Слабая формулировка

Mathematical tools

Слабые формулировки являются важными инструментами для анализа математических уравнений , которые позволяют перенести концепции линейной алгебры для решения проблем в других областях, таких как уравнения в частных производных . В слабой формулировке уравнения или условия больше не обязаны выполняться абсолютно (и это даже не четко определено) и вместо этого имеют слабые решения только относительно определенных «пробных векторов» или « пробных функций ». В сильной формулировке пространство решений строится так, что эти уравнения или условия уже выполнены.

Теорема Лакса -Милгрэма , названная в честь Питера Лакса и Артура Милгрэма , доказавших ее в 1954 году, дает слабые формулировки для некоторых систем в гильбертовых пространствах .

Общая концепция

Пусть будет банаховым пространством , пусть будет двойственным пространством , пусть , [ ^{необходимы пояснения ]} и пусть . Вектор является решением уравнения ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A\colon V\to V'}$ ${\displaystyle f\in V'}$ ${\displaystyle u\in V}$

$${\displaystyle Au=f}$$

тогда и только тогда , когда для всех ${\displaystyle v\in V}$

$${\displaystyle (Au)(v)=f(v).}$$

Конкретный выбор называется тестовым вектором (вообще) или тестовой функцией (если это функциональное пространство). ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V}$

Чтобы привести это к общей форме слабой формулировки, найдите такое, что ${\displaystyle u\in V}$

$${\displaystyle a(u,v)=f(v)\quad \forall v\in V,}$$

определив билинейную форму

$${\displaystyle a(u,v):=(Au)(v).}$$

Пример 1: линейная система уравнений

Пусть теперь и — линейное отображение . Тогда слабая формулировка уравнения ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle A:V\to V}$

$${\displaystyle Au=f}$$

включает в себя нахождение такого, что для всех выполняется следующее уравнение: ${\displaystyle u\in V}$ ${\displaystyle v\in V}$

$${\displaystyle \langle Au,v\rangle =\langle f,v\rangle ,}$$

где обозначает внутренний продукт . ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Поскольку это линейное отображение, достаточно проверить с помощью базисных векторов , и мы получаем ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \langle Au,e_{i}\rangle =\langle f,e_{i}\rangle ,\quad i=1,\ldots ,n.}$$

Действительно, разложив , получим матричную форму уравнения ${\displaystyle u=\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j}}$

$${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {u} =\mathbf {f} ,}$$

где и . ${\displaystyle a_{ij}=\langle Ae_{j},e_{i}\rangle }$ ${\displaystyle f_{i}=\langle f,e_{i}\rangle }$

Билинейная форма, связанная с этой слабой формулировкой, равна

$${\displaystyle a(u,v)=\mathbf {v} ^{T}\mathbf {A} \mathbf {u} .}$$

Пример 2: уравнение Пуассона

Чтобы решить уравнение Пуассона

$${\displaystyle -\nabla ^{2}u=f,}$$

в области с на ее границе , а чтобы указать пространство решений позже, можно использовать - скалярное произведение ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle u=0}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L^{2}}$

$${\displaystyle \langle u,v\rangle =\int _{\Omega }uv\,dx}$$

вывести слабую формулировку. Тогда тестирование с дифференцируемыми функциями дает ${\displaystyle v}$

$${\displaystyle -\int _{\Omega }(\nabla ^{2}u)v\,dx=\int _{\Omega }fv\,dx.}$$

Левую часть этого уравнения можно сделать более симметричной путем интегрирования по частям, используя тождество Грина и предполагая, что : ${\displaystyle v=0}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$

$${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx=\int _{\Omega }fv\,dx.}$$

Это то, что обычно называют слабой формулировкой уравнения Пуассона . Функции в пространстве решений должны быть нулевыми на границе и иметь производные, интегрируемые с квадратом . Подходящим пространством для удовлетворения этих требований является пространство Соболева функций со слабыми производными в и с нулевыми граничными условиями, т. е . . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$ ${\displaystyle V=H_{0}^{1}(\Omega )}$

Общая форма получается присвоением

$${\displaystyle a(u,v)=\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx}$$

и

$${\displaystyle f(v)=\int _{\Omega }fv\,dx.}$$

Теорема Лакса – Милгрэма

Это формулировка теоремы Лакса – Милгрэма , основанная на свойствах симметричной части билинейной формы . Это не самая общая форма.

Пусть – гильбертово пространство и билинейная форма на , которая есть ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle V}$

1. ограничено : и ${\displaystyle |a(u,v)|\leq C\|u\|\|v\|\,;}$
2. принудительный : ${\displaystyle a(u,u)\geq c\|u\|^{2}\,.}$

Тогда для любого ограниченного существует единственное решение уравнения ${\displaystyle f\in V'}$ ${\displaystyle u\in V}$

$${\displaystyle a(u,v)=f(v)\quad \forall v\in V}$$

и это держится

$${\displaystyle \|u\|\leq {\frac {1}{c}}\|f\|_{V'}\,.}$$

Приложение к примеру 1

Здесь применение теоремы Лакса–Милгрэма является более сильным результатом, чем необходимо.

• Ограниченность: все билинейные формы ограничены. В частности, у нас есть ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle |a(u,v)|\leq \|A\|\,\|u\|\,\|v\|}$$
• Коэрцитивность: на самом деле это означает, что действительные части собственных значений не меньше . Поскольку из этого, в частности, следует, что ни одно собственное значение не равно нулю, система разрешима. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle c}$

Кроме того, это дает оценку где – минимальная действительная часть собственного значения . $${\displaystyle \|u\|\leq {\frac {1}{c}}\|f\|,}$$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle A}$

Приложение к примеру 2

Вот выбирайте с нормой ${\displaystyle V=H_{0}^{1}(\Omega )}$ $${\displaystyle \|v\|_{V}:=\|\nabla v\|,}$$

где норма справа — это норма на (это обеспечивает истинную норму на по неравенству Пуанкаре ). Но мы видим это и по неравенству Коши–Шварца , . ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle |a(u,u)|=\|\nabla u\|^{2}}$ ${\displaystyle |a(u,v)|\leq \|\nabla u\|\,\|\nabla v\|}$

Поэтому для любого существует единственное решение уравнения Пуассона и справедлива оценка ${\displaystyle f\in [H_{0}^{1}(\Omega )]'}$ ${\displaystyle u\in V}$

$${\displaystyle \|\nabla u\|\leq \|f\|_{[H_{0}^{1}(\Omega )]'}.}$$

Смотрите также

• Теорема Бабушки – Лакса – Милгрэма
• Теорема Лайонса – Лакса – Милгрэма

Рекомендации

• Лакс, Питер Д .; Милгрэм, Артур Н. (1954), «Параболические уравнения», Вклад в теорию уравнений в частных производных , Анналы математических исследований, том. 33, Принстон, Нью-Джерси : Princeton University Press , стр. 167–190, doi : 10.1515/9781400882182-010, ISBN. 9781400882182, МР  0067317, Збл  0058.08703

Внешние ссылки

• Страница MathWorld, посвященная теореме Лакса – Милгрэма