Метрическое соединение

Построить в дифференциальной геометрии

В математике метрическая связь — это связь в векторном расслоении E , снабженная метрикой расслоения ; то есть метрикой, для которой внутреннее произведение любых двух векторов останется тем же самым, если эти векторы будут параллельно переноситься вдоль любой кривой. ^[1] Это эквивалентно:

• Связь, для которой ковариантные производные метрики на E обращаются в нуль.
• Главная связность на расслоении ортонормированных реперов E.

Частным случаем метрической связности является риманова связность; существует единственная такая связность, которая не имеет кручения , связность Леви-Чивиты . В этом случае расслоение E является касательным расслоением TM многообразия, а метрика на E индуцируется римановой метрикой на M.

Другим частным случаем метрической связи является связь Янга–Миллса, которая удовлетворяет уравнениям движения Янга–Миллса . Большая часть механизмов определения связи и ее кривизны может быть проработана без требования какой-либо совместимости с метрикой расслоения. Однако, как только требуется совместимость, эта метрическая связь определяет внутренний продукт, звезду Ходжа (которая дополнительно требует выбора ориентации) и Лапласиан , которые требуются для формулировки уравнений Янга–Миллса.

Определение

Пусть — любые локальные сечения векторного расслоения E , и пусть X — векторное поле на базовом пространстве M расслоения. Определим метрику расслоения , то есть метрику на векторных слоях E. Тогда связность D на E является метрической связностью, если: ${\displaystyle \sigma ,\tau }$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

${\displaystyle d\langle \sigma ,\tau \rangle =\langle D\sigma ,\tau \rangle +\langle \sigma ,D\tau \rangle .}$

Здесь d — обычный дифференциал скалярной функции. Ковариантная производная может быть расширена так, чтобы она действовала как отображение на E -значных дифференциальных формах на базовом пространстве:

${\displaystyle D:\Gamma (E)\otimes \Omega ^{p}(M)\to \Gamma (E)\otimes \Omega ^{p+1}(M).}$

Для функции определяется , и ${\displaystyle D_{X}f=d_{X}f\equiv Xf}$ ${\displaystyle f\in \Omega ^{0}(M)}$

${\displaystyle D(\sigma \otimes \omega )=D\sigma \wedge \omega +\sigma \otimes d\omega }$

где — локальное гладкое сечение для векторного расслоения, а — (скалярнозначная) p -форма. Приведенные выше определения применимы также к локальным гладким рамкам, а также к локальным сечениям. ${\displaystyle \sigma \in \Gamma (E)}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{p}(M)}$

Метрическое и двойное сопряжение

Метрику расслоения, налагаемую на E, не следует путать с естественным сопряжением векторного пространства и его дуального, которое присуще любому векторному расслоению. Последнее является функцией на расслоении эндоморфизмов, так что ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle {\mbox{End}}(E)=E\otimes E^{*},}$

${\displaystyle (\cdot ,\cdot ):E\otimes E^{*}\to M\times \mathbb {R} }$

спаривает векторы с дуальными векторами (функционалами) над каждой точкой M. То есть, если есть любая локальная система координат на E , то естественным образом получается дуальная система координат на E *, удовлетворяющая . ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ ${\displaystyle \{e_{i}^{*}\}}$ ${\displaystyle (e_{i},e_{j}^{*})=\delta _{ij}}$

Напротив, метрика пучка является функцией ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle E\otimes E,}$

${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :E\otimes E\to M\times \mathbb {R} }$

давая скалярное произведение на каждом слое векторного пространства E. Метрика расслоения позволяет определить ортонормированную систему координат с помощью уравнения ${\displaystyle \langle e_{i},e_{j}\rangle =\delta _{ij}.}$

Если задано векторное расслоение, то на нем всегда можно определить метрику расслоения.

Следуя стандартной практике, ^[1] можно определить форму связи , символы Кристоффеля и риманову кривизну без ссылки на метрику расслоения, используя только спаривание Они будут подчиняться обычным свойствам симметрии; например, тензор кривизны будет антисимметричным по последним двум индексам и будет удовлетворять второму тождеству Бьянки . Однако для определения звезды Ходжа , лапласиана , первого тождества Бьянки и функционала Янга–Миллса нужна метрика расслоения. Звезда Ходжа дополнительно нуждается в выборе ориентации и производит двойственное по Ходжу своего аргумента. ${\displaystyle (\cdot ,\cdot ).}$

Форма подключения

При наличии локальной карты расслоений ковариантную производную можно записать в виде

${\displaystyle D=d+A}$

где A — одноформная связь .

Немного нотационной техники в порядке. Пусть обозначает пространство дифференцируемых сечений на E , пусть обозначает пространство p -форм на M , и пусть будут эндоморфизмами на E . Ковариантная производная, как определено здесь, является отображением ${\displaystyle \Gamma (E)}$ ${\displaystyle \Omega ^{p}(M)}$ ${\displaystyle {\mbox{End}}(E)=E\otimes E^{*}}$

${\displaystyle D:\Gamma (E)\to \Gamma (E)\otimes \Omega ^{1}(M)}$

Форму связи можно выразить через коэффициенты связи как

${\displaystyle A_{j}{}^{k}\ =\ \Gamma ^{k}{}_{ij}\,dx^{i}.}$

Суть обозначения состоит в том, чтобы различать индексы j , k , которые пробегают n измерений волокна, от индекса i , который пробегает m -мерное базовое пространство. Для случая римановой связности ниже векторное пространство E берется как касательное расслоение TM , а n = m .

Обозначение A для формы связи пришло из физики , в исторической ссылке на векторное потенциальное поле электромагнетизма и калибровочную теорию . В математике обозначение часто используется вместо A , как в статье о форме связи ; к сожалению, использование для формы связи конфликтует с использованием для обозначения общей знакопеременной формы на векторном расслоении. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

Косая симметрия

Связь кососимметрична по индексам векторного пространства (волокна); то есть для заданного векторного поля матрица кососимметрична; что эквивалентно, она является элементом алгебры Ли . ${\displaystyle X\in TM}$ ${\displaystyle A(X)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {o}}(n)}$

Это можно увидеть следующим образом. Пусть волокно n -мерное, так что расслоению E можно задать ортонормальный локальный фрейм с i = 1, 2, ..., n . Тогда по определению имеем, что , так что: ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ ${\displaystyle de_{i}\equiv 0}$

${\displaystyle De_{i}=Ae_{i}=A_{i}{}^{j}e_{j}.}$

Кроме того, для каждой точки карты расслоения локальная система координат является ортонормальной: ${\displaystyle x\in U\subset M}$

${\displaystyle \langle e_{i}(x),e_{j}(x)\rangle =\delta _{ij}.}$

Отсюда следует, что для каждого вектора ${\displaystyle X\in T_{x}M}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=X\langle e_{i}(x),e_{j}(x)\rangle \\&=\langle A(X)e_{i}(x),e_{j}(x)\rangle +\langle e_{i}(x),A(X)e_{j}(x)\rangle \\&=A_{i}{}^{j}(X)+A_{j}{}^{i}(X)\\\end{aligned}}}$

То есть, является кососимметричным. ${\displaystyle A=-A^{\text{T}}}$

Это достигается путем явного использования метрики расслоения; без ее использования и используя только спаривание , можно только связать форму связности A на E с ее дуальной A ^∗ на E ^∗ , как Это следует из определения дуальной связности как ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle A^{*}=-A^{\text{T}}.}$ ${\displaystyle d(\sigma ,\tau ^{*})=(D\sigma ,\tau ^{*})+(\sigma ,D^{*}\tau ^{*}).}$

Кривизна

Существует несколько обозначений, используемых для кривизны связности, включая современное обозначение, использующее F для обозначения тензора напряженности поля , классическое обозначение, использующее R в качестве тензора кривизны , и классическое обозначение для тензора кривизны Римана , большинство из которых можно естественным образом распространить на случай векторных расслоений. Ни одно из этих определений не требует ни метрического тензора, ни метрики расслоения и может быть определено вполне конкретно без ссылки на них. Однако определения требуют четкого представления об эндоморфизмах E , как описано выше.

Компактный стиль

Наиболее компактное определение кривизны F состоит в том, чтобы определить ее как 2-форму, принимающую значения в , заданные величиной, на которую соединение не является точным; то есть, как ${\displaystyle {\mbox{End}}(E)}$

${\displaystyle F=D\circ D}$

который является элементом

${\displaystyle F\in \Omega ^{2}(M)\otimes {\mbox{End}}(E),}$

или эквивалентно,

${\displaystyle F:\Gamma (E)\to \Gamma (E)\otimes \Omega ^{2}(M)}$

Чтобы связать это с другими общими определениями и обозначениями, давайте рассмотрим раздел E. Вставляя в вышесказанное и расширяя его, находим ${\displaystyle \sigma \in \Gamma (E)}$

${\displaystyle F\sigma =(D\circ D)\sigma =(d+A)\circ (d+A)\sigma =(dA+A\wedge A)\sigma }$

или, что то же самое, удаление раздела

${\displaystyle F=dA+A\wedge A}$

как краткое определение.

Стиль компонента

В терминах компонент пусть где - стандартная одноформенная координатная база на кокасательном расслоении T ^* M. Подставляя в вышесказанное и расширяя, получаем (используя соглашение о суммировании ): ${\displaystyle A=A_{i}dx^{i},}$ ${\displaystyle dx^{i}}$

${\displaystyle F={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial A_{j}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{j}}}+[A_{i},A_{j}]\right)dx^{i}\wedge dx^{j}.}$

Имейте в виду, что для n -мерного векторного пространства каждый из них является матрицей n × n , индексы которой были подавлены, тогда как индексы i и j пробегают 1,..., m , где m является размерностью базового многообразия. Оба этих индекса могут быть сделаны одновременно явными, как показано в следующем разделе. ${\displaystyle A_{i}}$

Представленная здесь нотация является той, которая обычно используется в физике; например, ее можно сразу распознать как тензор напряженности глюонного поля . Для абелева случая n = 1, и векторное расслоение одномерно; коммутатор исчезает, и тогда вышесказанное можно распознать как электромагнитный тензор в более или менее стандартной физической нотации.

Стиль относительности

Все индексы можно сделать явными, предоставив гладкую рамку , i = 1, ..., n на . Заданный раздел тогда может быть записан как ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ ${\displaystyle \Gamma (E)}$ ${\displaystyle \sigma \in \Gamma (E)}$

${\displaystyle \sigma =\sigma ^{i}e_{i}}$

В этой локальной системе форма связи становится

${\displaystyle (A_{i}dx^{i})_{j}{}^{k}=\Gamma ^{k}{}_{ij}dx^{i}}$

с символом Кристоффеля ; снова индекс i пробегает 1, ..., m (размерность базового многообразия M ), в то время как j и k пробегают 1, ..., n , размерность волокна. Вставляя и поворачивая рукоятку, получаем ${\displaystyle \Gamma ^{k}{}_{ij}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F\sigma &={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \Gamma ^{k}{}_{jr}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial \Gamma ^{k}{}_{ir}}{\partial x^{j}}}+\Gamma ^{k}{}_{is}\Gamma ^{s}{}_{jr}-\Gamma ^{k}{}_{js}\Gamma ^{s}{}_{ir}\right)\sigma ^{r}dx^{i}\wedge dx^{j}\otimes e_{k}\\&=R^{k}{}_{rij}\sigma ^{r}dx^{i}\wedge dx^{j}\otimes e_{k}\\\end{aligned}}}$

где теперь можно определить как тензор кривизны Римана . Это написано в стиле, который обычно используется во многих учебниках по общей теории относительности с середины 20-го века (за несколькими заметными исключениями, такими как MTW , который рано выступил за безиндексную нотацию). Опять же, индексы i и j пробегают по измерениям многообразия M , в то время как r и k пробегают по размерности волокон. ${\displaystyle R^{k}{}_{rij}}$

Стиль касательного пучка

Вышеизложенное можно перенести обратно в стиль векторного поля, записав как стандартные базисные элементы для касательного расслоения TM . Затем определяется тензор кривизны как ${\displaystyle \partial /\partial x^{i}}$

${\displaystyle R\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}},{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right)\sigma =\sigma ^{r}R_{\;rij}^{k}e_{k}}$

так что пространственные направления повторно поглощаются, что приводит к обозначению

${\displaystyle F\sigma =R(\cdot ,\cdot )\sigma }$

В качестве альтернативы пространственные направления можно сделать явными, скрывая индексы, записывая выражения в терминах векторных полей X и Y на TM . В стандартном базисе X равно

${\displaystyle X=X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$

и то же самое для Y. После небольшой раздумий получаем

${\displaystyle R(X,Y)\sigma =D_{X}D_{Y}\sigma -D_{Y}D_{X}\sigma -D_{[X,Y]}\sigma }$

где

${\displaystyle [X,Y]={\mathcal {L}}_{Y}X}$

— производная Ли векторного поля Y по X.

Подводя итог, тензор кривизны отображает волокна в волокна:

${\displaystyle R(X,Y):\Gamma (E)\to \Gamma (E)}$

так что

${\displaystyle R(\cdot ,\cdot ):\Omega ^{2}(M)\otimes \Gamma (E)\to \Gamma (E)}$

Чтобы быть предельно ясным, являются ли альтернативные обозначения для одного и того же. Обратите внимание, что ни одна из вышеприведенных манипуляций на самом деле не требовала прохождения метрики пучка. Можно также продемонстрировать второе тождество Бьянки ${\displaystyle F=R(\cdot ,\cdot )}$

${\displaystyle DF=0}$

без необходимости использования метрики пакета.

Связь Янга–Миллса

Вышеуказанное развитие тензора кривизны не делало никаких апелляций к метрике расслоения. То есть, им не нужно было предполагать, что D или A были метрическими связями: простого наличия связи на векторном расслоении достаточно для получения вышеуказанных форм. Все различные варианты обозначений следуют непосредственно только из рассмотрения эндоморфизмов волокон расслоения.

Метрика расслоения необходима для определения звезды Ходжа и дуального объекта Ходжа ; это, в свою очередь, необходимо для определения лапласиана и демонстрации того, что

${\displaystyle D{\star }F=0}$

Любая связь, которая удовлетворяет этому тождеству, называется связью Янга–Миллса . Можно показать, что эта связь является критической точкой уравнений Эйлера–Лагранжа, примененных к действию Янга–Миллса

${\displaystyle YM_{D}=\int _{M}(F,F){\star }(1)}$

где — элемент объема , двойственный по Ходжу константе 1. Обратите внимание, что для построения этого действия требуются три различных скалярных произведения: метрическая связность на E , скалярное произведение на End( E ), эквивалентное квадратичному оператору Казимира (след пары матриц), и двойственный по Ходжу оператор. ${\displaystyle {\star }(1)}$

Риманова связность

Важным частным случаем метрической связности является риманова связность . Это связность на касательном расслоении псевдориманова многообразия ( M , g ) , такая что для всех векторных полей X на M. Эквивалентно, является римановой, если определяемый ею параллельный перенос сохраняет метрику g . ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \nabla _{X}g=0}$ ${\displaystyle \nabla }$

Данная связность является римановой тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \partial _{X}(g(Y,Z))=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)}$

для всех векторных полей X , Y и Z на M , где обозначает производную функции вдоль этого векторного поля . ${\displaystyle \partial _{X}(g(Y,Z))}$ ${\displaystyle g(Y,Z)}$ ${\displaystyle X}$

Связность Леви-Чивиты — это риманова связность без кручения на многообразии. Она уникальна по фундаментальной теореме римановой геометрии . Для каждой римановой связности можно написать (уникальную) соответствующую связность Леви-Чивиты. Разница между ними задается тензором конторсии .

В компонентной записи ковариантная производная совместима с метрическим тензором, если ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle g_{ab}}$

${\displaystyle \nabla _{\!c}\,g_{ab}=0.}$

Хотя могут быть определены и другие ковариантные производные, обычно рассматривается только совместимая с метрикой. Это происходит потому, что для двух ковариантных производных и существует тензор для преобразования из одной в другую: ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \nabla '}$

${\displaystyle \nabla _{a}x_{b}=\nabla _{a}'x_{b}-{C_{ab}}^{c}x_{c}.}$

Если пространство также не имеет кручения , то тензор симметричен по своим первым двум индексам. ${\displaystyle {C_{ab}}^{c}}$

Несколько слов о нотации

В этой настройке принято менять обозначения и использовать символ набла ∇ вместо D ; в остальном эти два символа — одно и то же. То есть, ∇ = D из предыдущих разделов выше.

Аналогично, скалярное произведение на E заменяется метрическим тензором g на TM . Это согласуется с историческим использованием, но также позволяет избежать путаницы: для общего случая векторного расслоения E базовое многообразие M не предполагается наделенным метрикой. Особый случай многообразий с метрикой g на TM в дополнение к метрике расслоения на E приводит к теории Калуцы–Клейна . ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Смотрите также

• Вертикальные и горизонтальные пучки

Ссылки

1. Jost, Jürgen (2011), Риманова геометрия и геометрический анализ (PDF) , Universitext (шестое изд.), Springer, Heidelberg, doi :10.1007/978-3-642-21298-7, ISBN 978-3-642-21297-0, г-н  2829653.( Третье издание: см. главу 3; Шестое издание: см. главу 4. )

• Родригес, Вашингтон; Фернандес, В.В.; Мойя, AM (2005). «Метрические совместимые ковариантные производные». arXiv : math/0501561 .
• Уолд, Роберт М. (1984), Общая теория относительности , Издательство Чикагского университета, ISBN 0-226-87033-2
• Шмидт, Б. Г. (1973). «Условия, при которых соединение является метрическим». Commun. Math. Phys . 29 (1): 55–59. Bibcode :1973CMaPh..29...55S. doi :10.1007/bf01661152. hdl : 10338.dmlcz/127117 . S2CID  121543450.