В математике подвижный репер — это гибкое обобщение понятия упорядоченного базиса векторного пространства, часто используемого для изучения внешней дифференциальной геометрии гладких многообразий , вложенных в однородное пространство .
Проще говоря, система отсчета — это система измерительных стержней, используемых наблюдателем для измерения окружающего пространства путем предоставления координат . Движущаяся система — это система отсчета, которая движется вместе с наблюдателем по траектории ( кривой ). Метод движущейся системы в этом простом примере стремится создать «предпочтительную» движущуюся систему из кинематических свойств наблюдателя. В геометрической постановке эта проблема была решена в середине 19 века Жаном Фредериком Френе и Жозефом Альфредом Серре . [1] Система Френе–Серре — это движущаяся система, заданная на кривой, которая может быть построена исключительно из скорости и ускорения кривой. [2]
Система Френе–Серре играет ключевую роль в дифференциальной геометрии кривых , в конечном итоге приводя к более или менее полной классификации гладких кривых в евклидовом пространстве с точностью до конгруэнтности . [3] Формулы Френе–Серре показывают, что на кривой определена пара функций, кручение и кривизна , которые получаются путем дифференцирования системы и которые полностью описывают, как система эволюционирует во времени вдоль кривой. Ключевой особенностью общего метода является то, что предпочтительная подвижная система, при условии, что ее можно найти, дает полное кинематическое описание кривой.
В конце 19 века Гастон Дарбу изучал проблему построения предпочтительной подвижной системы отсчета на поверхности в евклидовом пространстве вместо кривой, системы отсчета Дарбу (или trièdre mobile , как ее тогда называли). Оказалось, что построить такую систему отсчета в общем случае невозможно, и что существуют условия интегрируемости , которые необходимо было удовлетворить в первую очередь. [1]
Позднее подвижные рамки были широко разработаны Эли Картаном и другими в изучении подмногообразий более общих однородных пространств (таких как проективное пространство ). В этой постановке рамка переносит геометрическую идею базиса векторного пространства на другие виды геометрических пространств ( геометрии Клейна ). Вот некоторые примеры рамок: [3]
В каждом из этих примеров совокупность всех кадров однородна в определенном смысле. Например, в случае линейных кадров любые два кадра связаны элементом общей линейной группы . Проективные кадры связаны проективной линейной группой . Эта однородность или симметрия класса кадров отражает геометрические особенности линейного, аффинного, евклидова или проективного ландшафта. Движущаяся рамка в этих обстоятельствах — это именно то, что: рамка, которая меняется от точки к точке.
Формально, фрейм на однородном пространстве G / H состоит из точки в тавтологическом расслоении G → G / H . Подвижный фрейм является сечением этого расслоения. Он подвижен в том смысле, что при изменении точки базы фрейм в слое изменяется на элемент группы симметрии G . Подвижный фрейм на подмногообразии M в G / H является сечением обратного образа тавтологического расслоения на M . По сути [5] подвижный фрейм может быть определен на главном расслоении P над многообразием. В этом случае подвижный фрейм задается G -эквивариантным отображением φ : P → G , тем самым оснащая многообразие элементами группы Ли G .
Можно расширить понятие фреймов на более общий случай: можно « припаять » расслоение волокон к гладкому многообразию таким образом, что волокна будут вести себя так, как если бы они были касательными. Когда расслоение волокон является однородным пространством, это сводится к вышеописанному полю фреймов. Когда однородное пространство является фактором специальных ортогональных групп , это сводится к стандартной концепции вирбейна .
Хотя между внешними и внутренними подвижными системами отсчета существует существенное формальное различие, они оба похожи в том смысле, что подвижная система отсчета всегда задается отображением в G. Стратегия в методе подвижных систем отсчета Картана , как кратко изложено в методе эквивалентности Картана , состоит в том, чтобы найти естественную подвижную систему отсчета на многообразии, а затем взять ее производную Дарбу , другими словами, вернуть форму Маурера-Картана для G к M (или P ), и таким образом получить полный набор структурных инвариантов для многообразия. [3]
Картан (1937) сформулировал общее определение подвижной системы отсчета и метод подвижной системы отсчета, разработанный Вейлем (1938). Элементами теории являются
Предполагается, что между этими элементами выполняются следующие аксиомы:
Интерес для метода представляют параметризованные подмногообразия X . Соображения в значительной степени локальны, поэтому область параметров принимается как открытое подмножество R λ . Применяются немного разные методы в зависимости от того, интересуется ли подмногообразие вместе с его параметризацией или подмногообразие до репараметризации.
Наиболее часто встречающийся случай подвижного фрейма — это расслоение касательных фреймов (также называемое расслоением фреймов ) многообразия. В этом случае подвижный касательный фрейм на многообразии M состоит из набора векторных полей e 1 , e 2 , …, e n , образующих базис касательного пространства в каждой точке открытого множества U ⊂ M .
Если — система координат на U , то каждое векторное поле e j можно выразить как линейную комбинацию векторных полей координат : где каждое — функция на U. Их можно рассматривать как компоненты матрицы . Эта матрица полезна для нахождения координатного выражения двойственного кофрейма, как объясняется в следующем разделе.
Движущийся фрейм определяет дуальный фрейм или кофрейм кокасательного расслоения над U , который иногда также называют движущимся фреймом. Это n -кортеж гладких 1 -форм
которые линейно независимы в каждой точке q в U. Наоборот, при наличии такого кофрейма существует единственный подвижный фрейм e 1 , e 2 , …, e n , который является двойственным к нему, т. е. удовлетворяет соотношению двойственности θ i ( e j ) = δ i j , где δ i j — дельта-функция Кронекера на U .
Если — система координат на U , как в предыдущем разделе, то каждое ковекторное поле θ i можно выразить как линейную комбинацию координатных ковекторных полей : где каждое из них является функцией на U. Поскольку , два приведенных выше координатных выражения объединяются, чтобы получить ; в терминах матриц это просто означает, что и являются обратными друг другу.
В классической механике при работе с каноническими координатами канонический кофрейм задаётся тавтологической формой . Интуитивно, она связывает скорости механической системы (задаваемые векторными полями на касательном расслоении координат) с соответствующими импульсами системы (задаваемыми векторными полями в кокасательном расслоении; т.е. задаваемыми формами). Тавтологическая форма является частным случаем более общей формы припоя , которая обеспечивает поле (ко-)фрейма на общем расслоении волокон .
Движущиеся системы важны в общей теории относительности , где нет привилегированного способа расширить выбор системы отсчета в событии p (точка в пространстве-времени , которая является многообразием размерности четыре) на близлежащие точки, и поэтому выбор должен быть сделан. В отличие от этого в специальной теории относительности , M берется как векторное пространство V (размерности четыре). В этом случае система отсчета в точке p может быть переведена из p в любую другую точку q четко определенным образом. В общем, движущаяся система отсчета соответствует наблюдателю, а выделенные системы отсчета в специальной теории относительности представляют инерциальных наблюдателей .
В теории относительности и в римановой геометрии наиболее полезным видом подвижных систем отсчета являются ортогональные и ортонормированные системы отсчета , то есть системы, состоящие из ортогональных (единичных) векторов в каждой точке. В заданной точке p общая система отсчета может быть сделана ортонормированной с помощью ортонормализации ; на самом деле это можно сделать гладко, так что существование подвижной системы отсчета подразумевает существование подвижной ортонормированной системы отсчета.
Подвижная система отсчета всегда существует локально , т. е. в некоторой окрестности U любой точки p в M ; однако существование подвижной системы отсчета глобально на M требует топологических условий. Например, когда M является окружностью или, в более общем смысле, тором , такие системы отсчета существуют; но не когда M является 2- сферой . Многообразие, которое имеет глобальную подвижную систему отсчета, называется параллелизуемым . Обратите внимание, например, на то, как единичные направления широты и долготы на поверхности Земли распадаются как подвижная система отсчета на северном и южном полюсах.
Метод подвижных фреймов Эли Картана основан на выборе подвижного фрейма, который адаптирован к конкретной изучаемой проблеме. Например, если задана кривая в пространстве, первые три производных вектора кривой могут в общем случае определять фрейм в ее точке (ср. тензор кручения для количественного описания – здесь предполагается, что кручение не равно нулю). Фактически, в методе подвижных фреймов чаще работают с кофреймами, а не фреймами. В более общем смысле подвижные фреймы можно рассматривать как сечения главных расслоений над открытыми множествами U . Общий метод Картана использует эту абстракцию, используя понятие связности Картана .
Во многих случаях невозможно определить единую систему отсчета, которая была бы действительна глобально. Чтобы преодолеть это, системы обычно объединяются в атлас , таким образом приходя к понятию локальной системы отсчета . Кроме того, часто желательно наделить эти атласы гладкой структурой , чтобы результирующие поля системы отсчета были дифференцируемыми.
Хотя в данной статье поля фрейма строятся как система координат на касательном расслоении многообразия , общие идеи легко переходят к концепции векторного расслоения , которое представляет собой многообразие, наделенное векторным пространством в каждой точке, причем это векторное пространство является произвольным и в общем случае не связано с касательным расслоением.
Маневры самолета можно выразить в терминах движущейся системы координат ( главных осей самолета ), описываемых пилотом.
