Материальный производный

Скорость изменения во времени некоторой физической величины материального элемента в поле скоростей

В механике сплошной среды производная материала [ ^{1] [2]} описывает скорость изменения во времени некоторой физической величины (например, тепла или импульса ) материального элемента , который подвергается воздействию макроскопического поля скорости, зависящего от пространства и времени . Производная материала может служить связующим звеном между эйлеровыми и лагранжевыми описаниями деформации сплошной среды . ^[3]

Например, в динамике жидкости поле скорости — это скорость потока , а интересующей величиной может быть температура жидкости . В этом случае производная материала описывает изменение температуры определенной порции жидкости со временем, когда она течет по своей траектории .

Другие имена

Существует много других названий производной материи, в том числе:

• адвективная производная ^[4]
• конвективная производная ^[5]
• производная после движения ^[1]
• гидродинамическая производная ^[1]
• Производная Лагранжа ^[6]
• производная частиц ^[7]
• существенная производная ^[1]
• субстантивная производная ^[8]
• Производная Стокса ^[8]
• полная производная , ^{[1] [9]} хотя материальная производная на самом деле является частным случаем полной производной ^[9]

Определение

Материальная производная определяется для любого тензорного поля y, которое является макроскопическим , в том смысле, что оно зависит только от координат положения и времени, y = y ( x , t ) : где ∇ y — ковариантная производная тензора, а u ( x , t ) — скорость потока . В общем случае конвективная производная поля u ·∇ y , содержащая ковариантную производную поля, может интерпретироваться как включающая производную тензора линии тока поля u ·(∇ y ) , или как включающая производную по направлению линии тока поля ( u ·∇) y , что приводит к одному и тому же результату. ^[10] Только этот пространственный член, содержащий скорость потока, описывает перенос поля в потоке, в то время как другой описывает внутреннее изменение поля, независимое от наличия какого-либо потока. Иногда название «конвективная производная» используется для всей материальной производной D / Dt , а не только для пространственного члена u ·∇ . ^[2] Влияние не зависящих от времени членов в определениях для скалярного и тензорного случаев соответственно известно как адвекция и конвекция. $${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} y}{\mathrm {D} t}}\equiv {\frac {\partial y}{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla y,}$$

Скалярные и векторные поля

Например, для макроскопического скалярного поля φ ( x , t ) и макроскопического векторного поля A ( x , t ) определение принимает вид: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {D} \varphi }{\mathrm {D} t}}&\equiv {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \varphi ,\\[3pt]{\frac {\mathrm {D} \mathbf {A} }{\mathrm {D} t}}&\equiv {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {A} .\end{aligned}}}$$

В скалярном случае ∇ φ — это просто градиент скаляра, тогда как ∇ A — это ковариантная производная макроскопического вектора (который также можно рассматривать как матрицу Якоби A как функцию x ). В частности, для скалярного поля в трехмерной декартовой системе координат ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) компоненты скорости u равны u ₁ , u ₂ , u ₃ , а конвективный член тогда равен: $${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \varphi =u_{1}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}}+u_{2}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{2}}}+u_{3}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{3}}}.}$$

Разработка

Рассмотрим скалярную величину φ = φ ( x , t ) , где t — время, а x — положение. Здесь φ может быть некоторой физической переменной, такой как температура или химическая концентрация. Физическая величина, скалярная величина которой равна φ , существует в континууме, и макроскопическая скорость которой представлена ​​векторным полем u ( x , t ) .

(Полная) производная по времени от φ разлагается с использованием многомерного цепного правила : $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\varphi (\mathbf {x} ,t)={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla \varphi .}$$

Очевидно, что эта производная зависит от вектора , описывающего выбранный путь x ( t ) в пространстве. Например, если выбрано , то производная по времени становится равной частной производной по времени, что согласуется с определением частной производной : производной, взятой по некоторой переменной (времени в данном случае), при этом другие переменные (пространство в данном случае) остаются неизменными. Это имеет смысл, поскольку если , то производная берется в некоторой постоянной позиции. Эта статическая производная по позиции называется производной Эйлера. $${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}\equiv {\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} t}},}$$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=0}$

Примером этого случая является пловец, стоящий на месте и ощущающий изменение температуры в озере рано утром: вода постепенно становится теплее из-за нагревания солнцем. В этом случае термин достаточен для описания скорости изменения температуры. ${\displaystyle {\partial \varphi }/{\partial t}}$

Если солнце не нагревает воду (т.е. ), но путь x ( t ) не является неподвижным, производная по времени от φ может измениться из-за пути. Например, представьте, что пловец находится в неподвижном бассейне с водой, в помещении и не подвержен воздействию солнца. Один конец имеет постоянную высокую температуру, а другой конец — постоянную низкую температуру. Проплывая от одного конца до другого, пловец ощущает изменение температуры по отношению к времени, хотя температура в любой заданной (статической) точке является постоянной. Это происходит потому, что производная берется в месте изменения положения пловца, а второго члена справа достаточно для описания скорости изменения температуры. Датчик температуры, прикрепленный к пловцу, покажет изменение температуры со временем, просто из-за изменения температуры от одного конца бассейна к другому. ${\displaystyle {\partial \varphi }/{\partial t}=0}$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla \varphi }$

Материальная производная в конечном итоге получается, когда путь x ( t ) выбирается таким образом, чтобы иметь скорость, равную скорости жидкости. $${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {u} .}$$

То есть, путь следует течению жидкости, описываемому полем скорости жидкости u . Таким образом, материальная производная скаляра φ равна $${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \varphi }{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \varphi .}$$

Примером этого случая является легкая, нейтрально плавучая частица, которая мчится по текущей реке и испытывает изменения температуры по мере того, как она это делает. Температура воды локально может повышаться из-за того, что одна часть реки находится на солнце, а другая в тени, или вода в целом может нагреваться по мере того, как день идет. Изменения, вызванные движением частицы (само по себе вызванные движением жидкости), называются адвекцией (или конвекцией, если переносится вектор).

Определение выше опиралось на физическую природу течения жидкости; однако, никакие законы физики не были задействованы (например, предполагалось, что легкая частица в реке будет следовать за скоростью воды), но оказывается, что многие физические концепции можно кратко описать с помощью материальной производной. Общий случай адвекции, однако, опирается на сохранение массы потока жидкости; ситуация становится несколько иной, если адвекция происходит в неконсервативной среде.

Для скаляра выше рассматривался только путь. Для вектора градиент становится производной тензора ; для тензорных полей мы можем захотеть учесть не только перемещение системы координат из-за движения жидкости, но также ее вращение и растяжение. Это достигается верхней конвективной производной по времени .

Ортогональные координаты

Можно показать, что в ортогональных координатах j -й компонент конвекционного члена материальной производной векторного поля определяется выражением ^[11] ${\displaystyle \mathbf {A} }$ $${\displaystyle [\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} ]_{j}=\sum _{i}{\frac {u_{i}}{h_{i}}}{\frac {\partial A_{j}}{\partial q^{i}}}+{\frac {A_{i}}{h_{i}h_{j}}}\left(u_{j}{\frac {\partial h_{j}}{\partial q^{i}}}-u_{i}{\frac {\partial h_{i}}{\partial q^{j}}}\right),}$$

где h _i связаны с метрическими тензорами соотношением ${\displaystyle h_{i}={\sqrt {g_{ii}}}.}$

В частном случае трехмерной декартовой системы координат ( x , y , z ), где A является 1-тензором (вектором с тремя компонентами), это просто: $${\displaystyle (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}\\\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}\\\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}\end{pmatrix}}={\frac {\partial (A_{x},A_{y},A_{z})}{\partial (x,y,z)}}\mathbf {u} }$$

где — матрица Якоби . ${\displaystyle {\frac {\partial (A_{x},A_{y},A_{z})}{\partial (x,y,z)}}}$

Смотрите также

• Уравнения Навье–Стокса
• Уравнения Эйлера (гидродинамика)
• Производные (обобщения)
• производная Ли
• Связь Леви-Чивита
• Пространственное ускорение
• Пространственный градиент

Ссылки

1. Bird, RB; Stewart, WE; Lightfoot, EN (2007). Явления переноса (пересмотренное второе издание). John Wiley & Sons. стр. 83. ISBN 978-0-470-11539-8.
2. Batchelor, GK (1967). Введение в гидродинамику . Cambridge University Press. стр. 72–73. ISBN 0-521-66396-2.
3. Тренберт, К. Э. (1993). Моделирование климатической системы . Cambridge University Press. стр. 99. ISBN 0-521-43231-6.
4. Majda, A. (2003). Введение в уравнения в частных производных и волны для атмосферы и океана . Courant Lecture Notes in Mathematics. Том 9. Американское математическое общество. стр. 1. ISBN 0-8218-2954-8.
5. Окендон, Х.; Окендон , Дж. Р. (2004). Волны и сжимаемый поток . Springer. стр. 6. ISBN 0-387-40399-X.
6. Меллор, Г. Л. (1996). Введение в физическую океанографию . Springer. стр. 19. ISBN 1-56396-210-1.
7. Стокер, Дж. Дж. (1992). Водяные волны: математическая теория с приложениями . Wiley. стр. 5. ISBN 0-471-57034-6.
8. Granger, RA (1995). Механика жидкостей . Courier Dover Publications. стр. 30. ISBN 0-486-68356-7.
9. Ландау, Л. Д .; Лифшиц, Э. М. (1987). Механика жидкости . Курс теоретической физики. Т. 6 (2-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн. С. 3–4 и 227. ISBN 0-7506-2767-0.
10. Эмануэль, Г. (2001). Аналитическая гидродинамика (второе изд.). CRC Press. С. 6–7. ISBN 0-8493-9114-8.
11. Эрик В. Вайсштейн . "Конвективный оператор". MathWorld . Получено 22 июля 2008 г.

Дальнейшее чтение

• Коэн, Айра М.; Кунду, Пийуш К. (2008). Механика жидкостей (4-е изд.). Academic Press . ISBN 978-0-12-373735-9.
• Лай, Михаэль; Кремпл, Эрхард; Рубен, Дэвид (2010). Введение в механику сплошных сред (4-е изд.). Elsevier. ISBN 978-0-7506-8560-3.