Инволюция (математика)

Функция, обратная самой себе

Инволюция — это функция f  : X → X , которая при двойном применении возвращает нас в исходную точку.

В математике инволюция , инволютивная функция или самообратная функция ^[1] — это функция f , которая является собственной обратной функцией .

ж ( ж ( Икс )) = Икс

для всех x в области f . ^[2] Аналогично, двукратное применение f дает исходное значение.

Общие свойства

Любая инволюция является биекцией .

Карта идентичности является тривиальным примером инволюции. Примеры нетривиальных инволюций включают отрицание ( x ↦ − x ), взаимное движение ( x ↦ 1/ x ) и комплексное сопряжение ( z ↦ z ) в арифметике ; отражение , вращение на пол-оборота и инверсия круга в геометрии ; дополнение в теории множеств ; и взаимные шифры , такие как преобразование ROT13 и полиалфавитный шифр Бофорта .

Композиция g∘f двух инволюций f и g является инволюцией тогда и только тогда , когда они коммутируют : g∘f = f∘g . ^[3]

Инволюции на конечных множествах

Количество инволюций, включая тождественную инволюцию, на множестве с n = 0, 1, 2, ... элементами задается рекуррентным соотношением, найденным Генрихом Августом Роте в 1800 году:

${\displaystyle a_{0}=a_{1}=1}$и для ${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}}$ ${\displaystyle n>1.}$

Первые несколько членов этой последовательности — 1 , 1, 2 , 4 , 10 , 26 , 76 , 232 (последовательность A000085 в OEIS ); эти числа называются телефонными номерами , и они также подсчитывают количество таблиц Юнга с заданным количеством ячеек. ^[4] Число n также может _быть выражено с помощью нерекурсивных формул, таких как сумма

$${\displaystyle a_{n}=\sum _{m=0}^{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }{\frac {n!}{2^{m}m!(n-2m)!}}.}$$

Число неподвижных точек инволюции на конечном множестве и число ее элементов имеют одинаковую четность . Таким образом, количество неподвижных точек всех инволюций на данном конечном множестве имеет одинаковую четность. В частности, каждая инволюция на нечетном числе элементов имеет хотя бы одну неподвижную точку . Это можно использовать для доказательства теоремы Ферма о двух квадратах . ^[5]

Инволюция во всех областях математики

Вещественные функции

Некоторые основные примеры инволюций включают функции

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f_{1}(x)&=-x,\\f_{2}(x)&={\frac {1}{x}},\\f_{3}(x)&={\frac {x}{x-1}},\\\end{alignedat}}}$$

${\displaystyle f_{4}(x):=(f_{1}\circ f_{2})(x)=(f_{2}\circ f_{1})(x)=-{\frac {1}{x}},}$

$${\displaystyle g(x)={\frac {b-x}{1+cx}}}$$

bcусловиям bc ≠ −1

Еще один

$${\displaystyle f(x)=\ln \left({\frac {e^{x}+1}{e^{x}-1}}\right).}$$

График инволюции (на действительных числах) симметричен относительно прямой y = x . Это связано с тем, что обратной любой общей функции будет ее отражение над прямой y = x . Это можно увидеть, «поменяв местами» x на y . Если, в частности, функция является инволюцией , то ее график является ее собственным отражением.

Другие элементарные инволюции полезны при решении функциональных уравнений .

Евклидова геометрия

Простой пример инволюции трехмерного евклидова пространства — отражение через плоскость . Выполнение отражения дважды возвращает точку в исходные координаты.

Другая инволюция — это отражение через начало ; не отражение в указанном выше смысле, а, следовательно, яркий пример.

Эти преобразования являются примерами аффинных инволюций .

Проективная геометрия

Инволюция — это проективность периода 2, то есть проективность, меняющая пары точек местами. ^{[6] : 24}

• Любая проективность, меняющая местами две точки, является инволюцией.
• Три пары противоположных сторон полного четырехугольника пересекаются с любой прямой (не через вершину) в трех парах инволюции. Эта теорема получила название теоремы Дезарга об инволюции. ^[7] Его истоки можно увидеть в лемме IV лемм к поризмам Евклида в томе VII собрания Паппа Александрийского . ^[8]
• Если инволюция имеет одну неподвижную точку , она имеет другую и состоит из соответствия между гармоническими сопряжениями относительно этих двух точек. В этом случае инволюция называется «гиперболической», а при отсутствии неподвижных точек — «эллиптической». В контексте проективностей неподвижные точки называются двойными точками . ^{[6] : 53}

Другой тип инволюции, происходящий в проективной геометрии, — это полярность , представляющая собой корреляцию периода 2. ^[9]

Линейная алгебра

В линейной алгебре инволюция — это линейный оператор T в векторном пространстве такой, что T ² = I . За исключением характеристики 2, такие операторы диагонализуемы для данного базиса всего с 1 с и -1 с на диагонали соответствующей матрицы. Если оператор ортогонален ( ортогональная инволюция ), он ортонормально диагонализуем.

Например, предположим, что выбран базис векторного пространства V и что e ₁ и e ₂ являются базисными элементами. Существует линейное преобразование f , которое переводит e ₁ в e ₂ и переводит e ₂ в e ₁ , и это тождество для всех остальных базисных векторов. Можно проверить, что f ( f ( x )) = x для всех x в V . То есть f является инволюцией V .

Для конкретного базиса любой линейный оператор может быть представлен матрицей T. Каждая матрица имеет транспонирование , полученное путем замены строк на столбцы. Эта транспозиция представляет собой инволюцию на множестве матриц. Поскольку поэлементное комплексное сопряжение является независимой инволюцией, сопряженное транспонирование или эрмитово сопряженное также является инволюцией.

Определение инволюции легко распространяется на модули . Для модуля M над кольцом R R эндоморфизм f кольца M называется инволюцией, если f 2 ^— тождественный гомоморфизм на M .

Инволюции относятся к идемпотентам ; если 2 обратимо, то они соответствуют взаимно однозначно.

В функциональном анализе банаховы *-алгебры и C*-алгебры представляют собой специальные типы банаховых алгебр с инволюциями.

Алгебра кватернионов, группы, полугруппы

В алгебре кватернионов (анти)инволюция определяется следующими аксиомами: если мы рассматриваем преобразование, то оно является инволюцией, если ${\displaystyle x\mapsto f(x)}$

• ${\displaystyle f(f(x))=x}$(это своя инверсия)
• ${\displaystyle f(x_{1}+x_{2})=f(x_{1})+f(x_{2})}$и (оно линейно) ${\displaystyle f(\lambda x)=\lambda f(x)}$
• ${\displaystyle f(x_{1}x_{2})=f(x_{1})f(x_{2})}$

Антиинволюция не подчиняется последней аксиоме, а вместо этого

• ${\displaystyle f(x_{1}x_{2})=f(x_{2})f(x_{1})}$

Этот первый закон иногда называют антидистрибутивным . Он также появляется в группах как ( xy ) ⁻¹ = ( y ) ⁻¹ ( x ) ⁻¹ . Взятая как аксиома, это приводит к понятию полугруппы с инволюцией , для которой существуют естественные примеры, которые не являются группами, например умножение квадратной матрицы (т.е. полный линейный моноид ) с транспонированием в качестве инволюции.

Теория колец

В теории колец под словом инволюция обычно понимают антигомоморфизм , который является собственной обратной функцией. Примеры инволюций в обычных кольцах:

• комплексное сопряжение на комплексной плоскости и его эквивалент в расщепленных комплексных числах
• транспонирование в кольце матриц.

Теория групп

В теории групп элемент группы является инволюцией, если он имеет порядок 2; то есть инволюция — это элемент a такой, что a ≠ e и a ² = e , где e — единичный элемент . ^[10] Первоначально это определение согласовывалось с первым определением, приведенным выше, поскольку члены групп всегда были биекциями из множества в себя; то есть под группой подразумевалась группа перестановок . К концу XIX века группа получила более широкое определение, а соответственно и инволюция .

Перестановка является инволюцией тогда и только тогда , когда ее можно записать в виде конечного произведения непересекающихся транспозиций .

Инволюция группы оказывает большое влияние на ее структуру. Изучение инволюций сыграло важную роль в классификации конечных простых групп .

Элемент x группы G называется сильно вещественным ^, если существует инволюция t такая  , что xt = x ⁻¹ (где  ^xt = x ⁻¹ = t ⁻¹ ⋅ x ⋅ t ).

Группы Кокстера — это группы, порожденные набором S инволюций, подчиняющихся только отношениям, включающим степени пар элементов S . Группы Кокстера могут использоваться, среди прочего, для описания возможных правильных многогранников и их обобщений на более высокие измерения .

Математическая логика

Операция дополнения в булевых алгебрах является инволюцией. Соответственно, отрицание в классической логике удовлетворяет закону двойного отрицания : ¬¬ A эквивалентно A.

Обычно в неклассической логике отрицание, удовлетворяющее закону двойного отрицания, называется инволютивным . В алгебраической семантике такое отрицание реализуется как инволюция на алгебре истинностных значений . Примерами логик, имеющих инволютивное отрицание, являются трехзначные логики Клини и Бочвара , многозначная логика Лукасевича , нечеткая логика IMTL и т. д. Инволютивное отрицание иногда добавляется как дополнительная связка к логикам с неинволютивным отрицанием; это обычное явление, например, в нечеткой логике t-нормы .

Инволютивность отрицания — важное характеристическое свойство логик и соответствующих разновидностей алгебр . Например, инволютивное отрицание характеризует булевы алгебры среди алгебр Гейтинга . Соответственно, классическая булева логика возникает путем добавления к интуиционистской логике закона двойного отрицания . Такая же связь сохраняется и между MV-алгебрами и BL-алгебрами (и, соответственно, между логикой Лукасевича и нечеткой логикой BL ), IMTL и MTL и другими парами важных разновидностей алгебр (соответственно, соответствующими логиками).

При изучении бинарных отношений каждое отношение имеет обратное отношение . Поскольку обратным является исходное отношение, операция преобразования представляет собой инволюцию категории отношений . Бинарные отношения упорядочиваются посредством включения . Хотя этот порядок меняется на обратный при инволюции дополнения , он сохраняется при преобразовании.

Информатика

Побитовая операция XOR с заданным значением для одного параметра является инволюцией другого параметра. Маски XOR в некоторых случаях использовались для рисования графики на изображениях таким образом, что двойное рисование их на фоне возвращало фон в исходное состояние. Побитовая операция НЕ также является инволюцией и представляет собой особый случай операции исключающее ИЛИ, когда в одном параметре все биты установлены в 1 .

Другой пример — функция битовой маски и сдвига, работающая со значениями цвета, хранящимися как целые числа, скажем, в форме ( R , G , B ) , которая меняет местами R и B , что приводит к форме ( B , G , R ) : f ( f (RGB)) = RGB, f ( f (BGR)) = BGR .

Криптографический шифр RC4 является инволюцией, поскольку операции шифрования и дешифрования используют одну и ту же функцию .

Практически все механические шифровальные машины реализуют обратный шифр — инволюцию каждой введенной буквы. Вместо того, чтобы проектировать два типа машин: одну для шифрования, другую для дешифрования, все машины могут быть идентичными и могут быть настроены (с ключами) одинаковым образом. ^[11]

Смотрите также

• Атбаш
• Автоморфизм
• Идемпотентность
• РОТ13

Рекомендации

1. Роберт Александр Адамс, Исчисление: одна переменная , 2006, ISBN  0321307143 , стр. 165
2. Рассел, Бертран (1903), Принципы математики (2-е изд.), WW Norton & Company, Inc, стр. 426, ISBN 9781440054167
3. Кубрусли, Карлос С. (2011), Элементы теории операторов, Springer Science & Business Media, Проблема 1.11 (a), стр. 27, ISBN 9780817649982.
4. Кнут, Дональд Э. (1973), Искусство компьютерного программирования , Том 3: Сортировка и поиск , Чтение, Массачусетс: Аддисон-Уэсли, стр. 48, 65, MR  0445948
5. Загер, Д. (1990), «Доказательство одним предложением того, что каждое простое число p ≡ 1 (по модулю 4) является суммой двух квадратов», American Mathematical Monthly , 97 (2): 144, doi : 10.2307/2323918, JSTOR  2323918, МР  1041893.
6. А. Г. Пикфорд (1909) Элементарная проективная геометрия, Издательство Кембриджского университета, через Интернет-архив
7. Дж. В. Филд и Дж. Дж. Грей (1987) Геометрические работы Жирара Дезарга , (Нью-Йорк: Springer), стр. 54
8. Айвор Томас (редактор) (1980) Избранное, иллюстрирующее историю греческой математики , том II, номер 362 в Классической библиотеке Леба (Кембридж и Лондон: Гарвард и Хайнеманн), стр. 610–3
9. HSM Coxeter (1969) Введение в геометрию , стр. 244–8, John Wiley & Sons
10. Джон С. Роуз. «Курс теории групп». п. 10, раздел 1.13.
11. Грег Гебель. «Механизация шифров» 2018.

дальнейшее чтение

• Элл, Тодд А.; Сангвин, Стивен Дж. (2007). «Кватернионные инволюции и антиинволюции». Компьютеры и математика с приложениями . 53 (1): 137–143. arXiv : математика/0506034 . дои : 10.1016/j.camwa.2006.10.029. S2CID  45639619.
• Кнус, Макс-Альберт; Меркурьев, Александр ; Рост, Маркус ; Тиньоль, Жан-Пьер (1998), Книга инволюций , Публикации коллоквиума, том. 44, С предисловием Дж. Титса, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 0-8218-0904-0, Збл  0955.16001
• «Инволюция», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с инволюцией, на Викискладе?