Личности Грина

Формулы векторного исчисления, связывающие объем с границей области

В математике тождества Грина — это набор из трех тождеств в векторном исчислении, связывающих объем с границей области, на которую действуют дифференциальные операторы. Они названы в честь математика Джорджа Грина , открывшего теорему Грина .

Первая личность Грина

Это тождество выводится из теоремы о расходимости, примененной к векторному полю F = ψ ∇ φ с использованием расширения правила произведения , что ∇ ⋅ ( ψ X ) = ∇ ψ ⋅ X + ψ ∇⋅ X : Пусть φ и ψ — скалярные функции, определенные в некоторой области U ⊂ R ^d , и предположим, что φ дважды непрерывно дифференцируема , а ψ — один раз непрерывно дифференцируема. Используя правило произведения выше, но положив X = ∇ φ , интегрируем ∇⋅( ψ ∇ φ ) по U . Тогда ^[1] где ∆ ≡ ∇ ² — оператор Лапласа , ∂ U — граница области U , n — внешняя указывающая единица, нормальная к элементу поверхности dS , а d S = n dS — ориентированный элемент поверхности. $${\displaystyle \int _{U}\left(\psi \,\Delta \varphi +\nabla \psi \cdot \nabla \varphi \right)\,dV=\oint _{\partial U}\psi \left(\nabla \varphi \cdot \mathbf {n} \right)\,dS=\oint _{\partial U}\psi \,\nabla \varphi \cdot d\mathbf {S} }$$

Эта теорема является частным случаем теоремы о расходимости и по сути является эквивалентом интегрирования по частям в более высокой размерности , где ψ и градиент φ заменяют u и v .

Обратите внимание, что первое тождество Грина, приведенное выше, является частным случаем более общего тождества, полученного из теоремы о дивергенции путем подстановки F = ψ Γ , $${\displaystyle \int _{U}\left(\psi \,\nabla \cdot \mathbf {\Gamma } +\mathbf {\Gamma } \cdot \nabla \psi \right)\,dV=\oint _{\partial U}\psi \left(\mathbf {\Gamma } \cdot \mathbf {n} \right)\,dS=\oint _{\partial U}\psi \mathbf {\Gamma } \cdot d\mathbf {S} ~.}$$

Вторая личность Грина

Если φ и ψ оба дважды непрерывно дифференцируемы на U ⊂ R ³ , а ε однократно непрерывно дифференцируема, можно выбрать F = ψε ∇ φ − φε ∇ ψ , чтобы получить $${\displaystyle \int _{U}\left[\psi \,\nabla \cdot \left(\varepsilon \,\nabla \varphi \right)-\varphi \,\nabla \cdot \left(\varepsilon \,\nabla \psi \right)\right]\,dV=\oint _{\partial U}\varepsilon \left(\psi {\partial \varphi \over \partial \mathbf {n} }-\varphi {\partial \psi \over \partial \mathbf {n} }\right)\,dS.}$$

Для частного случая ε = 1 по всему U ⊂ R ³ , тогда, $${\displaystyle \int _{U}\left(\psi \,\nabla ^{2}\varphi -\varphi \,\nabla ^{2}\psi \right)\,dV=\oint _{\partial U}\left(\psi {\partial \varphi \over \partial \mathbf {n} }-\varphi {\partial \psi \over \partial \mathbf {n} }\right)\,dS.}$$

В приведенном выше уравнении ∂ φ /∂ n — производная φ по направлению внешней нормали поверхности n элемента поверхности dS , $${\displaystyle {\partial \varphi \over \partial \mathbf {n} }=\nabla \varphi \cdot \mathbf {n} =\nabla _{\mathbf {n} }\varphi .}$$

Явное включение этого определения во второе тождество Грина с ε = 1 приводит к $${\displaystyle \int _{U}\left(\psi \,\nabla ^{2}\varphi -\varphi \,\nabla ^{2}\psi \right)\,dV=\oint _{\partial U}\left(\psi \nabla \varphi -\varphi \nabla \psi \right)\cdot d\mathbf {S} .}$$

В частности, это показывает, что лапласиан является самосопряженным оператором в скалярном ^{произведении} L2 для функций, обращающихся в нуль на границе, так что правая часть приведенного выше тождества равна нулю.

Третья личность Грина

Третье тождество Грина выводится из второго тождества выбором φ = G , где функция Грина G берется как фундаментальное решение оператора Лапласа , ∆. Это означает, что: $${\displaystyle \Delta G(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\eta }})=\delta (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\eta }})~.}$$

Например, в R ³ решение имеет вид $${\displaystyle G(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\eta }})={\frac {-1}{4\pi \|\mathbf {x} -{\boldsymbol {\eta }}\|}}~.}$$

Третье тождество Грина утверждает, что если ψ — функция, дважды непрерывно дифференцируемая на U , то $${\displaystyle \int _{U}\left[G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }})\,\Delta \psi (\mathbf {y} )\right]\,dV_{\mathbf {y} }-\psi ({\boldsymbol {\eta }})=\oint _{\partial U}\left[G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }}){\partial \psi \over \partial \mathbf {n} }(\mathbf {y} )-\psi (\mathbf {y} ){\partial G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }}) \over \partial \mathbf {n} }\right]\,dS_{\mathbf {y} }.}$$

Упрощение возникает, если ψ сама является гармонической функцией , т.е. решением уравнения Лапласа . Тогда ∇ ² ψ = 0 и тождество упрощается до $${\displaystyle \psi ({\boldsymbol {\eta }})=\oint _{\partial U}\left[\psi (\mathbf {y} ){\frac {\partial G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }})}{\partial \mathbf {n} }}-G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }}){\frac {\partial \psi }{\partial \mathbf {n} }}(\mathbf {y} )\right]\,dS_{\mathbf {y} }.}$$

Второй член в приведенном выше интеграле можно исключить, если в качестве G выбрать функцию Грина , которая обращается в нуль на границе U ( граничное условие Дирихле ), $${\displaystyle \psi ({\boldsymbol {\eta }})=\oint _{\partial U}\psi (\mathbf {y} ){\frac {\partial G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }})}{\partial \mathbf {n} }}\,dS_{\mathbf {y} }~.}$$

Эта форма используется для построения решений задач с граничными условиями Дирихле. Решения задач с граничными условиями Неймана также могут быть упрощены, хотя теорема о дивергенции, примененная к дифференциальному уравнению, определяющему функции Грина, показывает, что функция Грина не может интегрироваться до нуля на границе и, следовательно, не может исчезать на границе. См. функции Грина для Лапласа или ^[2] для подробного аргумента с альтернативой.

Можно дополнительно проверить, что указанное выше тождество также применимо, когда ψ является решением уравнения Гельмгольца или волнового уравнения , а G является соответствующей функцией Грина. В таком контексте это тождество является математическим выражением принципа Гюйгенса и приводит к формуле дифракции Кирхгофа и другим приближениям.

На коллекторах

Тождества Грина справедливы на римановом многообразии. В этой постановке первые два таковы: где u и v — гладкие действительные функции на M , dV — форма объема, совместимая с метрикой, — индуцированная форма объема на границе M , N — ориентированное наружу единичное векторное поле, нормальное к границе, а Δ u = div(grad u ) — лапласиан. $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{M}u\,\Delta v\,dV+\int _{M}\langle \nabla u,\nabla v\rangle \,dV&=\int _{\partial M}uNv\,d{\widetilde {V}}\\\int _{M}\left(u\,\Delta v-v\,\Delta u\right)\,dV&=\int _{\partial M}(uNv-vNu)\,d{\widetilde {V}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle d{\widetilde {V}}}$

Векторная идентичность Грина

Второе тождество Грина устанавливает связь между производными второго и (расхождения) первого порядка двух скалярных функций. В дифференциальной форме , где p _m и q _m — два произвольных дважды непрерывно дифференцируемых скалярных поля. Это тождество имеет большое значение в физике, поскольку таким образом можно установить уравнения непрерывности для скалярных полей, таких как масса или энергия. ^[3] $${\displaystyle p_{m}\,\Delta q_{m}-q_{m}\,\Delta p_{m}=\nabla \cdot \left(p_{m}\nabla q_{m}-q_{m}\,\nabla p_{m}\right),}$$

В теории векторной дифракции вводятся две версии второго тождества Грина.

Один из вариантов использует расходимость векторного произведения ^{[4] [5] [6]} и устанавливает связь в терминах вихрь-вихрь поля $${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \left(\nabla \times \nabla \times \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \cdot \left(\nabla \times \nabla \times \mathbf {P} \right)=\nabla \cdot \left(\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right)-\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)\right).}$$

Это уравнение можно записать в терминах лапласианов:

$${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} +\mathbf {Q} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\right]-\mathbf {P} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)\right]=\nabla \cdot \left(\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right)\right).}$$

Однако эти термины не могли быть легко записаны в терминах расхождения. $${\displaystyle \mathbf {Q} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\right]-\mathbf {P} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)\right],}$$

Другой подход вводит бивекторы, эта формулировка требует диадической функции Грина. ^{[7] [8]} Представленный здесь вывод позволяет избежать этих проблем. ^[9]

Предположим, что скалярные поля во втором тождестве Грина являются декартовыми компонентами векторных полей, т. е. $${\displaystyle \mathbf {P} =\sum _{m}p_{m}{\hat {\mathbf {e} }}_{m},\qquad \mathbf {Q} =\sum _{m}q_{m}{\hat {\mathbf {e} }}_{m}.}$$

Суммируя уравнения для каждого компонента, получаем $${\displaystyle \sum _{m}\left[p_{m}\Delta q_{m}-q_{m}\Delta p_{m}\right]=\sum _{m}\nabla \cdot \left(p_{m}\nabla q_{m}-q_{m}\nabla p_{m}\right).}$$

LHS согласно определению скалярного произведения может быть записана в векторной форме как $${\displaystyle \sum _{m}\left[p_{m}\,\Delta q_{m}-q_{m}\,\Delta p_{m}\right]=\mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} .}$$

RHS немного сложнее выразить в терминах векторных операторов. Из-за дистрибутивности оператора дивергенции по сложению, сумма дивергенции равна дивергенции суммы, т.е., $${\displaystyle \sum _{m}\nabla \cdot \left(p_{m}\nabla q_{m}-q_{m}\nabla p_{m}\right)=\nabla \cdot \left(\sum _{m}p_{m}\nabla q_{m}-\sum _{m}q_{m}\nabla p_{m}\right).}$$

Вспомним векторное тождество для градиента скалярного произведения, которое, записанное в векторных компонентах, имеет вид $${\displaystyle \nabla \left(\mathbf {P} \cdot \mathbf {Q} \right)=\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} +\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)+\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right),}$$

$${\displaystyle \nabla \left(\mathbf {P} \cdot \mathbf {Q} \right)=\nabla \sum _{m}p_{m}q_{m}=\sum _{m}p_{m}\nabla q_{m}+\sum _{m}q_{m}\nabla p_{m}.}$$

Этот результат похож на тот, который мы хотим продемонстрировать в векторных терминах, «за исключением» знака «минус». Поскольку дифференциальные операторы в каждом термине действуют либо на один вектор (скажем, 's), либо на другой ( 's), вклад в каждый термин должен быть ${\displaystyle p_{m}}$ ${\displaystyle q_{m}}$ $${\displaystyle \sum _{m}p_{m}\nabla q_{m}=\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right),}$$ $${\displaystyle \sum _{m}q_{m}\nabla p_{m}=\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} +\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right).}$$

Эти результаты могут быть строго доказаны как верные посредством оценки векторных компонентов. Таким образом, RHS может быть записана в векторной форме как

$${\displaystyle \sum _{m}p_{m}\nabla q_{m}-\sum _{m}q_{m}\nabla p_{m}=\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)-\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} -\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right).}$$

Объединяя эти два результата, получаем результат, аналогичный теореме Грина для скалярных полей,
Теорема для векторных полей: $${\displaystyle \color {OliveGreen}\mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} =\left[\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)-\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} -\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right)\right].}$$

Ротор векторного произведения можно записать как $${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {P} \times \mathbf {Q} \right)=\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} -\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right);}$$

Тогда векторное тождество Грина можно переписать как $${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} =\nabla \cdot \left[\mathbf {P} \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)-\nabla \times \left(\mathbf {P} \times \mathbf {Q} \right)+\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right)\right].}$$

Поскольку дивергенция ротора равна нулю, третий член исчезает, что дает векторное тождество Грина : $${\displaystyle \color {OliveGreen}\mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} =\nabla \cdot \left[\mathbf {P} \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)+\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right)\right].}$$

С помощью аналогичной процедуры лапласиан скалярного произведения можно выразить через лапласианы факторов $${\displaystyle \Delta \left(\mathbf {P} \cdot \mathbf {Q} \right)=\mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} +2\nabla \cdot \left[\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} +\mathbf {Q} \times \nabla \times \mathbf {P} \right].}$$

Как следствие, неудобные члены теперь можно записать в терминах расхождения по сравнению с векторным уравнением Грина, $${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)\right]-\mathbf {Q} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\right]=\nabla \cdot \left[\mathbf {P} \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\right].}$$

Этот результат можно проверить, разложив дивергенцию скаляра, умноженную на вектор в правой части.

Смотрите также

• Функция Грина
• Интегральная теорема Кирхгофа
• Тождество Лагранжа (краевая задача)

Ссылки

1. Штраус, Вальтер. Уравнения с частными производными: Введение . Wiley.
2. Джексон, Джон Дэвид (1998-08-14). Классическая электродинамика . John Wiley & Sons. стр. 39.
3. Guasti, M Fernández (2004-03-17). "Уравнение сохранения дополнительных полей, полученное из скалярного волнового уравнения". Journal of Physics A: Mathematical and General . 37 (13). IOP Publishing: 4107–4121. Bibcode : 2004JPhA...37.4107F. doi : 10.1088/0305-4470/37/13/013. ISSN  0305-4470.
4. Love, Augustus EH (1901). «I. Интеграция уравнений распространения электрических волн». Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Серия A, содержащая статьи математического или физического характера . 197 (287–299). Королевское общество: 1–45. doi : 10.1098/rsta.1901.0013 . ISSN  0264-3952.
5. Stratton, JA; Chu, LJ (1939-07-01). «Теория дифракции электромагнитных волн». Physical Review . 56 (1). Американское физическое общество (APS): 99–107. Bibcode : 1939PhRv...56...99S. doi : 10.1103/physrev.56.99. ISSN  0031-899X.
6. Брюс, Нил С. (2010-07-22). "Двойное рассеяние векторной волны Кирхгофа от идеально проводящих поверхностей с бесконечными наклонами". Журнал оптики . 12 (8). Издательство IOP: 085701. Bibcode : 2010JOpt...12h5701B. doi : 10.1088/2040-8978/12/8/085701. ISSN  2040-8978. S2CID  120636008.
7. Франц, В. (1950-09-01). «О теории дифракции». Труды Физического общества. Раздел A. 63 ( 9). Издательство IOP: 925–939. Bibcode : 1950PPSA...63..925F. doi : 10.1088/0370-1298/63/9/301. ISSN  0370-1298.
8. Чэнь-То Тай (1972). «Теория Кирхгофа: скалярная, векторная или диадическая?». Труды IEEE по антеннам и распространению волн . 20 (1). Институт инженеров по электротехнике и электронике (IEEE): 114–115. Bibcode : 1972ITAP...20..114T. doi : 10.1109/tap.1972.1140146. ISSN  0096-1973.
9. Фернандес-Гуасти, М. (2012). «Второе тождество Грина для векторных полей». ISRN Математическая физика . 2012. Hindawi Limited: 1–7. doi : 10.5402/2012/973968 . ISSN  2090-4681.

Внешние ссылки

• «Зеленые формулы», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• [1] Тождества Грина в Wolfram MathWorld