Уравнение Больцмана

Уравнение статистической механики

Место кинетического уравнения Больцмана на лестнице редукции модели от микроскопической динамики к макроскопической динамике сплошной среды (иллюстрация к содержанию книги ^[1] )

Уравнение Больцмана или уравнение переноса Больцмана ( БТЕ ) ​​описывает статистическое поведение термодинамической системы, не находящейся в состоянии равновесия ; она была изобретена Людвигом Больцманом в 1872 году. ^[2] Классическим примером такой системы является жидкость с температурными градиентами в пространстве, заставляющими тепло перетекать из более горячих областей в более холодные за счет случайного, но смещенного переноса частиц, составляющих эту систему. жидкость. В современной литературе термин «уравнение Больцмана» часто используется в более общем смысле, имея в виду любое кинетическое уравнение, описывающее изменение макроскопической величины в термодинамической системе, такой как энергия, заряд или число частиц.

Уравнение возникает не в результате анализа отдельных положений и импульсов каждой частицы в жидкости, а в результате рассмотрения распределения вероятностей положения и импульса типичной частицы, то есть вероятности того, что частица займет данную очень небольшую область пространства. (математически элемент объема ) с центром в позиции и имеет импульс, почти равный заданному вектору импульса (таким образом, занимая очень небольшую область импульсного пространства ) в момент времени. ${\displaystyle d^{3}\mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle d^{3}\mathbf {p} }$

Уравнение Больцмана можно использовать для определения того, как изменяются физические величины, такие как тепловая энергия и импульс , когда жидкость перемещается. Можно также получить другие свойства, характерные для жидкостей, такие как вязкость , теплопроводность и электропроводность (рассматривая носители заряда в материале как газ). ^[2] См. также уравнение конвекции-диффузии .

Уравнение представляет собой нелинейное интегро-дифференциальное уравнение , а неизвестная функция в уравнении представляет собой функцию плотности вероятности в шестимерном пространстве положения и импульса частицы. Проблема существования и единственности решений до сих пор до конца не решена, но некоторые недавние результаты весьма многообещающи. ^{[3] [4]}

Обзор

Фазовое пространство и функция плотности

Множество всех возможных положений r и импульсов p называется фазовым пространством системы; другими словами, набор из трех координат для каждой координаты положения x, y, z и еще трех для каждой компоненты импульса p _x , py _, p _z . Все пространство шестимерно : точка в этом пространстве равна ( r , p ) = ( x, y, z, p _x , p _y , p _z ) , и каждая координата параметризована временем t . Малый объем (« элемент дифференциального объема ») пишется

$${\displaystyle d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} =dx\,dy\,dz\,dp_{x}\,dp_{y}\,dp_{z}.}$$

Поскольку вероятность существования N молекул, у которых все r и p находятся в пределах , находится под вопросом, в основе уравнения лежит величина f , которая дает эту вероятность на единицу объема фазового пространства, или вероятность на единицу длины в кубе на единицу куба импульса. , в момент времени t . Это функция плотности вероятности : f ( r , p , t ) , определенная так, что ${\displaystyle d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} }$

$${\displaystyle dN=f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)\,d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} }$$

лежатr,пространства импульсовpt^[5] Интегрирование ${\displaystyle d^{3}\mathbf {r} }$ ${\displaystyle d^{3}\mathbf {p} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}N&=\int \limits _{\mathrm {momenta} }d^{3}\mathbf {p} \int \limits _{\mathrm {positions} }d^{3}\mathbf {r} \,f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)\\[5pt]&=\iiint \limits _{\mathrm {momenta} }\quad \iiint \limits _{\mathrm {positions} }f(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z},t)\,dx\,dy\,dz\,dp_{x}\,dp_{y}\,dp_{z}\end{aligned}}}$$

что является 6-кратным интегралом . Хотя f связано с несколькими частицами, фазовое пространство предназначено для одной частицы (не для всех из них, что обычно имеет место в детерминированных системах многих тел ), поскольку речь идет только об одном r и p . Использование r ₁ , p ₁ для частицы 1, r ₂ , p ₂ для частицы 2 и т. д. до r _N , p _N для частицы N не является частью анализа .

Предполагается, что частицы в системе идентичны (поэтому каждая имеет одинаковую массу m ). Для смеси более чем одного химического вещества необходимо одно распределение для каждого, см. ниже.

Основное заявление

Тогда общее уравнение можно записать в виде ^[6]

$${\displaystyle {\frac {df}{dt}}=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{force}}+\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{diff}}+\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{coll}},}$$

где термин «сила» соответствует силам, действующим на частицы внешним воздействием (а не самими частицами), термин «diff» представляет собой диффузию частиц , а «coll» — это термин столкновения , учитывающий силы действие между частицами при столкновении. Ниже приведены выражения для каждого термина в правой части. ^[6]

Обратите внимание, что некоторые авторы используют скорость частицы v вместо импульса p ; они связаны в определении импульса соотношением p = m v .

Силовые и диффузионные условия

Рассмотрим частицы, описываемые f , каждая из которых испытывает внешнюю силу F, не связанную с другими частицами (см. термин столкновения для последней трактовки).

Предположим, что в момент времени t некоторое количество частиц имеют положение r внутри элемента и импульс p внутри . Если на каждую частицу мгновенно действует сила F , то в момент времени t + Δt их положение будет и импульс p + Δp = p + F Δt . Тогда при отсутствии столкновений f должно удовлетворять ${\displaystyle d^{3}\mathbf {r} }$ ${\displaystyle d^{3}\mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} +\Delta \mathbf {r} =\mathbf {r} +{\frac {\mathbf {p} }{m}}\,\Delta t}$

$${\displaystyle f\left(\mathbf {r} +{\frac {\mathbf {p} }{m}}\,\Delta t,\mathbf {p} +\mathbf {F} \,\Delta t,t+\Delta t\right)\,d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} =f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)\,d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} }$$

Обратите внимание, что мы использовали тот факт, что элемент объема фазового пространства постоянен, что можно показать с помощью уравнений Гамильтона (см. обсуждение теоремы Лиувилля ). Однако, поскольку столкновения все же происходят, плотность частиц в фазовом пространстве изменяется, поэтому ${\displaystyle d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} }$ ${\displaystyle d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} }$

где Δf — общее изменение f .​ Разделив ( 1 ) на и приняв пределы ∆t → 0 и ∆f → 0 , имеем ${\displaystyle d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} \,\Delta t}$

Полный дифференциал f равен :

где ∇ — оператор градиента , · — скалярное произведение ,

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}=\mathbf {\hat {e}} _{x}{\frac {\partial f}{\partial p_{x}}}+\mathbf {\hat {e}} _{y}{\frac {\partial f}{\partial p_{y}}}+\mathbf {\hat {e}} _{z}{\frac {\partial f}{\partial p_{z}}}=\nabla _{\mathbf {p} }f}$$

∇ê _xê _yê _zдекартовы единичные векторы

Заключительное заявление

Разделив ( 3 ) на dt и подставив в ( 2 ), получим:

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} }{m}}\cdot \nabla f+\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\mathrm {coll} }}$$

В этом контексте F ( r , t ) — силовое поле , действующее на частицы в жидкости, а m — масса частиц. Термин в правой части добавлен для описания эффекта столкновений между частицами; если оно равно нулю, то частицы не сталкиваются. Бесстолкновительное уравнение Больцмана, в котором отдельные столкновения заменяются дальнодействующими совокупными взаимодействиями, например кулоновскими взаимодействиями , часто называют уравнением Власова .

Это уравнение более полезно, чем основное, приведенное выше, но все еще неполное, поскольку f не может быть решено, если не известен член столкновения в f . Этот термин не может быть найден так же легко или вообще, как другие – это статистический термин, обозначающий столкновения частиц, и требует знания статистики, которой подчиняются частицы, например, распределения Максвелла-Больцмана , Ферми-Дирака или Бозе-Эйнштейна .

Член столкновения (Stosszahlansatz) и молекулярный хаос

Член столкновения двух тел

Ключевой вывод, примененный Больцманом, заключался в определении члена столкновения, возникающего исключительно в результате двухчастичных столкновений между частицами, которые до столкновения считались некоррелированными. Это предположение было названо Больцманом « Stosszahlansatz » и также известно как « предположение о молекулярном хаосе ». При этом предположении член столкновений можно записать как интеграл в пространстве импульсов по произведению одночастичных функций распределения: ^[2]

$${\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{coll}}=\iint gI(g,\Omega )[f(\mathbf {r} ,\mathbf {p'} _{A},t)f(\mathbf {r} ,\mathbf {p'} _{B},t)-f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} _{A},t)f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} _{B},t)]\,d\Omega \,d^{3}\mathbf {p} _{B},}$$

p _Ap _BABp’ _Ap’ _B

$${\displaystyle g=|\mathbf {p} _{B}-\mathbf {p} _{A}|=|\mathbf {p'} _{B}-\mathbf {p'} _{A}|}$$

«Относительная скорость» ), а I ( g , Ω)дифференциальное сечениеθугла d Ω

Упрощение члена столкновения

Поскольку большая часть проблем при решении уравнения Больцмана связана со сложным членом столкновения, были предприняты попытки «моделировать» и упростить член столкновения. Самое известное модельное уравнение принадлежит Бхатнагару, Гросу и Круку. ^[7] В приближении БГК предполагается, что эффект молекулярных столкновений заключается в том, чтобы заставить неравновесную функцию распределения в точке физического пространства вернуться к максвелловской равновесной функции распределения, и что скорость, с которой это происходит, пропорциональна частота столкновений молекул. Таким образом, уравнение Больцмана преобразуется в форму БГК:

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} }{m}}\cdot \nabla f+\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}=\nu (f_{0}-f),}$$

где – частота столкновений молекул, – локальная функция распределения Максвелла с учетом температуры газа в этой точке пространства. Это также называется «аппроксимацией времени релаксации». ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle f_{0}}$

Общее уравнение (для смеси)

Для смеси химических веществ, обозначенных индексами i = 1, 2, 3, ..., n , уравнение для видов i имеет вид ^[2]

$${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} _{i}}{m_{i}}}\cdot \nabla f_{i}+\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {p} _{i}}}=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}\right)_{\text{coll}},}$$

где ж _я знак равно ж _я ( р , п _я , т ) , а член столкновения

$${\displaystyle \left({\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}\right)_{\mathrm {coll} }=\sum _{j=1}^{n}\iint g_{ij}I_{ij}(g_{ij},\Omega )[f'_{i}f'_{j}-f_{i}f_{j}]\,d\Omega \,d^{3}\mathbf {p'} ,}$$

где f' = f' ( p' _i , t ) , величина относительных импульсов равна

$${\displaystyle g_{ij}=|\mathbf {p} _{i}-\mathbf {p} _{j}|=|\mathbf {p'} _{i}-\mathbf {p'} _{j}|,}$$

и Iij _— дифференциальное сечение, как и прежде, между частицами i и j . Интегрирование производится по компонентам импульса в подынтегральном выражении (которые обозначены i и j ). Сумма интегралов описывает вход и выход частиц вида i в элемент фазового пространства или из него.

Приложения и расширения

Уравнения сохранения

Уравнение Больцмана можно использовать для вывода гидродинамических законов сохранения массы, заряда, импульса и энергии. ^{[8] : 163} Для жидкости, состоящей только из одного вида частиц, плотность числа n определяется выражением

$${\displaystyle n=\int f\,d^{3}\mathbf {p} .}$$

Среднее значение любой функции A равно

$${\displaystyle \langle A\rangle ={\frac {1}{n}}\int Af\,d^{3}\mathbf {p} .}$$

Поскольку в уравнениях сохранения используются тензоры, будет использоваться соглашение Эйнштейна о суммировании, где повторяющиеся индексы в произведении указывают на суммирование по этим индексам. Таким образом и , где – вектор скорости частицы. Определить как некоторую функцию только импульса , которая сохраняется при столкновении. Предположим также, что сила является функцией только положения и что f равно нулю для . Умножение уравнения Больцмана на A и интегрирование по импульсу дает четыре члена, которые, используя интегрирование по частям, можно выразить как ${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto x_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} \mapsto p_{i}=mv_{i}}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle A(p_{i})}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}\to \pm \infty }$

$${\displaystyle \int A{\frac {\partial f}{\partial t}}\,d^{3}\mathbf {p} ={\frac {\partial }{\partial t}}(n\langle A\rangle ),}$$

$${\displaystyle \int {\frac {p_{j}A}{m}}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\,d^{3}\mathbf {p} ={\frac {1}{m}}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(n\langle Ap_{j}\rangle ),}$$

$${\displaystyle \int AF_{j}{\frac {\partial f}{\partial p_{j}}}\,d^{3}\mathbf {p} =-nF_{j}\left\langle {\frac {\partial A}{\partial p_{j}}}\right\rangle ,}$$

$${\displaystyle \int A\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{coll}}\,d^{3}\mathbf {p} =0,}$$

где последний член равен нулю, поскольку A сохраняется при столкновении. Значения A соответствуют моментам скорости (и импульса , поскольку они линейно зависимы). ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$

Нулевой момент

Полагая , массу частицы, интегрированное уравнение Больцмана становится уравнением сохранения массы: ^{[8] : 12, 168} ${\displaystyle A=m(v_{i})^{0}=m}$

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho +{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(\rho V_{j})=0,}$$

${\displaystyle \rho =mn}$ ${\displaystyle V_{i}=\langle v_{i}\rangle }$

Первый момент

Полагая импульс частицы, интегрированное уравнение Больцмана становится уравнением сохранения импульса: ^[8] : ^{15, 169} ${\displaystyle A=m(v_{i})^{1}=p_{i}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho V_{i})+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(\rho V_{i}V_{j}+P_{ij})-nF_{i}=0,}$$

где – тензор давления ( тензор вязких напряжений плюс гидростатическое давление ). ${\displaystyle P_{ij}=\rho \langle (v_{i}-V_{i})(v_{j}-V_{j})\rangle }$

Второй момент

Полагая кинетическую энергию частицы, интегрированное уравнение Больцмана становится уравнением сохранения энергии: ^{[8] : 19, 169} ${\displaystyle A={\frac {m(v_{i})^{2}}{2}}={\frac {p_{i}p_{i}}{2m}}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(u+{\tfrac {1}{2}}\rho V_{i}V_{i})+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(uV_{j}+{\tfrac {1}{2}}\rho V_{i}V_{i}V_{j}+J_{qj}+P_{ij}V_{i})-nF_{i}V_{i}=0,}$$

где – плотность кинетической тепловой энергии, – вектор теплового потока. ${\textstyle u={\tfrac {1}{2}}\rho \langle (v_{i}-V_{i})(v_{i}-V_{i})\rangle }$ ${\textstyle J_{qi}={\tfrac {1}{2}}\rho \langle (v_{i}-V_{i})(v_{k}-V_{k})(v_{k}-V_{k})\rangle }$

гамильтонова механика

В гамильтоновой механике уравнение Больцмана часто записывается в более общем виде как

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}[f]=\mathbf {C} [f],}$$

Lоператор ЛиувилляCL

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}_{\mathrm {NR} }={\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} }{m}}\cdot \nabla +\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}\,.}$$

Квантовая теория и нарушение закона сохранения числа частиц

Можно записать релятивистские квантовые уравнения Больцмана для релятивистских квантовых систем, в которых число частиц не сохраняется при столкновениях. Это имеет несколько применений в физической космологии , ^[9] включая образование легких элементов в ходе нуклеосинтеза Большого взрыва , производство темной материи и бариогенеза . Априори не ясно, можно ли охарактеризовать состояние квантовой системы классической плотностью фазового пространства f . Однако для широкого класса приложений существует четко определенное обобщение f , которое является решением эффективного уравнения Больцмана, которое можно вывести из первых принципов квантовой теории поля . ^[10]

Общая теория относительности и астрономия

Уравнение Больцмана используется в галактической динамике. Галактику при определенных предположениях можно представить как непрерывную жидкость; его массовое распределение тогда представляется f ; в галактиках физические столкновения между звездами очень редки, а эффектом гравитационных столкновений можно пренебречь в течение времени, намного превышающего возраст Вселенной .

Его обобщением в общей теории относительности является ^[11]

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}_{\mathrm {GR} }=p^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}-\Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }p^{\beta }p^{\gamma }{\frac {\partial }{\partial p^{\alpha }}},}$$

Γ ^α _βγсимвол Кристоффеля( x ⁱ , pi ₎ фазовое( x i , ^pi ) фазового ^{пространства[12] [13]}

В физической космологии полностью ковариантный подход использовался для изучения космического микроволнового фонового излучения. ^[14] В более общем плане изучение процессов в ранней Вселенной часто пытается принять во внимание эффекты квантовой механики и общей теории относительности . ^[9] В очень плотной среде, образованной первичной плазмой после Большого взрыва , частицы непрерывно создаются и уничтожаются. В такой среде квантовая когерентность и пространственное расширение волновой функции могут влиять на динамику, ставя под сомнение пригодность классического распределения f в фазовом пространстве , которое появляется в уравнении Больцмана, для описания системы. Однако во многих случаях возможно вывести эффективное уравнение Больцмана для обобщенной функции распределения из первых принципов квантовой теории поля . ^[10] Сюда входит образование легких элементов в ходе нуклеосинтеза Большого взрыва , производство темной материи и бариогенеза .

Решение уравнения

Доказано, что в некоторых случаях существуют точные решения уравнений Больцмана; ^[15] этот аналитический подход дает понимание, но обычно не может быть использован в практических задачах.

Вместо этого для поиска приближенных решений различных форм уравнения Больцмана обычно используются численные методы (включая методы конечных элементов и решеточные методы Больцмана ). Примеры применения варьируются от гиперзвуковой аэродинамики в потоках разреженного газа ^{[16] [17]} до потоков плазмы. ^[18] Приложением уравнения Больцмана в электродинамике является расчет электропроводности - результат в ведущем порядке идентичен квазиклассическому результату. ^[19]

Вблизи локального равновесия решение уравнения Больцмана может быть представлено асимптотическим разложением по степеням числа Кнудсена ( разложение Чепмена–Энскога ^[20] ). Первые два члена этого разложения дают уравнения Эйлера и уравнения Навье – Стокса . Высшие члены имеют особенности. Проблема математического развития предельных процессов, ведущих от атомистической точки зрения (представленной уравнением Больцмана) к законам движения континуумов, является важной частью шестой проблемы Гильберта . ^[21]

Ограничения и дальнейшее использование уравнения Больцмана

Уравнение Больцмана справедливо только при нескольких предположениях. Например, предполагается, что частицы точечны, т.е. не имеют конечного размера. Существует обобщение уравнения Больцмана, называемое уравнением Энскога . ^[22] Член столкновений в уравнениях Энскога модифицирован таким образом, что частицы имеют конечный размер, например, их можно моделировать как сферы с фиксированным радиусом.

Для частиц не предполагается никаких других степеней свободы, кроме поступательного движения. Если существуют внутренние степени свободы, уравнение Больцмана должно быть обобщенным и может иметь неупругие столкновения . ^[22]

Многие реальные жидкости, такие как жидкости или плотные газы, помимо упомянутых выше особенностей имеют более сложные формы столкновений, будут не только бинарные, но также тройные и более высокие порядки столкновений. ^[23] Они должны быть получены с использованием иерархии BBGKY .

Уравнения типа Больцмана также используются для движения клеток . ^{[24] [25]} Поскольку клетки представляют собой составные частицы , имеющие внутренние степени свободы, соответствующие обобщенные уравнения Больцмана должны иметь интегралы неупругих столкновений. Такие уравнения могут описывать инвазию раковых клеток в ткани, морфогенез и эффекты, связанные с хемотаксисом .

Смотрите также

• уравнение Власова
• Уравнение Власова–Пуассона
• Уравнение Фоккера – Планка
• Уравнение Вильямса – Больцмана
• Вывод уравнения Навье – Стокса из LBE
• Вывод уравнения Джинса из BE
• Теорема Джинса
• H-теорема

Примечания

1. Горбань, Александр Н.; Карлин, Илья В. (2005). Инвариантные многообразия для физической и химической кинетики. Конспект лекций по физике (ЛНП, т. 660). Берлин, Гейдельберг: Springer. дои : 10.1007/b98103. ISBN 978-3-540-22684-0.Альтернативный URL
2. Энциклопедия физики (2-е издание), Р.Г. Лернер , Г.Л. Тригг, издатели VHC, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3.
3. ДиПерна, Р.Дж.; Лайонс, П.-Л. (1989). «О задаче Коши для уравнений Больцмана: глобальное существование и слабая устойчивость». Анна. математики . 2. 130 (2): 321–366. дои : 10.2307/1971423. JSTOR  1971423.
4. Филип Т. Грессман и Роберт М. Стрейн (2010). «Глобальные классические решения уравнения Больцмана с дальнодействующими взаимодействиями». Труды Национальной академии наук . 107 (13): 5744–5749. arXiv : 1002.3639 . Бибкод : 2010PNAS..107.5744G. дои : 10.1073/pnas.1001185107 . ПМЦ 2851887 . ПМИД  20231489. 
5. Хуанг, Керсон (1987). Статистическая механика (Второе изд.). Нью-Йорк: Уайли. п. 53. ИСБН 978-0-471-81518-1.
6. Энциклопедия физики МакГроу Хилла (2-е издание), SP Parker, 1993, ISBN 0-07-051400-3 . 
7. Бхатнагар, Польша; Гросс, EP; Крук, М. (1 мая 1954 г.). «Модель столкновительных процессов в газах. I. Процессы малой амплитуды в заряженных и нейтральных однокомпонентных системах». Физический обзор . 94 (3): 511–525. Бибкод : 1954PhRv...94..511B. doi : 10.1103/PhysRev.94.511.
8. де Гроот, SR; Мазур, П. (1984). Неравновесная термодинамика . Нью-Йорк: ISBN Dover Publications Inc. 978-0-486-64741-8.
9. Эдвард Колб и Майкл Тернер (1990). Ранняя Вселенная . Вествью Пресс. ISBN 978-0-201-62674-2.
10. М. Древес; К. Венигер; С. Мендисабаль (8 января 2013 г.). «Уравнение Больцмана из квантовой теории поля». Физ. Летт. Б.​ 718 (3): 1119–1124. arXiv : 1202.1301 . Бибкод : 2013PhLB..718.1119D. doi :10.1016/j.physletb.2012.11.046. S2CID  119253828.
11. Элерс Дж. (1971) Общая теория относительности и космология (Варенна), Р.К. Сакс (Academic Press, Нью-Йорк); Торн К.С. (1980) Rev. Mod. Физ., 52, 299; Эллис СКФ, Трециокас Р., Матраверс ДР, (1983) Энн. Физ., 150, 487}
12. Дебаш, Фабрис; Виллем ван Леувен (2009). «Общее релятивистское уравнение Больцмана I: ковариантная трактовка». Физика А. 388 (7): 1079–1104. Бибкод : 2009PhyA..388.1079D. doi :10.1016/j.physa.2008.12.023.
13. Дебаш, Фабрис; Виллем ван Леувен (2009). «Общее релятивистское уравнение Больцмана II: явно ковариантная трактовка». Физика А. 388 (9): 1818–34. Бибкод : 2009PhyA..388.1818D. doi :10.1016/j.physa.2009.01.009.
14. Мартенс Р., Гебби Т., Эллис СКФ (1999). «Анизотропия космического микроволнового фона: нелинейная динамика». Физ. Преподобный Д. 59 (8): 083506
15. Филип Т. Грессман; Роберт М. Стрейн (2011). «Глобальные классические решения уравнения Больцмана без углового обрезания». Журнал Американского математического общества . 24 (3): 771. arXiv : 1011.5441 . дои : 10.1090/S0894-0347-2011-00697-8. S2CID  115167686.
16. Эванс, Бен; Морган, Кен; Хасан, Убе (01 марта 2011 г.). «Разрывное конечно-элементное решение кинетического уравнения Больцмана в бесстолкновительной форме и форме БГК для макроскопических потоков газа». Прикладное математическое моделирование . 35 (3): 996–1015. дои : 10.1016/j.apm.2010.07.027 .
17. Эванс, Б.; Уолтон, СП (декабрь 2017 г.). «Аэродинамическая оптимизация гиперзвукового возвращаемого аппарата на основе решения уравнения Больцмана – БГК и эволюционной оптимизации». Прикладное математическое моделирование . 52 : 215–240. дои : 10.1016/j.apm.2017.07.024 . ISSN  0307-904X.
18. Парески, Л.; Руссо, Г. (1 января 2000 г.). «Численное решение уравнения Больцмана I: спектрально точная аппроксимация оператора столкновения». SIAM Journal по численному анализу . 37 (4): 1217–1245. CiteSeerX 10.1.1.46.2853 . дои : 10.1137/S0036142998343300. ISSN  0036-1429. 
19. HJW Мюллер-Кирстен, Основы статистической механики, глава 13, 2-е изд., World Scientific (2013), ISBN 978-981-4449-53-3 . 
20. Сидней Чепмен; Томас Джордж Коулинг Математическая теория неоднородных газов: описание кинетической теории вязкости, теплопроводности и диффузии в газах, Cambridge University Press, 1970. ISBN 0-521-40844-X 
21. «Тематический выпуск« Шестая проблема Гильберта »» . Философские труды Королевского общества А. 376 (2118). 2018. дои : 10.1098/rsta/376/2118 .
22. «Уравнение Энскога - обзор | Темы ScienceDirect». www.sciencedirect.com . Проверено 10 мая 2022 г.
23. ван Нойе, TPC; Эрнст, МГ (3 июня 1997 г.). «Кольцевая кинетическая теория идеализированного гранулированного газа». arXiv : cond-mat/9706020 .
24. Шовьер, А.; Хиллен, Т.; Прециози, Л. (2007). «Моделирование движения клеток в анизотропных и гетерогенных сетевых тканях». Американский институт математических наук . 2 (2): 333–357. дои : 10.3934/nhm.2007.2.333.
25. Конте, Мартина; Лой, Надя (12 февраля 2022 г.). «Многокомпонентная кинетическая модель с нелокальным зондированием для миграции клеток в оптоволоконной сети с хемотаксисом». Бюллетень математической биологии . 84 (3): 42. дои : 10.1007/s11538-021-00978-1. ISSN  1522-9602. ПМК 8840942 . ПМИД  35150333. 

Рекомендации

• Харрис, Стюарт (1971). Введение в теорию уравнения Больцмана. Дуврские книги. п. 221. ИСБН 978-0-486-43831-3.. Очень недорогое введение в современную структуру (начиная с формального вывода из Лиувилля и иерархии Боголюбова-Борна-Грина-Кирквуда-Ивона (BBGKY), в которую помещено уравнение Больцмана). Большинство учебников по статистической механике, таких как Хуанг, по-прежнему рассматривают эту тему, используя оригинальные аргументы Больцмана. Для вывода уравнения в этих книгах используется эвристическое объяснение, которое не раскрывает диапазон применимости и характерные допущения, которые отличают уравнение Больцмана от других уравнений переноса, таких как уравнения Фоккера-Планка или Ландау.

• Аркерид, Лейф (1972). «Об уравнении Больцмана, часть I: Существование». Арх. Рациональный механизм. Анал . 45 (1): 1–16. Бибкод : 1972ArRMA..45....1A. дои : 10.1007/BF00253392. S2CID  117877311.
• Аркерид, Лейф (1972). «Об уравнении Больцмана, часть II: проблема полного начального значения». Арх. Рациональный механизм. Анал . 45 (1): 17–34. Бибкод : 1972ArRMA..45...17A. дои : 10.1007/BF00253393. S2CID  119481100.
• Аркерид, Лейф (1972). «Об уравнении Больцмана, часть I: Существование». Арх. Рациональный механизм. Анал . 45 (1): 1–16. Бибкод : 1972ArRMA..45....1A. дои : 10.1007/BF00253392. S2CID  117877311.
• ДиПерна, Р.Дж.; Лайонс, П.-Л. (1989). «О задаче Коши для уравнений Больцмана: глобальное существование и слабая устойчивость». Анна. математики . 2. 130 (2): 321–366. дои : 10.2307/1971423. JSTOR  1971423.

Внешние ссылки

• Уравнение переноса Больцмана, автор Франц Веселый.
• Поведение газов Больцмана решено