Гиперболическое уравнение в частных производных

Тип уравнений в частных производных

В математике гиперболическое уравнение в частных производных порядка — это уравнение в частных производных (ЧДУ), которое, грубо говоря, имеет корректную начальную задачу для первых производных. Точнее, задача Коши может быть решена локально для произвольных начальных данных вдоль любой нехарактерной гиперповерхности . Многие уравнения механики являются гиперболическими, поэтому изучение гиперболических уравнений представляет существенный современный интерес. Модельное гиперболическое уравнение представляет собой волновое уравнение . В одном пространственном измерении это ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n-1}$

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$$

ut = 0t

Решения гиперболических уравнений являются «волнообразными». Если в исходные данные гиперболического дифференциального уравнения внесено возмущение, то возмущение ощущают не все точки пространства сразу. Относительно фиксированной временной координаты возмущения имеют конечную скорость распространения . Они путешествуют по характеристикам уравнения. Эта особенность качественно отличает гиперболические уравнения от эллиптических уравнений в частных производных и параболических уравнений в частных производных . Возмущение исходных (или граничных) данных эллиптического или параболического уравнения ощущают сразу практически все точки области.

Хотя определение гиперболичности по сути является качественным, существуют точные критерии, которые зависят от конкретного типа рассматриваемого дифференциального уравнения. Существует хорошо разработанная теория линейных дифференциальных операторов , созданная Ларсом Гордингом в контексте микролокального анализа . Нелинейные дифференциальные уравнения гиперболичны, если их линеаризации гиперболичны в смысле Гординга. Несколько иная теория существует для систем уравнений первого порядка, вытекающих из систем законов сохранения .

Определение

Уравнение в частных производных является гиперболическим в точке при условии, что задача Коши однозначно разрешима в окрестности для любых начальных данных, заданных на нехарактерной гиперповерхности, проходящей через . ^[1] Здесь заданные начальные данные состоят из всех (поперечных) производных функции на поверхности до единицы меньше порядка дифференциального уравнения. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$

Примеры

Путем линейной замены переменных любое уравнение вида

$${\displaystyle A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+2B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+C{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\text{(lower order derivative terms)}}=0}$$

$${\displaystyle B^{2}-AC>0}$$

волновое уравнение^{[2] : 400}гиперболы

Одномерное волновое уравнение :

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0}$$

^{[2] : 402}

Гиперболическая система уравнений в частных производных

Ниже представлена ​​система уравнений в частных производных первого порядка для неизвестных функций , , где : ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},\ldots ,u_{s})}$ ${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {u}}({\vec {x}},t)}$ ${\displaystyle {\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{d}}$

где – некогда непрерывно дифференцируемые функции, вообще говоря, нелинейные . ${\displaystyle {\vec {f}}^{j}\in C^{1}(\mathbb {R} ^{s},\mathbb {R} ^{s}),j=1,\ldots ,d}$

Далее для каждого определим матрицу Якобиана ${\displaystyle {\vec {f}}^{j}}$ ${\displaystyle s\times s}$

$${\displaystyle A^{j}:={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{s}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{s}}}\end{pmatrix}},{\text{ for }}j=1,\ldots ,d.}$$

Система ( ∗ ) является гиперболической, если для всех матрица имеет только действительные собственные значения и диагонализуема . ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{d}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A:=\alpha _{1}A^{1}+\cdots +\alpha _{d}A^{d}}$

Если матрица имеет s различных действительных собственных значений, то из этого следует, что она диагонализуема. В этом случае система ( ∗ ) называется строго гиперболической . ${\displaystyle A}$

Если матрица симметрична, то из этого следует, что она диагонализуема и собственные значения вещественны. В этом случае система ( ∗ ) называется симметричной гиперболической . ${\displaystyle A}$

Гиперболическая система и законы сохранения

Существует связь между гиперболической системой и законом сохранения . Рассмотрим гиперболическую систему одного уравнения в частных производных для одной неизвестной функции . Тогда система ( ∗ ) имеет вид ${\displaystyle u=u({\vec {x}},t)}$

Здесь его можно интерпретировать как величину, которая перемещается в соответствии с потоком, определяемым . Чтобы убедиться в сохранении величины , проинтегрируйте ( ∗∗ ) по области ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\vec {f}}=(f^{1},\ldots ,f^{d})}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega }$

$${\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\partial u}{\partial t}}\,d\Omega +\int _{\Omega }\nabla \cdot {\vec {f}}(u)\,d\Omega =0.}$$

Если и — достаточно гладкие функции, то можно воспользоваться теоремой о расходимости , изменить порядок интегрирования и получить закон сохранения величины в общем виде ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\vec {f}}}$ ${\displaystyle \partial /\partial t}$ ${\displaystyle u}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }u\,d\Omega +\int _{\partial \Omega }{\vec {f}}(u)\cdot {\vec {n}}\,d\Gamma =0,}$$

${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega }$

Смотрите также

• Эллиптическое уравнение в частных производных
• Гипоэллиптический оператор
• Параболическое уравнение в частных производных

Рекомендации

1. Рождественский, Б.Л. (2001) [1994], «Гиперболическое уравнение в частных производных», Энциклопедия математики , EMS Press
2. Эванс, Лоуренс К. (2010) [1998], Уравнения в частных производных, Аспирантура по математике , том. 19 (2-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , номер документа : 10.1090/gsm/019, ISBN 978-0-8218-4974-3, МР  2597943, OCLC  465190110

дальнейшее чтение

• А. Д. Полянин, Справочник по линейным уравнениям в частных производных для инженеров и ученых , Chapman & Hall/CRC Press, Бока-Ратон, 2002. ISBN 1-58488-299-9 

Внешние ссылки

• «Гиперболическое уравнение в частных производных, численные методы», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Линейные гиперболические уравнения в EqWorld: мир математических уравнений.
• Нелинейные гиперболические уравнения в EqWorld: мир математических уравнений.