Метод конечного объема

Метод представления и оценки уравнений в частных производных

Метод конечных объемов ( FVM ) — это метод представления и оценки уравнений в частных производных в форме алгебраических уравнений. ^[1] В методе конечных объемов объемные интегралы в уравнении в частных производных, содержащие член дивергенции , преобразуются в поверхностные интегралы с использованием теоремы о дивергенции . Эти члены затем оцениваются как потоки на поверхностях каждого конечного объема. Поскольку поток, входящий в данный объем, идентичен потоку, выходящему из соседнего объема, эти методы являются консервативными . Еще одним преимуществом метода конечных объемов является то, что его легко сформулировать для учета неструктурированных сеток. Этот метод используется во многих пакетах вычислительной гидродинамики . «Конечный объем» относится к небольшому объему, окружающему каждую узловую точку сетки. ^[2]

Методы конечных объемов можно сравнивать и противопоставлять методам конечных разностей , которые аппроксимируют производные с использованием узловых значений, или методам конечных элементов , которые создают локальные аппроксимации решения с использованием локальных данных и строят глобальную аппроксимацию, сшивая их вместе. Напротив, метод конечных объемов вычисляет точные выражения для среднего значения решения по некоторому объему и использует эти данные для построения аппроксимаций решения внутри ячеек. ^{[3] [4]}

Пример

Рассмотрим простую одномерную задачу адвекции :

Здесь представляет переменную состояния и представляет поток или поток . Обычно положительное значение представляет поток вправо, а отрицательное представляет поток влево. Если мы предположим, что уравнение ( 1 ) представляет собой текущую среду постоянной площади, мы можем разделить пространственную область на конечные объемы или ячейки с центрами ячеек, обозначенными как . Для конкретной ячейки мы можем определить среднее по объему значение в момент времени и как ${\displaystyle \rho =\rho \left(x,t\right)}$ ${\displaystyle f=f\left(\rho \left(x,t\right)\right)}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\rho }_{i}\left(t\right)=\rho \left(x,t\right)}$ ${\displaystyle {t=t_{1}}}$ ${\displaystyle {x\in \left[x_{i-{\frac {1}{2}}},x_{i+{\frac {1}{2}}}\right]}}$

и в то время как, ${\displaystyle t=t_{2}}$

где и представляют собой местоположения верхних и нижних граней или краев ячейки соответственно . ${\displaystyle x_{i-{\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle x_{i+{\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle i^{\text{th}}}$

Интегрируя уравнение ( 1 ) по времени, имеем:

где . ${\displaystyle f_{x}={\frac {\partial f}{\partial x}}}$

Чтобы получить среднее значение объема в момент времени , мы интегрируем по объему ячейки и делим результат на , т.е. ${\displaystyle \rho \left(x,t\right)}$ ${\displaystyle t=t_{2}}$ ${\displaystyle \rho \left(x,t_{2}\right)}$ ${\displaystyle \left[x_{i-{\frac {1}{2}}},x_{i+{\frac {1}{2}}}\right]}$ ${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i+{\frac {1}{2}}}-x_{i-{\frac {1}{2}}}}$

Мы предполагаем, что это поведение хорошее и что мы можем изменить порядок интегрирования. Также помните, что поток нормален к единичной площади ячейки. Теперь, поскольку в одном измерении мы можем применить теорему о дивергенции , т. е . и заменить объемный интеграл от дивергенции значениями, оцененными на поверхности ячейки (края и ) конечного объема следующим образом: ${\displaystyle f\ }$ ${\displaystyle f_{x}\triangleq \nabla \cdot f}$ ${\displaystyle \oint _{v}\nabla \cdot fdv=\oint _{S}f\,dS}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x_{i-{\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle x_{i+{\frac {1}{2}}}}$

где . ${\displaystyle f_{i\pm {\frac {1}{2}}}=f\left(x_{i\pm {\frac {1}{2}}},t\right)}$

Таким образом, мы можем вывести полудискретную числовую схему для вышеуказанной задачи с центрами ячеек, обозначенными как , и с потоками на краях ячеек, обозначенными как , путем дифференцирования ( 6 ) по времени, чтобы получить: ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i\pm {\frac {1}{2}}}$

где значения краевых потоков могут быть восстановлены путем интерполяции или экстраполяции средних значений ячейки. Уравнение ( 7 ) является точным для средних объемов; т. е. при его выводе не делалось никаких приближений. ${\displaystyle f_{i\pm {\frac {1}{2}}}}$

Этот метод также можно применить к 2D- ситуации, рассматривая северную и южную грани, а также восточную и западную грани вокруг узла.

Общий закон сохранения

Мы также можем рассмотреть общую проблему закона сохранения , представленную следующим УЧП :

Здесь представляет вектор состояний и представляет соответствующий тензор потока . Мы снова можем разделить пространственную область на конечные объемы или ячейки. Для конкретной ячейки мы берем интеграл объема по общему объему ячейки , что дает ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle v_{i}}$

Интегрируя первый член, чтобы получить среднее значение объема , и применяя теорему о дивергенции ко второму, это дает

где представляет собой общую площадь поверхности ячейки и является единичным вектором, нормальным к поверхности и направленным наружу. Итак, наконец, мы можем представить общий результат, эквивалентный ( 8 ), т.е. ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle {\mathbf {n} }}$

Опять же, значения краевых потоков можно восстановить путем интерполяции или экстраполяции средних значений по ячейкам. Фактическая численная схема будет зависеть от геометрии задачи и конструкции сетки. Реконструкция MUSCL часто используется в схемах с высоким разрешением , где в решении присутствуют скачки или разрывы.

Схемы конечного объема консервативны, поскольку средние значения ячеек изменяются в зависимости от краевых потоков. Другими словами, потеря одной ячейки всегда означает выигрыш другой клетки !

Смотрите также

• Метод конечных элементов
• Ограничитель потока
• Схема Годунова
• Теорема Годунова
• Схема высокого разрешения
• КИВА (Программное обеспечение)
• Модель общей циркуляции MIT
• Схема MUSCL
• Сергей Константинович Годунов
• Общая вариация уменьшается
• Метод конечных объемов для нестационарного течения

Рекомендации

1. Левек, Рэндалл (2002). Методы конечных объемов для решения гиперболических задач. ISBN 9780511791253.
2. Ванта, Д.; Смолик, WT; Крышин Ю.; Врублевский, П.; Мидура, М. (октябрь 2021 г.). «Метод конечного объема с использованием неоднородной структурированной сетки квадродерева для моделирования в электроемкостной томографии». Труды Национальной академии наук Индии. Раздел A: Физические науки . 92 (3): 443–452. дои : 10.1007/s40010-021-00748-7 .
3. Фаллах, Северная Каролина; Бейли, К.; Кросс, М.; Тейлор, Джорджия (1 июня 2000 г.). «Сравнение применения методов конечных элементов и конечных объемов в геометрически нелинейном анализе напряжений». Прикладное математическое моделирование . 24 (7): 439–455. дои : 10.1016/S0307-904X(99)00047-5 . ISSN  0307-904X.
4. Ранганаякулу, К. (Ченну) (2 февраля 2018 г.). «Глава 3, раздел 3.1». Компактные теплообменники: анализ, проектирование и оптимизация с использованием методов FEM и CFD . Ситхараму, КН Хобокен, Нью-Джерси. ISBN 978-1-119-42435-2. ОКЛК  1006524487.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

дальнейшее чтение

• Эймар, Р. Галлуэ, Т.Р., Хербин, Р. (2000) Метод конечных объемов. Справочник по численному анализу, Vol. VII, 2000, с. 713–1020. Редакторы: П.Г. Сиарлет и Дж.Л. Лайонс.
• Хирш, К. (1990), Численный расчет внутренних и внешних потоков, Том 2: Методы расчета невязких и вязких потоков , Wiley.
• Лэйни, Калберт Б. (1998), Вычислительная газовая динамика , Издательство Кембриджского университета.
• ЛеВек, Рэндалл (1990), Численные методы исследования законов сохранения , Серия лекций ETH по математике, Birkhauser-Verlag.
• ЛеВек, Рэндалл (2002), Методы конечных объемов для гиперболических задач , Издательство Кембриджского университета.
• Патанкар, Сухас В. (1980), Численная теплопередача и поток жидкости , Полушарие.
• Таннехилл, Джон К. и др. (1997), Вычислительная механика жидкостей и теплопередача , 2-е изд., Тейлор и Фрэнсис.
• Торо, Э.Ф. (1999), Решатели Римана и численные методы гидродинамики , Springer-Verlag.
• Весселинг, Питер (2001), Принципы вычислительной гидродинамики , Springer-Verlag.

Внешние ссылки

• Методы конечных объемов Р. Эймара, Т. Галлуэ и Р. Хербина , обновление статьи, опубликованной в Handbook of Numerical Analysis, 2000 г.
• Рюбенкениг, Оливер. «Метод конечных объемов (FVM) – Введение». Архивировано из оригинала 2 октября 2009 г. {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь ) , доступная в рамках GFDL .
• FiPy: решатель PDE конечного объема с использованием Python от NIST.
• CLAWPACK: пакет программного обеспечения, предназначенный для вычисления численных решений гиперболических уравнений в частных производных с использованием подхода распространения волн.