Алгеброид Ли

Бесконечно малая версия группоида Ли

В математике алгеброид Ли — это векторное расслоение вместе со скобкой Ли на его пространстве сечений и морфизмом векторного расслоения , удовлетворяющее правилу Лейбница. Таким образом, алгеброид Ли можно рассматривать как «многообъектное обобщение» алгебры Ли . ${\displaystyle A\rightarrow M}$ ${\displaystyle \Gamma (A)}$ ${\displaystyle \rho :A\rightarrow TM}$

Алгеброиды Ли играют в теории группоидов Ли ту же роль , что и алгебры Ли в теории групп Ли : редукция глобальных проблем к бесконечно малым. Действительно, любой группоид Ли порождает алгеброид Ли, который является вертикальным расслоением исходного отображения, ограниченного в единицах. Однако, в отличие от алгебр Ли, не каждый алгеброид Ли возникает из группоида Ли.

Алгеброиды Ли были введены в 1967 году Жаном Прадинесом. ^[1]

Определение и основные понятия

Алгеброид Ли — это тройка, состоящая из ${\displaystyle (A,[\cdot ,\cdot ],\rho )}$

• векторное расслоение над многообразием ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$
• скобка Ли на своем пространстве сечений ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ ${\displaystyle \Gamma (A)}$
• морфизм векторных расслоений , называемый якорем , где — касательное расслоение ${\displaystyle \rho :A\rightarrow TM}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$

таким образом, чтобы якорь и кронштейн удовлетворяли следующему правилу Лейбница:

${\displaystyle [X,fY]=\rho (X)f\cdot Y+f[X,Y]}$

где . Здесь представлено изображение через вывод , т.е. производная Ли вдоль векторного поля . Обозначение обозначает (поточечное) произведение между функцией и векторным полем . ${\displaystyle X,Y\in \Gamma (A),f\in C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle \rho (X)f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \rho (X)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \rho (X)}$ ${\displaystyle \rho (X)f\cdot Y}$ ${\displaystyle \rho (X)f}$ ${\displaystyle Y}$

Часто пишут , когда скобки и якорь ясны из контекста; некоторые авторы обозначают алгеброиды Ли как , предполагая «предел» группоидов Ли, когда стрелки, обозначающие источник и цель, становятся «бесконечно близко». ^[2] ${\displaystyle A\to M}$ ${\displaystyle A\Rightarrow M}$

Первые свойства

Из определения следует, что

• для каждого ядро ​​представляет собой алгебру Ли, называемую изотропной алгеброй Ли ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{x}(A)=\ker(\rho _{x})}$ ${\displaystyle x}$
• ядро представляет собой (не обязательно локально тривиальное) расслоение алгебр Ли, называемое изотропным расслоением алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}(A)=\ker(\rho )}$
• образ является сингулярным распределением , которое интегрируемо, т.е. допускает максимальные погруженные подмногообразия , называемые орбитами , удовлетворяющие для любого . Эквивалентно, орбиты могут быть явно описаны как множества точек, которые соединены A-путями , т.е. парами путей в и в такими, что и ${\displaystyle \mathrm {Im} (\rho )\subseteq TM}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\subseteq M}$ ${\displaystyle \mathrm {Im} (\rho _{x})=T_{x}{\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle x\in {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle (a:I\to A,\gamma :I\to M)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle a(t)\in A_{\gamma (t)}}$ ${\displaystyle \rho (a(t))=\gamma '(t)}$
• отображение привязки сводится к отображению между секциями , которое является морфизмом алгебры Ли, т.е. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho :\Gamma (A)\rightarrow {\mathfrak {X}}(M)}$

${\displaystyle \rho ([X,Y])=[\rho (X),\rho (Y)]}$

для всех . ${\displaystyle X,Y\in \Gamma (A)}$

Свойство, индуцирующее морфизм алгебры Ли, было принято в качестве аксиомы в первоначальном определении алгеброида Ли. ^[1] Такая избыточность, несмотря на то, что была известна с алгебраической точки зрения еще до определения Прадина, ^[3] была замечена лишь гораздо позже. ^{[4] [5]} ${\displaystyle \rho }$

Подалгеброиды и идеалы

Подалгеброид Ли алгеброида Ли — это векторное подрасслоение ограничения , такое что принимает значения в и является подалгеброй Ли . Очевидно, допускает единственную структуру алгеброида Ли такую, что является морфизмом алгебры Ли. С языком, введенным ниже, включение является морфизмом алгеброида Ли. ${\displaystyle (A,[\cdot ,\cdot ],\rho )}$ ${\displaystyle A'\to M'}$ ${\displaystyle A_{\mid M'}\to M'}$ ${\displaystyle \rho _{\mid A'}}$ ${\displaystyle TM'}$ ${\displaystyle \Gamma (A,A'):=\{\alpha \in \Gamma (A)\mid \alpha _{\mid M'}\in \Gamma (A')\}}$ ${\displaystyle \Gamma (A)}$ ${\displaystyle A'\to M'}$ ${\displaystyle \Gamma (A,A')\to \Gamma (A')}$ ${\displaystyle A'\hookrightarrow A}$

Подалгеброид Ли называется широким , если . По аналогии со стандартным определением для алгебры Ли, идеал алгеброида Ли — это широкий подалгеброид Ли, такой что — идеал Ли. Такое понятие оказалось весьма ограничительным, поскольку вынуждено находиться внутри расслоения изотропии . По этой причине было введено более гибкое понятие системы бесконечно малых идеалов . ^[6] ${\displaystyle M'=M}$ ${\displaystyle I\subseteq A}$ ${\displaystyle \Gamma (I)\subseteq \Gamma (A)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \ker(\rho )}$

Морфизмы

Морфизм алгеброидов Ли между двумя алгеброидами Ли с одной и той же базой — это морфизм векторных расслоений , совместимый со скобками Ли, т.е. для каждого , и с якорями, т.е. . ${\displaystyle (A_{1},[\cdot ,\cdot ]_{A_{1}},\rho _{1})}$ ${\displaystyle (A_{2},[\cdot ,\cdot ]_{A_{2}},\rho _{2})}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \phi :A_{1}\to A_{2}}$ ${\displaystyle \phi ([\alpha ,\beta ]_{A_{1}})=[\phi (\alpha ),\phi (\beta )]_{A_{2}}}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Gamma (A_{1})}$ ${\displaystyle \rho _{2}\circ \phi =\rho _{1}}$

Аналогичное понятие можно сформулировать для морфизмов с различными базисами, но совместимость со скобками Ли становится более сложной. ^[7] Эквивалентно, можно попросить, чтобы граф был подалгеброидом прямого произведения (введенного ниже). ^[8] ${\displaystyle \phi :A_{1}\to A_{2}}$ ${\displaystyle A_{1}\times A_{2}}$

Алгеброиды Ли вместе со своими морфизмами образуют категорию .

Примеры

Тривиальные и экстремальные случаи

• Для любого многообразия его касательный алгеброид Ли является касательным расслоением вместе со скобкой Ли векторных полей и тождеством в качестве якоря. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TM\to M}$ ${\displaystyle TM}$
• Для любого многообразия нулевое векторное расслоение является алгеброидом Ли с нулевой скобкой и якорем. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M\times 0\to M}$
• Алгеброиды Ли над точкой — это то же самое, что и алгебры Ли . ${\displaystyle A\to \{*\}}$
• В более общем случае любое расслоение алгебр Ли является алгеброидом Ли с нулевым якорем и скобкой Ли, определенной поточечно.

Примеры из дифференциальной геометрии

• Если задано слоение на , его алгеброид слоения является ассоциированным инволютивным подрасслоением со скобками и якорем, индуцированными из касательного алгеброида Ли. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq TM}$
• Учитывая действие алгебры Ли на многообразии , ее алгеброид действия представляет собой тривиальное векторное расслоение с якорем, заданным действием алгебры Ли, и скобками, однозначно определяемыми скобкой на постоянных сечениях и тождеством Лейбница. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\times M\to M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle M\to {\mathfrak {g}}}$
• Если задано главное G -расслоение над многообразием , то его алгеброид Атьи является алгеброидом Ли, соответствующим следующей короткой точной последовательности : ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A=TP/G}$

  ${\displaystyle 0\to \ker(\rho )\to TP/G\xrightarrow {\rho } TM\to 0.}$

Пространство сечений алгеброида Атьи является алгеброй Ли -инвариантных векторных полей на , ее изотропное расслоение алгебры Ли изоморфно присоединенному векторному расслоению , а правые расщепления последовательности выше являются главными связностями на . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P\times _{G}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle P}$

• Если задано векторное расслоение , его общий линейный алгеброид , обозначаемый как или , является векторным расслоением, сечения которого являются производными , т.е. дифференциальными операторами первого порядка, допускающими векторное поле такое, что для каждого . Якорь — это просто присваивание , а скобка Ли задается коммутатором дифференциальных операторов. ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(E)}$ ${\displaystyle \mathrm {Der} (E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Gamma (E)\to \Gamma (E)}$ ${\displaystyle \rho (D)\in {\mathfrak {X}}(M)}$ ${\displaystyle D(f\sigma )=fD(\sigma )+\rho (D)(f)\sigma }$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M),\sigma \in \Gamma (E)}$ ${\displaystyle D\mapsto \rho (D)}$
• Для пуассонова многообразия его кокасательный алгеброид является кокасательным векторным расслоением со скобкой Ли и якорным отображением . ${\displaystyle (M,\pi )}$ ${\displaystyle A=T^{*}M}$ ${\displaystyle [\alpha ,\beta ]:={\mathcal {L}}_{\pi ^{\sharp }(\alpha )}(\beta )-{\mathcal {L}}_{\pi ^{\sharp }(\beta )}(\alpha )-d\pi (\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle \pi ^{\sharp }:T^{*}M\to TM,\alpha \mapsto \pi (\alpha ,\cdot )}$
• Для замкнутой 2-формы векторное расслоение является алгеброидом Ли с якорем, проекцией на первый компонент и скобкой Ли. На самом деле, скобка выше может быть определена для любой 2-формы , но является алгеброидом Ли тогда и только тогда, когда замкнута. ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{2}(M)}$ ${\displaystyle A_{\omega }:=TM\times \mathbb {R} \to M}$ $${\displaystyle [(X,f),(Y,g)]:={\Big (}[X,Y],{\mathcal {L}}_{X}(g)-{\mathcal {L}}_{Y}(f)-\omega (X,Y){\Big )}.}$$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle A_{\omega }}$ ${\displaystyle \omega }$

Конструкции из других алгеброидов Ли

• Для любого алгеброида Ли существует алгеброид Ли , называемый его касательным алгеброидом , полученный путем рассмотрения касательного расслоения и и дифференциала якоря. ${\displaystyle (A\to M,[\cdot ,\cdot ],\rho )}$ ${\displaystyle (TA\to TM,[\cdot ,\cdot ],\rho )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$
• Для любого алгеброида Ли существует алгеброид Ли , называемый его алгеброидом k-струй , полученный путем рассмотрения расслоения k-струй , причем скобка Ли однозначно определяется и якорем . ${\displaystyle (A\to M,[\cdot ,\cdot ]_{A},\rho _{A})}$ ${\displaystyle (J^{k}A\to M,[\cdot ,\cdot ],\rho )}$ ${\displaystyle A\to M}$ ${\displaystyle [j^{k}\alpha ,j^{k}\beta ]:=j^{k}[\alpha ,\beta ]_{A}}$ ${\displaystyle \rho (j_{x}^{k}\alpha ):=\rho _{A}(\alpha (x))}$
• Если даны два алгеброида Ли и , их прямое произведение является единственным алгеброидом Ли с якорем и таким, что является морфизмом алгебры Ли. ${\displaystyle A_{1}\to M_{1}}$ ${\displaystyle A_{2}\to M_{2}}$ ${\displaystyle A_{1}\times A_{2}\to M_{1}\times M_{2}}$ ${\displaystyle (\alpha _{1},\alpha _{2})\mapsto \rho _{1}(\alpha _{1})\oplus \rho _{2}(\alpha _{2})\in TM_{1}\oplus TM_{2}\cong T(M_{1}\times M_{2}),}$ ${\displaystyle \Gamma (A_{1})\oplus \Gamma (A_{2})\to \Gamma (A_{1}\times A_{2}),\alpha _{1}\oplus \alpha _{2}\mapsto \mathrm {pr} _{M_{1}}^{*}\alpha _{1}+\mathrm {pr} _{M_{2}}^{*}\alpha _{2}}$
• Для данного алгеброида Ли и отображения, дифференциал которого трансверсален отображению привязки (например, достаточно, чтобы было сюръективной субмерсией ), алгеброид обратного хода является единственным алгеброидом Ли с векторным расслоением обратного хода и проекцией на первую компоненту, такой что является морфизмом алгеброида Ли. ${\displaystyle (A\to M,[\cdot ,\cdot ]_{A},\rho _{A})}$ ${\displaystyle f:M'\to M}$ ${\displaystyle \rho :A\to TM}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{!}A\to M'}$ ${\displaystyle f^{!}A:=TM'\times _{TM}A\to M'}$ ${\displaystyle \rho _{f^{!}A}:f^{!}A\to TM'}$ ${\displaystyle f^{!}A\to A}$

Важные классы алгеброидов Ли

Полностью нетранзитивные алгеброиды Ли

Алгеброид Ли называется полностью нетранзитивным , если отображение привязки равно нулю. ${\displaystyle \rho :A\to TM}$

Расслоение алгебр Ли (следовательно, и алгебр Ли) полностью нетранзитивно. Это фактически полностью исчерпывает список полностью нетранзитивных алгеброидов Ли: действительно, если полностью нетранзитивно, оно должно совпадать со своим изотропным расслоением алгебр Ли. ${\displaystyle A}$

Транзитивные алгеброиды Ли

Алгеброид Ли называется транзитивным, если якорное отображение сюръективно. Как следствие: ${\displaystyle \rho :A\to TM}$

• есть короткая точная последовательность $${\displaystyle 0\to \ker(\rho )\to A\xrightarrow {\rho } TM\to 0;}$$
• правое разделение определяет основное расслоение соединений на ; ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \ker(\rho )}$
• расслоение изотропии локально тривиально (как расслоение алгебр Ли); ${\displaystyle \ker(\rho )}$
• откат существует для каждого . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f:M'\to M}$

Прототипическими примерами транзитивных алгеброидов Ли являются алгеброиды Атьи. Например:

• Касательные алгеброиды тривиально транзитивны (в действительности, они являются алгеброидами Атьи главного -расслоения ) ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle \{e\}}$ ${\displaystyle M\to M}$
• Алгебры Ли тривиально транзитивны (в действительности, они являются алгеброидами Атьи главного -расслоения для интегрирования ) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\to *}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• общие линейные алгеброиды транзитивны (на самом деле, они являются алгеброидами Атьи расслоения фреймов ) ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(E)}$ ${\displaystyle Fr(E)\to M}$

По аналогии с алгеброидами Атьи произвольный транзитивный алгеброид Ли также называется абстрактной последовательностью Атьи , а его расслоение изотропной алгебры также называется присоединенным расслоением . Однако важно подчеркнуть, что не каждый транзитивный алгеброид Ли является алгеброидом Атьи. Например: ${\displaystyle \ker(\rho )}$

• обратные образы транзитивных алгеброидов транзитивны
• Котасательные алгеброиды, связанные с пуассоновыми многообразиями, транзитивны тогда и только тогда, когда пуассонова структура невырождена. ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle (M,\pi )}$ ${\displaystyle \pi }$
• Алгеброиды Ли, определяемые замкнутыми 2-формами, транзитивны. ${\displaystyle A_{\omega }}$

Эти примеры очень актуальны в теории интегрирования алгеброидов Ли (см. ниже): в то время как любой алгеброид Атьи интегрируем (до калибровочного группоида), не каждый транзитивный алгеброид Ли интегрируем.

Регулярные алгеброиды Ли

Алгеброид Ли называется регулярным , если якорное отображение имеет постоянный ранг. Как следствие ${\displaystyle \rho :A\to TM}$

• изображение определяет регулярное слоение на ; ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle M}$
• ограничение по каждому листу является транзитивным алгеброидом Ли. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\subseteq M}$

Например:

• любой транзитивный алгеброид Ли является регулярным (якорь имеет максимальный ранг);
• любой полностью нетранзитивный алгеброид Ли является регулярным (якорь имеет нулевой ранг);
• Алгеброиды слоения всегда регулярны;
• Котасательные алгеброиды, связанные с пуассоновыми многообразиями, регулярны тогда и только тогда, когда пуассонова структура регулярна. ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle (M,\pi )}$ ${\displaystyle \pi }$

Дальнейшие связанные концепции

Действия

Действие алгеброида Ли на многообразии P вдоль гладкого отображения состоит из морфизма алгебры Ли такого, что для любого , Конечно, когда и якорь , и отображение должны быть тривиальными, поэтому оба условия пусты, и мы восстанавливаем стандартное понятие действия алгебры Ли на многообразии. ${\displaystyle A\to M}$ ${\displaystyle \mu :P\to M}$ $${\displaystyle a:\Gamma (A)\to {\mathfrak {X}}(P)}$$ ${\displaystyle p\in P,X\in \Gamma (A),f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$ $${\displaystyle d_{p}\mu (a(X)_{p})=\rho _{\mu (p)}(X_{\mu (p)}),\quad a(f\cdot X)=(f\circ \mu )\cdot a(X).}$$ ${\displaystyle A={\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle A\to \{*\}}$ ${\displaystyle P\to \{*\}}$

Связи

Для заданного алгеброида Ли A -связность на векторном расслоении состоит из -билинейных отображений , которые являются -линейными по первому множителю и удовлетворяют следующему правилу Лейбница: для каждого , где обозначает производную Ли по векторному полю . ${\displaystyle A\to M}$ ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \nabla :\Gamma (A)\times \Gamma (E)\to \Gamma (E),\quad (\alpha ,s)\mapsto \nabla _{\alpha }(s)}$$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$ $${\displaystyle \nabla _{\alpha }(fs)=f\nabla _{\alpha }(s)+{\mathcal {L}}_{\rho (\alpha )}(f)s}$$ ${\displaystyle \alpha \in \Gamma (A),s\in \Gamma (E),f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\rho (\alpha )}}$ ${\displaystyle \rho (\alpha )}$

Кривизна A-связности является -билинейным отображением и называется плоской , если . ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$ $${\displaystyle R_{\nabla }:\Gamma (A)\times \Gamma (A)\to \mathrm {Hom} (E,E),\quad (\alpha ,\beta )\mapsto \nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }-\nabla _{\beta }\nabla _{\alpha }-\nabla _{[\alpha ,\beta ]},}$$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle R_{\nabla }=0}$

Конечно, когда мы восстанавливаем стандартное понятие связности на векторном расслоении , а также понятия кривизны и плоскостности. ${\displaystyle A=TM}$

Представления

Представление алгеброида Ли — это векторное расслоение вместе с плоской A-связностью . Эквивалентно, представление — это морфизм алгеброида Ли . ${\displaystyle A\to M}$ ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle (E,\nabla )}$ ${\displaystyle A\to {\mathfrak {gl}}(E)}$

Множество классов изоморфизма представлений алгеброида Ли имеет естественную структуру полукольца с прямыми суммами и тензорными произведениями векторных расслоений. ${\displaystyle \mathrm {Rep} (A)}$ ${\displaystyle A\to M}$

Вот несколько примеров:

• Когда -связность упрощается до линейного отображения , а условие плоскости превращает ее в морфизм алгебры Ли, поэтому мы восстанавливаем стандартное понятие представления алгебры Ли . ${\displaystyle A={\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$
• Когда и является представлением алгебры Ли , тривиальное векторное расслоение автоматически является представлением ${\displaystyle A={\mathfrak {g}}\times M\to M}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V\times M\to M}$ ${\displaystyle A}$
• Представления касательного алгеброида — это векторные расслоения, снабженные плоскими связями. ${\displaystyle A=TM}$
• Каждый алгеброид Ли имеет естественное представление на линейном расслоении , то есть тензорное произведение между детерминантными линейными расслоениями и . Можно связать класс когомологий в (см. ниже), известный как модулярный класс алгеброида Ли. ^[9] Для котасательного алгеброида, связанного с пуассоновым многообразием, можно восстановить модулярный класс . ^[10] ${\displaystyle A\to M}$ ${\displaystyle Q_{A}:=\wedge ^{top}A\otimes \wedge ^{top}T^{*}M\to M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle H^{1}(A,Q_{A})}$ ${\displaystyle T^{*}M\to M}$ ${\displaystyle (M,\pi )}$ ${\displaystyle \pi }$

Заметим, что произвольный группоид Ли не имеет канонического представления на своем алгеброиде Ли, играя роль присоединенного представления групп Ли на их алгебрах Ли. Однако это становится возможным, если допустить более общее понятие представления с точностью до гомотопии .

Когомологии алгеброидов Ли

Рассмотрим алгеброид Ли и представление . Обозначая через пространство - дифференциальных форм на со значениями в векторном расслоении , можно определить дифференциал с помощью следующей формулы типа Кошуля: Благодаря плоскостности , становится коцепным комплексом и его когомологии, обозначаемые как , называются когомологиями алгеброида Ли с коэффициентами в представлении . ${\displaystyle A\to M}$ ${\displaystyle (E,\nabla )}$ ${\displaystyle \Omega ^{n}(A,E):=\Gamma (\wedge ^{n}A^{*}\otimes E)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle d^{n}:\Omega ^{n}(A,E)\to \Omega ^{n+1}(A,E)}$ $${\displaystyle d\omega (\alpha _{0},\ldots ,\alpha _{n}):=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}\nabla _{\alpha _{i}}{\big (}\omega (\alpha _{0},\ldots ,{\widehat {\alpha _{i}}},\ldots ,\alpha _{n}){\big )}-\sum _{i<j}^{n}(-1)^{i+j+1}\omega ([\alpha _{i},\alpha _{j}],\alpha _{0},\ldots ,{\widehat {\alpha _{i}}},\ldots ,{\widehat {\alpha _{j}}},\ldots ,\alpha _{n})}$$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle (\Omega ^{n}(A,E),d^{n})}$ ${\displaystyle H^{*}(A,E)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (E,\nabla )}$

Это общее определение восстанавливает известные теории когомологий:

• Когомологии алгеброида Ли совпадают с когомологиями Шевалле-Эйленберга как алгебры Ли. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to \{*\}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• Когомологии касательного алгеброида Ли совпадают с когомологиями де Рама . ${\displaystyle TM\to M}$ ${\displaystyle M}$
• Когомологии алгеброида Ли слоения совпадают с послойными когомологиями слоения . ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to M}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
• Когомологии котасательного алгеброида Ли, ассоциированного со структурой Пуассона, совпадают с когомологиями Пуассона . ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

Соответствие группоида Ли и алгеброида Ли

Стандартная конструкция, которая сопоставляет алгебру Ли группе Ли, обобщается на этот случай: каждому группоиду Ли можно канонически сопоставить алгеброид Ли, определяемый следующим образом: ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle \mathrm {Lie} (G)}$

• векторное расслоение равно , где — вертикальное расслоение исходного волокна , а — единичное отображение группоида; ${\displaystyle \mathrm {Lie} (G)=A:=u^{*}T^{s}G}$ ${\displaystyle T^{s}G\subseteq TG}$ ${\displaystyle s:G\to M}$ ${\displaystyle u:M\to G}$
• сечения отождествляются с правоинвариантными векторными полями на , так что наследует скобку Ли; ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma (A)}$
• Якорная карта является дифференциалом целевой карты . ${\displaystyle \rho :=dt_{\mid A}:A\to TM}$ ${\displaystyle t:G\to M}$

Конечно, симметричная конструкция возникает при обмене ролями исходного и целевого отображений и замене правоинвариантных векторных полей на левоинвариантные; изоморфизм между двумя полученными алгеброидами Ли будет задаваться дифференциалом обратного отображения . ${\displaystyle i:G\to G}$

Поток сечения — это 1-параметрическое биссектриса , определяемое соотношением , где — поток соответствующего правоинвариантного векторного поля . Это позволяет определить аналог экспоненциального отображения для групп Ли как . ${\displaystyle \alpha \in \Gamma (A)}$ ${\displaystyle \phi _{\alpha }^{\epsilon }\in \mathrm {Bis} (G)}$ ${\displaystyle \phi _{\alpha }^{\epsilon }(x):=\phi _{\tilde {\alpha }}^{\epsilon }(1_{x})}$ ${\displaystyle \phi _{\tilde {\alpha }}^{\epsilon }\in \mathrm {Diff} (G)}$ ${\displaystyle {\tilde {\alpha }}\in {\mathfrak {X}}(G)}$ ${\displaystyle \exp :\Gamma (A)\to \mathrm {Bis} (G),\exp(\alpha )(x):=\phi _{\alpha }^{1}(x)}$

функтор Ли

Отображение, отправляющее группоид Ли в алгеброид Ли, на самом деле является частью категориальной конструкции. Действительно, любой морфизм группоида Ли может быть дифференцирован до морфизма между ассоциированными алгеброидами Ли. ${\displaystyle G\mapsto \mathrm {Lie} (G)}$ ${\displaystyle \phi :G_{1}\to G_{2}}$ ${\displaystyle d\phi _{\mid \mathrm {Lie} (G_{1})}:\mathrm {Lie} (G_{1})\to \mathrm {Lie} (G_{2})}$

Эта конструкция определяет функтор из категории группоидов Ли и их морфизмов в категорию алгеброидов Ли и их морфизмов, называемый функтором Ли .

Структуры и свойства, полученные из группоидов в алгеброидах

Пусть — группоид Ли и его ассоциированный алгеброид Ли. Тогда ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle (A\to M,[\cdot ,\cdot ],\rho )}$

• Алгебры изотропии — это алгебры Ли групп изотропии. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{x}(A)}$ ${\displaystyle G_{x}}$
• Орбиты совпадают с орбитами ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$
• ${\displaystyle G}$транзитивен и является погружением тогда и только тогда, когда транзитивен ${\displaystyle (s,t):G\to M\times M}$ ${\displaystyle A}$
• действие на индуцирует действие (называемое бесконечно малым действием ) , определяемое как ${\displaystyle m:G\times _{M}P\to P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P\to M}$ ${\displaystyle a:\Gamma (A)\to {\mathfrak {X}}(P)}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle a(\alpha )_{p}:=d_{1_{\mu (p)}}m(\cdot ,p)(\alpha _{\mu (p)})=d_{(1_{\mu (p)},p)}m(\alpha _{\mu (p)},0)}$$
• представление на векторном расслоении индуцирует представление на , определяемое соотношением Более того, существует морфизм полуколец , который становится изоморфизмом, если является истоково-односвязным. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E\to M}$ $${\displaystyle \nabla _{\alpha }\sigma (x):={\frac {d}{d\epsilon }}_{\mid \epsilon =0}{\Big (}\phi _{\alpha }^{\epsilon }(x){\Big )}^{-1}\cdot \sigma {\Big (}t(\phi _{\alpha }^{\epsilon }(x)){\Big )}}$$ ${\displaystyle \mathrm {Rep} (G)\to \mathrm {Rep} (A)}$ ${\displaystyle G}$
• существует морфизм , называемый морфизмом Ван Эста, из дифференцируемых когомологий с коэффициентами в некотором представлении на в когомологии с коэффициентами в индуцированном представлении на . Более того , если -слои гомологически -связаны , то является изоморфизмом для , и инъективен для . ^[11] ${\displaystyle VE^{k}:H_{d}^{k}(G,E)\to H^{k}(A,E)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle VE^{k}}$ ${\displaystyle k\leq n}$ ${\displaystyle k=n+1}$

Примеры

• Алгеброид Ли группы Ли — это алгебра Ли ${\displaystyle G\rightrightarrows \{*\}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to \{*\}}$
• Алгеброид Ли как парного группоида , так и фундаментального группоида является касательным алгеброидом ${\displaystyle M\times M\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle \Pi _{1}(M)\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle TM\to M}$
• Алгеброид Ли единичного группоида является нулевым алгеброидом ${\displaystyle u(M)\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle M\times 0\to M}$
• Алгеброид Ли расслоения группы Ли — это расслоение алгебры Ли ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle A\to M}$
• Алгеброид Ли группоида действия — это алгеброид действия ${\displaystyle G\times M\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\times M\to M}$
• Алгеброид Ли калибровочного группоида — это алгеброид Атьи. ${\displaystyle (P\times P)/G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle TP/G\to M}$
• Алгеброид Ли общего линейного группоида — это общий линейный алгеброид ${\displaystyle GL(E)\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(E)\to M}$
• Алгеброид Ли как группоида голономии , так и группоида монодромии является алгеброидом слоения ${\displaystyle \mathrm {Hol} ({\mathcal {F}})\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle \Pi _{1}({\mathcal {F}})\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to M}$
• Алгеброид Ли касательного группоида — это касательный алгеброид , для ${\displaystyle TG\rightrightarrows TM}$ ${\displaystyle TA\to TM}$ ${\displaystyle A=\mathrm {Lie} (G)}$
• Алгеброид Ли реактивного группоида — это реактивный алгеброид , для ${\displaystyle J^{k}G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle J^{k}A\to M}$ ${\displaystyle A=\mathrm {Lie} (G)}$

Подробный пример 1

Опишем алгеброид Ли, ассоциированный с парным группоидом . Поскольку исходное отображение есть , -слои имеют вид , так что вертикальное пространство есть . Используя единичное отображение , получаем векторное расслоение . ${\displaystyle G:=M\times M}$ ${\displaystyle s:G\to M:(p,q)\mapsto q}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle M\times \{q\}}$ ${\displaystyle T^{s}G=\bigcup _{q\in M}TM\times \{q\}\subset TM\times TM}$ ${\displaystyle u:M\to G:q\mapsto (q,q)}$ ${\displaystyle A:=u^{*}T^{s}G=\bigcup _{q\in M}T_{q}M=TM}$

Расширение сечений до правоинвариантных векторных полей просто , а расширение гладкой функции из до правоинвариантной функции на — . Таким образом, скобка на — это просто скобка Ли касательных векторных полей, а отображение привязки — это просто тождество. ${\displaystyle X\in \Gamma (A)}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}\in {\mathfrak {X}}(G)}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}(p,q)=X(p)\oplus 0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}(p,q)=f(q)}$ ${\displaystyle A}$

Подробный пример 2

Рассмотрим (действие) группоида Ли

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times U(1)\rightrightarrows \mathbb {R} ^{2}}$

где целевая карта (т.е. правильное действие на ) ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle ((x,y),e^{i\theta })\mapsto {\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}.}$

Все -слои над точкой являются копиями , так что это тривиальное векторное расслоение . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle p=(x,y)}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle u^{*}(T^{s}(\mathbb {R} ^{2}\times U(1)))}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times U(1)\to \mathbb {R} ^{2}}$

Поскольку его якорное отображение задается дифференциалом целевого отображения, для изотропных алгебр Ли имеются два случая, соответствующие слоям : ${\displaystyle \rho :\mathbb {R} ^{2}\times U(1)\to T\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle T^{t}(\mathbb {R} ^{2}\times U(1))}$

${\displaystyle {\begin{aligned}t^{-1}(0)\cong &U(1)\\t^{-1}(p)\cong &\{(a,u)\in \mathbb {R} ^{2}\times U(1):ua=p\}\end{aligned}}}$

Это показывает, что изотропия над началом координат равна , тогда как во всех остальных точках она равна нулю. ${\displaystyle U(1)}$

Интеграция алгеброида Ли

Теоремы Ли

Алгеброид Ли называется интегрируемым, если он изоморфен для некоторого группоида Ли . Аналог классической теоремы Ли I утверждает, что: ^[12] ${\displaystyle \mathrm {Lie} (G)}$ ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$

если — интегрируемый алгеброид Ли, то существует единственный (с точностью до изоморфизма) -односвязный группоид Ли, интегрирующий . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$

Аналогично, морфизм между интегрируемыми алгеброидами Ли называется интегрируемым , если он является дифференциалом для некоторого морфизма между двумя интегрированиями и . Аналог классической теоремы Ли II утверждает, что: ^[13] ${\displaystyle F:A_{1}\to A_{2}}$ ${\displaystyle F=d\phi _{\mid A}}$ ${\displaystyle \phi :G_{1}\to G_{2}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{2}}$

если является морфизмом интегрируемых алгеброидов Ли, а -односвязен , то существует единственный морфизм группоидов Ли, интегрирующий . ${\displaystyle F:\mathrm {Lie} (G_{1})\to \mathrm {Lie} (G_{2})}$ ${\displaystyle G_{1}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \phi :G_{1}\to G_{2}}$ ${\displaystyle F}$

В частности, выбрав в качестве общего линейного группоида векторного расслоения , следует, что любое представление интегрируемого алгеброида Ли интегрируется в представление его -односвязного интегрирующего группоида Ли. ${\displaystyle G_{2}}$ ${\displaystyle GL(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle s}$

С другой стороны, нет аналога классической теоремы Ли III , то есть возврат от любого алгеброида Ли к группоиду Ли не всегда возможен. Прадинес утверждал, что такое утверждение верно, ^[14] и первый явный пример неинтегрируемых алгеброидов Ли, происходящий, например, из теории расслоения, появился лишь несколько лет спустя. ^[15] Несмотря на несколько частичных результатов, включая полное решение в транзитивном случае, ^[16] общие препятствия для произвольного алгеброида Ли быть интегрируемым были обнаружены только в 2003 году Крейником и Фернандесом . ^[17] Приняв более общий подход, можно увидеть, что каждый алгеброид Ли интегрируется в стековый группоид Ли. ^{[18] [19]}

Группоид Шевера-Вайнштейна

Для любого алгеброида Ли естественный кандидат на интеграцию задается как , где обозначает пространство -путей и отношение -гомотопии между ними. Это часто называют группоидом Вайнштейна или группоидом Шеверы-Вайнштейна. ^{[20] [17]} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G(A):=P(A)/\sim }$ ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle A}$

Действительно, можно показать, что является -односвязным топологическим группоидом, с умножением, индуцированным конкатенацией путей. Более того, если является интегрируемым, допускает гладкую структуру, такую, что она совпадает с единственным -односвязным группоидом Ли, интегрирующим . ${\displaystyle G(A)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G(A)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle A}$

Соответственно, единственное препятствие к интегрируемости заключается в гладкости . Этот подход привел к введению объектов, называемых группами монодромии , связанных с любым алгеброидом Ли, и к следующему фундаментальному результату: ^[17] ${\displaystyle G(A)}$

Алгеброид Ли интегрируем тогда и только тогда, когда его группы монодромии равномерно дискретны.

Такое утверждение упрощается в транзитивном случае:

Транзитивный алгеброид Ли интегрируем тогда и только тогда, когда его группы монодромии дискретны.

Приведенные выше результаты также показывают, что каждый алгеброид Ли допускает интеграцию в локальный группоид Ли (грубо говоря, группоид Ли, в котором умножение определено только в окрестности единичных элементов).

Интегрируемые примеры

• Алгебры Ли всегда интегрируемы (по теореме Ли III)
• Алгеброиды Атьи главного расслоения всегда интегрируемы (до калибровочного группоида этого главного расслоения)
• Алгеброиды Ли с инъективным якорем (следовательно, алгеброиды слоения) всегда интегрируемы (по теореме Фробениуса )
• Расслоения алгебры Ли всегда интегрируемы ^[21]
• Алгеброиды Ли действия всегда интегрируемы (но интегрирование не обязательно является группоидом Ли действия) ^[22]
• Любой подалгеброид Ли интегрируемого алгеброида Ли интегрируем. ^[12]

Неинтегрируемый пример

Рассмотрим алгеброид Ли, связанный с замкнутой 2-формой , и группу сферических периодов, связанную с , т.е. образ следующего группового гомоморфизма из второй гомотопической группы ${\displaystyle A_{\omega }=TM\times \mathbb {R} \to M}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{2}(M)}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \Lambda :=\mathrm {Im} (\Phi )\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle \Phi :\pi _{2}(M)\to \mathbb {R} :\quad [f]\mapsto \int _{S^{2}}f^{*}\omega .}$$

Так как является транзитивным, он интегрируем тогда и только тогда, когда он является алгеброидом Атьи некоторого главного расслоения; тщательный анализ показывает, что это происходит тогда и только тогда, когда подгруппа является решеткой , т.е. она дискретна. Явный пример, когда такое условие не выполняется, дается взятием и для формы площади. Здесь оказывается , что плотно в . ${\displaystyle A_{\omega }}$ ${\displaystyle \Lambda \subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M=S^{2}\times S^{2}}$ ${\displaystyle \omega =\mathrm {pr} _{1}^{*}\sigma +{\sqrt {2}}\mathrm {pr} _{2}^{*}\sigma \in \Omega ^{2}(M)}$ ${\displaystyle \sigma \in \Omega ^{2}(S^{2})}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} +{\sqrt {2}}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Смотрите также

• R-алгеброид
• Биалгеброид Ли

Ссылки

1. Прадин, Жан (1967). «Теория лжи для различных групп. Вычисление различий в категориях бесконечных групп». ЧР акад. наук. Париж (на французском языке). 264 : 245–248.
2. Майнренкен, Экхард (08 мая 2021 г.). «Об интегрировании транзитивных алгеброидов Ли». arXiv : 2007.07120 [math.DG].
3. JC, Herz (1953). «Псевдоалгебры Ли». CR Acad. Sci. Paris (на французском). 236 : 1935–1937.
4. Косманн-Шварцбах, Иветт; Магри, Франко (1990). «Структуры Пуассона-Нейенхейса». Анналы Института Анри Пуанкаре А. 53 (1): 35–81.
5. Грабовски, Януш (2003-12-01). «Квази-выводы и QD-алгеброиды». Отчеты по математической физике . 52 (3): 445–451. arXiv : math/0301234 . Bibcode :2003RpMP...52..445G. doi :10.1016/S0034-4877(03)80041-1. ISSN  0034-4877. S2CID  119580956.
6. Jotz Lean, M.; Ortiz, C. (2014-10-01). «Слоистые группоиды и бесконечно малые идеальные системы». Indagationes Mathematicae . 25 (5): 1019–1053. doi : 10.1016/j.indag.2014.07.009 . ISSN  0019-3577. S2CID  121209093.
7. Mackenzie, Kirill CH (2005). Общая теория группоидов Ли и алгеброидов Ли. Серия заметок лекций Лондонского математического общества. Кембридж: Cambridge University Press. doi : 10.1017/cbo9781107325883. ISBN 978-0-521-49928-6.
8. Экхард Майнренкен, Группоиды Ли и алгеброиды Ли, Конспекты лекций, осень 2017 г.
9. Evens, S; Lu, JH; Weinstein, A (1999-12-01). «Трансверсальные меры, модулярный класс и спаривание когомологий для алгеброидов Ли». The Quarterly Journal of Mathematics . 50 (200): 417–436. arXiv : dg-ga/9610008 . doi :10.1093/qjmath/50.200.417. ISSN  0033-5606.
10. Weinstein, Alan (1997). «Группа модульных автоморфизмов пуассонова многообразия». Journal of Geometry and Physics . 23 (3–4): 379–394. Bibcode : 1997JGP....23..379W. doi : 10.1016/S0393-0440(97)80011-3.
11. Крайник, Мариус (31 декабря 2003 г.). «Дифференцируемые и алгеброидные когомологии, изоморфизмы Ван Эста и характеристические классы». Комментарии по математике Helvetici . 78 (4): 681–721. arXiv : math/0008064 . дои : 10.1007/s00014-001-0766-9. ISSN  0010-2571. S2CID  6392715.
12. Moerdijk, Ieke; Mrcun, Janez (2002). "Об интегрируемости бесконечно малых действий" (PDF) . American Journal of Mathematics . 124 (3): 567–593. arXiv : math/0006042 . doi :10.1353/ajm.2002.0019. ISSN  1080-6377. S2CID  53622428.
13. Маккензи, Кирилл; Сюй, Пин (2000-05-01). «Интеграция биалгеброидов Ли». Топология . 39 (3): 445–467. arXiv : dg-ga/9712012 . doi :10.1016/S0040-9383(98)00069-X. ISSN  0040-9383. S2CID  119594174.
14. Прадин, Жан (1968). «Troisieme theorème de Lie pour les groupoides différentiables». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A (на французском языке). 267 : 21–23.
15. Алмейда, Руи; Молино, Пьер (1985). «Suites d'Atiyah et feuilletages transversalement complets». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I (на французском языке). 300 : 13–15.
16. Маккензи, К. (1987). Группоиды Ли и алгеброиды Ли в дифференциальной геометрии. Серия заметок к лекциям Лондонского математического общества. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. doi : 10.1017/cbo9780511661839. ISBN 978-0-521-34882-9.
17. Crainic, Marius; Fernandes, Rui L. (2003). «Интегрируемость скобок Ли». Ann. of Math . 2. 157 (2): 575–620. arXiv : math/0105033 . doi :10.4007/annals.2003.157.575. S2CID  6992408.
18. Hsian-Hua Tseng; Chenchang Zhu (2006). «Интегрирование алгеброидов Ли с помощью стеков». Compositio Mathematica . 142 (1): 251–270. arXiv : math/0405003 . doi :10.1112/S0010437X05001752. S2CID  119572919.
19. Чэнчан Чжу (2006). «Теорема Ли II для алгеброидов Ли с помощью стековых группоидов Ли». arXiv : math/0701024 .
20. Ševera, Pavol (2005). "Некоторые заголовки, содержащие слова "гомотопия" и "симплектический", например этот" (PDF) . Travaux mathématiques . Труды 4-й конференции по геометрии Пуассона: 7-11 июня 2004 г. 16 . Люксембург: Университет Люксембурга: 121–137. ISBN 978-2-87971-253-6.
21. Дуади, Адриан; Лазар, Мишель (1 июня 1966 г.). «Пространства волокон в алгебре лжи и в группах». Inventiones Mathematicae (на французском языке). 1 (2): 133–151. Бибкод : 1966InMat...1..133D. дои : 10.1007/BF01389725. ISSN  1432-1297. S2CID  121480154.
22. Дазор, Пьер (1 января 1997). «Группа голономии и глобальной геометрии». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I. 324 (1): 77–80. дои : 10.1016/S0764-4442(97)80107-3. ISSN  0764-4442.

Книги и конспекты лекций

• Алан Вайнштейн, Группоиды: объединение внутренней и внешней симметрии, AMS Notices , 43 (1996), 744-752. Также доступно на arXiv:math/9602220.
• Кирилл Маккензи, Группоиды Ли и алгеброиды Ли в дифференциальной геометрии , Cambridge U. Press, 1987.
• Кирилл Маккензи, Общая теория группоидов и алгеброидов Ли , Cambridge U. Press, 2005.
• Мариус Крайнич, Руи Лоха Фернандес, Лекции по интегрируемости скобок Ли , Монографии геометрии и топологии 17 (2011) 1–107, доступно по адресу arXiv:math/0611259.
• Экхард Майнренкен, Конспект лекций по группоидам и алгеброидам Ли , доступен по адресу http://www.math.toronto.edu/mein/teaching/MAT1341_LieGroupoids/Groupoids.pdf.
• Ике Мурдейк, Янез Мрчун, Введение в слоения и группоиды Ли , Cambridge U. Press, 2010.