В математике полуторалинейная форма — это обобщение билинейной формы , которая, в свою очередь, является обобщением понятия скалярного произведения евклидова пространства . Билинейная форма линейна по каждому из своих аргументов, но полуторалинейная форма позволяет «искажать» один из аргументов полулинейным образом , отсюда и название; который происходит от латинского числового префикса sesqui, что означает «полтора». Базовую концепцию скалярного произведения – получение скаляра из пары векторов – можно обобщить, разрешив более широкий диапазон скалярных значений и, возможно, одновременно расширив определение вектора.
Мотивирующим частным случаем является полуторалинейная форма в комплексном векторном пространстве V. Это отображение V × V → C , которое линейно по одному аргументу и «искажает» линейность другого аргумента посредством комплексного сопряжения (называемого антилинейным по другому аргументу). Этот случай естественным образом возникает в приложениях математической физики. Другой важный случай позволяет скалярам происходить из любого поля , а поворот обеспечивается полевым автоморфизмом .
Приложение в проективной геометрии требует, чтобы скаляры происходили из тела (тела) K , а это означает, что «векторы» должны быть заменены элементами K -модуля . В очень общем случае полуторалинейные формы могут быть определены над R -модулями для произвольных колец R .
Полуторалинейные формы абстрагируют и обобщают основное понятие эрмитовой формы в комплексном векторном пространстве . Эрмитовы формы обычно рассматриваются в физике как внутренний продукт сложного гильбертова пространства . В таких случаях стандартная эрмитова форма на C n имеет вид
где обозначает комплексно-сопряженное произведение. Это произведение можно обобщить на ситуации, когда никто не работает с ортонормированным базисом для C n или даже с каким-либо базисом вообще. Подставив в произведение дополнительный множитель , получим косоэрмитову форму , более точно определенную ниже. Нет особой причины ограничивать определение комплексными числами; его можно определить для произвольных колец, несущих антиавтоморфизм , который неформально понимается как обобщенное понятие «комплексного сопряжения» кольца.
Существуют разные соглашения относительно того, какой аргумент должен быть линейным. В коммутативном случае первую будем считать линейной, как это принято в математической литературе, за исключением раздела, посвященного полуторалинейным формам на комплексных векторных пространствах. Здесь мы используем другое соглашение и считаем первый аргумент сопряженно-линейным (т.е. антилинейным), а второй — линейным. Это соглашение используется в основном физиками [1] и берет свое начало в системе обозначений скобок Дирака в квантовой механике . Это также согласуется с определением обычного (евклидова) произведения as .
В более общей некоммутативной ситуации с правыми модулями мы считаем второй аргумент линейным, а с левыми модулями мы считаем линейным первый аргумент.
В комплексном векторном пространстве отображение является полуторалинейным, если
для всех и всех Здесь – комплексно-сопряженное скалярное значение
Сложную полуторалинейную форму также можно рассматривать как сложное билинейное отображение .
При фиксированном отображении является линейным функционалом на (т.е. элементом двойственного пространства ). Аналогично, отображение представляет собой сопряженно-линейный функционал на
Учитывая любую сложную полуторалинейную форму, мы можем определить вторую комплексную полуторалинейную форму с помощью сопряженного транспонирования :
Если — конечномерное комплексное векторное пространство, то относительно любого базиса полуторалинейной формы представляется матрицей и задается выражением
Комплексная эрмитова форма (также называемая симметричной полуторалинейной формой ) — это полуторалинейная форма такая, что
Знак минус вводится в эрмитовой форме для определения группы SU(1,1) .
Векторное пространство эрмитовой формы называется эрмитовым пространством .
Матричное представление комплексной эрмитовой формы — это эрмитова матрица .
Сложная эрмитова форма, примененная к одному вектору
Комплексная косоэрмитова форма (также называемая антисимметричной полуторалинейной формой ) — это комплексная полуторалинейная форма такая, что
Матричное представление комплексной косоэрмитовой формы представляет собой косоэрмитову матрицу .
Сложная косоэрмитова форма, примененная к одному вектору.
Этот раздел применяется без изменений , когда тело K коммутативно . Тогда применяется и более конкретная терминология: тело — это поле, антиавтоморфизм — тоже автоморфизм, а правый модуль — векторное пространство. Следующее применимо к левому модулю с подходящим переупорядочением выражений.
σ -полуторалинейная форма над правым K -модулем M — это биаддитивное отображение φ : M × M → K с ассоциированным антиавтоморфизмом σ тела K такое, что для всех x , y в M и всех α , β в K ,
Соответствующий антиавтоморфизм σ для любой ненулевой полуторалинейной формы φ однозначно определяется φ .
Для полуторалинейной формы φ над модулем M и подпространства ( подмодуля ) W модуля M ортогональное дополнение W относительно φ равно
Аналогично, x ∈ M ортогонален y ∈ M относительно φ , записанный x ⊥ φ y ( или просто x ⊥ y , если φ можно вывести из контекста), когда φ ( x , y ) = 0 . Это отношение не обязательно должно быть симметричным , т.е. x ⊥ y не влечет y ⊥ x (но см. § Рефлексивность ниже).
Полуторалинейная форма φ рефлексивна, если для всех x , y в M ,
То есть полуторалинейная форма является рефлексивной именно тогда, когда полученное отношение ортогональности симметрично.
σ -полуторалинейная форма φ называется ( σ , ε ) -эрмитовой, если существует ε в K такое, что для всех x , y в M ,
Если ε = 1 , форма называется σ - эрмитовой , а если ε = −1 , то она называется σ - антиэрмитовой . (Когда подразумевается σ , соответственно просто эрмитово или антиэрмитово .)
Для ненулевой ( σ , ε ) -эрмитовой формы отсюда следует, что для всех α в K ,
Отсюда также следует, что φ ( x , x ) является неподвижной точкой отображения α ↦ σ ( α ) ε . Неподвижные точки этого отображения образуют подгруппу аддитивной группы K .
( σ , ε ) -эрмитова форма рефлексивна, и каждая рефлексивная σ- полуторалинейная форма является ( σ , ε ) -эрмитовой для некоторого ε . [2] [3] [4] [5]
В частном случае, когда σ является тождественным отображением (т. е. σ = id ), K коммутативен, φ является билинейной формой и ε 2 = 1 . Тогда при ε = 1 билинейная форма называется симметричной , а при ε = −1 — кососимметричной . [6]
Пусть V — трехмерное векторное пространство над конечным полем F = GF( q2 ) , где q — степень простого числа . Что касается стандартного базиса, мы можем написать x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) и y = ( y 1 , y 2 , y 3 ) и определить отображение φ следующим образом:
Отображение σ : t ↦ t q является инволютивным автоморфизмом F. _ Тогда отображение φ является σ -полуторалинейной формой. Матрица Mφ , связанная с этой формой, является единичной матрицей . Это эрмитова форма.
В проективной геометрии G перестановка δ подпространств, обращающая включение, т.е.
называется корреляцией . Результат Биркгофа и фон Неймана (1936) [7] показывает, что корреляции дезарговых проективных геометрий соответствуют невырожденным полуторалинейным формам в базовом векторном пространстве. [5] Полуторалинейная форма φ является невырожденной, если φ ( x , y ) = 0 для всех y в V (тогда и) только тогда, когда x = 0 .
Чтобы добиться полной общности этого утверждения, а также поскольку каждая дезаргова проективная геометрия может быть координирована телом , Рейнхольд Бэр расширил определение полуторалинейной формы до тела, что требует замены векторных пространств R -модулями . [8] (В геометрической литературе их до сих пор называют либо левыми, либо правыми векторными пространствами над телами.) [9]
Специализация приведенного выше раздела на телах была следствием применения к проективной геометрии, а не свойственна природе полуторалинейных форм. Для обобщения версии определения с произвольным полем на произвольные кольца требуются лишь незначительные изменения, необходимые для учета некоммутативности умножения.
Пусть R — кольцо , V — R - модуль и σ — антиавтоморфизм R. _ _
Отображение φ : V × V → R называется σ -полуторалинейным , если
для всех x , y , z , w в V и всех c , d в R.
Элемент x ортогонален другому элементу y относительно полуторалинейной формы φ (записывается x ⊥ y ) , если φ ( x , y ) = 0 . Это отношение не обязательно должно быть симметричным, т.е. x ⊥ y не означает y ⊥ x .
Полуторалинейная форма φ : V × V → R является рефлексивной (или ортосимметричной ), если из φ ( x , y ) = 0 следует φ ( y , x ) = 0 для всех x , y в V.
Полуторалинейная форма φ : V × V → R называется эрмитовой, если существует σ такое, что [10] : 325
для всех x , y в V. Эрмитова форма обязательно рефлексивна, и если она не равна нулю, соответствующий антиавтоморфизм σ является инволюцией (т. е. порядка 2).
Поскольку для антиавтоморфизма σ мы имеем σ ( st ) = σ ( t ) σ ( s ) для всех s , t в R , если σ = id , то R должен быть коммутативным, а φ — билинейная форма. В частности, если в этом случае R — тело, то R — поле, а V — векторное пространство билинейной формы.
Антиавтоморфизм σ : R → R также можно рассматривать как изоморфизм R → Rop , где Rop — кольцо , противоположное R , которое имеет тот же базовый набор и то же сложение, но операция умножения которого ( ∗ ) определяется формулой a ∗ b = ba , где произведение справа — это произведение из R. Отсюда следует, что правый (левый) R -модуль V можно превратить в левый (правый) R op -модуль V o . [11] Таким образом, полуторалинейную форму φ : V × V → R можно рассматривать как билинейную форму φ ′ : V × V o → R .