Уравнения джинсов

Система дифференциальных уравнений

Моделирование N-тел Техасского университета. Описывается уравнениями Джинса в гравитационном потенциале.

Уравнения Джинса представляют собой набор дифференциальных уравнений в частных производных , которые описывают движение группы звезд в гравитационном поле . Уравнения Джинса связывают моменты скорости второго порядка с плотностью и потенциалом звездной системы для систем без столкновений. Они аналогичны уравнениям Эйлера для потока жидкости и могут быть получены из бесстолкновительного уравнения Больцмана . Уравнения Джинса могут иметь самые разные формы, в зависимости от структуры моделируемого объекта. Наибольшее использование этих уравнений было обнаружено в моделировании с большим количеством гравитационно связанных объектов.

История

Уравнения Джинса были первоначально выведены Джеймсом Клерком Максвеллом . Однако впервые их применил в астрономии Джеймс Джинс в 1915 году, когда работал над гидродинамикой звезд. С тех пор множественные решения уравнений были рассчитаны аналитически и численно. Некоторые известные решения включают сферически-симметричное решение, полученное Джеймсом Бинни в 1983 году, и осесимметричные решения, найденные в 1995 году Ричардом Арнольдом. ^{[1] [2]}

Математика

Вывод из уравнения Больцмана

Бесстолкновительное уравнение Больцмана, также называемое уравнением Власова, представляет собой специальную форму уравнения Лиувилля и имеет вид: ^[3]

${\displaystyle {\partial f \over \partial t}+v{\partial f \over \partial r}-{\partial \Phi \over \partial r}{\partial f \over \partial v}=0}$ Или в векторной форме: ${\displaystyle {\partial f \over \partial t}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}f-{\vec {\nabla }}\Phi \cdot {\partial f \over \partial {\vec {v}}}=0}$

Объединение уравнения Власова с уравнением Пуассона для гравитации дает уравнения Джинса. $${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =4\pi G\rho .}$$

Более подробно: если n = n ( x , t ) — плотность звезд в космосе как функция положения x = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) и времени t , v = ( v ₁ , v ₂ , v ₃ ) — скорость, а Φ = Φ( x , t ) — гравитационный потенциал , уравнения Джинса можно записать как: ^{[4] [5]}

${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial t}}+\sum _{i}{\frac {\partial (n\langle {v_{i}}\rangle )}{\partial x_{i}}}=0,}$

${\displaystyle {\frac {\partial (n\langle {v_{j}}\rangle )}{\partial t}}+n{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{j}}}+\sum _{i}{\frac {\partial (n\langle {v_{i}v_{j}}\rangle )}{\partial x_{i}}}=0\qquad (j=1,2,3.)}$

Здесь обозначение ⟨...⟩ означает среднее значение в данную точку и время (x,t), так что это, например, среднее значение компонента 1 скорости звезд в данную точку и время. Второй набор уравнений можно альтернативно записать как ${\displaystyle \langle {v_{1}}\rangle }$

${\displaystyle n{\frac {\partial \langle {v_{j}}\rangle }{\partial t}}+\sum _{i}n\langle {v_{i}}\rangle {\frac {\partial {\langle {v_{j}}\rangle }}{\partial x_{i}}}=-n{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{j}}}-\sum _{i}{\frac {\partial (n\sigma _{ij}^{2})}{\partial x_{i}}}\qquad (j=1,2,3.)}$

где пространственная часть тензора энергии-импульса определяется как: и измеряет дисперсию скорости в компонентах i и j в данной точке. ${\displaystyle \sigma _{ij}^{2}=\langle {v_{i}v_{j}}\rangle -\langle {v_{i}}\rangle \langle {v_{j}}\rangle }$

Некоторые данные предположения относительно этих уравнений включают:

• Поток в фазовом пространстве должен сохранять массу
• Плотность вокруг данной звезды остается неизменной или несжимаемой .

Обратите внимание, что уравнения Джинса содержат 9 неизвестных (3 средних скорости и 6 членов тензора напряжений), но только 3 уравнения. Это означает, что уравнения Джинса не замкнуты. Для решения различных систем делаются различные предположения о тензоре напряжений. ^[6]

Сферические уравнения Джинса

Одно из фундаментальных применений уравнения Джина - сферические гравитационные тела. В сферических координатах уравнения имеют вид: ^[6]

${\displaystyle {\partial \rho \langle v_{r}\rangle \over \partial t}+{\partial \rho \langle v_{r}^{2}\rangle \over \partial r}+{\rho \over r}[2\langle v_{r}^{2}\rangle -\langle v_{\theta }^{2}\rangle -\langle v_{\phi }^{2}\rangle ]+\rho {\partial \Phi \over \partial r}=0}$

${\displaystyle {\partial \rho \langle v_{\theta }\rangle \over \partial t}+{\partial \rho \langle v_{r}v_{\theta }\rangle \over \partial r}+{\rho \over r}[3\langle v_{r}v_{\theta }\rangle +(\langle v_{\theta }^{2}\rangle -\langle v_{\phi }^{2}\rangle )\cot(\theta )]=0}$

${\displaystyle {\partial \rho \langle v_{\phi }\rangle \over \partial t}+{\partial \rho \langle v_{r}v_{\phi }\rangle \over \partial r}+{\rho \over r}[3\langle v_{r}v_{\phi }\rangle +2\langle v_{\theta }v_{\phi }\rangle \cot(\theta )]=0}$

Использование тензора напряжений в предположении, что он диагональный и может свести эти уравнения к одному упрощенному уравнению: ${\displaystyle \sigma _{\theta }^{2}=\sigma _{\phi }^{2}}$

${\displaystyle {\partial (\rho \sigma _{r}^{2}) \over \partial r}+{2\rho \over r}[\sigma _{r}^{2}-\sigma _{\theta }^{2}]+\rho {\partial \Phi \over \partial r}=0}$

Опять же, есть две неизвестные функции ( и ), которые требуют допущений для решения уравнения. ${\displaystyle \sigma _{r}^{2}(r)}$ ${\displaystyle \sigma _{\theta }^{2}(r)}$

Приложения

Уравнение Джинса нашло большое применение в гравитационных исследованиях моделирования N-тел . ^[7] Масштаб этих симуляций может варьироваться от нашей Солнечной системы до всей Вселенной. Используя измерения плотности числа звезд и различных кинематических значений, можно оценить параметры уравнений Джинса. Это позволяет проводить различные анализы через призму уравнений Джинса. Это особенно полезно при моделировании распределения гало темной материи из-за ее изотермического неинтерактивного поведения. Поиски структуры формирования галактик, образования темной материи и формирования вселенной могут сопровождаться наблюдениями, дополненными моделированием с использованием уравнений Джинса.

Телескоп SDSS, предоставляющий данные для оценки параметров уравнения Джинса.

Гало темной материи Млечного Пути

Художественное изображение гало темной материи вокруг Млечного Пути. Моделирование Jeans Equation накладывает ограничения на размер этого ореола.

Примером такого анализа являются ограничения, которые можно наложить на гало темной материи внутри Млечного Пути . Используя измерения нашей Галактики в рамках Слоановского цифрового обзора неба , исследователи смогли смоделировать распределение гало темной материи с помощью уравнений Джинса. ^[8] Сравнивая измеренные значения с результатами моделирования по уравнению Джинса, они подтвердили необходимость наличия дополнительной темной материи и наложили ограничения на размер ее эллипсоида. Они оценили отношение малой и большой оси этого гало в 0,47–0,14 . Этот метод был применен ко многим другим галактическим гало ^[9] и дал аналогичные результаты относительно топологии гало темной материи. ${\displaystyle \pm }$

Ограничения моделирования

Однако ограничивающим фактором этого моделирования были данные, необходимые для аппроксимации значений параметров тензора напряжений, которые диктуют поведение уравнений Джинса. Кроме того, на моделирование уравнения Джинса могут быть наложены некоторые ограничения для получения надежных результатов ^{[10] [11]} Некоторые из этих ограничений включают требование разрешения по длине волны, переменное гравитационное смягчение и минимальное разрешение частиц вертикальной структуры.

Смотрите также

• Теорема Джинса

Рекомендации

1. Арнольд, Ричард (1995). «Осесимметричные решения уравнения Джинса». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 276 : 293–300. Бибкод : 1995MNRAS.276..293A. дои : 10.1093/mnras/276.1.293. ISSN  1365-2966.
2. Каппеллари, Микеле (01.06.2020). «Эффективное решение анизотропных сферически ориентированных осесимметричных уравнений Джинса звездной гидродинамики для галактической динамики». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 494 (4): 4819–4837. arXiv : 1907.09894 . doi : 10.1093/mnras/staa959. ISSN  0035-8711.
3. "Бесстолкновительное уравнение Больцмана". www.cv.nrao.edu . Проверено 23 апреля 2022 г.
4. Бинни, Джеймс ; Тремейн, Скотт (1988). «4,2». Галактическая динамика (1-е изд.). Издательство Принстонского университета . стр. 195–197. Бибкод : 1988gady.book.....B. ISBN 0-691-08445-9.
5. Мерритт, Дэвид (2013). Динамика и эволюция галактических ядер. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета.
6. Ван Ден Бош, Фрэнк. «Конспекты лекций по астрономии в Йельском университете» (PDF) .
7. Хаас, Брайан Л.; Хэш, Дэвид Б.; Берд, Грэм А.; Лампкин, Форрест Э.; Хасан, ХА (1994). «Скорость тепловой релаксации в методах прямого моделирования Монте-Карло». Физика жидкостей . 6 (6): 2191–2201. Бибкод : 1994PhFl....6.2191H. дои : 10.1063/1.868221. ISSN  1070-6631.
8. Лебман, Сара Р.; Ивезич, Желько; Куинн, Томас Р.; Говернато, Фабио; Брукс, Элисон М.; Кристенсен, Шарлотта Р.; Юрич, Марио (26 сентября 2012 г.). «Ограничения на форму гало темной материи Млечного Пути на основе уравнений Джинса, примененных к данным Слоановского цифрового обзора неба». Астрофизический журнал . 758 (1): L23. arXiv : 1209.2708 . Бибкод : 2012ApJ...758L..23L. дои : 10.1088/2041-8205/758/1/l23. ISSN  2041-8205. S2CID  18220516.
9. Адамс, Джошуа Дж.; Гебхардт, Карл; Блан, Гильермо А.; Фабрициус, Максимилиан Х.; Хилл, Гэри Дж.; Мерфи, Джереми Д.; ван ден Бош, Remco CE; ван де Вен, Гленн (3 января 2012 г.). «Центральное распределение темной материи NGC 2976». Астрофизический журнал . 745 (1): 92. arXiv : 1110.5951 . Бибкод : 2012ApJ...745...92A. дои : 10.1088/0004-637x/745/1/92. HDL : 2152/35153. ISSN  0004-637X. S2CID  118429887.
10. Нельсон, Эндрю Ф. (2006). «Численные требования к моделированию самогравитирующих и несамогравитирующих дисков». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 373 (3): 1039–1073. arXiv : astro-ph/0609493 . Бибкод : 2006MNRAS.373.1039N. дои : 10.1111/j.1365-2966.2006.11119.x. ISSN  0035-8711. S2CID  17175349.
11. Трулав, Дж. Келли; Кляйн, Ричард И.; Макки, Кристофер Ф.; Холлиман II, Джон Х.; Хауэлл, Луи Х.; Гриноф, Джеффри А. (1997). «Состояние джинсов: новое ограничение на пространственное разрешение при моделировании изотермической самогравитационной гидродинамики». Астрофизический журнал . 489 (2): Л179–Л183. Бибкод : 1997ApJ...489L.179T. дои : 10.1086/310975 . S2CID  120393398.