постоянной положительной кривизной Вебстера и имеющим нулевое кручение Вебстера. Группа Гейзенберга является примером некомпактного CR-многообразия с нулевым кручением Вебстера и нулевой кривизной Вебстера. Расслоение единичной окружности над компактными римановыми поверхностями с родом строго больше 1 также дает примеры CR-многообразий, которые являются сильно псевдовыпуклыми и имеют нулевое кручение Вебстера и постоянную отрицательную кривизну Вебстера. Эти пространства могут использоваться в качестве пространств сравнения при изучении геодезических и теорем сравнения объемов на CR-многообразиях с нулевым кручением Вебстера, родственных теореме сравнения HE Рауха в римановой геометрии. ^[30] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle I}$

В последние годы также изучались другие аспекты анализа группы Гейзенберга, такие как минимальные поверхности в группе Гейзенберга, проблема Бернштейна в группе Гейзенберга и потоки кривизны. ^[31]

Смотрите также

• Эухенио Элиа Леви
• Псевдовыпуклость

Примечания

1. Lempert, László (1997). "Пространства многообразий Коши-Римана". Advanced Studies in Pure Mathematics . CR-Geometry and Overdetermined Systems. 25 : 221–236. doi : 10.2969/aspm/02510221 . ISBN 978-4-931469-75-4.
2. "Исследовательский институт математических наук - CR Geometry: Complex Analysis Meets Real Geometry and Number Theory". secure.msri.org . Архивировано из оригинала 26 марта 2012 г. . Получено 12 января 2022 г. .
3. См. Levi 909 стр. 207: форма Леви — это дифференциальная форма, связанная с дифференциальным оператором C , согласно обозначениям Леви.
4. Осава, Такео (1984). «Глобальная реализация сильно псевдовыпуклых CR-многообразий». Публикации Научно-исследовательского института математических наук . 20 (3): 599–605. doi : 10.2977/PRIMS/1195181413 .
5. Танака, Н. (1975). «Дифференциальное геометрическое исследование сильно псевдовыпуклых многообразий» (PDF) . Лекции по математике, Киотский университет . 9. Токио: Книжный магазин Kinokuniya. hdl :2433/84914.
6. Ли, Джон М. (1988). «Псевдоэйнштейновские структуры на CR-многообразиях». American Journal of Mathematics . 110 (1): 157–178. doi :10.2307/2374543. JSTOR  2374543.
7. Вебстер, Сидней М. (1978). «Псевдоэрмитовы структуры на реальной гиперповерхности». Журнал дифференциальной геометрии . 13 : 25–41. doi : 10.4310/jdg/1214434345 .
8. Буте де Монвель, Луи (1974). «Интегрирование уравнений Коши – Римана в форме induites». Семинар «Уравнения Aux Derivees Partielles» . 9 . Политехническая школа: 1–13. Архивировано из оригинала 28 декабря 2014 г. Проверено 28 декабря 2014 г.
9. Чен, С.-Ч.; Шоу, Мей-Чи (2001). Уравнения с частными производными в нескольких комплексных переменных . Том 19, Исследования AMS/IP по высшей математике. Провиденс, Род-Айленд: AMS.
10. Андреотти, Альдо; Сиу, Юм-Тонг (1970). «Проективное вложение псевдовогнутых пространств». Аннали делла Скуола Норм. Как дела. Пиза, Classe di Scienze . 24 (5): 231–278. Архивировано из оригинала 28 декабря 2014 г. Проверено 28 декабря 2014 г.
11. Кон, Джозеф Дж. (1986). «Диапазон касательного оператора Коши–Римана». Duke Mathematical Journal . 53 (2): 525–545. doi :10.1215/S0012-7094-86-05330-5.
12. Чанильо, Сагун; Чиу, Хун-Лин; Ян, Пол С. (2012). «Вложимость трехмерных CR-многообразий и CR-инвариантов Ямабе». Математический журнал Дьюка . 161 (15): 2909–2921. arXiv : 1007.5020 . дои : 10.1215/00127094-1902154. S2CID  304301.
13. Лихнерович, Андре (1958). Геометрия групп преобразований . Париж: Дюнод. ОСЛК  1212521.
14. Хирачи, Кенго (1993). «Скалярные псевдоэрмитовы инварианты и ядро ​​Сегё на трехмерных CR-многообразиях». Комплексная геометрия (Осака, 1990) Заметки лекций по чистой и прикладной математике . 143. Нью-Йорк: Marcel Dekker: 67–76.
15. Грэм, К. Робин; Ли, Джон М. (1988). «Гладкие решения вырожденных лапласианов в строго псевдовыпуклых областях». Duke Mathematical Journal . 57 (3): 697–720. doi :10.1215/S0012-7094-88-05731-6.
16. Кейс, Джеффри С.; Чанилло, Сагун; Янг, Пол К. (2016). «Оператор CR-Панейца и устойчивость CR-плюригармонических функций». Успехи в математике . 287 : 109–122. arXiv : 1502.01994 . doi : 10.1016/j.aim.2015.10.002 . S2CID  15964378.
17. Такеучи, Юя (2020). «Неотрицательность оператора CR Панейца для встраиваемых CR-многообразий». Duke Mathematical Journal . 169 (18): 3417–3438. arXiv : 1908.07672 . doi : 10.1215/00127094-2020-0051. S2CID  201125743.
18. Бернс, Дэниел М.; Эпштейн, Чарльз Л. (1990). «Вложимость трехмерных CR-многообразий». J. Am. Math. Soc . 3 (4): 809–841. doi : 10.1090/s0894-0347-1990-1071115-4 .
19. Харви, FR; Лоусон, HB Jr. (1978). «О границах комплексных аналитических многообразий I». Ann. Math . 102 (2): 223–290. doi :10.2307/1971032. JSTOR  1971032.
20. Яу, Стивен С.-Т. (1981). «Когомологии Кона-Росси и их применение к проблеме комплексного плато I». Annals of Mathematics . 113 (1): 67–110. doi :10.2307/1971134. JSTOR  1971134. S2CID  124134326.
21. Ниренберг, Луис (1974). «К вопросу о Гансе Леви». Математические обзоры . 29 (2): 251–262. Bibcode :1974RuMaS..29..251N. doi :10.1070/rm1974v029n02abeh003856. S2CID  250837987.
22. Якобовиц, Ховард; Тревес, Жан-Франсуа (1982). «Нереализуемые структуры CR». Inventiones Math . 66 (2): 231–250. Bibcode :1982InMat..66..231J. doi :10.1007/bf01389393. S2CID  120836413.
23. Акахори, Такао (1987). "Новый подход к теореме локального вложения CR-структур n ≥ 4 {\displaystyle n\geq 4} (Локальная разрешимость оператора ∂ b ¯ {\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}} в абстрактном смысле)". Мемуары Американского математического общества . 67 (366). doi : 10.1090/memo/0366 .
24. Вебстер, Сидней М. (1989). «О доказательстве теоремы вложения Кураниши». Annales de l'Institut Henri Poincaré C. 6 ( 3): 183–207. doi :10.1016/S0294-1449(16)30322-5.
25. Ли, Джон М. (1986). «Метрика Феффермана и псевдоэрмитовы инварианты». Труды Американского математического общества . 296 : 411–429. doi : 10.1090/s0002-9947-1986-0837820-2 .
26. Кон, Джозеф Дж.; Росси, Хьюго (1965). «О расширении голоморфных функций с границы комплексных многообразий». Annals of Mathematics . 81 (2): 451–472. doi :10.2307/1970624. JSTOR  1970624.
27. Грейнер, П. К.; Стайн, Э. М. (1977). Оценки для задачи -Неймана . Математические заметки. Т. 19. Princeton Univ. Press. ${\displaystyle {\overline {\partial }}}$
28. Хермандер, Ларс (1967). «Гипоэллиптические дифференциальные уравнения второго порядка». Acta Math . 119 : 147–171. doi : 10.1007/bf02392081 . S2CID  121463204.
29. Кон, Джозеф Дж. (1972). «Субеллиптические оценки». Труды Симп. по чистой математике (AMS) . 35 : 143–152.
30. Чанильо, Сагун; Ян, Пол С. (2009). «Изопериметрические и теоремы сравнения объемов на CR-многообразиях». Аннали делла Скуола Норм. Как дела. Пиза, Classe di Scienze . 8 (2): 279–307. дои : 10.2422/2036-2145.2009.2.03 .
31. Капогна, Лука; Даниэлли, Донателла; Паулс, Скотт; Тайсон, Джереми (2007). «Приложения геометрии Гейзенберга». Введение в группу Гейзенберга и субриманову изопериметрическую задачу . Прогресс в математике. Т. 259. Берлин: Birkhauser. С. 45–48.

Ссылки

• Леви, Эухенио Элиа (1910), «Studii sui punti Singolari essenziali delle funzioni analitiche di Due or Più Variabili Complesse», Annali di Matematica Pura ed Applicata , s. III (на итальянском языке), XVII (1): 61–87, doi : 10.1007/BF02419336 , JFM  41.0487.01, S2CID  122678686 .. Важная статья по теории функций многих комплексных переменных . Английский перевод названия звучит как: « исследования существенных особых точек аналитических функций двух или более комплексных переменных ».
• Боггесс, Альберт (1991). CR-многообразия и тангенциальный комплекс Коши-Римана . CRC Press.
• Hill, D.; Nacinovich, M. (1995). «Двойственность и когомологии распределения CR-многообразий». Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa . 22 (2): 315–339. Архивировано из оригинала 2011-06-05 . Получено 2007-06-03 .
• Черн СС; Мозер, Дж. К. (1974). «Действительные гиперповерхности в комплексных многообразиях». Acta Math . 133 : 219–271. doi : 10.1007/BF02392146 . S2CID  119515799.
• Чирка, Э. М. (1991). «Введение в геометрию CR-многообразий». Математические обзоры . 46 : 95–197. doi :10.1070/RM1991v046n01ABEH002728. S2CID  250865854.
• Драгомир, Сорин (1995). «О псевдоэрмитовых погружениях между строго псевдовыпуклыми CR-многообразиями». American Journal of Mathematics . 117 (1): 169–202. doi :10.2307/2375040. JSTOR  2375040.