Комплексное число

Число с действительной и мнимой частью

Комплексное число можно визуально представить как пару чисел ( a ,  b ), образующих вектор на диаграмме, называемой диаграммой Аргана , представляющей комплексную плоскость . Re — действительная ось, Im — воображаемая ось, а i — « мнимая единица », удовлетворяющая условию i ² = −1 .

В математике комплексное число — это элемент системы счисления , который расширяет действительные числа конкретным элементом, обозначаемым i , называемым мнимой единицей и удовлетворяющим уравнению ; каждое комплексное число можно выразить в виде , где a и b — действительные числа. Поскольку ни одно действительное число не удовлетворяет приведенному выше уравнению, Рене Декарт назвал меня мнимым числом . Для комплексного числа а называется ${\displaystyle i^{2}=-1}$ ${\displaystyle a+bi}$ ${\displaystyle a+bi}$ действительная часть , аbназываетсямнимая часть . Множество комплексных чисел обозначается либо символом,либо C. Несмотря на историческую номенклатуру, «мнимые» комплексные числа имеютматематическоесуществование, как и действительные числа, и являются фундаментальными инструментами научного описания мира природы.^[1][2] ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Комплексные числа позволяют найти решение всех полиномиальных уравнений , даже тех, которые не имеют решений в действительных числах. Точнее, основная теорема алгебры утверждает, что каждое непостоянное полиномиальное уравнение с действительными или комплексными коэффициентами имеет решение, которое является комплексным числом. Например, уравнение не имеет действительного решения, поскольку квадрат действительного числа не может быть отрицательным, но имеет два недействительных комплексных решения и . ${\displaystyle (x+1)^{2}=-9}$ ${\displaystyle -1+3i}$ ${\displaystyle -1-3i}$

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел можно естественным образом определить, используя это правило вместе с ассоциативными , коммутативными и распределительными законами . Каждое ненулевое комплексное число имеет обратное мультипликативное число . Это превращает комплексные числа в поле с действительными числами в качестве подполя. ${\displaystyle i^{2}=-1}$

Комплексные числа также образуют вещественное векторное пространство размерности два со стандартным базисом . Этот стандартный базис превращает комплексные числа в декартову плоскость , называемую комплексной плоскостью . Это позволяет геометрическую интерпретацию комплексных чисел и их операций, и наоборот, некоторые геометрические объекты и операции могут быть выражены через комплексные числа. Например, действительные числа образуют действительную линию , которая изображается как горизонтальная ось комплексной плоскости, а действительные числа, кратные , представляют собой вертикальную ось. Комплексное число также можно определить по его геометрическим полярным координатам : радиус называется абсолютным значением комплексного числа, а угол от положительной действительной оси называется аргументом комплексного числа. Комплексные числа с абсолютным значением один образуют единичный круг . Добавление фиксированного комплексного числа ко всем комплексным числам определяет сдвиг в комплексной плоскости, а умножение на фиксированное комплексное число представляет собой подобие с центром в начале координат (расширение на абсолютное значение и вращение на аргумент). Операция комплексного сопряжения представляет собой зеркальную симметрию относительно вещественной оси. ${\displaystyle \{1,i\}}$ ${\displaystyle i}$

Комплексные числа образуют богатую структуру, которая одновременно является алгебраически замкнутым полем , коммутативной алгеброй над действительными числами и евклидовым векторным пространством размерности два.

Определение и основные операции

Различные комплексные числа, изображенные на комплексной плоскости.

Комплексное число — это выражение вида a + bi , где a и b — действительные числа , а i — абстрактный символ, так называемая мнимая единица , значение которой будет объяснено ниже. Например, 2 + 3 i — комплексное число. ^[3]

Для комплексного числа a + bi действительное число a называется его действительной частью , а действительное число b (а не комплексное число bi ) — его мнимой частью . ^{[4] [5]} Действительная часть комплексного числа z обозначается Re( z ) , , или ; мнимая часть — Im( z ) , , или : например, , . ${\displaystyle {\mathcal {Re}}(z)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {R}}(z)}$ ${\displaystyle {\mathcal {Im}}(z)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {I}}(z)}$ ${\textstyle \operatorname {Re} (2+3i)=2}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (2+3i)=3}$

Комплексное число z можно отождествить с упорядоченной парой действительных чисел , которые можно интерпретировать как координаты точки на евклидовой плоскости со стандартными координатами, которая затем называется комплексной плоскостью или диаграммой Аргана , ^{[6] [a]} . ^[7] Горизонтальная ось обычно используется для отображения действительной части с возрастающими значениями вправо, а мнимая часть обозначает вертикальную ось с возрастающими значениями вверх. ${\displaystyle (\Re (z),\Im (z))}$

Комплексное число z в виде точки (черного цвета) и вектора ее положения (синего цвета).

Действительное число a можно рассматривать как комплексное число a + 0 i , мнимая часть которого равна 0. Чисто мнимое число bi — это комплексное число 0 + bi , действительная часть которого равна нулю. Как и в случае с полиномами, принято писать a + 0 i = a , 0 + bi = bi и a + (− b ) i = a − bi ; например, 3 + (−4) i знак равно 3 − 4 i .

Набор всех комплексных чисел обозначается ( жирный шрифт на доске ) или C (жирный вертикальный шрифт). ${\displaystyle \mathbb {C} }$

В некоторых дисциплинах, таких как электромагнетизм и электротехника , j используется вместо i , поскольку i часто представляет электрический ток , ^{[8] [9]} и комплексные числа записываются как a + bj или a + jb .

Сложение и вычитание

Сложение двух комплексных чисел можно выполнить геометрически, построив параллелограмм.

Два комплексных числа и складываются путем отдельного сложения их действительной и мнимой частей. То есть: ${\displaystyle a=x+yi}$ ${\displaystyle b=u+vi}$

$${\displaystyle a+b=(x+yi)+(u+vi)=(x+u)+(y+v)i.}$$Аналогично, вычитание может быть выполнено как $${\displaystyle a-b=(x+yi)-(u+vi)=(x-u)+(y-v)i.}$$

Геометрически сложение можно представить следующим образом: сумма двух комплексных чисел a и b , интерпретируемых как точки комплексной плоскости, — это точка, полученная построением параллелограмма из трех вершин O , а точки стрелок, обозначенные a и б (при условии, что они не находятся на одной линии). Эквивалентно, назвав эти точки A , B соответственно и четвертой точкой параллелограмма X , треугольники OAB и XBA конгруэнтны .

Умножение

Произведение двух комплексных чисел вычисляется следующим образом:

${\displaystyle (a+bi)\cdot (c+di)=ac-bd+(ad+bc)i.}$

Например, в частности, сюда входит в качестве частного случая фундаментальная формула ${\displaystyle (3+2i)(4-i)=3\cdot 4-(2\cdot (-1))+(3\cdot (-1)+2\cdot 4)i=14+5i.}$

${\displaystyle i^{2}=i\cdot i=-1.}$

Эта формула отличает комплексное число i от любого действительного числа, поскольку квадрат любого (отрицательного или положительного) действительного числа x всегда удовлетворяет . ${\displaystyle x^{2}\geq 0}$

При таком определении умножения и сложения знакомые правила арифметики рациональных или действительных чисел продолжают соблюдаться и для комплексных чисел. Точнее, сохраняется распределительное свойство , коммутативные свойства (сложения и умножения). Следовательно, комплексные числа образуют алгебраическую структуру, известную как поле , так же, как это делают рациональные или действительные числа. ^[10]

Комплексно-сопряженное, абсолютное значение и аргумент

Геометрическое представление z и сопряженного ему z в комплексной плоскости.

Комплексно -сопряженное комплексное число z = x + yi определяется как ^[11]. Некоторые авторы также обозначают его через . Геометрически z — это «отражение» z относительно реальной оси. Двойное сопряжение дает исходное комплексное число: комплексное число действительно тогда и только тогда, когда оно равно своему собственному сопряженному числу. Унарную операцию взятия комплексно-сопряженного комплексного числа невозможно выразить, применяя только основные операции сложения, вычитания, умножения и деления. ${\displaystyle {\overline {z}}=x-yi.}$ ${\displaystyle z^{*}}$ ${\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z.}$

Аргумент φ и модуль r определяют точку на комплексной плоскости.

Для любого комплексного числа z = x + yi произведение

${\displaystyle z\cdot {\overline {z}}=(x+iy)(x-iy)=x^{2}+y^{2}}$

является неотрицательным действительным числом. Это позволяет определить абсолютное значение (или модуль или величину ) z как квадратный корень ^[12] По теореме Пифагора это расстояние от начала координат до точки, представляющей комплексное число z на комплексной плоскости. В частности, окружность радиуса один вокруг начала координат состоит именно из чисел z таких, что . Если - действительное число, то : его абсолютное значение как комплексного числа, так и как действительного числа равны. $${\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$$ ${\displaystyle |z|}$ ${\displaystyle |z|=1}$ ${\displaystyle z=x=x+0i}$ ${\displaystyle |z|=|x|}$

Используя сопряжение, обратную величину ненулевого комплексного числа можно вычислить как ${\displaystyle z=x+yi}$

$${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}={\frac {x-yi}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}i.}$$В более общем смысле, деление произвольного комплексного числа на ненулевое комплексное число равно этому процессу. Этот процесс иногда называют « рационализацией » знаменателя (хотя знаменатель в конечном выражении может быть иррациональным действительным числом), поскольку он напоминает метод удалять корни из простых выражений в знаменателе. ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle w=u+vi}$ ${\displaystyle z=x+yi}$ $${\displaystyle {\frac {w}{z}}={\frac {w{\bar {z}}}{|z|^{2}}}={\frac {(u+vi)(x-iy)}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {ux+vy}{x^{2}+y^{2}}}+{\frac {vx-uy}{x^{2}+y^{2}}}i.}$$

Аргумент z (иногда называемый «фазой» φ ) ^[7] представляет собой угол радиуса Oz с положительной действительной осью и записывается как arg z , выраженный в радианах в этой статье. Угол определяется только до добавления целых чисел, кратных , поскольку вращение на (или 360°) вокруг начала координат оставляет все точки комплексной плоскости неизменными. Одним из возможных вариантов однозначного определения аргумента является требование, чтобы он находился в интервале , который называется основным значением . ^[13] Аргумент можно вычислить из прямоугольной формы x + yi с помощью функции arctan (обратный тангенс). ^[14] ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$

Полярная форма

Умножение 2 + i (синий треугольник) и 3 + i (красный треугольник). Красный треугольник поворачивается так, чтобы соответствовать вершине синего треугольника (сложение обоих углов в терминах φ ₁ + φ ₂ в уравнении) и растягивается на длину гипотенузы синего треугольника (умножение обоих радиусов, согласно члену r ₁ r ₂ в уравнении).

Для любого комплексного числа z с абсолютным значением и аргументом уравнение ${\displaystyle r=|z|}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}$

держит. Это тождество называется полярной формой z . Иногда его сокращают . В электронике вектор с амплитудой r и фазой φ представляют в угловом обозначении : ^[15] ${\textstyle z=r\operatorname {\mathrm {cis} } \varphi }$ $${\displaystyle z=r\angle \varphi .}$$

Если два комплексных числа заданы в полярной форме, т. е. z ₁ = r ₁ (cos  φ ₁ + i  sin  φ ₁ ) и z ₂ = r ₂ (cos  φ ₂ + i  sin  φ ₂ ) , произведение и деление могут быть вычисляется как (Это следствие тригонометрических тождеств для функций синуса и косинуса.) Другими словами, абсолютные значения умножаются и аргументы добавляются , чтобы получить полярную форму продукта. Рисунок справа иллюстрирует умножение. Поскольку действительная и мнимая части 5 + 5 i равны, аргумент этого числа равен 45 градусам, или π /4 (в радианах ). С другой стороны, это также сумма углов в начале красного и синего треугольников — арктан (1/3) и арктан (1/2) соответственно. Таким образом, формула справедлива. Поскольку функцию арктанга можно аппроксимировать очень эффективно, подобные формулы, известные как формулы типа Мачина , используются для высокоточных аппроксимаций π . ^{[ нужна цитата ]} $${\displaystyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}+\varphi _{2})).}$$ $${\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\left(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})\right),{\text{if }}z_{2}\neq 0.}$$ $${\displaystyle (2+i)(3+i)=5+5i.}$$ $${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan \left({\frac {1}{2}}\right)+\arctan \left({\frac {1}{3}}\right)}$$

Силы и корни

n - я степень комплексного числа может быть вычислена с помощью формулы де Муавра , которая получается путем многократного применения приведенной выше формулы для произведения: Например, первые несколько степеней мнимой единицы i равны . $${\displaystyle z^{n}=\underbrace {z\cdot \dots \cdot z} _{n{\text{ factors}}}=(r(\cos \varphi +i\sin \varphi ))^{n}=r^{n}\,(\cos n\varphi +i\sin n\varphi ).}$$ ${\displaystyle i,i^{2}=-1,i^{3}=-i,i^{4}=1,i^{5}=i,\dots }$

Геометрическое представление корней со 2-й по 6-ю комплексного числа z в полярной форме re ^iφ  , где r = | г  | и φ = арг z . Если z действительно, φ = 0 или π . Главные корни показаны черным цветом.

Корни n n-й степени комплексного числа z определяются формулой для 0 ≤ k ≤ n − 1 . (Вот обычный (положительный) корень n-й степени из положительного действительного числа r .) Поскольку синус и косинус являются периодическими, другие целые значения k не дают других значений. Для любого существует, в частности, n различных комплексных корней n -й степени. Например, существует 4 корня четвёртой степени из 1, а именно $${\displaystyle z^{1/n}={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)\right)}$$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}$ ${\displaystyle z\neq 0}$

${\displaystyle z_{1}=1,z_{2}=i,z_{3}=-1,z_{4}=-i.}$

В общем, не существует естественного способа отличить один конкретный комплексный корень n- й степени из комплексного числа. (Это контрастирует с корнями положительного действительного числа x , которое имеет уникальный положительный действительный корень n -й степени, который поэтому обычно называют корнем n -й степени из x .) К этой ситуации относятся, говоря, что корень n- й степени является n -значной функцией от z .

Основная теорема алгебры

Основная теорема алгебры Карла Фридриха Гаусса и Жана ле Ронда Даламбера утверждает, что для любых комплексных чисел (называемых коэффициентами ) a ₀ , ...,  an уравнение имеет по крайней мере одно комплексное решение z при условии, _что по крайней мере один из старших коэффициентов a ₁ , ...,  an _не равен нулю. ^[16] Это свойство не справедливо ни для поля рациональных чисел (многочлен x ² − 2 не имеет рационального корня, поскольку √2 не является рациональным числом), ни для действительных чисел (многочлен x ² + 4 не имеет имеют действительный корень, поскольку квадрат x положителен для любого действительного числа x ). $${\displaystyle a_{n}z^{n}+\dotsb +a_{1}z+a_{0}=0}$$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

В связи с этим поле называется алгебраически замкнутым . Это краеугольный камень различных применений комплексных чисел, как подробно описано ниже. Существуют различные доказательства этой теоремы либо аналитическими методами, такими как теорема Лиувилля , либо топологическими методами, такими как число обмотки , либо доказательством, сочетающим теорию Галуа и тот факт, что любой действительный многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень. ${\displaystyle \mathbb {C} }$

История

Решение в радикалах (без тригонометрических функций ) общего кубического уравнения , когда все три его корня являются действительными числами, содержит квадратные корни из отрицательных чисел , ситуацию, которую нельзя исправить путем факторизации с помощью теста на рациональный корень , если кубическая неприводима ; это так называемый casus reducibilis («неприводимый случай»). Эта загадка побудила итальянского математика Джероламо Кардано примерно в 1545 году в своей книге «Ars Magna» придумать комплексные числа ^[17] , хотя его понимание было рудиментарным; более того, позже он описал комплексные числа как «настолько тонкие, насколько и бесполезные». ^[18] Кардано действительно использовал воображаемые числа, но назвал их «психической пыткой». ^[19] Это было до использования графической сложной плоскости. Кардано и другие итальянские математики, особенно Сципионе дель Ферро , в 1500-х годах создали алгоритм решения кубических уравнений, которые обычно имели одно действительное решение и два решения, содержащие мнимое число. Поскольку они игнорировали ответы с воображаемыми числами, Кардано счел их бесполезными. ^[20]

Работа над проблемой общих полиномов в конечном итоге привела к фундаментальной теореме алгебры , которая показывает, что с комплексными числами решение существует для каждого полиномиального уравнения степени один или выше. Таким образом, комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле , где любое полиномиальное уравнение имеет корень .

Многие математики внесли свой вклад в разработку комплексных чисел. Правила сложения, вычитания, умножения и извлечения корня комплексных чисел разработал итальянский математик Рафаэль Бомбелли . ^[21] Более абстрактный формализм для комплексных чисел был далее развит ирландским математиком Уильямом Роуэном Гамильтоном , который распространил эту абстракцию на теорию кватернионов . ^[22]

Самое раннее мимолетное упоминание о квадратных корнях из отрицательных чисел , возможно, встречается в работе греческого математика Героя Александрийского в I веке нашей эры , где в своей «Стереометрике» он рассматривал, по-видимому, по ошибке, объем невозможного усеченного пирамидального круга . пирамиду , чтобы получить термин в своих расчетах, который сегодня можно было бы упростить до . ^[b] Отрицательные величины не были поняты в эллинистической математике , и Герой просто заменил их положительными ^[24] ${\displaystyle {\sqrt {81-144}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {-63}}=3i{\sqrt {7}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {144-81}}=3{\sqrt {7}}.}$

Стимул к изучению комплексных чисел как отдельной темы впервые возник в 16 веке, когда итальянские математики ( Никколо Фонтана Тарталья и Джероламо Кардано ) обнаружили алгебраические решения для корней многочленов кубической и четвертой степени . Вскоре стало понятно (но было доказано гораздо позже) ^[25] , что эти формулы, даже если интересовались только действительными решениями, иногда требуют манипуляций с квадратными корнями из отрицательных чисел. Фактически позже было доказано, что использование комплексных чисел неизбежно, когда все три корня вещественны и различны. ^[c] Однако в этом случае все же можно использовать общую формулу, с некоторой осторожностью, чтобы справиться с двусмысленностью, возникающей из-за существования трех кубических корней для ненулевых комплексных чисел. Рафаэль Бомбелли был первым, кто открыто обратился к этим, казалось бы, парадоксальным решениям кубических уравнений и разработал правила комплексной арифметики, пытаясь решить эти проблемы.

Термин «мнимые» для этих величин был введен Рене Декартом в 1637 году, который изо всех сил старался подчеркнуть их нереальную природу: ^[26]

... иногда только воображаемые, то есть можно представить столько, сколько я сказал в каждом уравнении, но иногда не существует количества, соответствующего тому, которое мы воображаем.
[ ... quelquefois seulement imaginaires c'est-à-dire que l'on peut toujours en Imagineer autant que j'ai dit en chaque équation, но больше, чем qu'il n'y a quelquefois aucune quantité quantité qui соответствует à celle qu'on представлять себе. ]

Еще одним источником путаницы было то, что уравнение казалось причудливо несовместимым с алгебраическим тождеством , которое справедливо для неотрицательных действительных чисел a и b и которое также использовалось в вычислениях комплексных чисел с одним из a , b положительным и другой негатив. Неверное использование этого тождества в случае, когда и a , и b отрицательны, и связанное с ним тождество сбивало с толку даже Леонарда Эйлера . Эта трудность в конечном итоге привела к тому , что во избежание этой ошибки было принято использовать специальный символ i вместо . ^{[ нужна цитата ]} Несмотря на это, Эйлер считал естественным знакомить студентов с комплексными числами гораздо раньше, чем мы это делаем сегодня. В своем учебнике элементарной алгебры « Элементы алгебры» он почти сразу вводит эти числа, а затем использует их естественным образом повсюду. ${\displaystyle {\sqrt {-1}}^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=-1}$ ${\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}}$ ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {a}}}={\sqrt {\frac {1}{a}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$

В 18 веке комплексные числа получили более широкое использование, поскольку было замечено, что формальные манипуляции со сложными выражениями можно использовать для упрощения вычислений с использованием тригонометрических функций. Например, в 1730 году Абрахам де Муавр заметил, что тождества, связывающие тригонометрические функции целого кратного угла со степенями тригонометрических функций этого угла, могут быть перевыражены следующей формулой Муавра :

$${\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta .}$$

Формула Эйлера связывает комплексную показательную функцию мнимого аргумента, которую можно рассматривать как описывающую равномерное круговое движение в комплексной плоскости, с функциями косинуса и синуса, геометрически их проекциями на действительную и мнимую оси соответственно.

В 1748 году Эйлер пошел дальше и получил формулу комплексного анализа Эйлера : ^[27]

$${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }$$

формально манипулируя сложными степенными рядами , и заметил, что эту формулу можно использовать для сведения любого тригонометрического тождества к гораздо более простым экспоненциальным тождествам.

Идея комплексного числа как точки на комплексной плоскости (вверху) была впервые описана датско - норвежским математиком Каспаром Весселем в 1799 году, ^[28] хотя это было предсказано еще в 1685 году в «Трактате по алгебре» Уоллиса . ^[29]

Мемуары Весселя появились в журнале Proceedings of the Copenhagen Academy , но остались практически незамеченными. В 1806 году Жан-Робер Арган независимо выпустил брошюру о комплексных числах и предоставил строгое доказательство основной теоремы алгебры . ^[30] Карл Фридрих Гаусс ранее опубликовал по существу топологическое доказательство теоремы в 1797 году, но тогда выразил свои сомнения относительно «истинной метафизики квадратного корня из −1». ^[31] Лишь в 1831 году он преодолел эти сомнения и опубликовал свой трактат о комплексных числах как точках на плоскости, ^[32] в значительной степени установив современные обозначения и терминологию: ^[33]

Если раньше кто-то рассматривал этот предмет с ложной точки зрения и потому находил таинственную тьму, то это во многом объясняется неуклюжей терминологией. Если бы не называли +1, -1, положительные, отрицательные или мнимые (или даже невозможные) единицы, а, скажем, прямые, обратные или латеральные единицы, то о такой тьме вряд ли могла бы идти речь. ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$

В начале 19 века другие математики независимо открыли геометрическое представление комплексных чисел: Буэ, ^{[34] [35]} Мури , ^[36] Уоррен, [ ^{37] [38] [39]} Франсэ и его брат Беллавитис . . ^{[40] [41]}

Английский математик Г.Х. Харди заметил, что Гаусс был первым математиком, который использовал комплексные числа «действительно уверенно и научно», хотя такие математики, как норвежский Нильс Хенрик Абель и Карл Густав Якоб Якоби, обязательно использовали их регулярно до того, как Гаусс опубликовал свой трактат 1831 года. ^[42]

Огюстен-Луи Коши и Бернхард Риман вместе довели фундаментальные идеи комплексного анализа до высокой степени завершенности, начиная примерно с 1825 года в случае Коши.

Общие термины, используемые в теории, в основном принадлежат ее основателям. Арган назвал cos φ + i sin φ коэффициентом направления и модулем ; ^{[d] [43]} Коши (1821) назвал cos φ + i sin φ приведенной формой (l'expression reduite) ^[44] и, по-видимому, ввел термин аргумент ; Гаусс использовал i вместо , ^[e] ввёл термин комплексное число для a + bi , ^[f] и назвал a ² + b ² нормой . ^[g] Коэффициент направления выражения , часто используемый для cos φ + i sin φ , принадлежит Ханкелю (1867), ^[48] , а абсолютное значение для модуля принадлежит Вейерштрассу. ${\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$

К более поздним классическим авторам общей теории относятся Рихард Дедекинд , Отто Гёльдер , Феликс Кляйн , Анри Пуанкаре , Герман Шварц , Карл Вейерштрасс и многие другие. Важные работы (в том числе по систематизации) в области комплексного многомерного исчисления были начаты в начале 20 века. Важные результаты были достигнуты Вильгельмом Виртингером в 1927 году.

Абстрактные алгебраические аспекты

Хотя приведенные выше определения низкого уровня, включая сложение и умножение, точно описывают комплексные числа, существуют другие, эквивалентные подходы, которые более непосредственно раскрывают абстрактную алгебраическую структуру комплексных чисел.

Строительство как факторполе

Один из подходов заключается в использовании полиномов , т. е. выражений вида , где коэффициенты a ₀ , ...,  a _n являются действительными числами. Множество всех таких многочленов обозначается . Поскольку суммы и произведения многочленов снова являются полиномами, этот набор образует коммутативное кольцо , называемое кольцом многочленов (над действительными числами). Каждому такому многочлену p можно присвоить комплексное число , т. е. значение, полученное установкой . Это определяет функцию ${\displaystyle \mathbb {C} }$ $${\displaystyle p(X)=a_{n}X^{n}+\dotsb +a_{1}X+a_{0},}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ ${\displaystyle p(i)=a_{n}i^{n}+\dotsb +a_{1}i+a_{0}}$ ${\displaystyle X=i}$

${\displaystyle \mathbb {R} [X]\to \mathbb {C} }$

Эта функция является сюръективной , поскольку каждое комплексное число может быть получено таким способом: оценка линейного многочлена в точке равна . Однако оценка многочлена при i равна 0, т. к. этот многочлен неприводим , т. е. не может быть записан в виде произведения двух линейных многочленов. Тогда из основных фактов абстрактной алгебры следует, что ядро ​​приведенного выше отображения является идеалом , порожденным этим многочленом, и что фактор по этому идеалу является полем, и что существует изоморфизм . ${\displaystyle a+bX}$ ${\displaystyle X=i}$ ${\displaystyle a+bi}$ ${\displaystyle X^{2}+1}$ ${\displaystyle i^{2}+1=0.}$

${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1){\stackrel {\cong }{\to }}\mathbb {C} }$

между факторкольцом и . Некоторые авторы принимают это за определение . ^[49] ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Следовательно , признание того, что это алгебраически замкнуто, поскольку оно является алгебраическим расширением в этом подходе, является алгебраическим замыканием ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Матричное представление комплексных чисел

Комплексные числа a + bi также могут быть представлены матрицами 2 × 2 вида Здесь элементы a и b являются действительными числами. Поскольку сумма и произведение двух таких матриц снова имеют этот вид, эти матрицы образуют подкольцо кольца матриц 2 × 2 . $${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}.}$$

Простое вычисление показывает, что отображение представляет собой кольцевой изоморфизм поля комплексных чисел кольцу этих матриц, доказывая, что эти матрицы образуют поле. Этот изоморфизм связывает квадрат абсолютного значения комплексного числа с определителем соответствующей матрицы, а сопряженное комплексное число — с транспонированием матрицы . $${\displaystyle a+ib\mapsto {\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}}$$

Геометрическое описание умножения комплексных чисел также можно выразить через матрицы вращения, используя это соответствие между комплексными числами и такими матрицами. Действие матрицы на вектор ( x , y ) соответствует умножению x + iy на a + ib . В частности, если определитель равен 1 , существует действительное число t такое, что матрица имеет вид

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\;\;\cos t\end{pmatrix}}.}$$В этом случае и действие матрицы на векторы, и умножение на комплексное число являются поворотом угла t . ${\displaystyle \cos t+i\sin t}$

Комплексный анализ

Изучение функций комплексной переменной известно как комплексный анализ и имеет огромное практическое применение как в прикладной математике, так и в других разделах математики. Часто наиболее естественные доказательства утверждений реального анализа или даже теории чисел используют методы комплексного анализа ( пример см. в теореме о простых числах ).

Граф раскраски области функции ⁠( z ² - 1)( z - 2 - я ) ²/z ² + 2 + 2 я⁠ . Более темные пятна обозначают модули, близкие к нулю, более яркие пятна находятся дальше от начала координат. Цвет кодирует аргумент. Функция имеет нули для ±1, (2 + i ) и полюсы в ${\displaystyle \pm {\sqrt {-2-2i}}.}$

В отличие от реальных функций, которые обычно представляются в виде двумерных графиков, сложные функции имеют четырехмерные графики и могут быть полезно проиллюстрированы путем цветового кодирования трехмерного графика, чтобы обозначить четыре измерения, или путем анимации динамического преобразования сложной функции. сложный самолет.

Конвергенция

Иллюстрация поведения последовательности для трех разных значений z (все имеют один и тот же аргумент): последовательность сходится к 0 (внутренняя спираль), а для (внешняя спираль) расходится. ${\displaystyle z^{n}}$ ${\displaystyle |z|<1}$ ${\displaystyle |z|>1}$

Понятия сходящегося ряда и непрерывных функций в (реальном) анализе имеют естественные аналоги в комплексном анализе. Говорят, что последовательность комплексных чисел сходится тогда и только тогда, когда сходятся ее действительная и мнимая части. Это эквивалентно (ε, δ)-определению пределов , где абсолютное значение действительных чисел заменяется абсолютным значением комплексных чисел. С более абстрактной точки зрения, , наделенное метрикой, представляет собой полное метрическое пространство , которое, в частности, включает в себя неравенство треугольника для любых двух комплексных чисел z ₁ и z ₂ . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ $${\displaystyle \operatorname {d} (z_{1},z_{2})=|z_{1}-z_{2}|}$$ $${\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|}$$

Комплексная экспонента

Иллюстрация комплексной экспоненциальной функции, отображающей комплексную плоскость, w = exp ⁡( z ). На левой плоскости показана квадратная сетка с размером ячейки 1, с выделенными тремя комплексными числами 0, 1 и i . Два прямоугольника (пурпурного и зеленого цвета) отображаются в круговые сегменты, а линии, параллельные оси X , отображаются в лучи, исходящие из начала координат, но не содержащие его. Линии, параллельные оси Y , отображаются в круги.

Как и в реальном анализе, это понятие сходимости используется для построения ряда элементарных функций : показательная функция exp z , также обозначаемая как e ^z , определяется как бесконечный ряд , сходимость которого можно показать для любого z : например, — постоянная Эйлера . Формула Эйлера гласит: для любого действительного числа φ . Эта формула является быстрым следствием общих основных фактов о сходящихся степенных рядах и определения задействованных функций как степенных рядов. В качестве частного случая сюда входит тождество Эйлера. $${\displaystyle \exp z:=1+z+{\frac {z^{2}}{2\cdot 1}}+{\frac {z^{3}}{3\cdot 2\cdot 1}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$$ ${\displaystyle \exp(1)}$ ${\displaystyle e\approx 2.718}$ $${\displaystyle \exp(i\varphi )=\cos \varphi +i\sin \varphi }$$ $${\displaystyle \exp(i\pi )=-1.}$$

Комплексный логарифм

Экспоненциальная функция отображает комплексные числа z, отличающиеся кратно, в одно и то же комплексное число w . ${\displaystyle 2\pi i}$

Для любого положительного действительного числа t существует единственное действительное число x такое, что . Это приводит к определению натурального логарифма как обратной показательной функции. Иная ситуация с комплексными числами, поскольку ${\displaystyle \exp(x)=t}$ ${\displaystyle \ln \colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ;x\mapsto \ln x}$

${\displaystyle \exp(z+2\pi i)=\exp z\exp(2\pi i)=\exp z}$

функциональным уравнением и тождеством Эйлера. Например, e ^iπ = e ^{3 iπ} = −1 , поэтому и iπ , и 3 iπ являются возможными значениями комплексного логарифма −1 .

В общем случае, учитывая любое ненулевое комплексное число w , любое число z, решающее уравнение

${\displaystyle \exp z=w}$

называется комплексным логарифмом w , обозначается . Можно показать, что эти числа удовлетворяют условиям, где arg — аргумент , определенный выше, и ln (действительный) натуральный логарифм . Поскольку arg — многозначная функция , уникальная только до кратности 2 π , log также является многозначной. Главное значение журнала часто берется путем ограничения мнимой части интервалом ( − π , π ] . Это приводит к тому, что комплексный логарифм является биективной функцией, принимающей значения в полосе (которая обозначена на рисунке выше). ${\displaystyle \log w}$ $${\displaystyle z=\log w=\ln |w|+i\arg w,}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}+\;i\,\left(-\pi ,\pi \right]}$ ${\displaystyle S_{0}}$ $${\displaystyle \ln \colon \;\mathbb {C} ^{\times }\;\to \;\;\;\mathbb {R} ^{+}+\;i\,\left(-\pi ,\pi \right].}$$

Если это не положительное действительное число (положительное или недействительное число), результирующее главное значение комплексного логарифма получается с − π < φ < π . Это аналитическая функция вне отрицательных действительных чисел, но ее нельзя продолжить до функции, непрерывной при любом отрицательном вещественном числе , где главное значение равно ln z = ln(− z ) + iπ . ^[час] ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \left(-\mathbb {R} _{\geq 0}\right)}$ ${\displaystyle z\in -\mathbb {R} ^{+}}$

Комплексное возведение в степень z ^ω определяется как и является многозначным, за исключением случаев, когда ω является целым числом. Для ω = 1/ n для некоторого натурального числа n это восстанавливает неединственность корней n-й степени, упомянутую выше. Если z > 0 действительное (а ω — произвольное комплексное число), предпочтительным выбором является действительный логарифм, который можно использовать для определения предпочтительной экспоненциальной функции. $${\displaystyle z^{\omega }=\exp(\omega \ln z),}$$ ${\displaystyle \ln x}$

Комплексные числа, в отличие от действительных чисел, в целом не удовлетворяют неизмененным степенным и логарифмическим тождествам, особенно если их наивно рассматривать как однозначные функции; см. отказ степени и логарифмического тождества . Например, они не удовлетворяют обеим сторонам уравнения, которые являются многозначными согласно определению комплексного возведения в степень, данному здесь, а значения слева являются подмножеством значений справа. $${\displaystyle a^{bc}=\left(a^{b}\right)^{c}.}$$

Комплексный синус и косинус

Ряд, определяющий действительные тригонометрические функции sin и cosine , а также гиперболические функции sinh и cosh, также переносится без изменения на комплексные аргументы. С другими тригонометрическими и гиперболическими функциями, такими как tangent , дела обстоят немного сложнее, поскольку определяющие ряды сходятся не для всех комплексных значений. Поэтому их необходимо определять либо через синус, косинус и экспоненту, либо, что то же самое, используя метод аналитического продолжения .

Голоморфные функции

График цветового круга функции sin(1/ z ) , который голоморфен, за исключением точки z = 0, что является существенной особенностью этой функции. Белые части внутри относятся к числам, имеющим большие абсолютные значения.

Функция → называется голоморфной или комплексно дифференцируемой в точке , если предел ${\displaystyle f:\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}}$

существует (в этом случае он обозначается ). Это имитирует определение действительных дифференцируемых функций, за исключением того, что все величины являются комплексными числами. Грубо говоря, свобода подхода в разных направлениях накладывает гораздо более сильное условие, чем (реальная) дифференцируемость. Например, функция ${\displaystyle f'(z_{0})}$ ${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle f(z)={\overline {z}}}$

дифференцируема как функция , но не комплексно дифференцируема. Действительная дифференцируемая функция является комплексно дифференцируемой тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнениям Коши – Римана , которые иногда сокращают как ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=0.}$

Комплексный анализ показывает некоторые особенности, не очевидные при реальном анализе. Например, теорема о тождестве утверждает, что две голоморфные функции f и g согласуются, если они согласуются на сколь угодно малом открытом подмножестве . Мероморфные функции , функции, которые локально могут быть записаны как f ( z )/( z - z ₀ ) ⁿ с голоморфной функцией f , по-прежнему имеют некоторые общие черты голоморфных функций. Другие функции имеют существенные особенности , такие как sin(1/ z ) при z = 0 . ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Приложения

Комплексные числа находят применение во многих научных областях, включая обработку сигналов , теорию управления , электромагнетизм , гидродинамику , квантовую механику , картографию и анализ вибрации . Некоторые из этих приложений описаны ниже.

Комплексное сопряжение также используется в инверсной геометрии — разделе геометрии, изучающем более общие отражения, чем отражения относительно прямой. В сетевом анализе электрических цепей комплексное сопряжение используется для нахождения эквивалентного импеданса, когда ищется теорема о максимальной передаче мощности .

Геометрия

Формы

Три неколлинеарные точки на плоскости определяют форму треугольника . Располагая точки в комплексной плоскости, эту форму треугольника можно выразить комплексной арифметикой как Форма треугольника останется той же самой, когда комплексная плоскость преобразуется путем перемещения или расширения (путем аффинного преобразования ), соответствующего интуитивное представление о форме и описание сходства . Таким образом, каждый треугольник принадлежит к классу подобия треугольников одинаковой формы. ^[50] ${\displaystyle u,v,w}$ ${\displaystyle \{u,v,w\}}$ $${\displaystyle S(u,v,w)={\frac {u-w}{u-v}}.}$$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \{u,v,w\}}$

Фрактальная геометрия

Набор Мандельброта с помеченными действительными и мнимыми осями.

Множество Мандельброта — популярный пример фрактала, образованного на комплексной плоскости. Он определяется путем нанесения на график каждого места , где итерация последовательности не расходится при бесконечной итерации . Аналогично, множества Джулии имеют те же правила, за исключением того, что они остаются постоянными. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$ ${\displaystyle c}$

Треугольники

Каждый треугольник имеет уникальный эллипс Штейнера – эллипс внутри треугольника, касающийся середин трех сторон треугольника. Фокусы эллипса Штейнера треугольника можно найти следующим образом, согласно теореме Мардена : ^{[51] [52]} Обозначим вершины треугольника в комплексной плоскости как a = x _A + y _A i , b = x _B + y _B i , и c знак равно Икс _C + y _C я . Напишите кубическое уравнение , возьмите его производную и приравняйте (квадратную) производную нулю. Теорема Мардена гласит, что решениями этого уравнения являются комплексные числа, обозначающие положения двух фокусов эллипса Штейнера. ${\displaystyle (x-a)(x-b)(x-c)=0}$

Алгебраическая теория чисел

Построение правильного пятиугольника с помощью линейки и циркуля .

Как уже говорилось выше, любое непостоянное полиномиальное уравнение (с комплексными коэффициентами) имеет решение в . Тем более то же самое верно, если уравнение имеет рациональные коэффициенты. Корни таких уравнений называются алгебраическими числами — они являются основным объектом изучения в теории алгебраических чисел . По сравнению с , алгебраическое замыкание , которое также содержит все алгебраические числа, имеет то преимущество, что его легко понять в геометрических терминах. Таким образом, алгебраические методы можно использовать для изучения геометрических вопросов и наоборот. С помощью алгебраических методов, более конкретно применяя аппарат теории поля к числовому полю , содержащему корни из единицы , можно показать, что невозможно построить правильный девятиугольник, используя только циркуль и линейку - чисто геометрическая проблема. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Другой пример — целые числа Гаусса ; то есть числа вида x + iy , где x и y — целые числа, которые можно использовать для классификации сумм квадратов .

Аналитическая теория чисел

Аналитическая теория чисел изучает числа, часто целые или рациональные числа, используя тот факт, что их можно рассматривать как комплексные числа, для которых можно использовать аналитические методы. Это делается путем кодирования теоретико-числовой информации в комплексных функциях. Например, дзета-функция Римана ζ( s ) связана с распределением простых чисел .

Несобственные интегралы

В прикладных областях комплексные числа часто используются для вычисления некоторых действительных несобственных интегралов с помощью комплексных функций. Для этого существует несколько методов; см. методы контурного интегрирования .

Динамические уравнения

В дифференциальных уравнениях обычно сначала находят все комплексные корни r характеристического уравнения линейного дифференциального уравнения или системы уравнений, а затем пытаются решить систему в терминах базовых функций вида f ( t ) = e ^rt . Аналогично, в разностных уравнениях используются комплексные корни r характеристического уравнения системы разностных уравнений, чтобы попытаться решить систему с точки зрения основных функций вида f ( t ) = r ^t .

Линейная алгебра

Поскольку алгебраически замкнутая матрица, любая непустая комплексная квадратная матрица имеет хотя бы одно (комплексное) собственное значение . Для сравнения, реальные матрицы не всегда имеют действительные собственные значения, например, матрицы вращения (для поворота плоскости на углы, отличные от 0 ° или 180 °) не оставляют фиксированного направления и, следовательно, не имеют никакого реального собственного значения. Существование (комплексных) собственных значений и последующее существование собственного разложения является полезным инструментом для вычисления степеней матриц и матричных экспонент . ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Комплексные числа часто обобщают концепции, изначально заложенные в вещественных числах. Например, сопряженное транспонирование обобщает транспонирование , эрмитовы матрицы обобщают симметричные матрицы , а унитарные матрицы обобщают ортогональные матрицы .

В прикладной математике

Теория управления

В теории управления системы часто преобразуются из временной области в комплексную частотную область с использованием преобразования Лапласа . Затем нули и полюса системы анализируются в комплексной плоскости . Методы корневого годографа , графика Найквиста и графика Николса используют комплексную плоскость.

В методе корневого годографа важно, находятся ли нули и полюса в левой или правой полуплоскостях, то есть имеют действительную часть больше или меньше нуля. Если линейная, независимая от времени (LTI) система имеет полюсы, которые

• в правой полуплоскости он будет неустойчив ,
• все в левой полуплоскости, будет устойчиво ,
• на мнимой оси он будет иметь предельную устойчивость .

Если система имеет нули в правой полуплоскости, это неминимально-фазовая система.

Анализ сигналов

Комплексные числа используются в анализе сигналов и других областях для удобного описания периодически меняющихся сигналов. Для данных действительных функций, представляющих реальные физические величины, часто в терминах синусов и косинусов, рассматриваются соответствующие комплексные функции, действительные части которых являются исходными величинами. Для синусоидального сигнала заданной частоты абсолютное значение | г | соответствующего z является амплитудой , а аргумент arg z является фазой .

Если анализ Фурье используется для записи данного действительного сигнала в виде суммы периодических функций, эти периодические функции часто записываются как комплексные функции вида

$${\displaystyle x(t)=\operatorname {Re} \{X(t)\}}$$

и

$${\displaystyle X(t)=Ae^{i\omega t}=ae^{i\phi }e^{i\omega t}=ae^{i(\omega t+\phi )}}$$

где ω представляет угловую частоту , а комплексное число A кодирует фазу и амплитуду, как объяснено выше.

Это использование также распространяется на цифровую обработку сигналов и цифровую обработку изображений , которые используют цифровые версии анализа Фурье (и вейвлет- анализа) для передачи, сжатия , восстановления и иной обработки цифровых аудиосигналов , неподвижных изображений и видеосигналов .

Другой пример, относящийся к двум боковым полосам амплитудной модуляции AM-радио:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos((\omega +\alpha )t)+\cos \left((\omega -\alpha )t\right)&=\operatorname {Re} \left(e^{i(\omega +\alpha )t}+e^{i(\omega -\alpha )t}\right)\\&=\operatorname {Re} \left(\left(e^{i\alpha t}+e^{-i\alpha t}\right)\cdot e^{i\omega t}\right)\\&=\operatorname {Re} \left(2\cos(\alpha t)\cdot e^{i\omega t}\right)\\&=2\cos(\alpha t)\cdot \operatorname {Re} \left(e^{i\omega t}\right)\\&=2\cos(\alpha t)\cdot \cos \left(\omega t\right).\end{aligned}}}$$

По физике

Электромагнетизм и электротехника

В электротехнике преобразование Фурье используется для анализа изменяющихся напряжений и токов . Тогда подход к резисторам , конденсаторам и катушкам индуктивности можно унифицировать, введя для последних двух мнимые, зависящие от частоты сопротивления и объединив все три в одно комплексное число, называемое импедансом . Этот подход называется векторным исчислением.

В электротехнике мнимая единица обозначается j , чтобы избежать путаницы с I , которая обычно используется для обозначения электрического тока , или, более конкретно, i , которая обычно используется для обозначения мгновенного электрического тока.

Поскольку напряжение в цепи переменного тока является колебательным, его можно представить как

$${\displaystyle V(t)=V_{0}e^{j\omega t}=V_{0}\left(\cos \omega t+j\sin \omega t\right),}$$

Для получения измеримой величины берут действительную часть:

$${\displaystyle v(t)=\operatorname {Re} (V)=\operatorname {Re} \left[V_{0}e^{j\omega t}\right]=V_{0}\cos \omega t.}$$

Комплексный сигнал V ( t ) называется аналитическим представлением действительного измеримого сигнала v ( t ) . ^[53]

Динамика жидкостей

В гидродинамике сложные функции используются для описания потенциального потока в двух измерениях .

Квантовая механика

Поле комплексных чисел присуще математическим формулировкам квантовой механики , где комплексные гильбертовы пространства обеспечивают контекст для одной такой формулировки, которая является удобной и, возможно, наиболее стандартной. Исходные основные формулы квантовой механики – уравнение Шрёдингера и матричная механика Гейзенберга – используют комплексные числа.

относительность

В специальной и общей теории относительности некоторые формулы для метрики пространства -времени становятся проще, если считать временную составляющую пространственно-временного континуума мнимой. (Этот подход больше не является стандартным в классической теории относительности, но существенно используется в квантовой теории поля .) Комплексные числа необходимы для спиноров , которые являются обобщением тензоров, используемых в теории относительности.

Характеристики, обобщения и родственные понятия

Алгебраическая характеристика

Поле имеет следующие три свойства: ${\displaystyle \mathbb {C} }$

• Во-первых, он имеет характеристику 0. Это означает, что 1 + 1 + ⋯ + 1 ≠ 0 для любого количества слагаемых (все из которых равны единице).
• Во-вторых, степень его трансцендентности над основным полем — это мощность континуума . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$
• В-третьих, оно алгебраически замкнуто (см. выше).

Можно показать, что любое поле, обладающее этими свойствами, изоморфно (как поле). Например, алгебраическое замыкание поля p - адического числа также удовлетворяет этим трем свойствам, поэтому эти два поля изоморфны (как поля, но не как топологические поля). ^[54] Кроме того, изоморфно полю комплексных рядов Пюизо . Однако для определения изоморфизма требуется аксиома выбора . Другим следствием этой алгебраической характеристики является то, что она содержит множество собственных подполей, изоморфных . ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Характеризация как топологическое поле

Предыдущая характеристика описывает только алгебраические аспекты. То есть свойства близости и непрерывности , которые важны в таких областях, как анализ и топология , не рассматриваются. Следующее описание топологического поля (то есть поля, снабженного топологией , допускающей понятие сходимости) не учитывает топологические свойства. содержит подмножество P (а именно набор положительных действительных чисел) ненулевых элементов, удовлетворяющих следующим трем условиям: ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

• P замкнут при сложении, умножении и обратном.
• Если x и y — различные элементы P , то либо x − y , либо y − x находится в P.
• Если S — любое непустое подмножество P , то S + P = x + P для некоторого x из ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Более того, имеет нетривиальный инволютивный автоморфизм x ↦ x * (а именно комплексное сопряжение), такой, что x x * находится в P для любого ненулевого x в ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Любое поле F с этими свойствами можно наделить топологией, взяв множества B ( x ,  p ) = {  y | p - ( y - x )( y - x )* ∈ P  }  в качестве базы , где x пробегает поле, а p пробегает P . В этой топологии F изоморфно как топологическое поле ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Единственными связными локально компактными топологическими полями являются и Это дает еще одну характеристику поля как топологического поля, потому что его можно отличить от того, что ненулевые комплексные числа связаны , а ненулевые действительные числа - нет. ^[55] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Другие системы счисления

Процесс расширения поля действительных чисел является примером конструкции Кэли-Диксона . Итеративное применение этой конструкции к затем дает кватернионы , октонионы и седенионы . ^[56] Оказывается, эта конструкция умаляет структурные свойства задействованных систем счисления. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

В отличие от действительных чисел, это не упорядоченное поле , то есть невозможно определить отношение z ₁ < z ₂ , совместимое со сложением и умножением. Фактически, в любом упорядоченном поле квадрат любого элемента обязательно положителен, поэтому i ² = −1 исключает существование упорядочения в [ ^57]. При переходе от к кватернионы теряют коммутативность, а октонионы (помимо того, что они не являются коммутативными) ) не могут быть ассоциативными. Действительные числа, комплексные числа, кватернионы и октонионы — все это нормированные алгебры с делением над . По теореме Гурвица они единственные; седенионы , следующий шаг в конструкции Кэли-Диксона, не имеют такой структуры. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Конструкция Кэли-Диксона тесно связана с регулярным представлением мысли как -алгебры ( -векторного пространства с умножением) относительно базиса (1,  i ) . Это означает следующее: -линейное отображение для некоторого фиксированного комплексного числа w может быть представлено матрицей 2 × 2 (после выбора базиса). Что касается базиса (1,  i ) , то это матрица , упомянутая выше в разделе о матричном представлении комплексных чисел. Хотя это линейное представление вещественных матриц 2 × 2, оно не единственное. Любая матрица обладает тем свойством, что ее квадрат является отрицательным значением единичной матрицы: J ² = − I . Тогда также изоморфно полю и дает альтернативную комплексную структуру на. Это обобщается понятием линейной комплексной структуры . ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {C} &\rightarrow \mathbb {C} \\z&\mapsto wz\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}\operatorname {Re} (w)&-\operatorname {Im} (w)\\\operatorname {Im} (w)&\operatorname {Re} (w)\end{pmatrix}},}$$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ $${\displaystyle J={\begin{pmatrix}p&q\\r&-p\end{pmatrix}},\quad p^{2}+qr+1=0}$$ $${\displaystyle \{z=aI+bJ:a,b\in \mathbb {R} \}}$$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

Гиперкомплексные числа также обобщают и. Например, это понятие содержит расщепленные комплексные числа , которые являются элементами кольца (в отличие от комплексных чисел). В этом кольце уравнение a ² = 1 имеет четыре решения. ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {O} .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}-1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)}$

Поле является пополнением поля рациональных чисел относительно обычной метрики абсолютного значения . Другие варианты метрик на приводят к полям p -адических чисел ( для любого простого числа p ), которые тем самым аналогичны . Других нетривиальных способов пополнения, кроме и по теореме Островского, не существует . Алгебраические замыкания еще несут в себе норму, но (в отличие от ) не полны относительно нее. Пополнение оказывается алгебраически замкнутым. По аналогии это поле называется p -адическими комплексными числами. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p},}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}}}$

Поля и их конечные расширения полей, в том числе, называются локальными полями . ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p},}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$

Смотрите также

• Аналитическое продолжение
• Круговое движение с использованием комплексных чисел
• Комплексно-базовая система
• Комплексное координатное пространство
• Сложная геометрия
• Геометрия чисел
• Двойное комплексное число
• целое число Эйзенштейна
• Геометрическая алгебра (которая включает комплексную плоскость как двумерное спинорное подпространство ) ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{2}^{+}}$
• Комплексный номер единицы

Примечания

1. Соломенцев 2001: «Плоскость , точки которой отождествляются с элементами, называется комплексной плоскостью... Полная геометрическая интерпретация комплексных чисел и операций над ними появилась впервые в работе К. Весселя (1799). Геометрическое представление Комплексных чисел, иногда называемая «диаграммой Аргана», вошла в употребление после публикации в 1806 и 1814 годах статей Дж. Р. Аргана, который заново открыл, в основном независимо, открытия Весселя». ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$
2. В литературе мнимая единица часто предшествует радикальному знаку, даже если ей предшествует целое число. ^[23]
3. Пьером Лораном Ванцелем в 1843 году, Винченцо Молламе в 1890 году, Отто Гёльдером в 1891 году и Адольфом Кнезером в 1892 году было доказано, что мнимые числа обязательно появляются в кубической формуле, когда уравнение имеет три действительных разных корня. Паоло Руффини также доказал неполное доказательство в 1799 г. —— С. Конфалоньери (2015) ^[25]
4. Арганд 1814, с. 204 определяет модуль комплексного числа, но не называет его:
   «Dans ce quisuit, les Accens, Indifféremment Places, Seront Employés pour indiquer la grandeur absolue des qu’ils effectent; ainsi, si , et étant réels, on devra entender que ou ». ${\displaystyle a=m+n{\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{'}}$ ${\displaystyle a'={\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}$
   [В дальнейшем знаки ударения, где бы они ни располагались, будут использоваться для обозначения абсолютного размера величин, которым они присвоены; таким образом , если и будучи реальным, следует понимать это или .] Argand 1814, p. 208 определяет и называет модуль и коэффициент направления комплексного числа: «...  pourrait être appelé le Module de , et représenterait la grandeur absolue de la ligne , tandis que l'autre facteur, dont le Module est l'unité, и являюсь представителем направления». [...  можно назвать модулем и представлять абсолютный размер линии (Арган представлял комплексные числа в виде векторов.), тогда как другой фактор [а именно, ], модуль которого равен единице [1], будет представлять ее направление. ] ${\displaystyle a=m+n{\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{'}}$ ${\displaystyle a'={\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}$
   ${\displaystyle a={\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}$ ${\displaystyle a+b{\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle a+b{\sqrt {-1}}}$
   ${\displaystyle a={\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}$ ${\displaystyle a+b{\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle a+b{\sqrt {-1}}\,,}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+{\tfrac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{\sqrt {-1}}}$
5. Гаусс пишет: ^[45] «Quemadmodum scilicet arithmetica sublimior in quaestionibus hactenus pertractatis intersolo numeros integros reales versatur, itaromeata circa residua biquadratica tunc tantum in summa simplicitate ac genuina venustate resplendent, quando Campus arithmeticae ad imaginarias расширение, это абстрактное ограничение ipsius obiectum, составляющая цифры формы a + bi , denotantibus i , pro more quantitatem imaginariam , atque ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ a, b indefinite omnes numeros reales integros inter - et + ». ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$ [Конечно, так же, как высшая арифметика до сих пор исследовалась в задачах только с действительными целыми числами, так и теоремы о биквадратичных вычетах тогда сияют величайшей простотой и подлинной красотой, когда область арифметики расширяется до мнимых величин, так что без ограничения на него, числа вида a + bi — i , обозначающие по соглашению мнимую величину , и переменные a, b [обозначающие] все действительные целые числа между и — составляют объект.] ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$
6. Гаусс: ^[46] «Tales numeros vocabimus numeros integros complexos, ita quidem, ut Reales complexis non opponantur, sed tamquam specs sub his contineri censeantur». [Мы будем называть такие числа [а именно, числа вида a + bi ] «комплексными целыми числами», так что действительные [числа] рассматриваются не как противоположность комплексным [числам], а [как] тип [числа, который ] как бы содержится в них.]
7. Гаусс: ^[47] «Productum numeri complexi per numerum ipsi conjunctum utriusquenormalam vocamus . Pronormala itaque numerirealis, ipsiusquadratum habendum est». [Мы называем «нормой» произведение комплексного числа [например, a + ib ] на сопряженное ему [ a - ib ]. Поэтому квадрат действительного числа следует считать его нормой.]
8. Однако для другой обратной функции комплексной экспоненциальной функции (а не определенного выше главного значения) разрез ветки может быть сделан на любом другом луче , проходящем через начало координат.

Рекомендации

1. Подробное описание истории «мнимых» чисел, от первоначального скептицизма до окончательного принятия, см. в Bourbaki, Nicolas (1998). «Основы математики § Логика: теория множеств». Элементы истории математики . Спрингер. стр. 18–24.
2. «Комплексные числа, так же, как и действительные числа, а, возможно, даже больше, обретают поистине удивительное единство с природой. Как будто сама Природа впечатлена масштабом и последовательностью системы комплексных чисел так же, как и мы сами, и доверила этим числам точные операции своего мира в мельчайших масштабах». Пенроуз 2005, стр. 72–73.
3. Экслер, Шелдон (2010). Колледж алгебры . Уайли. п. 262. ИСБН 9780470470770.
4. Шпигель, MR; Липшуц, С.; Шиллер, Джей-Джей; Спеллман, Д. (14 апреля 2009 г.). Комплексные переменные . Серия набросков Шаума (2-е изд.). МакГроу Хилл. ISBN 978-0-07-161569-3.
5. Ауфманн, Баркер и нация 2007, с. 66, Глава П
6. Педо, Дэн (1988). Геометрия: Комплексный курс . Дувр. ISBN 978-0-486-65812-4.
7. Вайсштейн, Эрик В. «Комплексное число». mathworld.wolfram.com . Проверено 12 августа 2020 г.
8. Кэмпбелл, Джордж Эшли (апрель 1911 г.). «Цисоидальные колебания» (PDF) . Труды Американского института инженеров-электриков . ХХХ (1–6). Американский институт инженеров-электриков : 789–824 [Рис. 13 на стр. 810]. дои : 10.1109/PAIEE.1911.6659711. S2CID  51647814 . Проверено 24 июня 2023 г. п. 789: Использование i (или греческого ı ) для воображаемого символа почти универсально в математической работе, что является очень веской причиной для сохранения его в приложениях математики в электротехнике. Однако, помимо установленных соглашений и возможности ссылки на математическую литературу, замена символа j вызывает возражения из-за векторной терминологии, с которой он стал ассоциироваться в технической литературе, а также из-за путаницы, возникающей из-за разделенная практика писателей-инженеров: некоторые используют j вместо + i , а другие используют j вместо - i .
9. Браун, Джеймс Уорд; Черчилль, Руэл В. (1996). Комплексные переменные и приложения (6-е изд.). Нью-Йорк, США: МакГроу-Хилл . п. 2. ISBN 978-0-07-912147-9. п. 2: В электротехнике вместо i используется буква j .
10. Апостол 1981, стр. 15–16.
11. Апостол 1981, стр. 15–16.
12. Апостол 1981, с. 18.
13. Другие авторы, в том числе Эббингауз и др. 1991, §6.1, выбрал аргумент в интервале . ${\displaystyle [0,2\pi )}$
14. Касана, HS (2005). "Глава 1". Комплексные переменные: теория и приложения (2-е изд.). PHI Learning Pvt. ООО с. 14. ISBN 978-81-203-2641-5.
15. Нильссон, Джеймс Уильям; Ридель, Сьюзен А. (2008). «Глава 9». Электрические цепи (8-е изд.). Прентис Холл. п. 338. ИСБН 978-0-13-198925-2.
16. Бурбаки 1998, §VIII.1
17. Клайн, Моррис. История математической мысли, том 1 . п. 253.
18. Юрий, Кович. Тристан Нидэм, Визуальный комплексный анализ, Oxford University Press Inc., Нью-Йорк, 1998, 592 страницы. ОСЛК  1080410598.
19. О'Коннор и Робертсон (2016), «Джироламо Кардано».
20. Нахин, Пол Дж. Воображаемая сказка: История √−1. Принстон: Издательство Принстонского университета, 1998.
21. Кац, Виктор Дж. (2004). «9.1.4». История математики, краткая версия . Аддисон-Уэсли . ISBN 978-0-321-16193-2.
22. Гамильтон, Wm. (1844 г.). «О новом виде мнимых величин, связанном с теорией кватернионов». Труды Королевской ирландской академии . 2 : 424–434.
23. Синтия Ю. Янг (2017). Тригонометрия (4-е изд.). Джон Уайли и сыновья. п. 406. ИСБН 978-1-119-44520-3.Выдержка из страницы 406
24. Нахин, Пол Дж. (2007). Воображаемая сказка: История √−1. Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-12798-9. Архивировано из оригинала 12 октября 2012 года . Проверено 20 апреля 2011 г.
25. Конфалоньери, Сара (2015). Недостижимая попытка избежать Casus Irreducibilis для кубических уравнений: De Regula Aliza Джероламо Кардано . Спрингер. стр. 15–16 (прим. 26). ISBN 978-3658092757.
26. Декарт, Рене (1954) [1637]. Ла Геометрия | Геометрия Рене Декарта с факсимиле первого издания. Дуврские публикации . ISBN 978-0-486-60068-0. Проверено 20 апреля 2011 г.
27. Эйлер, Леонард (1748). Introductio in Analysin Infinitorum [ Введение в анализ бесконечного ] (на латыни). Том. 1. Люцерн, Швейцария: Marc Michel Bosquet & Co., с. 104.
28. Вессель, Каспар (1799). «Om Directionens analytiske Betegning, et Forsog, anvendt fornemmelig til plane og sphæriske Polygoners Oplosning» [Об аналитическом представлении направления, попытка, применяемая, в частности, к определению плоских и сферических многоугольников]. Nye Samling af det Kongelige Danske Videnskabernes Selskabs Skrifter [Новое собрание сочинений Датского королевского научного общества] (на датском языке). 5 : 469–518.
29. Уоллис, Джон (1685). Трактат по алгебре, как исторический, так и практический ... Лондон, Англия: напечатано Джоном Плейфордом для Ричарда Дэвиса. стр. 264–273.
30. Арганд (1806). Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les builds géométriques [ Эссе о способе представления комплексных величин с помощью геометрических конструкций ] (на французском языке). Париж, Франция: Мадам Вев Блан.
31. Гаусс, Карл Фридрих (1799) «Demonstratio nova теорематис omnem functionem алгебраическая рациональность integram unius variabilis in factes reales primi vel secundi gradus resolvi posse». [Новое доказательство теоремы о том, что любая рациональная целая алгебраическая функция одной переменной может быть разложена на действительные множители первой или второй степени.] Доктор философии. диссертация, Университет Хельмштедта (Германия). (на латыни)
32. Эвальд, Уильям Б. (1996). От Канта до Гильберта: Справочник по основам математики. Том. 1. Издательство Оксфордского университета. п. 313. ИСБН 9780198505358. Проверено 18 марта 2020 г.
33. Гаусс 1831.
34. "Адриан Квентин Буэ (1745–1845): МакТьютор".
35. Буэ (1806). «Mémoire sur les quantités imaginaires» [Мемуары о мнимых количествах]. Философские труды Лондонского королевского общества (на французском языке). 96 : 23–88. дои : 10.1098/rstl.1806.0003. S2CID  110394048.
36. Мури, CV (1861). La vraies théore des quantités négatives et des quantités pétendues imaginaires [ Истинная теория отрицательных величин и предполагаемых мнимых величин ] (на французском языке). Париж, Франция: Малле-Башелье. Репринт 1861 года с оригинала 1828 года.
37. Уоррен, Джон (1828). Трактат о геометрическом представлении квадратных корней из отрицательных величин. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета.
38. Уоррен, Джон (1829). «Рассмотрение возражений, выдвинутых против геометрического представления квадратных корней из отрицательных величин». Философские труды Лондонского королевского общества . 119 : 241–254. дои : 10.1098/rstl.1829.0022 . S2CID  186211638.
39. Уоррен, Джон (1829). «О геометрическом представлении степеней величин, индексы которых включают квадратные корни отрицательных чисел». Философские труды Лондонского королевского общества . 119 : 339–359. дои : 10.1098/rstl.1829.0031 . S2CID  125699726.
40. Франсэ, JF (1813). «Новые принципы геометрии положения и геометрическая интерпретация сложных [числовых] символов». Annales des mathématiques pures et appliquées (на французском языке). 4 : 61–71.
41. Капаррини, Сандро (2000). «Об общем происхождении некоторых работ по геометрической интерпретации комплексных чисел». В Ким Уильямс (ред.). Две культуры. Биркхойзер. п. 139. ИСБН 978-3-7643-7186-9.
42. Харди, GH; Райт, Э.М. (2000) [1938]. Введение в теорию чисел . ОУП Оксфорд . п. 189 (четвертое издание). ISBN 978-0-19-921986-5.
43. Джефф Миллер (21 сентября 1999 г.). «МОДУЛЬ». Самые ранние известные варианты использования некоторых математических слов (M) . Архивировано из оригинала 3 октября 1999 года.{{cite web}}: CS1 maint: unfit URL (link)
44. Коши, Огюстен-Луи (1821). Курс анализа королевской политехнической школы (на французском языке). Том. 1. Париж, Франция: L'Imprimerie Royale. п. 183.
45. Гаусс 1831, с. 96
46. Гаусс 1831, с. 96
47. Гаусс 1831, с. 98
48. Ханкель, Герман (1867). Vorlesungen über die complexen Zahlen und ihre Functionen [Лекции о комплексных числах и их функциях ] (на немецком языке). Том. 1. Лейпциг, [Германия]: Леопольд Восс. п. 71. Из стр. 71: «Wir werden den Factor ( cos φ + i sin φ) haüfig den Richtungscoefficienten nennen». (Мы часто будем называть фактор (cos φ + i sin φ) «коэффициентом направления».)
49. Бурбаки 1998, §VIII.1
50. Лестер, Дж. А. (1994). «Треугольники I: Формы». Математические уравнения . 52 : 30–54. дои : 10.1007/BF01818325. S2CID  121095307.
51. Кальман, Дэн (2008a). «Элементарное доказательство теоремы Мардена». Американский математический ежемесячник . 115 (4): 330–38. дои : 10.1080/00029890.2008.11920532. ISSN  0002-9890. S2CID  13222698. Архивировано из оригинала 8 марта 2012 года . Проверено 1 января 2012 г.
52. Кальман, Дэн (2008b). «Самая чудесная теорема математики». Журнал онлайн-математики и ее приложений . Архивировано из оригинала 8 февраля 2012 года . Проверено 1 января 2012 г.
53. Грант, И.С.; Филлипс, WR (2008). Электромагнетизм (2-е изд.). Манчестерская серия по физике. ISBN 978-0-471-92712-9.
54. Маркер, Дэвид (1996). «Введение в модельную теорию полей». В Маркере, Д.; Мессмер, М.; Пиллэй, А. (ред.). Модельная теория полей . Конспект лекций по логике. Том. 5. Берлин: Шпрингер-Верлаг. стр. 1–37. ISBN 978-3-540-60741-0. МР  1477154.
55. Бурбаки 1998, §VIII.4.
56. МакКриммон, Кевин (2004). Вкус жордановой алгебры . Университеттекст. Спрингер. п. 64. ИСБН 0-387-95447-3. МР 2014924
57. Апостол 1981, с. 25.

• Альфорс, Ларс (1979). Комплексный анализ (3-е изд.). МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-000657-7.
• Андрееску, Титу; Андрика, Дорин (2014), Комплексные числа от А до ... Я (второе изд.), Нью-Йорк: Springer, doi : 10.1007/978-0-8176-8415-0, ISBN 978-0-8176-8414-3
• Апостол, Том (1981). Математический анализ . Аддисон-Уэсли.
• Ауфманн, Ричард Н.; Баркер, Вернон К.; Нация, Ричард Д. (2007). Колледж алгебры и тригонометрии (6-е изд.). Cengage Обучение. ISBN 978-0-618-82515-8.
• Конвей, Джон Б. (1986). Функции одной комплексной переменной I . Спрингер. ISBN 978-0-387-90328-6.
• Дербишир, Джон (2006). Неизвестное количество: реальная и воображаемая история алгебры. Джозеф Генри Пресс. ISBN 978-0-309-09657-7.
• Джоши, Капил Д. (1989). Основы дискретной математики . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья . ISBN 978-0-470-21152-6.
• Нидхэм, Тристан (1997). Визуальный комплексный анализ . Кларендон Пресс. ISBN 978-0-19-853447-1.
• Педо, Дэн (1988). Геометрия: Комплексный курс . Дувр. ISBN 978-0-486-65812-4.
• Пенроуз, Роджер (2005). Дорога к реальности: Полное руководство по законам Вселенной. Альфред А. Кнопф. ISBN 978-0-679-45443-4.
• Пресс, WH; Теукольский, С.А.; Феттерлинг, WT; Фланнери, BP (2007). «Раздел 5.5 Комплексная арифметика». Численные рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-88068-8. Архивировано из оригинала 13 марта 2020 года . Проверено 9 августа 2011 г.
• Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], «Комплексное число», Энциклопедия Математики , EMS Press

Исторические справки

• Арган (1814 г.). «Размышления о новой теории комплексных чисел с последующим применением к доказательству теоремы анализа». Annales de mathématiques pures et appliquées (на французском языке). 5 : 197–209.
• Бурбаки, Николя (1998). «Основы математики § логика: теория множеств». Элементы истории математики . Спрингер.
• Бертон, Дэвид М. (1995). История математики (3-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл . ISBN 978-0-07-009465-9.
• Гаусс, CF (1831). «Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda» [Теория биквадратичных остатков. Второе воспоминание.]. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores (на латыни). 7 : 89–148.
• Кац, Виктор Дж. (2004). История математики, краткая версия . Аддисон-Уэсли . ISBN 978-0-321-16193-2.
• Нахин, Пол Дж. (1998). Воображаемая сказка: История ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {-1}}}$ . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-02795-1.— Небольшое введение в историю комплексных чисел и начало комплексного анализа.
• Эббингауз, HD; Гермес, Х.; Хирцебрух, Ф.; Кочер, М.; Майнцер, К.; Нойкирх, Дж.; Престель, А.; Реммерт, Р. (1991). Числа (изд. в твердом переплете). Спрингер. ISBN 978-0-387-97497-2.— Передовой взгляд на историческое развитие понятия числа.