Уравнение состояния Мурнагана

Уравнение состояния Мурнагана представляет собой зависимость между объемом тела и давлением, которому оно подвергается. Это одно из многих уравнений состояния, которые использовались в науках о Земле и физике ударных волн для моделирования поведения материи в условиях высокого давления. Своим названием он обязан Фрэнсису Д. Мурнагану ^[1] , который предложил его в 1944 году, чтобы отразить поведение материала в максимально широком диапазоне давлений и отразить экспериментально установленный факт: чем сильнее сжимается твердое тело, тем труднее его сжимать. дальше.

Уравнение Мурнагана при определенных предположениях выводится из уравнений механики сплошной среды . Он включает в себя два регулируемых параметра: модуль несжимаемости K ₀ и его первую производную по давлению K 0 _, оба измеренные при давлении окружающей среды. В общем случае эти коэффициенты определяются путем регрессии экспериментально полученных значений объема V в зависимости от давления P. Эти экспериментальные данные могут быть получены методом рентгеновской дифракции или ударными испытаниями. Регрессию также можно выполнить на значениях энергии как функции объема, полученных в результате расчетов ab-initio и молекулярной динамики .

Уравнение состояния Мурнагана обычно выражается следующим образом: Если уменьшение объема при сжатии невелико, т.е. для _V / V0 более примерно 90%, уравнение Мурнагана может моделировать экспериментальные данные с удовлетворительной точностью. Более того, в отличие от многих предложенных уравнений состояния, оно дает явное выражение объема как функции давления V ( P ). Но диапазон ее применимости ограничен, а физическая интерпретация неадекватна. Однако это уравнение состояния продолжает широко использоваться в моделях твердых взрывчатых веществ. Из более сложных уравнений состояния наиболее используемым в физике Земли является уравнение состояния Берча-Мурнагана . В ударной физике металлов и сплавов другим широко используемым уравнением состояния является уравнение состояния Ми – Грюнайзена . $${\displaystyle P(V)={\frac {K_{0}}{K_{0}'}}\left[\left({\frac {V}{V_{0}}}\right)^{-K_{0}'}-1\right]\,.}$$

Фон

Изучение внутреннего строения Земли посредством познания механических свойств составляющих внутренних слоев планеты предполагает экстремальные условия; давление можно исчислить сотнями гигапаскалей , а температуру — тысячами градусов. Изучение свойств материи в этих условиях можно проводить экспериментально с помощью таких устройств, как ячейка с алмазной наковальней для статического давления, или подвергая материал ударным волнам . Это также привело к теоретической работе по определению уравнения состояния, то есть отношений между различными параметрами, определяющими в данном случае состояние материи: объемом (или плотностью), температурой и давлением.

Есть два подхода:

• уравнения состояния, полученные на основе межатомных потенциалов или, возможно, расчетов ab initio;
• выводятся из общих соотношений уравнений состояния механики и термодинамики. Уравнение Мурнагана принадлежит ко второй категории.

Различные авторы предложили десятки уравнений. ^[2] Это эмпирические зависимости, качество и актуальность которых зависят от их использования и могут оцениваться по разным критериям: количеству задействованных независимых параметров, физическому смыслу, который можно приписать этим параметрам, качеству экспериментальные данные и непротиворечивость теоретических предположений, лежащих в основе их способности экстраполировать поведение твердых тел при высоком сжатии. ^[3]

Выражения для уравнения состояния

Обычно при постоянной температуре модуль объемного сжатия определяется следующим образом: Самый простой способ получить уравнение состояния, связывающее P и V, — это предположить, что K постоянен, то есть не зависит от давления и деформации твердого тела, тогда мы просто найдите закон Гука. В этом случае объем уменьшается экспоненциально с давлением. Это неудовлетворительный результат, поскольку экспериментально установлено, что по мере сжатия твердого тела его становится труднее сжимать. Чтобы пойти дальше, необходимо принять во внимание изменение упругих свойств твердого тела при сжатии. $${\displaystyle K=-V\left({\frac {\partial P}{\partial V}}\right)_{T}.}$$

Предположение Мурнагана состоит в том, чтобы предположить, что модуль объемного сжатия является линейной функцией давления: ^[1] Уравнение Мурнагана является результатом интегрирования дифференциального уравнения: Мы также можем выразить объем в зависимости от давления: $${\displaystyle K=K_{0}+P\ K_{0}'}$$ $${\displaystyle P(V)={\frac {K_{0}}{K_{0}'}}\left[\left({\frac {V}{V_{0}}}\right)^{-K_{0}'}-1\right]}$$ $${\displaystyle V(P)=V_{0}\left[1+P\left({\frac {K'_{0}}{K_{0}}}\right)\right]^{-1/K'_{0}}}$$

Однако Пуарье критикует это упрощенное изложение как недостаточно строгое. ^[4] Эту же зависимость можно показать и иначе, исходя из того, что несжимаемость произведения модуля и коэффициента теплового расширения не зависит от давления для данного материала. ^[5] Это уравнение состояния также является общим случаем более старого соотношения Политропа ^[6], которое также имеет соотношение постоянной степени.

В некоторых обстоятельствах, особенно в связи с расчетами ab initio, предпочтительным будет выражение энергии как функции объема, ^[7] которое можно получить путем интегрирования приведенного выше уравнения в соответствии с соотношением P = − dE / dV . Его можно записать в K 0 _, отличный от 3, $${\displaystyle E(V)=E_{0}+K_{0}\,V_{0}\left[{\frac {1}{K_{0}'(K_{0}'-1)}}\left({\frac {V}{V_{0}}}\right)^{1-K_{0}'}+{\frac {1}{K_{0}'}}{\frac {V}{V_{0}}}-{\frac {1}{K_{0}'-1}}\right].}$$

Преимущества и ограничения

Несмотря на свою простоту, уравнение Мурнагана способно воспроизвести экспериментальные данные для диапазона давлений, который может быть весьма большим, порядка К ₀ /2. ^[8] Это также остается удовлетворительным, поскольку соотношение V / V ₀ остается выше примерно 90%. ^[9] В этом диапазоне уравнение Мурнагана имеет преимущество по сравнению с другими уравнениями состояния, если кто-то хочет выразить объем как функцию давления. ^[10]

Тем не менее, другие уравнения могут дать лучшие результаты, и несколько теоретических и экспериментальных исследований показывают, что уравнение Мурнагана неудовлетворительно для многих задач. Таким образом, в той степени, в которой отношение V / V ₀ становится очень низким, теория предсказывает, что K 'достигнет 5/3, что является пределом Томаса-Ферми. ^{[10] [11]} Однако в уравнении Мурнагана K ′ является постоянным и устанавливается равным начальному значению. В частности, значение K 0 = _5/3 в некоторых ситуациях становится несовместимым с теорией. Фактически, при экстраполяции поведение, предсказанное уравнением Мурнагана, довольно быстро становится маловероятным. ^[10]

Независимо от этого теоретического рассуждения, опыт ясно показывает, что К ' уменьшается с давлением, или, другими словами, что вторая производная модуля несжимаемости К ″ строго отрицательна. Теория второго порядка, основанная на том же принципе (см. следующий раздел), может объяснить это наблюдение, но этот подход все еще неудовлетворителен. Действительно, это приводит к отрицательному объемному модулю в пределе, когда давление стремится к бесконечности. Фактически, это неизбежное противоречие, какое бы полиномиальное разложение ни было выбрано, потому что всегда будет доминирующий член, который расходится до бесконечности. ^[3]

Эти важные ограничения привели к отказу от уравнения Мурнагана, которое В. Хользапфель называет «полезной математической формой, не имеющей никакого физического обоснования». ^[12] На практике анализ данных сжатия осуществляется с использованием более сложных уравнений состояния. Наиболее часто используемым в научном сообществе является уравнение Берча-Мурнагана второго или третьего порядка по качеству собираемых данных. ^[13]

Наконец, очень общим ограничением этого типа уравнений состояния является их неспособность учитывать фазовые переходы, вызванные давлением и температурой плавления, а также множественные переходы твердое тело-твердое, которые могут вызвать резкие изменения плотности и модуля объемного сжатия. в зависимости от давления. ^[3]

Примеры

На практике уравнение Мурнагана используется для выполнения регрессии набора данных, где получают значения коэффициентов K ₀ и K 0 _. Полученные коэффициенты и зная соотношение объема к условиям окружающей среды, позволяют нам в принципе рассчитать объем, плотность и модуль объемного сжатия при любом давлении.

Набор данных в основном представляет собой серию измерений объема для различных значений приложенного давления, полученных в основном с помощью дифракции рентгеновских лучей. Также можно работать с теоретическими данными, вычисляя энергию для разных значений объема методами ab initio, а затем регрессируя эти результаты. Это дает теоретическое значение модуля упругости, которое можно сравнить с экспериментальными результатами.

В следующей таблице перечислены некоторые результаты для различных материалов с единственной целью проиллюстрировать некоторые численные анализы, выполненные с использованием уравнения Мурнагана, без ущерба для качества полученных моделей. Учитывая критику физического смысла уравнения Мурнагана, высказанную в предыдущем разделе, к этим результатам следует относиться с осторожностью.

Расширения и обобщения

Чтобы улучшить модели или избежать критики, изложенной выше, было предложено несколько обобщений уравнения Мурнагана. Обычно они заключаются в отказе от упрощающего предположения и добавлении еще одного регулируемого параметра. Это может улучшить качество утонченности, но также привести к усложнению выражений. Также поднимается вопрос о физическом смысле этих дополнительных параметров.

Возможная стратегия состоит в том, чтобы включить дополнительный термин P ² в предыдущую разработку, ^{[17] [18]} требуя, чтобы . Решение этого дифференциального уравнения дает уравнение Мурнагана второго порядка: где . Находится естественным путем в уравнении первого порядка, приняв . Развитие до порядка выше 2 в принципе возможно ^[19] , но ценой добавления регулируемого параметра для каждого члена. ${\displaystyle K=K_{0}+PK_{0}'+P^{2}K_{0}''}$ $${\displaystyle P(V)=2{\frac {K_{0}}{K_{0}'}}\left[{\frac {\Gamma }{K_{0}'}}\,{\frac {\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{\Gamma }+1}{\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{\Gamma }-1}}-1\right]^{-1}}$$ ${\displaystyle \Gamma ^{2}=K_{0}'^{2}-2K_{0}K_{0}''>0}$ ${\displaystyle K_{0}''=0}$

Можно привести и другие обобщения:

• Кумари и Дасс предложили обобщение, отказывающееся от условия К = 0, но предполагающее, что отчет К / К ' не зависит от давления; ^[20]
• Кумар предложил обобщение, учитывающее зависимость параметра Андерсона от объема. Впоследствии было показано, что это обобщенное уравнение не было новым, а скорее сводилось к уравнению Тейта . ^{[5] [21]}

Примечания и ссылки

1. FD, Мурнаган (1944), «Сжимаемость сред при экстремальных давлениях», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 30 (9): 244–247, Бибкод : 1944PNAS ... 30. .244M, doi : 10.1073/pnas.30.9.244 , PMC  1078704 , PMID  16588651
2. Ведеполь, PT (1972), «Сравнение простого двухпараметрического уравнения состояния с уравнением Мурнагана», Solid State Communications , 10 (10): 947–951, Bibcode : 1972SSCom..10..947W, doi : 10.1016/0038-1098(72)90228-1
3. Стейси, Флорида; Бреннан, Би Джей; Ирвайн, Р.Д. (1981), «Теории конечных деформаций и сравнение с сейсмологическими данными», Surveys in Geophysicals , 4 (3): 189–232, Бибкод : 1981GeoSu...4..189S, doi : 10.1007/bf01449185, S2CID  129899060^{[ мертвая ссылка ]}
4. Пуарье (2002), с. 65.
5. Кумар, М. (1995), «Уравнение состояния твердых тел при высоком давлении», Physica B: Condensed Matter , 212 (4): 391–394, Бибкод : 1995PhyB..212..391K, doi : 10.1016/0921 -4526(95)00361-С
6. Веппнер, С. П., МакКелви, Дж. П., Тилен, К. Д. и Зелински, А. К., «Переменный индекс политропы, применяемый к моделям планет и материалов», «Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества», Vol. 452, № 2 (сентябрь 2015 г.), страницы 1375–1393, Oxford University Press, также можно найти в arXiv.
7. Сильви (1997), с. 122.
8. Андерсон, О.Л. (1995), Уравнения состояния твердых тел для геофизики и керамики, стр. 179, Издательство Оксфордского университета, ISBN 9780195345278.
9. Анхель, Р.Дж., «Некоторые практические аспекты изучения уравнений состояния и структурных фазовых переходов при высоком давлении», Кристаллография высокого давления , стр. 21–36.
10. Holzapfel, WB (1996), «Физика твердых тел при сильном сжатии», Reports on Progress in Physics , 59 (1): 29–90, Bibcode : 1996RPPh...59...29H, doi : 10.1088/0034 -4885/59/1/002, S2CID  250909120
11. Теория Томаса-Ферми рассматривает сильно сжатое твердое тело как вырожденный электронный газ ( ферми-газ ) с дополнительным экранирующим членом, учитывающим наличие атомных ядер.
12. Хользапфель, ВБ (2001), «Уравнения состояния твердых тел при сильном сжатии», Zeitschrift für Kristallographie , 216 (9): 473–488, Бибкод : 2001ZK....216..473H, doi : 10.1524/zkri. 216.9.473.20346, S2CID  94908666
13. Болдырева, Е.; Дера, П.; Балларан, Т. Боффа, «Уравнения состояния и их приложения в науках о Земле», в Springer (ред.), Кристаллография высокого давления: от фундаментальных явлений к технологическим приложениям , стр. 135–145.
14. Сильви, 1997. п. 123.
15. Сильви, 1997.
16. Стресснер, К.; Кардона, М.; Чойк, WJ (1987), «Рентгеновские исследования 3C-SiC под высоким давлением», Solid State Communications , 63 (2): 113–114, Bibcode : 1987SSCom..63..113S, doi : 10.1016/0038-1098 (87)91176-8
17. Макдональд, младший; Пауэлл, Д.Р. (1971), «Дискриминация между уравнениями состояния», Журнал исследований Национального бюро стандартов, раздел A , 75 (5): 441, doi : 10.6028/jres.075A.035
18. Макдональд, 1969, с. 320
19. Фучизаки, Казухиро (2006), «Возвращение к уравнению состояния Мурнагана», Журнал Физического общества Японии , 75 (3): 034601, Бибкод : 2006JPSJ...75c4601F, doi : 10.1143/jpsj.75.034601
20. Кумари, М.; Дасс, Н. (1990), «Уравнение состояния, применяемое к хлориду натрия и хлориду цезия при высоких давлениях и высоких температурах», Journal of Physics: Condensed Matter , 2 (14): 3219–3229, Bibcode : 1990JPCM... .2.3219K, номер документа : 10.1088/0953-8984/2/14/006, S2CID  250827859
21. Шанкер, Дж.; Сингх, Б.; Кушва, С.С. (1997), «Об уравнении состояния твердых тел при высоком давлении», Physica B: Condensed Matter , 229 (3–4): 419–420, Бибкод : 1997PhyB..229..419S, doi : 10.1016 /S0921-4526(96)00528-5

Библиография

• Пуарье, JP (2002), Введение в физику недр Земли, Cambridge University Press, ISBN 9780521663922
• Сильви, Б.; д'Арко, П. (1997), Моделирование минералов и силикатных материалов, Kluwer Academic Publishers, ISBN 9780792343332
• Макдональд, младший (1969), «Обзор некоторых экспериментальных и аналитических уравнений состояния», Reviews of Modern Physics , 41 (2): 316–349, Bibcode : 1969RvMP...41..316M, doi : 10.1103/revmodphys. 41,316

Смотрите также

• Уравнение состояния
• Уравнение состояния Берча – Мурнагана
• Уравнение состояния Розы – Вине
• Политроп

Внешние ссылки

• EosFit — программа для уточнения экспериментальных данных и расчетных соотношений P(V) для различных уравнений состояния, включая уравнение Мурнагана.