Уравнение состояния

Уравнение, описывающее состояние вещества при заданном наборе физических условий.

В физике и химии уравнение состояния — это термодинамическое уравнение, связывающее переменные состояния , которые описывают состояние материи при заданном наборе физических условий, таких как давление , объем , температура или внутренняя энергия . ^[1] Большинство современных уравнений состояния формулируются в свободной энергии Гельмгольца. Уравнения состояния полезны при описании свойств чистых веществ и смесей в жидкостях, газах и твердых состояниях, а также состояния вещества внутри звезд .

Обзор

В настоящее время не существует единого уравнения состояния, которое бы точно предсказывало свойства всех веществ при любых условиях. Пример уравнения состояния, связывающего плотности газов и жидкостей с температурой и давлением, известного как закон идеального газа , который примерно точен для слабополярных газов при низких давлениях и умеренных температурах. Это уравнение становится все более неточным при более высоких давлениях и более низких температурах и не может предсказать конденсацию из газа в жидкость.

Общий вид уравнения состояния можно записать как

$${\displaystyle f(p,V,T)=0}$$

где – давление, объем и температура системы. Однако в этой форме можно использовать и другие переменные. Оно напрямую связано с правилом фаз Гиббса , то есть количество независимых переменных зависит от количества веществ и фаз в системе. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$

Уравнение, используемое для моделирования этой взаимосвязи, называется уравнением состояния. В большинстве случаев эта модель будет включать в себя некоторые эмпирические параметры, которые обычно корректируются с учетом данных измерений. Уравнения состояния также могут описывать твердые тела, включая переход твердых тел из одного кристаллического состояния в другое. Уравнения состояния также используются для моделирования состояния вещества в недрах звезд, включая нейтронные звезды , плотную материю ( кварк-глюонную плазму ) и поля излучения. Родственной концепцией является уравнение состояния идеальной жидкости , используемое в космологии .

Уравнения состояния применяются во многих областях, таких как технологические процессы и нефтяная промышленность, а также фармацевтическая промышленность.

Можно использовать любой последовательный набор единиц, хотя предпочтительными являются единицы СИ . Абсолютная температура относится к использованию Кельвина (К), где ноль означает абсолютный ноль.

• ${\displaystyle n}$, количество молей вещества
• ${\displaystyle V_{m}}$, , молярный объем , объем 1 моля газа или жидкости ${\displaystyle {\frac {V}{n}}}$
• ${\displaystyle R}$, постоянная идеального газа ≈ 8,3144621  Дж/моль·К
• ${\displaystyle p_{c}}$, давление в критической точке
• ${\displaystyle V_{c}}$, молярный объем в критической точке
• ${\displaystyle T_{c}}$, абсолютная температура в критической точке

Историческая справка

Закон Бойля был одной из первых формулировок уравнения состояния. В 1662 году ирландский физик и химик Роберт Бойль провел серию экспериментов с J-образной стеклянной трубкой, запаянной с одного конца. В трубку добавляли ртуть , удерживая фиксированное количество воздуха в коротком запечатанном конце трубки. Затем измеряли объем газа по мере добавления в трубку дополнительной ртути. Давление газа можно было определить по разнице между уровнем ртути в коротком конце трубки и в длинном открытом конце. В ходе этих экспериментов Бойль заметил, что объем газа изменяется обратно пропорционально давлению. В математической форме это можно выразить так:

$${\displaystyle pV=\mathrm {constant} .}$$

Эдме Мариотту

В 1787 году французский физик Жак Шарль обнаружил, что кислород, азот, водород, углекислый газ и воздух расширяются примерно в одинаковой степени в течение одного и того же интервала в 80 Кельвинов. Сегодня это известно как закон Чарльза . Позже, в 1802 году, Жозеф Луи Гей-Люссак опубликовал результаты аналогичных экспериментов, указывающие на линейную зависимость между объёмом и температурой:

$${\displaystyle {\frac {V_{1}}{T_{1}}}={\frac {V_{2}}{T_{2}}}.}$$

Закон парциального давления Дальтона

Математически это можно представить для видов как: ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle p_{\text{total}}=p_{1}+p_{2}+\cdots +p_{n}=\sum _{i=1}^{n}p_{i}.}$$

Эмиль Клапейронидеального газаpV _mRTC_R —постоянная ${\displaystyle 0~^{\circ }\mathrm {C} =273.15~\mathrm {K} }$

$${\displaystyle pV_{m}=R\left(T_{C}+273.15\ {}^{\circ }{\text{C}}\right).}$$

Дж. Д. Ван дер Ваальсуравнение состояния^[2]кубических уравнений состоянияуравнение состояния Редлиха-Квонга ^[3][4]

Уравнение состояния Ван-дер-Ваальса можно записать в виде

${\displaystyle \left(P+a{\frac {1}{V_{m}^{2}}}\right)(V_{m}-b)=RT}$

где – параметр, описывающий энергию притяжения между частицами, – параметр, описывающий объем частиц. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Закон идеального газа

Классический закон идеального газа

Классический закон идеального газа можно записать

$${\displaystyle pV=nRT.}$$

Таким образом, в форме, показанной выше, уравнение состояния имеет вид

$${\displaystyle f(p,V,T)=pV-nRT=0.}$$

Если используется приближение калорически совершенного газа, то закон идеального газа также можно выразить следующим образом:

$${\displaystyle p=\rho (\gamma -1)e}$$

отношение удельных теплоемкостей ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \gamma =C_{p}/C_{v}}$ ${\displaystyle e=C_{v}T}$ ${\displaystyle C_{v}}$ ${\displaystyle C_{p}}$

Квантовый закон идеального газа

Поскольку для атомарных и молекулярных газов в большинстве случаев хорошо подходит классический закон идеального газа, опишем уравнение состояния элементарных частиц с массой и спином , учитывающее квантовые эффекты. В дальнейшем верхний знак всегда будет соответствовать статистике Ферми-Дирака , а нижний знак - статистике Бозе-Эйнштейна . Уравнение состояния таких газов с частицами, занимающими объем с температурой и давлением, имеет вид ^[5] ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle p={\frac {(2s+1){\sqrt {2m^{3}k_{\text{B}}^{5}T^{5}}}}{3\pi ^{2}\hbar ^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {z^{3/2}\,\mathrm {d} z}{e^{z-\mu /(k_{\text{B}}T)}\pm 1}}}$$

постоянная Больцманапотенциал ${\displaystyle k_{\text{B}}}$ ${\displaystyle \mu (T,N/V)}$

$${\displaystyle {\frac {N}{V}}={\frac {(2s+1)(mk_{\text{B}}T)^{3/2}}{{\sqrt {2}}\pi ^{2}\hbar ^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {z^{1/2}\,\mathrm {d} z}{e^{z-\mu /(k_{\text{B}}T)}\pm 1}}.}$$

В предельном случае , когда это уравнение состояния сводится к уравнению состояния классического идеального газа. Можно показать, что приведенное выше уравнение состояния в пределе сводится к ${\displaystyle e^{\mu /(k_{\text{B}}T)}\ll 1}$ ${\displaystyle e^{\mu /(k_{\text{B}}T)}\ll 1}$

$${\displaystyle pV=Nk_{\text{B}}T\left[1\pm {\frac {\pi ^{3/2}}{2(2s+1)}}{\frac {N\hbar ^{3}}{V(mk_{\text{B}}T)^{3/2}}}+\cdots \right]}$$

При фиксированной плотности числа уменьшение температуры вызывает в ферми-газе увеличение значения давления по сравнению с его классическим значением, подразумевающее эффективное отталкивание между частицами (это кажущееся отталкивание, обусловленное эффектами квантового обмена, а не реальными взаимодействиями между частицами, поскольку в идеальном газе силами взаимодействия пренебрегают), а в бозе-газе — уменьшение давления по сравнению с его классическим значением, предполагающее эффективное притяжение. Квантовая природа этого уравнения заключается в его зависимости от s и ħ . ${\displaystyle N/V}$

Кубические уравнения состояния

Кубические уравнения состояния называются таковыми, потому что их можно переписать в виде кубической функции от . Кубические уравнения состояния произошли от уравнения состояния Ван-дер-Ваальса. Следовательно, все кубические уравнения состояния можно рассматривать как «модифицированное уравнение состояния Ван-дер-Ваальса». Таких кубических уравнений состояния существует очень большое количество. Для технологического проектирования кубические уравнения состояния сегодня по-прежнему весьма актуальны, например, уравнение состояния Пенга Робинсона или уравнение состояния Соаве Редлиха Квонга. ${\displaystyle V_{m}}$

Вириальные уравнения состояния

Вириальное уравнение состояния

$${\displaystyle {\frac {pV_{m}}{RT}}=A+{\frac {B}{V_{m}}}+{\frac {C}{V_{m}^{2}}}+{\frac {D}{V_{m}^{3}}}+\cdots }$$

Хотя уравнение вириала обычно не является самым удобным уравнением состояния, оно важно, поскольку его можно вывести непосредственно из статистической механики . Это уравнение также называют уравнением Камерлинга-Оннеса . Если сделать соответствующие предположения о математической форме межмолекулярных сил, то для каждого из коэффициентов можно разработать теоретические выражения . А — первый вириальный коэффициент, который имеет постоянное значение 1 и утверждает, что при большом объеме все жидкости ведут себя как идеальные газы. Второй вириальный коэффициент B соответствует взаимодействиям между парами молекул, C — триплетам и т. д. Точность можно увеличивать до бесконечности, рассматривая члены более высокого порядка. Коэффициенты B , C , D и т. д. являются функциями только температуры.

Уравнение состояния BWR

$${\displaystyle p=\rho RT+\left(B_{0}RT-A_{0}-{\frac {C_{0}}{T^{2}}}+{\frac {D_{0}}{T^{3}}}-{\frac {E_{0}}{T^{4}}}\right)\rho ^{2}+\left(bRT-a-{\frac {d}{T}}\right)\rho ^{3}+\alpha \left(a+{\frac {d}{T}}\right)\rho ^{6}+{\frac {c\rho ^{3}}{T^{2}}}\left(1+\gamma \rho ^{2}\right)\exp \left(-\gamma \rho ^{2}\right)}$$

где

• ${\displaystyle p}$это давление
• ${\displaystyle \rho }$молярная плотность

Значения различных параметров можно найти в справочных материалах. ^[6] Уравнение состояния BWR также часто использовалось для моделирования жидкости Леннарда-Джонса . ^{[7] [8]} Доступно несколько расширений и модификаций классического уравнения состояния BWR.

Уравнение состояния Бенедикта-Уэбба-Рубина-Старлинга ^[9] представляет собой модифицированное уравнение состояния BWR и может быть записано как

$${\displaystyle p=\rho RT+\left(B_{0}RT-A_{0}-{\frac {C_{0}}{T^{2}}}+{\frac {D_{0}}{T^{3}}}-{\frac {E_{0}}{T^{4}}}\right)\rho ^{2}+\left(bRT-a-{\frac {d}{T}}+{\frac {c}{T^{2}}}\right)\rho ^{3}+\alpha \left(a+{\frac {d}{T}}\right)\rho ^{6}}$$

Обратите внимание, что в этом вириальном уравнении четвертый и пятый вириальные члены равны нулю. Второй вириальный коэффициент монотонно убывает с понижением температуры. Третий вириальный коэффициент монотонно возрастает с понижением температуры.

Уравнение состояния Ли-Кеслера основано на принципе соответствующих состояний и представляет собой модификацию уравнения состояния BWR. ^[10]

$${\displaystyle p={\frac {RT}{V}}\left(1+{\frac {B}{V_{r}}}+{\frac {C}{V_{r}^{2}}}+{\frac {D}{V_{r}^{5}}}+{\frac {c_{4}}{T_{r}^{3}V_{r}^{2}}}\left(\beta +{\frac {\gamma }{V_{r}^{2}}}\right)\exp \left({\frac {-\gamma }{V_{r}^{2}}}\right)\right)}$$

Физически обоснованные уравнения состояния

Сегодня доступно большое количество физически обоснованных уравнений состояния. ^{[11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18]} Большинство из них сформулированы в виде свободной энергии Гельмгольца как функции температуры, плотности (а для смесей — дополнительно и состава). Энергия Гельмгольца формулируется как сумма нескольких членов, моделирующих различные типы молекулярного взаимодействия или молекулярных структур, например, образование цепочек или диполярных взаимодействий . Следовательно, физически обоснованные уравнения состояния моделируют влияние размера, притяжения и формы молекул, а также водородные связи и полярные взаимодействия жидкостей. В целом физически обоснованные уравнения состояния дают более точные результаты, чем традиционные кубические уравнения состояния, особенно для систем, содержащих жидкости или твердые тела. Большинство физически обоснованных уравнений состояния построены на мономерном члене, описывающем жидкость Леннарда-Джонса или жидкость Ми .

Модели на основе теории возмущений

Теория возмущений часто используется для моделирования дисперсионных взаимодействий в уравнении состояния. Сегодня существует большое количество уравнений состояния, основанных на теории возмущений, ^{[19] [20],} например, для классической жидкости Леннарда-Джонса. ^{[7] [21]} Двумя наиболее важными теориями, используемыми для этих типов уравнений состояния, являются теория возмущений Баркера-Хендерсона ^[22] и теория возмущений Уикса-Чандлера-Андерсена. ^[23]

Статистическая теория ассоциированной жидкости (SAFT)

Важным вкладом в физически обоснованные уравнения состояния является теория статистической ассоциированной жидкости (SAFT), которая вносит вклад в энергию Гельмгольца , описывающую ассоциацию (также известную как водородная связь ) в жидкостях, которую также можно применять для моделирования образования цепей (в пределе бесконечных сила ассоциации). Уравнение состояния SAFT было разработано с использованием статистических механических методов (в частности, теории возмущений Вертгейма ^[24] ) для описания взаимодействий между молекулами в системе. ^{[16] [25] [26]} Идея уравнения состояния SAFT была впервые предложена Чепменом и др. в 1988 и 1989 годах. ^{[16] [25] [26]} Было предложено множество различных версий моделей SAFT, но все они используют одни и те же термины цепочки и ассоциации, полученные Chapman et al. ^{[25] [27] [28]}

Многопараметрические уравнения состояния

Многопараметрические уравнения состояния — это эмпирические уравнения состояния, которые можно использовать для представления чистых жидкостей с высокой точностью. Многопараметрические уравнения состояния представляют собой эмпирические корреляции экспериментальных данных и обычно формулируются в свободной энергии Гельмгольца. Функциональная форма этих моделей в большинстве случаев физически не мотивирована. Обычно их можно применять как в жидком, так и в газообразном состоянии. Эмпирические многопараметрические уравнения состояния представляют энергию Гельмгольца жидкости как сумму идеального газа и остаточных членов. Оба члена явны для температуры и плотности:

$${\displaystyle {\frac {a(T,\rho )}{RT}}={\frac {a^{\mathrm {ideal\,gas} }(\tau ,\delta )+a^{\textrm {residual}}(\tau ,\delta )}{RT}}}$$

$${\displaystyle \tau ={\frac {T_{r}}{T}},\delta ={\frac {\rho }{\rho _{r}}}}$$

Пониженная плотность и пониженная температура в большинстве случаев являются критическими значениями для чистой жидкости. Поскольку интегрирование многопараметрических уравнений состояния не требуется, а термодинамические свойства могут быть определены с использованием классических термодинамических соотношений, существует мало ограничений относительно функциональной формы идеальных или остаточных членов. ^{[29] [30]} Типичные многопараметрические уравнения состояния используют более 50 конкретных параметров жидкости, но способны отображать свойства жидкости с высокой точностью. В настоящее время доступны многопараметрические уравнения состояния примерно для 50 наиболее распространенных промышленных жидкостей, включая хладагенты. Справочное уравнение состояния воды IAPWS95 также является многопараметрическим уравнением состояния. ^[31] Также существуют модели смеси для многопараметрических уравнений состояния. Тем не менее, известно, что многопараметрические уравнения состояния, применяемые к смесям, иногда демонстрируют артефакты. ^{[32] [33]} ${\displaystyle \rho _{r}}$ ${\displaystyle T_{r}}$

Одним из примеров такого уравнения состояния является форма, предложенная Спаном и Вагнером. ^[29]

$${\displaystyle a^{\mathrm {residual} }=\sum _{i=1}^{8}\sum _{j=-8}^{12}n_{i,j}\delta ^{i}\tau ^{j/8}+\sum _{i=1}^{5}\sum _{j=-8}^{24}n_{i,j}\delta ^{i}\tau ^{j/8}\exp \left(-\delta \right)+\sum _{i=1}^{5}\sum _{j=16}^{56}n_{i,j}\delta ^{i}\tau ^{j/8}\exp \left(-\delta ^{2}\right)+\sum _{i=2}^{4}\sum _{j=24}^{38}n_{i,j}\delta ^{i}\tau ^{j/2}\exp \left(-\delta ^{3}\right)}$$

Это несколько более простая форма, предназначенная для использования в технических приложениях. ^[29] Уравнения состояния, требующие более высокой точности, используют более сложную форму с большим количеством членов. ^{[31] [30]}

Список дальнейших уравнений состояния

Ужесточенное уравнение состояния

При рассмотрении воды под очень высоким давлением, в таких ситуациях, как подводные ядерные взрывы , звуковая ударная литотрипсия и сонолюминесценция , часто используется ужесточенное уравнение состояния ^{[34] :}

$${\displaystyle p=\rho (\gamma -1)e-\gamma p^{0}\,}$$

где — внутренняя энергия на единицу массы, — эмпирически определенная константа, обычно равная примерно 6,1, и — еще одна константа, представляющая молекулярное притяжение между молекулами воды. Величина поправки составляет около 2 гигапаскалей (20 000 атмосфер). ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle p^{0}}$

Уравнение сформулировано в такой форме, поскольку скорость звука в воде определяется выражением . ${\displaystyle c^{2}=\gamma \left(p+p^{0}\right)/\rho }$

Таким образом, вода ведет себя так, как будто это идеальный газ, который уже находится под давлением около 20 000 атмосфер (2 ГПа), и это объясняет, почему вода обычно считается несжимаемой: когда внешнее давление изменяется от 1 атмосферы до 2 атмосфер (от 100 кПа до 200 кПа), вода ведет себя как идеальный газ при изменении давления от 20 001 до 20 002 атмосфер (от 2000,1 МПа до 2000,2 МПа).

Это уравнение неверно предсказывает удельную теплоемкость воды, но доступно несколько простых альтернатив для сильно неизоэнтропических процессов, таких как сильные толчки.

Уравнение состояния осциллятора Морса

Было выведено уравнение состояния осциллятора Морса ^[35] и оно имеет следующий вид:

${\displaystyle p=\Gamma _{1}\nu +\Gamma _{2}\nu ^{2}}$

Где - вириальный параметр первого порядка, зависящий от температуры, - вириальный параметр второго порядка осциллятора Морзе, зависящий не только от абсолютной температуры, но и от параметров осциллятора Морзе. – дробный объем системы. ${\displaystyle \Gamma _{1}}$ ${\displaystyle \Gamma _{2}}$ ${\displaystyle \nu }$

Ультрарелятивистское уравнение состояния

Ультрарелятивистская жидкость имеет уравнение состояния

$${\displaystyle p=\rho _{m}c_{s}^{2}}$$

звука ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \rho _{m}}$ ${\displaystyle c_{s}}$

Идеальное уравнение состояния Бозе

Уравнение состояния идеального бозе-газа имеет вид

$${\displaystyle pV_{m}=RT~{\frac {\operatorname {Li} _{\alpha +1}(z)}{\zeta (\alpha )}}\left({\frac {T}{T_{c}}}\right)^{\alpha }}$$

где α — показатель степени, специфичный для системы (например, в отсутствие потенциального поля α = 3/2), z — exp( μ / k _B T ), где μ — химический потенциал , Li — полилогарифм , ζ — дзета -функция Римана , T _c — критическая температура, при которой начинает образовываться конденсат Бозе-Эйнштейна .

Уравнение состояния Джонса – Уилкинса – Ли для взрывчатых веществ (уравнение JWL)

Уравнение состояния Джонса-Уилкинса-Ли используется для описания продуктов детонации взрывчатых веществ.

$${\displaystyle p=A\left(1-{\frac {\omega }{R_{1}V}}\right)\exp(-R_{1}V)+B\left(1-{\frac {\omega }{R_{2}V}}\right)\exp \left(-R_{2}V\right)+{\frac {\omega e_{0}}{V}}}$$

Соотношение определяется с помощью , который представляет собой плотность взрывчатого вещества (твердой части), и , который представляет собой плотность продуктов детонации. Параметры , , , и даны по нескольким ссылкам. ^[36] Кроме того, в таких справочниках приводятся начальная плотность (твердая часть) , скорость детонации , давление Чепмена-Жуге и химическая энергия единицы объема взрывчатого вещества . Эти параметры получены путем подгонки JWL-EOS к экспериментальным результатам. Типичные параметры некоторых взрывчатых веществ приведены в таблице ниже. ${\displaystyle V=\rho _{e}/\rho }$ ${\displaystyle \rho _{e}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle V_{D}}$ ${\displaystyle P_{CJ}}$ ${\displaystyle e_{0}}$

Другие

• Уравнение Тейта для воды и других жидкостей. Некоторые уравнения называются уравнением Тейта .
• Уравнение состояния Мурнагана
• Уравнение состояния Берча – Мурнагана
• Уравнение состояния Стейси–Бреннана–Ирвина ^[38]
• Модифицированное уравнение состояния Ридберга ^{[39] [40] [41]}
• Адаптированное полиномиальное уравнение состояния ^[42]
• Уравнение состояния Джонсона – Холмквиста
• Уравнение состояния Ми–Грюнайзена ^{[43] [44]}
• Уравнение состояния Антона-Шмидта
• Уравнение перехода состояний

Смотрите также

• Газовые законы
• Функция отправления
• Таблица термодинамических уравнений
• Реальный газ
• Расширение кластера

Рекомендации

1. Перро, Пьер (1998). Термодинамика от А до Я. Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-856552-9.
2. Ван дер Ваальс; Джей Ди (1873 г.). О непрерывности газообразного и жидкого состояний (докторская диссертация) . Университет Лейдена.
3. Редлих, Отто.; Квонг, JNS (1 февраля 1949 г.). «К термодинамике растворов. V. Уравнение состояния. Летучесть газообразных растворов». Химические обзоры . 44 (1): 233–244. дои : 10.1021/cr60137a013. ISSN  0009-2665. ПМИД  18125401.
4. Соаве, Джорджио (1972). «Константы равновесия из модифицированного уравнения состояния Редлиха-Квонга». Химико-техническая наука . 27 (6): 1197–1203. Бибкод :1972ЧЭнС..27.1197С. дои : 10.1016/0009-2509(72)80096-4.
5. Ландау, Л.Д., Лифшиц, Э.М. (1980). Статистическая физика: Часть I (Том 5). стр. 162-166.
6. К. Э. Старлинг (1973). Свойства жидкости для систем легкой нефти . Издательская компания «Галф» . ISBN 087201293X. LCCN  70184683. OCLC  947455.
7. Стефан, Саймон; Штаубах, Йенс; Хассе, Ганс (ноябрь 2020 г.). «Обзор и сравнение уравнений состояния жидкости Леннарда-Джонса». Жидкостно-фазовые равновесия . 523 : 112772. doi : 10.1016/j.fluid.2020.112772. S2CID  224844789.
8. Николас, Джей-Джей; Габбинс, Кентукки; Стритт, ВБ; Тилдесли, ди-джей (май 1979 г.). «Уравнение состояния жидкости Леннарда-Джонса». Молекулярная физика . 37 (5): 1429–1454. Бибкод : 1979MolPh..37.1429N. дои : 10.1080/00268977900101051. ISSN  0026-8976.
9. Старлинг, Кеннет Э. (1973). Свойства жидкости для систем легкой нефти . Издательство Галф. п. 270.
10. Ли, Бён Ик; Кеслер, Майкл Г. (1975). «Обобщенная термодинамическая корреляция, основанная на соответствующих трехпараметрических состояниях». Журнал AIChE (на французском языке). 21 (3): 510–527. Бибкод :1975АИЧЕ..21..510Л. дои : 10.1002/aic.690210313. ISSN  1547-5905.
11. Контогеоргис, Георгиос М.; Михельсен, Майкл Л.; Фолас, Георгиос К.; Дерави, Самер; фон Зольмс, Николас; Стенби, Эрлинг Х. (1 июля 2006 г.). «Десять лет с уравнением состояния CPA (кубическая плюс ассоциация). Часть 1. Чистые соединения и самоассоциирующиеся системы». Исследования в области промышленной и инженерной химии . 45 (14): 4855–4868. дои : 10.1021/ie051305v. ISSN  0888-5885.
12. Контогеоргис, Георгиос М.; Вутсас, Эпаминонд К.; Якумис, Яковос В.; Тассиос, Димитриос П. (1 января 1996 г.). «Уравнение состояния ассоциированных жидкостей». Исследования в области промышленной и инженерной химии . 35 (11): 4310–4318. дои : 10.1021/ie9600203. ISSN  0888-5885.
13. Коттерман, РЛ; Праусниц, Дж. М. (ноябрь 1986 г.). «Молекулярная термодинамика жидкостей низкой и высокой плотности. Часть II: Фазовые равновесия для смесей, содержащих компоненты с большими различиями в молекулярном размере или потенциальной энергии». Журнал Айше . 32 (11): 1799–1812. Бибкод : 1986AIChE..32.1799C. дои : 10.1002/aic.690321105. ISSN  0001-1541. S2CID  96417239.
14. Вайнгерль, Ульрика; Вендланд, Мартин; Фишер, Иоганн; Мюллер, Андреас; Винкельманн, Йохен (март 2001 г.). «Баконовое семейство уравнений состояния: 2. Неполярные и полярные смеси жидкостей». Журнал Айше . 47 (3): 705–717. Бибкод : 2001AIChE..47..705W. дои : 10.1002/aic.690470317.
15. Мюллер, Андреас; Винкельманн, Йохен; Фишер, Иоганн (апрель 1996 г.). «Баконовое семейство уравнений состояния: 1. Неполярные и полярные чистые жидкости». Журнал Айше . 42 (4): 1116–1126. Бибкод :1996АИЧЕ..42.1116М. дои : 10.1002/aic.690420423. ISSN  0001-1541.
16. Чепмен, Уолтер Г.; Габбинс, Кентукки; Джексон, Г.; Радош, М. (1 декабря 1989 г.). «SAFT: модель решения уравнения состояния для связывающих жидкостей». Жидкостно-фазовые равновесия . 52 : 31–38. дои : 10.1016/0378-3812(89)80308-5. ISSN  0378-3812. S2CID  53310898.
17. Гросс, Иоахим; Садовский, Габриэле (2002). «Применение уравнения состояния SAFT возмущенной цепи к ассоциированным системам». Исследования в области промышленной и инженерной химии . 41 (22): 5510–5515. дои : 10.1021/ie010954d.
18. Сааджанлехто, Мери; Ууси-Кыйны, Петри; Алопеус, Вилле (2014). «Модифицированный аппарат непрерывного действия для измерения растворимости газов при высоком давлении и температуре с системой камер». Жидкостно-фазовые равновесия . 382 : 150–157. doi :10.1016/j.fluid.2014.08.035.
19. Бетанкур-Карденас, ФФ; Галисия-Луна, Луизиана; Сэндлер, С.И. (март 2008 г.). «Уравнение состояния жидкости Леннарда – Джонса на основе теории возмущений». Жидкостно-фазовые равновесия . 264 (1–2): 174–183. doi :10.1016/j.fluid.2007.11.015.
20. Левеск, Доминик; Верле, Лу (5 июня 1969 г.). «Теория возмущений и уравнение состояния жидкостей». Физический обзор . 182 (1): 307–316. Бибкод : 1969PhRv..182..307L. doi : 10.1103/PhysRev.182.307. ISSN  0031-899X.
21. Ленхард, Йоханнес; Стефан, Саймон; Хассе, Ганс (февраль 2024 г.). «Дитя предсказания. Об истории, онтологии и вычислениях Леннарда-Джонезиума». Исследования по истории и философии науки . 103 : 105–113. дои :10.1016/j.shpsa.2023.11.007.
22. Баркер, Дж.А.; Хендерсон, Д. (декабрь 1967 г.). «Теория возмущений и уравнение состояния жидкостей. II. Успешная теория жидкостей». Журнал химической физики . 47 (11): 4714–4721. Бибкод : 1967JChPh..47.4714B. дои : 10.1063/1.1701689. ISSN  0021-9606.
23. Уикс, Джон Д.; Чендлер, Дэвид; Андерсен, Ханс К. (15 июня 1971 г.). «Роль сил отталкивания в определении равновесной структуры простых жидкостей». Журнал химической физики . 54 (12): 5237–5247. Бибкод : 1971JChPh..54.5237W. дои : 10.1063/1.1674820. ISSN  0021-9606.
24. Вертхайм, MS (апрель 1984 г.). «Жидкости с остронаправленными силами притяжения. I. Статистическая термодинамика». Журнал статистической физики . 35 (1–2): 19–34. Бибкод : 1984JSP....35...19W. дои : 10.1007/bf01017362. ISSN  0022-4715. S2CID  121383911.
25. Чепмен, Уолтер Г. (1988). «Теория и моделирование ассоциированных жидких смесей». Докторская диссертация, Корнелльский университет .
26. Чепмен, Уолтер Г.; Джексон, Г.; Габбинс, Кентукки (11 июля 1988 г.). «Фазовые равновесия ассоциированных жидкостей: цепные молекулы с несколькими местами связи». Молекулярная физика . 65 : 1057–1079. дои : 10.1080/00268978800101601.
27. Чепмен, Уолтер Г.; Габбинс, Кентукки; Джексон, Г.; Радош, М. (1 августа 1990 г.). «Новое эталонное уравнение состояния ассоциированных жидкостей». Индийский англ. хим. Рез . 29 (8): 1709–1721. дои : 10.1021/ie00104a021.
28. Хиль-Вильегас, Алехандро; Галиндо, Ампаро; Уайтхед, Пол Дж.; Миллс, Стюарт Дж.; Джексон, Джордж; Берджесс, Эндрю Н. (1997). «Статистическая теория связывания жидкости для цепных молекул с потенциалом притяжения переменного диапазона». Журнал химической физики . 106 (10): 4168–4186. Бибкод : 1997JChPh.106.4168G. дои : 10.1063/1.473101.
29. Спан, Р.; Вагнер, В. (2003). «Уравнения состояния для технических приложений. I. Одновременно оптимизированные функциональные формы для неполярных и полярных жидкостей». Международный журнал теплофизики . 24 (1): 1–39. дои : 10.1023/А: 1022390430888. S2CID  116961558.
30. Спан, Роланд; Леммон, Эрик В.; Якобсен, Ричард Т; Вагнер, Вольфганг; Ёкодзеки, Акимичи (ноябрь 2000 г.). «Справочное уравнение состояния термодинамических свойств азота для температур от 63,151 до 1000 К и давления до 2200 МПа». Журнал физических и химических справочных данных . 29 (6): 1361–1433. Бибкод : 2000JPCRD..29.1361S. дои : 10.1063/1.1349047. ISSN  0047-2689.
31. Вагнер, В.; Прусс, А. (июнь 2002 г.). «Формулировка IAPWS 1995 года для термодинамических свойств обычного водного вещества для общего и научного использования». Журнал физических и химических справочных данных . 31 (2): 387–535. дои : 10.1063/1.1461829. ISSN  0047-2689.
32. Дейтерс, Ульрих К.; Белл, Ян Х. (декабрь 2020 г.). «Нефизические критические кривые бинарных смесей, предсказанные с помощью моделей GERG». Международный журнал теплофизики . 41 (12): 169. Бибкод : 2020IJT....41..169D. дои : 10.1007/s10765-020-02743-3. ISSN  0195-928X. ПМЦ 8191392 . ПМИД  34121788. 
33. Ши, Ланлан; Мао, Шиде (01 января 2012 г.). «Применение состава IAPWS-95 при включении жидкости и фазовом равновесии минерал-жидкость». Геонаучные границы . 3 (1): 51–58. Бибкод : 2012GeoFr...3...51S. дои : 10.1016/j.gsf.2011.08.002 . ISSN  1674-9871.
34. Ле Метайер, О; Массони, Дж; Саурел, Р. (01 марта 2004 г.). «Разработка структуры жидкости и испарения для двухфазных моделей». Международный журнал тепловых наук (на французском языке). 43 (3): 265–276. doi : 10.1016/j.ijthermalsci.2003.09.002. ISSN  1290-0729.
35. Аль-Раи, Марван (1 апреля 2022 г.). «Уравнение состояния осциллятора Морса: теория интегральных уравнений, основанная на терминах вириального расширения и сжимаемости». Гелион . 8 (4): e09328. Бибкод : 2022Heliy...809328A. doi :10.1016/j.heliyon.2022.e09328. ISSN  2405-8440. ПМК 9062208 . ПМИД  35520603. 
36. Б. М. Добрац; ПК Кроуфорд (1985). «Справочник по взрывчатым веществам LLNL: свойства химических взрывчатых веществ и имитаторов взрывчатых веществ». Укрл-52997 . Проверено 31 августа 2018 г.
37. Уилкинс, Марк Л. (1999), Компьютерное моделирование динамических явлений, Springer, p. 80, ISBN 9783662038857, получено 31 августа 2018 г.
38. Стейси, Флорида; Бреннан, Би Джей; Ирвин, Р.Д. (1981). «Теории конечных деформаций и сравнение с сейсмологическими данными». Исследования в области геофизики . 4 (3): 189–232. Бибкод : 1981GeoSu...4..189S. дои : 10.1007/BF01449185. S2CID  129899060 . Проверено 31 августа 2018 г.
39. Хольцапфель, ВБ (1991). «Уравнения состояния и правила масштабирования для молекулярных твердых тел при сильном сжатии» в «Молекулярных системах под высоким давлением» под ред. Р. Пуччи и Дж. Пиччино . Северная Голландия: Эльзевир. стр. 61–68.
40. Хольцапфель, ВБ (1991) [1991]. «Уравнения состояния твердых тел при сильном сжатии». Высокий пресс. Рез . 7 : 290–293. дои : 10.1080/08957959108245571.
41. Хольцапфель, Ви.Б. (1996). «Физика твердого тела при сильном сжатии». Реп. прог. Физ . 59 (1): 29–90. Бибкод : 1996RPPh...59...29H. дои : 10.1088/0034-4885/59/1/002. ISSN  0034-4885. S2CID  250909120.
42. Хользапфель, ВБ (1998). «Уравнение состояния твердых тел при сильном сжатии». Высокий пресс. Рез . 16 (2): 81–126. Бибкод : 1998HPR....16...81H. дои : 10.1080/08957959808200283. ISSN  0895-7959.
43. Хольцапфель, Вильфрид Б. (2004). «Уравнения состояния и теплофизические свойства твердых тел под давлением» (PDF) . В Катрусяк, А.; Макмиллан, П. (ред.). Кристаллография высокого давления . Научная серия НАТО. Том. 140. Дордрехт, Нидерланды: Kluver Academic. стр. 217–236. дои : 10.1007/978-1-4020-2102-2_14. ISBN 978-1-4020-1954-8. Проверено 31 августа 2018 г.
44. С. Бенджеллун, «Термодинамические тождества и термодинамическая непротиворечивость уравнения состояний», Ссылка на электронную распечатку архива. Ссылка на электронную распечатку Хэла.

Внешние ссылки