Теорема Гаусса Egregium (лат. «Замечательная теорема») — важнейший результат дифференциальной геометрии , доказанный Карлом Фридрихом Гауссом в 1827 году, который касается кривизны поверхностей. Теорема гласит, что гауссова кривизна может быть полностью определена путем измерения углов, расстояний и их скоростей на поверхности, безотносительно к конкретному способу, которым поверхность вложена в окружающее ее трехмерное евклидово пространство. Другими словами, гауссова кривизна поверхности не изменится, если ее согнуть, не растягивая. Таким образом, гауссова кривизна является внутренним инвариантом поверхности.
Гаусс представил теорему следующим образом (перевод с латыни):
Теорема «замечательна», поскольку определение гауссовой кривизны в достаточной степени отражает конкретный способ встраивания поверхности в трехмерное пространство, и весьма удивительно, что результат не зависит от ее встраивания.
В современной математической терминологии теорему можно сформулировать следующим образом:
Гауссова кривизна поверхности инвариантна относительно локальной изометрии .
Сфера радиуса R имеет постоянную гауссову кривизну, равную 1/ R 2 . В то же время плоскость имеет нулевую гауссову кривизну. Как следствие теоремы Egregium, лист бумаги нельзя согнуть в сферу, не сминая его. И наоборот, поверхность сферы нельзя развернуть на плоскую плоскость, не исказив расстояния. Если наступить на пустую яичную скорлупу, ее края должны будут расколоться при расширении, прежде чем стать плоскими. Математически сфера и плоскость не изометричны , даже локально. Этот факт важен для картографии : он подразумевает, что никакая плоская карта Земли не может быть идеальной, даже для части поверхности Земли. Таким образом, каждая картографическая проекция обязательно искажает по крайней мере некоторые расстояния. [1]
Катеноид и геликоид — это две поверхности, которые выглядят совершенно по-разному. Тем не менее, каждая из них может быть непрерывно согнута в другую: они локально изометричны. Из Theorema Egregium следует, что при таком изгибе гауссова кривизна в любых двух соответствующих точках катеноида и геликоида всегда одинакова. Таким образом, изометрия — это просто изгиб и скручивание поверхности без внутреннего смятия или разрыва, другими словами, без дополнительного натяжения, сжатия или сдвига.
Применение теоремы наблюдается, когда плоский объект несколько складывается или сгибается вдоль линии, создавая жесткость в перпендикулярном направлении. Это имеет практическое применение в строительстве, а также в обычной стратегии поедания пиццы : плоский кусок пиццы можно рассматривать как поверхность с постоянной гауссовой кривизной 0. Осторожное сгибание куска должно затем примерно поддерживать эту кривизну (предполагая, что изгиб является примерно локальной изометрией). Если согнуть кусок горизонтально по радиусу, ненулевые главные кривизны создаются вдоль изгиба, диктуя, что другая главная кривизна в этих точках должна быть равна нулю. Это создает жесткость в направлении, перпендикулярном сгибу, свойство, желательное для поедания пиццы, поскольку она сохраняет свою форму достаточно долго, чтобы ее можно было съесть без беспорядка. Этот же принцип используется для усиления гофрированных материалов, наиболее знакомых с гофрированным древесноволокнистым картоном и гофрированным оцинкованным железом , [2] а также в некоторых формах картофельных чипсов .