Круговое движение

Движение объекта по круговой траектории

В физике круговое движение — это движение объекта по окружности или вращение по дуге окружности . Он может быть равномерным, с постоянной скоростью вращения и постоянной тангенциальной скоростью , или неравномерным, с изменяющейся скоростью вращения. Вращение трехмерного тела вокруг неподвижной оси предполагает круговое движение его частей. Уравнения движения описывают движение центра масс тела, находящегося на постоянном расстоянии от оси вращения . При круговом движении расстояние между телом и неподвижной точкой его поверхности остается прежним, т. е. тело считается жестким .

Примеры кругового движения включают в себя: специальные орбиты спутников вокруг Земли ( круговые орбиты ), лопасти потолочного вентилятора , вращающиеся вокруг ступицы, камень, привязанный к веревке и раскачивающийся по кругу, автомобиль, поворачивающий по кривой в гоночная трасса , электрон, движущийся перпендикулярно однородному магнитному полю , и шестерня , вращающаяся внутри механизма.

Поскольку вектор скорости объекта постоянно меняет направление, движущийся объект испытывает ускорение под действием центростремительной силы в направлении центра вращения. Без этого ускорения объект двигался бы прямолинейно, согласно законам движения Ньютона .

Равномерное круговое движение

Рисунок 1: Скорость v и ускорение a при равномерном круговом движении с угловой скоростью ω ; скорость постоянна, но скорость всегда касается орбиты; ускорение имеет постоянную величину, но всегда направлено к центру вращения.

Рисунок 2: Векторы скорости в момент времени t и момент времени t + dt перемещаются с орбиты слева в новые положения, где их хвосты совпадают, справа. Поскольку скорость фиксирована по величине при v = r ω , векторы скорости также огибают круговую траекторию с угловой скоростью ω . При dt → 0 вектор ускорения a становится перпендикулярным v , что означает, что он указывает на центр орбиты в круге слева. Угол ω dt — это очень малый угол между двумя скоростями, который стремится к нулю при dt → 0 .

Рисунок 3: (Слева) Мяч совершает круговое движение – веревка обеспечивает центростремительную силу, удерживающую мяч по кругу (Справа) Веревка разрезается, и мяч продолжает двигаться по прямой линии со скоростью в момент перерезания веревки в соответствии с с законом инерции Ньютона, потому что центростремительной силы больше нет.

В физике равномерное круговое движение описывает движение тела, проходящего по круговой траектории с постоянной скоростью . Поскольку тело описывает круговое движение, его расстояние от оси вращения всегда остается постоянным. Хотя скорость тела постоянна, его скорость не является постоянной: скорость, векторная величина, зависит как от скорости тела, так и от направления его движения. Эта изменяющаяся скорость указывает на наличие ускорения; это центростремительное ускорение имеет постоянную величину и всегда направлено к оси вращения. Это ускорение, в свою очередь, создается центростремительной силой , которая также постоянна по величине и направлена ​​к оси вращения.

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси , не пренебрежимо малой по сравнению с радиусом пути, каждая частица тела описывает равномерное круговое движение с одинаковой угловой скоростью, но со скоростью и ускорением, меняющимися в зависимости от положение относительно оси.

Формулы

Рисунок 1: Векторные соотношения для равномерного кругового движения; вектор ω , представляющий вращение, нормален к плоскости орбиты.

Для движения по кругу радиуса r длина окружности равна C = 2 πr . Если период одного оборота равен T , угловая скорость вращения, также известная как угловая скорость , ω равна:

ω знак равно 2 π Т знак равно 2 π ж знак равно d θ d т {\displaystyle \omega = {\frac {2\pi {T}} = 2\pi f = {\frac {d\theta }{dt}}}

Скорость тела, движущегося по окружности, равна:

v знак равно 2 π р Т знак равно ω р {\ displaystyle v = {\ frac {2 \ pi r} {T}} = \ omega r}

Угол θ, выметаемый за время t, равен:

θ знак равно 2 π т Т знак равно ω т {\ displaystyle \ theta = 2 \ pi {\ frac {t} {T}} = \ omega t}

Угловое ускорение α частицы равно :

α знак равно d ω d т {\displaystyle \alpha = {\frac {d\omega {dt}}}

В случае равномерного кругового движения α будет равно нулю.

Ускорение, вызванное изменением направления, равно:

а c знак равно v 2 р знак равно ω 2 р {\displaystyle a_{c}={\frac {v^{2}}{r}}=\omega ^{2}r}

Центростремительную и центробежную силу также можно найти с помощью ускорения :

F c знак равно п ˙ = м ˙ знак равно 0 м а c знак равно м v 2 р {\displaystyle F_{c}={\dot {p}}\mathrel {\overset {{\dot {m}}=0}{=}} ma_{c}={\frac {mv^{2}}{r}}}

Векторные зависимости показаны на рисунке 1. Ось вращения изображена в виде вектора ω, перпендикулярного плоскости орбиты и имеющего величину ω = dθ / dt . Направление ω выбирается по правилу правой руки . При таком соглашении об изображении вращения скорость определяется векторным векторным произведением как

$${\displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} ,}$$

ωr ( t )ω r

$${\displaystyle \mathbf {a} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} \right),}$$

ωv ( t )ω | в | знак равно ω ² rр ( т )^[1]

В простейшем случае скорость, масса и радиус постоянны.

Рассмотрим тело массой один килограмм, движущееся по кругу радиусом один метр с угловой скоростью один радиан в секунду .

• Скорость 1 метр в секунду .
• Ускорение внутрь составляет 1 метр в секунду в квадрате, v ² / r .
• На него действует центростремительная сила величиной 1 килограмм-метр в секунду квадратную, что составляет 1 ньютон .
• Импульс тела равен 1 кг·м· с −1 ^.
• Момент инерции составляет 1 кг·м ² .
• Угловой момент равен 1 кг·м ² ·с ^-1 .
• Кинетическая энергия равна 1 джоулю .
• Окружность орбиты составляет 2 π ( ~ 6,283 ) метра.
• Период движения равен 2π секунд за один оборот .
• Частота равна ( 2 π ) ⁻¹ герц .

В полярных координатах

Рисунок 4: Полярные координаты круговой траектории. Слева находится единичный круг, показывающий изменения и в единичных векторах , и при небольшом приращении угла . ${\displaystyle \mathbf {d{\hat {\mathbf {u} }}_{R}} }$ ${\displaystyle \mathbf {d{\hat {\mathbf {u} }}_{\theta }} }$ ${\displaystyle \mathbf {{\hat {\mathbf {u} }}_{R}} }$ ${\displaystyle \mathbf {{\hat {\mathbf {u} }}_{\theta }} }$ ${\displaystyle d\theta }$ ${\displaystyle \theta }$

При круговом движении тело движется по кривой, которую можно описать в полярной системе координат как фиксированное расстояние R от центра орбиты, принятого за начало координат, ориентированное под углом θ ( t ) от некоторого опорного направления. См. рисунок 4. Вектор смещения — это радиальный вектор от начала координат до местоположения частицы: ${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle \mathbf {r} (t)=R{\hat {\mathbf {u} }}_{R}(t)\,,}$$

единичный вектор,tа ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}_{R}(t)}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}_{R}(t)}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}_{\theta }(t)}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}_{\theta }(t)}$

Скорость является производной перемещения по времени:

$${\displaystyle \mathbf {v} (t)={\frac {d}{dt}}\mathbf {r} (t)={\frac {dR}{dt}}{\hat {\mathbf {u} }}_{R}(t)+R{\frac {d{\hat {\mathbf {u} }}_{R}}{dt}}\,.}$$

Поскольку радиус окружности постоянен, радиальная составляющая скорости равна нулю. Единичный вектор имеет не зависящую от времени величину, равную единице, поэтому при изменении времени его кончик всегда лежит на окружности единичного радиуса с углом θ , таким же, как угол . Если смещение частицы поворачивается на угол dθ за время dt , то же самое происходит , описывая дугу на единичной окружности величиной dθ . См. единичный круг слева на рисунке 4. Следовательно: ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}_{R}(t)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}_{R}(t)}$

$${\displaystyle {\frac {d{\hat {\mathbf {u} }}_{R}}{dt}}={\frac {d\theta }{dt}}{\hat {\mathbf {u} }}_{\theta }(t)\,,}$$

dθ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}_{R}(t)}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}_{\theta }(t)}$ ${\displaystyle d{\hat {\mathbf {u} }}_{R}(t)}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}_{R}(t)}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}_{R}(t)}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}_{R}(t)}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}_{\theta }(t)}$

$${\displaystyle \mathbf {v} (t)={\frac {d}{dt}}\mathbf {r} (t)=R{\frac {d{\hat {\mathbf {u} }}_{R}}{dt}}=R{\frac {d\theta }{dt}}{\hat {\mathbf {u} }}_{\theta }(t)=R\omega {\hat {\mathbf {u} }}_{\theta }(t)\,.}$$

Ускорение тела также можно разбить на радиальную и тангенциальную составляющие. Ускорение является производной скорости по времени:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} (t)&={\frac {d}{dt}}\mathbf {v} (t)={\frac {d}{dt}}\left(R\omega {\hat {\mathbf {u} }}_{\theta }(t)\right)\\&=R\left({\frac {d\omega }{dt}}{\hat {\mathbf {u} }}_{\theta }(t)+\omega {\frac {d{\hat {\mathbf {u} }}_{\theta }}{dt}}\right)\,.\end{aligned}}}$$

Производная по времени находится так же, как и для . Опять же, — единичный вектор, и его кончик описывает единичную окружность с углом π /2 + θ . Следовательно, увеличение угла dθ на подразумевает, что следует дуга величины dθ , и, поскольку она ортогональна , мы имеем: ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}_{\theta }(t)}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}_{R}(t)}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}_{\theta }(t)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}_{\theta }(t)}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}_{\theta }(t)}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}_{R}(t)}$

$${\displaystyle {\frac {d{\hat {\mathbf {u} }}_{\theta }}{dt}}=-{\frac {d\theta }{dt}}{\hat {\mathbf {u} }}_{R}(t)=-\omega {\hat {\mathbf {u} }}_{R}(t)\,,}$$

уменьшатьсяdθ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}_{\theta }(t)}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}_{R}(t)}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}_{\theta }(t)}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}_{R}(t)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} (t)&=R\left({\frac {d\omega }{dt}}{\hat {\mathbf {u} }}_{\theta }(t)+\omega {\frac {d{\hat {\mathbf {u} }}_{\theta }}{dt}}\right)\\&=R{\frac {d\omega }{dt}}{\hat {\mathbf {u} }}_{\theta }(t)-\omega ^{2}R{\hat {\mathbf {u} }}_{R}(t)\,.\end{aligned}}}$$

Центростремительным ускорением является радиальная составляющая, направленная радиально внутрь:

$${\displaystyle \mathbf {a} _{R}(t)=-\omega ^{2}R{\hat {\mathbf {u} }}_{R}(t)\,,}$$

величину

$${\displaystyle \mathbf {a} _{\theta }(t)=R{\frac {d\omega }{dt}}{\hat {\mathbf {u} }}_{\theta }(t)={\frac {dR\omega }{dt}}{\hat {\mathbf {u} }}_{\theta }(t)={\frac {d\left|\mathbf {v} (t)\right|}{dt}}{\hat {\mathbf {u} }}_{\theta }(t)\,.}$$

Использование комплексных чисел

Круговое движение можно описать с помощью комплексных чисел . Пусть ось x будет действительной осью, а ось — мнимой осью. Положение тела тогда может быть задано как комплексный «вектор»: ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

$${\displaystyle z=x+iy=R\left(\cos[\theta (t)]+i\sin[\theta (t)]\right)=Re^{i\theta (t)}\,,}$$

iмнимая единицаt ${\displaystyle \theta (t)}$

Поскольку радиус постоянный:

$${\displaystyle {\dot {R}}={\ddot {R}}=0\,,}$$

точка

В этих обозначениях скорость становится:

$${\displaystyle v={\dot {z}}={\frac {d}{dt}}\left(Re^{i\theta [t]}\right)=R{\frac {d}{dt}}\left(e^{i\theta [t]}\right)=Re^{i\theta (t)}{\frac {d}{dt}}\left(i\theta [t]\right)=iR{\dot {\theta }}(t)e^{i\theta (t)}=i\omega Re^{i\theta (t)}=i\omega z}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\dot {v}}=i{\dot {\omega }}z+i\omega {\dot {z}}=\left(i{\dot {\omega }}-\omega ^{2}\right)z\\&=\left(i{\dot {\omega }}-\omega ^{2}\right)Re^{i\theta (t)}\\&=-\omega ^{2}Re^{i\theta (t)}+{\dot {\omega }}e^{i{\frac {\pi }{2}}}Re^{i\theta (t)}\,.\end{aligned}}}$$

Первый член направлен противоположно вектору смещения, а второй перпендикулярен ему, как и предыдущие результаты, показанные ранее.

Скорость

На рисунке 1 показаны векторы скорости и ускорения для равномерного движения в четырех разных точках орбиты. Поскольку скорость v касается круговой траектории, никакие две скорости не указывают в одном направлении. Хотя объект имеет постоянную скорость , его направление постоянно меняется. Это изменение скорости вызвано ускорением а , величина которого (как и скорость) остается постоянной, но направление которого также постоянно меняется. Ускорение направлено радиально внутрь ( центростремительно ) и перпендикулярно скорости. Это ускорение известно как центростремительное ускорение.

Для траектории радиуса r при повороте на угол θ пройденное расстояние по периферии орбиты равно s = rθ . Следовательно, скорость движения по орбите равна

$${\displaystyle v=r{\frac {d\theta }{dt}}=r\omega ,}$$

ωω = v / rvvvω

Релятивистское круговое движение

В этом случае вектор трех ускорений перпендикулярен вектору трех скоростей:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {a} =0.}$$

$${\displaystyle \alpha ^{2}=\gamma ^{4}a^{2}+\gamma ^{6}\left(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} \right)^{2},}$$

$${\displaystyle \alpha ^{2}=\gamma ^{4}a^{2}.}$$

$${\displaystyle \alpha =\gamma ^{2}{\frac {v^{2}}{r}}.}$$

Ускорение

Левый круг на рисунке 2 — это орбита, показывающая векторы скорости в два соседних момента времени. Справа эти две скорости сдвинуты так, что их хвосты совпадают. Поскольку скорость постоянна, векторы скорости справа с течением времени очерчивают круг. Для угла стреловидности dθ = ω dt изменение v представляет собой вектор, расположенный под прямым углом к ​​v и имеющий величину v dθ , что, в свою очередь, означает, что величина ускорения определяется выражением

$${\displaystyle a_{c}=v{\frac {d\theta }{dt}}=v\omega ={\frac {v^{2}}{r}}}$$

Неравномерный

При неравномерном круговом движении объект движется по круговой траектории с переменной скоростью . Поскольку скорость меняется, помимо нормального ускорения существует тангенциальное ускорение .

При неравномерном круговом движении результирующее ускорение (а) направлено в направлении Δv , которое направлено внутрь круга, но не проходит через его центр (см. рисунок) . Чистое ускорение можно разделить на две составляющие: тангенциальное ускорение и нормальное ускорение, также известное как центростремительное или радиальное ускорение. В отличие от тангенциального ускорения, центростремительное ускорение присутствует как при равномерном, так и при неравномерном круговом движении.

При неравномерном круговом движении нормальная сила не всегда направлена ​​в направлении, противоположном направлению веса . Вот пример, когда объект движется по прямому пути, а затем снова возвращается на прямой путь.

На этой диаграмме показана нормальная сила, направленная в других направлениях, а не противоположная силе веса. Нормальная сила на самом деле представляет собой сумму радиальной и тангенциальной сил. За тангенциальную силу здесь отвечает составляющая силы веса (силой трения мы пренебрегли). Радиальная сила (центростремительная сила) возникает из-за изменения направления скорости, как обсуждалось ранее.

При неравномерном круговом движении нормальная сила и вес могут указывать в одном направлении. Обе силы могут быть направлены вниз, но объект будет оставаться на круговой траектории, не падая прямо вниз. Во-первых, давайте посмотрим, почему нормальная сила может быть направлена ​​вниз. Допустим, на первой диаграмме объект — это человек, сидящий внутри плоскости, две силы направлены вниз только тогда, когда он достигает вершины круга. Причина этого в том, что нормальная сила представляет собой сумму касательной и центростремительной силы. Тангенциальная сила равна нулю вверху (поскольку работа не совершается, когда движение перпендикулярно направлению приложенной силы. Здесь сила веса перпендикулярна направлению движения объекта в верхней части круга), а центростремительная сила указывает на вниз, поэтому нормальная сила также будет направлена ​​вниз. С логической точки зрения человек, путешествующий в самолете, окажется вверху круга вверх ногами. В этот момент сиденье человека фактически давит на человека, что является нормальной силой.

Причина, по которой объект не падает, если на него действует только направленная вниз сила, проста. Подумайте, что удерживает предмет после того, как его бросили. Когда объект подбрасывается в воздух, на объект действует только нисходящая сила гравитации Земли. Это не означает, что, подбросив предмет в воздух, он мгновенно упадет. Что удерживает этот объект в воздухе, так это его скорость . Первый из законов движения Ньютона гласит, что инерция объекта поддерживает его в движении, и поскольку объект в воздухе имеет скорость, он будет стремиться продолжать двигаться в этом направлении.

Изменение угловой скорости объекта, движущегося по круговой траектории, может быть достигнуто и в том случае, если вращающееся тело не имеет однородного распределения массы. Для неоднородных объектов необходимо подойти к задаче, как в ^[2]

Можно вывести формулы скорости, ускорения и рывка, предполагая, что все переменные зависят от : ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle \mathbf {r} =R\mathbf {u} _{R}}$$

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {u} }}_{R}=\omega \mathbf {u} _{\theta }}$$

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {u} }}_{\theta }=-\omega \mathbf {u} _{R}}$$

$${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d}{dt}}\mathbf {r} ={\dot {\mathbf {r} }}={\dot {R}}\mathbf {u} _{R}+R\omega \mathbf {u} _{\theta }}$$

$${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d}{dt}}\mathbf {v} ={\dot {\mathbf {v} }}={\ddot {R}}\mathbf {u} _{R}+\left({\dot {R}}\omega \mathbf {u} _{\theta }+{\dot {R}}\omega \mathbf {u} _{\theta }\right)+R{\dot {\omega }}\mathbf {u} _{\theta }-R\omega ^{2}\mathbf {u} _{R}}$$

$${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {d}{dt}}\mathbf {a} ={\dot {\mathbf {a} }}={\dot {\ddot {R}}}\mathbf {u} _{R}+{\ddot {R}}\omega \mathbf {u} _{\theta }+\left(2{\ddot {R}}\omega \mathbf {u} _{\theta }+2{\dot {R}}{\dot {\omega }}\mathbf {u} _{\theta }-2{\dot {R}}\omega ^{2}\mathbf {u} _{R}\right)+{\dot {R}}{\dot {\omega }}\mathbf {u} _{\theta }+R{\ddot {\omega }}\mathbf {u} _{\theta }-R{\dot {\omega }}\omega \mathbf {u} _{R}-{\dot {R}}\omega ^{2}\mathbf {u} _{R}-R2{\dot {\omega }}\omega \mathbf {u} _{R}-R\omega ^{3}\mathbf {u} _{\theta }}$$

$${\displaystyle \mathbf {j} =\left({\dot {\ddot {R}}}-3{\dot {R}}\omega ^{2}-3R{\dot {\omega }}\omega \right)\mathbf {u} _{R}+\left(3{\ddot {R}}\omega +3{\dot {R}}{\dot {\omega }}+R{\ddot {\omega }}-R\omega ^{3}\right)\mathbf {u} _{\theta }}$$

Дальнейшие преобразования могут включать и соответствующие производные: ${\displaystyle curvature=c={\frac {1}{R}},\omega ={\frac {v}{R}}=vc}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {R}}&=-{\frac {\dot {c}}{c^{2}}}\\{\ddot {R}}&={\frac {2\left({\dot {c}}\right)^{2}}{c^{3}}}-{\frac {\ddot {c}}{c^{2}}}\\{\dot {\omega }}&={\frac {{\dot {v}}R-{\dot {R}}v}{R^{2}}}={\dot {v}}c+v{\dot {c}}\\\end{aligned}}}$$

Приложения

Решение приложений, связанных с неравномерным круговым движением, включает анализ сил. При равномерном круговом движении единственной силой, действующей на объект, движущийся по кругу, является центростремительная сила. При неравномерном круговом движении на объект действуют дополнительные силы, обусловленные ненулевым тангенциальным ускорением. Хотя на объект действуют дополнительные силы, сумма всех сил, действующих на объект, должна быть равна центростремительной силе.

$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{\text{net}}&=ma\\&=ma_{r}\\&={\frac {mv^{2}}{r}}\\&=F_{c}\end{aligned}}}$$

Радиальное ускорение используется при расчете общей силы. Тангенциальное ускорение не используется при расчете общей силы, поскольку оно не отвечает за удержание объекта на круговой траектории. Единственное ускорение, обеспечивающее движение объекта по кругу, — это радиальное ускорение. Поскольку сумма всех сил представляет собой центростремительную силу, рисовать центростремительную силу на диаграмме свободного тела нет необходимости и обычно не рекомендуется.

Используя , мы можем нарисовать диаграммы свободного тела, чтобы перечислить все силы, действующие на объект, а затем установить их равными . После этого мы можем решить все, что неизвестно (это может быть масса, скорость, радиус кривизны, коэффициент трения, нормальная сила и т. д.). Например, изображение выше, показывающее объект в верхней части полукруга, будет выражаться как . ${\displaystyle F_{\text{net}}=F_{c}}$ ${\displaystyle F_{c}}$ ${\displaystyle F_{c}=n+mg}$

При равномерном круговом движении общее ускорение объекта на круговой траектории равно радиальному ускорению. Из-за присутствия тангенциального ускорения при неравномерном круговом движении это уже не соответствует действительности. Чтобы найти полное ускорение объекта в неоднородной окружности, найдите векторную сумму тангенциального ускорения и радиального ускорения.

$${\displaystyle {\sqrt {a_{r}^{2}+a_{t}^{2}}}=a}$$

Радиальное ускорение по-прежнему равно . Тангенциальное ускорение — это просто производная скорости в любой данной точке: . Эта корневая сумма квадратов отдельных радиальных и тангенциальных ускорений верна только для кругового движения; для общего движения в плоскости с полярными координатами к следует добавить член Кориолиса , тогда как радиальное ускорение становится равным . ${\textstyle {\frac {v^{2}}{r}}}$ ${\textstyle a_{t}={\frac {dv}{dt}}}$ ${\displaystyle (r,\theta )}$ ${\textstyle a_{c}=2\left({\frac {dr}{dt}}\right)\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)}$ ${\displaystyle a_{t}}$ ${\textstyle a_{r}={\frac {-v^{2}}{r}}+{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}}$

Смотрите также

• Угловой момент
• Уравнения движения для кругового движения
• Производная по времени § Пример: круговое движение
• Фиктивная сила
• Геостационарная орбита
• Геосинхронная орбита
• Маятник (механика)
• Реактивная центробежная сила
• Возвратно-поступательное движение
• Простое гармоническое движение § Равномерное круговое движение
• Слинг (оружие)

Рекомендации

1. Кнудсен, Йенс М.; Хьёрт, Пол Г. (2000). Элементы ньютоновской механики: включая нелинейную динамику (3-е изд.). Спрингер. п. 96. ИСБН 3-540-67652-Х.
2. Гомес, RW; Эрнандес-Гомес, Джей-Джей; Маркина, В. (25 июля 2012 г.). «Прыгающий цилиндр на наклонной плоскости». Евро. Дж. Физ . ИОП. 33 (5): 1359–1365. arXiv : 1204.0600 . Бибкод : 2012EJPh...33.1359G. дои : 10.1088/0143-0807/33/5/1359. S2CID  55442794 . Проверено 25 апреля 2016 г.

Внешние ссылки

• Physclips: Механика с анимацией и видеоклипами от Университета Нового Южного Уэльса.
• Круговое движение - глава из онлайн-учебника Бенджамина Кроуэлла «Механика» (2019).
• Circular Motion Lecture – видеолекция по КМ
• [1] - онлайн-учебник с различным анализом кругового движения.