Решеточные методы Больцмана

Класс методов вычислительной гидродинамики

Решеточные методы Больцмана (LBM) , возникшие на основе метода решеточных газовых автоматов (LGA) (модели Харди- Помо -Пацциса и Фриша - Хасслахера - Помо ), представляют собой класс методов вычислительной гидродинамики (CFD) для моделирования жидкости . Вместо прямого решения уравнений Навье – Стокса плотность жидкости на решетке моделируется с помощью процессов течения и столкновения (релаксации). ^[1] Метод является универсальным ^[1] , поскольку модель жидкости можно напрямую имитировать обычное поведение жидкости, такое как сосуществование пара и жидкости, и таким образом можно моделировать жидкостные системы, такие как капли жидкости. Кроме того, жидкости в сложных средах, таких как пористые среды, можно напрямую моделировать, тогда как со сложными границами работать с другими методами CFD может быть сложно.

Компьютерное моделирование в двух измерениях с использованием метода решетки Больцмана капли, которая сначала растягивается, а затем расслабляется до своей равновесной круглой формы.

Алгоритм

В отличие от методов CFD, которые решают уравнения сохранения макроскопических свойств (т.е. массы, импульса и энергии) численно, LBM моделирует жидкость, состоящую из фиктивных частиц, и такие частицы выполняют последовательные процессы распространения и столкновения по дискретной решетке. Благодаря своей мелкодисперсной природе и локальной динамике, LBM имеет ряд преимуществ перед другими традиционными методами CFD, особенно при работе со сложными границами, включении микроскопических взаимодействий и распараллеливании алгоритма. ^{[ нужна цитата ]} Другая интерпретация решеточного уравнения Больцмана — это интерпретация уравнения Больцмана с дискретной скоростью . Численные методы решения системы уравнений в частных производных тогда приводят к дискретному отображению, которое можно интерпретировать как распространение и столкновение фиктивных частиц.

Схема векторов решетки D2Q9 для двумерной решетки Больцмана

В алгоритме есть этапы столкновения и потоковой передачи. Они изменяют плотность жидкости в зависимости от положения и времени. Поскольку жидкость находится на решетке, плотность имеет количество компонентов, равное количеству векторов решетки, связанных с каждой точкой решетки. В качестве примера здесь показаны векторы решетки для простой решетки, используемой в двумерном моделировании. Эту решетку обычно обозначают D2Q9, для двух измерений и девяти векторов: четыре вектора вдоль севера, востока, юга и запада, плюс четыре вектора по углам единичного квадрата, плюс вектор с обоими нулевыми компонентами. Тогда, например, вектор , т. е. он указывает строго на юг и поэтому не имеет компонента, кроме компонента . Таким образом, один из девяти компонентов общей плотности в центральной точке решетки , представляет собой часть жидкости в этой точке, движущуюся строго на юг со скоростью в единицах решетки, равной единице. ${\displaystyle \rho ({\vec {x}},t)}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle f_{i},i=0,\ldots ,a}$ ${\displaystyle {\vec {e}}_{4}=(0,-1)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle f_{4}({\vec {x}},t)}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$

Тогда этапы, которые развивают жидкость во времени, таковы: ^[1]

Шаг столкновения

${\displaystyle f_{i}({\vec {x}},t+\delta _{t})=f_{i}({\vec {x}},t)+{\frac {f_{i}^{eq}({\vec {x}},t)-f_{i}({\vec {x}},t)}{\tau _{f}}}\,\!}$

которая представляет собой модель Бхатнагара Гросса и Крука (БГК) ^[2] для релаксации к равновесию посредством столкновений между молекулами жидкости. - равновесная плотность вдоль направления i при плотности тока там. Модель предполагает, что жидкость локально релаксирует до равновесия в течение характерного времени . Эта временная шкала определяет кинематическую вязкость : чем она больше, тем больше кинематическая вязкость. ${\displaystyle f_{i}^{eq}({\vec {x}},t)}$ ${\displaystyle \tau _{f}}$

Шаг потоковой передачи

${\displaystyle f_{i}({\vec {x}}+{\vec {e}}_{i},t+\delta _{t})=f_{i}({\vec {x}},t)\,\!}$

Поскольку , по определению, плотность жидкости в момент времени , которая движется со скоростью за шаг времени, то на следующем шаге времени она перетечет в точку . ${\displaystyle f_{i}({\vec {x}},t)}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\vec {e}}_{i}}$ ${\displaystyle t+\delta _{t}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}+{\vec {e}}_{i}}$

Преимущества

• LBM был разработан с нуля для эффективной работы на архитектурах с массовым параллелизмом , начиная от недорогих встроенных FPGA и DSP и заканчивая графическими процессорами , гетерогенными кластерами и суперкомпьютерами (даже с медленной сетью межсетевых соединений). Это обеспечивает сложную физику и сложные алгоритмы. Эффективность выводит на качественно новый уровень понимания, поскольку позволяет решать задачи, к которым ранее нельзя было подойти (или лишь с недостаточной точностью).
• Этот метод основан на молекулярном описании жидкости и может напрямую включать физические термины, возникающие на основе знаний о взаимодействии между молекулами. Следовательно, это незаменимый инструмент фундаментальных исследований, поскольку он сокращает цикл между разработкой теории и формулировкой соответствующей численной модели.
• Автоматизированная предварительная обработка данных и создание решетки за время, которое составляет небольшую часть всего моделирования.
• Параллельный анализ данных, постобработка и оценка.
• Полностью разрешенный многофазный поток с мелкими каплями и пузырьками.
• Полностью разрешенный поток через сложную геометрию и пористую среду.
• Сложный, связанный поток с теплообменом и химическими реакциями.

Ограничения

Несмотря на растущую популярность LBM при моделировании сложных жидкостных систем, этот новый подход имеет некоторые ограничения. В настоящее время для ЛБМ потоки с большими числами Маха в аэродинамике все еще затруднены, а последовательная термогидродинамическая схема отсутствует. Однако, как и в случае с CFD на основе Навье-Стокса, методы LBM успешно сочетаются с термоспецифичными решениями, обеспечивающими возможность моделирования теплопередачи (проводимость на основе твердых тел, конвекция и излучение). Для многофазных/многокомпонентных моделей толщина границы раздела обычно велика, а соотношение плотностей на границе раздела невелико по сравнению с реальными жидкостями. Недавно эта проблема была решена Юанем и Шефером , которые усовершенствовали модели Шаня и Чена, Свифта и Хэ, Чена и Чжана. Они смогли достичь соотношения плотностей 1000:1, просто изменив уравнение состояния . Было предложено применить преобразование Галилея, чтобы преодолеть ограничение моделирования высокоскоростных потоков жидкости. ^[3] Тем не менее, широкое применение и быстрое развитие этого метода в течение последних двадцати лет доказали его потенциал в вычислительной физике, включая микрофлюидику : ^{[ нужна ссылка ]} LBM демонстрирует многообещающие результаты в области потоков с высоким числом Кнудсена . ^{[ нужна цитата ]}

Развитие метода LGA

LBM возник из метода автоматов решеточного газа (LGA), который можно рассматривать как упрощенную фиктивную модель молекулярной динамики, в которой пространство, время и скорости частиц дискретны. Например, в двумерной модели FHP каждый узел решетки связан со своими соседями 6 скоростями решетки в треугольной решетке; в узле решетки может находиться либо 0, либо 1 частица, движущаяся с заданной скоростью решетки. Через промежуток времени каждая частица переместится в соседний узел в своем направлении; этот процесс называется этапом распространения или потоковой передачи. Когда более одной частицы прибывает в один и тот же узел с разных направлений, они сталкиваются и меняют свои скорости в соответствии с набором правил столкновений. Шаги потоковой передачи и шаги столкновения чередуются. Подходящие правила столкновений должны сохранять количество частиц (массу), импульс и энергию до и после столкновения. LGA страдает от нескольких врожденных недостатков при использовании в гидродинамическом моделировании: отсутствие инвариантности Галилея для быстрых потоков, статистический шум и плохое масштабирование числа Рейнольдса в зависимости от размера решетки. Однако LGA хорошо подходит для упрощения и расширения возможностей моделей реакционной диффузии и молекулярной динамики .

Основной мотивацией перехода от LGA к LBM было желание убрать статистический шум путем замены булевого числа частиц в направлении решетки на его среднее по ансамблю, так называемую функцию распределения плотности. Вместе с этой заменой правило дискретных коллизий также заменяется непрерывной функцией, известной как оператор коллизий. В разработке LBM важным упрощением является аппроксимация оператора столкновений с помощью релаксационного члена Бхатнагара-Гросса-Крука (BGK). Эта решетчатая модель BGK (LBGK) делает моделирование более эффективным и обеспечивает гибкость транспортных коэффициентов. С другой стороны, было показано, что схему LBM можно рассматривать и как специальную дискретизированную форму непрерывного уравнения Больцмана. Из теории Чепмена-Энскога можно восстановить основную непрерывность и уравнения Навье-Стокса из алгоритма LBM.

Решетки и классификация D n Q m

Решеточные модели Больцмана можно использовать на различных решетках, как кубических, так и треугольных, с покоящимися частицами в дискретной функции распределения или без них.

Популярным способом классификации различных методов по решетке является схема DnQm . Здесь «D n » означает « n размеров», а «Q m » означает « m скоростей». Например, D3Q15 представляет собой трехмерную решетчатую модель Больцмана на кубической сетке с присутствием остальных частиц. Каждый узел имеет кристаллическую форму и может доставлять частицы в 15 узлов: в каждый из 6 соседних узлов, имеющих общую поверхность, в 8 соседних узлов, разделяющих угол, и в себя. ^[4] (Модель D3Q15 не содержит частиц, движущихся к 12 соседним узлам, имеющим общее ребро; добавление их создаст модель «D3Q27».)

Реальные величины, такие как пространство и время, необходимо преобразовать в единицы решетки перед моделированием. Безразмерные величины, такие как число Рейнольдса , остаются прежними.

Преобразование единиц решетки

В большинстве симуляций Решетки Больцмана является основной единицей шага решетки, поэтому, если область длины имеет единицы решетки по всей своей длине, пространственная единица определяется просто как . Скорости в решеточном моделировании Больцмана обычно выражаются в терминах скорости звука. Таким образом, дискретную единицу времени можно определить как , где знаменателем является физическая скорость звука. ^[5] ${\displaystyle \delta _{x}\,\!}$ ${\displaystyle L\,\!}$ ${\displaystyle N\,\!}$ ${\displaystyle \delta _{x}=L/N\,\!}$ ${\displaystyle \delta _{t}={\frac {\delta _{x}}{C_{s}}}\,\!}$ ${\displaystyle C_{s}}$

Для мелкомасштабных потоков (например, наблюдаемых в механике пористых сред ) работа с истинной скоростью звука может привести к неприемлемо коротким временным шагам. Поэтому принято повышать число Маха решетки до значения, намного превышающего реальное число Маха, и компенсировать это за счет повышения вязкости , чтобы сохранить число Рейнольдса . ^[6]

Моделирование смесей

Моделирование многофазных/многокомпонентных потоков всегда было проблемой для традиционной CFD из-за движущихся и деформируемых интерфейсов . Более фундаментально, границы раздела между различными фазами (жидкостью и паром) или компонентами (например, нефтью и водой) возникают в результате специфических взаимодействий между молекулами жидкости. Поэтому такие микроскопические взаимодействия сложно реализовать в макроскопическом уравнении Навье–Стокса. Однако в LBM кинетика частиц обеспечивает относительно простой и последовательный способ учета основных микроскопических взаимодействий путем изменения оператора столкновения. Было разработано несколько многофазных/многокомпонентных моделей LBM. Здесь фазовые разделения генерируются автоматически на основе динамики частиц, и не требуется специальной обработки для манипулирования границами раздела, как в традиционных методах CFD. Успешные применения многофазных/многокомпонентных моделей LBM можно найти в различных сложных жидкостных системах, включая нестабильность границы раздела, динамику пузырьков / капель , смачивание твердых поверхностей, межфазное скольжение и электрогидродинамические деформации капель.

Недавно была предложена решетчатая модель Больцмана для моделирования горения газовой смеси, способная учитывать значительные изменения плотности в режиме низких чисел Маха. ^[7]

В этом отношении стоит отметить, что, поскольку LBM имеет дело с более широким набором полей (по сравнению с обычным CFD), моделирование реактивных газовых смесей создает некоторые дополнительные проблемы с точки зрения требований к памяти в отношении больших подробных механизмов сгорания. обеспокоены. Однако эти проблемы можно решить, прибегнув к систематическим методам сокращения моделей. ^{[8] [9] [10]}

Термическая решетка-метод Больцмана

В настоящее время (2009 г.) метод тепловой решетки-Больцмана (TLBM) попадает в одну из трех категорий: многоскоростной подход, ^[11] пассивный скалярный подход, ^[12] и распределение тепловой энергии. ^[13]

Вывод уравнения Навье–Стокса из дискретного LBE

Начнем с дискретного решеточного уравнения Больцмана (также называемого уравнением ЛБГК из-за используемого оператора столкновений). Сначала мы разложим ряд Тейлора 2-го порядка в левой части LBE. Это выбрано вместо более простого разложения Тейлора 1-го порядка, поскольку дискретный LBE не может быть восстановлен. При выполнении разложения в ряд Тейлора 2-го порядка член нулевой производной и первый член справа сокращаются, оставляя только первую и вторую производные члены разложения Тейлора и оператор столкновения:

${\displaystyle f_{i}({\vec {x}}+{\vec {e}}_{i}\delta _{t},t+\delta _{t})=f_{i}({\vec {x}},t)+{\frac {\delta _{t}}{\tau _{f}}}(f_{i}^{eq}-f_{i}).}$

Для простоты напишите как . Немного упрощенное разложение ряда Тейлора тогда выглядит следующим образом, где «:» — произведение двоеточия между диадами: ${\displaystyle f_{i}({\vec {x}},t)}$ ${\displaystyle f_{i}}$

${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}+{\vec {e}}_{i}\cdot \nabla f_{i}+\left({\frac {1}{2}}{\vec {e}}_{i}{\vec {e}}_{i}:\nabla \nabla f_{i}+{\vec {e}}_{i}\cdot \nabla {\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f_{i}}{\partial t^{2}}}\right)={\frac {1}{\tau }}(f_{i}^{eq}-f_{i}).}$

Разлагая функцию распределения частиц на равновесные и неравновесные компоненты и используя разложение Чепмена-Энскога, где – число Кнудсена, расширенный Тейлором LBE можно разложить на различные по порядку величины числа Кнудсена, чтобы получить правильное значение. уравнения непрерывной среды: ${\displaystyle K}$

${\displaystyle f_{i}=f_{i}^{\text{eq}}+Kf_{i}^{\text{neq}},}$

${\displaystyle f_{i}^{\text{neq}}=f_{i}^{(1)}+Kf_{i}^{(2)}+O(K^{2}).}$

Равновесное и неравновесное распределения удовлетворяют следующим соотношениям со своими макроскопическими переменными (они будут использоваться позже, когда распределения частиц примут «правильную форму» для масштабирования от частицы до макроскопического уровня):

${\displaystyle \rho =\sum _{i}f_{i}^{\text{eq}},}$

${\displaystyle \rho {\vec {u}}=\sum _{i}f_{i}^{\text{eq}}{\vec {e}}_{i},}$

${\displaystyle 0=\sum _{i}f_{i}^{(k)}\qquad {\text{for }}k=1,2,}$

${\displaystyle 0=\sum _{i}f_{i}^{(k)}{\vec {e}}_{i}.}$

Тогда расширение Чепмена-Энскога будет:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}=K{\frac {\partial }{\partial t_{1}}}+K^{2}{\frac {\partial }{\partial t_{2}}}\qquad {\text{for }}t_{2}({\text{diffusive time-scale}})\ll t_{1}({\text{convective time-scale}}),}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}=K{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}.}$

Подставив расширенное равновесие и неравновесие в расширение Тейлора и разделив его на разные порядки , можно практически получить уравнения непрерывной среды. ${\displaystyle K}$

Для заказа : ${\displaystyle K^{0}}$

${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}^{\text{eq}}}{\partial t_{1}}}+{\vec {e}}_{i}\nabla _{1}f_{i}^{\text{eq}}=-{\frac {f_{i}^{(1)}}{\tau }}.}$

Для заказа : ${\displaystyle K^{1}}$

${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}^{(1)}}{\partial t_{1}}}+{\frac {\partial f_{i}^{\text{eq}}}{\partial t_{2}}}+{\vec {e}}_{i}\nabla f_{i}^{(1)}+{\frac {1}{2}}{\vec {e}}_{i}{\vec {e}}_{i}:\nabla \nabla f_{i}^{\text{eq}}+{\vec {e}}_{i}\cdot \nabla {\frac {\partial f_{i}^{\text{eq}}}{\partial t_{1}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f_{i}^{\text{eq}}}{\partial t_{1}^{2}}}=-{\frac {f_{i}^{(2)}}{\tau }}.}$

Затем второе уравнение можно упростить с помощью некоторой алгебры, а первое уравнение — до следующего:

${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}^{\text{eq}}}{\partial t_{2}}}+\left(1-{\frac {1}{2\tau }}\right)\left[{\frac {\partial f_{i}^{(1)}}{\partial t_{1}}}+{\vec {e}}_{i}\nabla _{1}f_{i}^{(1)}\right]=-{\frac {f_{i}^{(2)}}{\tau }}.}$

Применяя приведенные выше соотношения между функциями распределения частиц и макроскопическими свойствами, получаются уравнения массы и количества движения:

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \rho {\vec {u}}=0,}$

${\displaystyle {\frac {\partial \rho {\vec {u}}}{\partial t}}+\nabla \cdot \Pi =0.}$

Тогда тензор потока импульса имеет следующий вид: ${\displaystyle \Pi }$

${\displaystyle \Pi _{xy}=\sum _{i}{\vec {e}}_{ix}{\vec {e}}_{iy}\left[f_{i}^{eq}+\left(1-{\frac {1}{2\tau }}\right)f_{i}^{(1)}\right],}$

где является сокращением квадрата суммы всех компонентов (т. е .), а равновесное распределение частиц второго порядка должно быть сравнимо с уравнением Навье – Стокса: ${\displaystyle {\vec {e}}_{ix}{\vec {e}}_{iy}}$ ${\displaystyle {\vec {e}}_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle \left(\sum _{x}{\vec {e}}_{ix}\right)^{2}=\sum _{x}\sum _{y}{\vec {e}}_{ix}{\vec {e}}_{iy}}$

${\displaystyle f_{i}^{\text{eq}}=\omega _{i}\rho \left(1+{\frac {{\vec {e}}_{i}{\vec {u}}}{c_{s}^{2}}}+{\frac {({\vec {e}}_{i}{\vec {u}})^{2}}{2c_{s}^{4}}}-{\frac {{\vec {u}}^{2}}{2c_{s}^{2}}}\right).}$

Равновесное распределение справедливо только для малых скоростей или малых чисел Маха . Вставка равновесного распределения обратно в тензор потока приводит к:

${\displaystyle \Pi _{xy}^{(0)}=\sum _{i}{\vec {e}}_{ix}{\vec {e}}_{iy}f_{i}^{eq}=p\delta _{xy}+\rho u_{x}u_{y},}$

${\displaystyle \Pi _{xy}^{(1)}=\left(1-{\frac {1}{2\tau }}\right)\sum _{i}{\vec {e}}_{ix}{\vec {e}}_{iy}f_{i}^{(1)}=\nu \left(\nabla _{x}\left(\rho {\vec {u}}_{y}\right)+\nabla _{y}\left(\rho {\vec {u}}_{x}\right)\right).}$

Наконец, уравнение Навье – Стокса восстанавливается в предположении, что изменение плотности мало:

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial {\vec {u}}_{x}}{\partial t}}+\nabla _{y}\cdot {\vec {u}}_{x}{\vec {u}}_{y}\right)=-\nabla _{x}p+\nu \nabla _{y}\cdot \left(\nabla _{x}\left(\rho {\vec {u}}_{y}\right)+\nabla _{y}\left(\rho {\vec {u}}_{x}\right)\right).}$

Этот вывод следует за работой Чена и Дулена. ^[14]

Математические уравнения для моделирования

Непрерывное уравнение Больцмана представляет собой уравнение эволюции для функции распределения вероятностей одной частицы и функции распределения плотности внутренней энергии (He и др.), каждая из которых равна соответственно: ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {e}}_{i},t)}$ ${\displaystyle g({\vec {x}},{\vec {e}}_{i},t)}$

${\displaystyle \partial _{t}f+({\vec {e}}\cdot \nabla )f+F\partial _{v}f=\Omega (f),}$

${\displaystyle \partial _{t}g+({\vec {e}}\cdot \nabla )g+G\partial _{v}f=\Omega (g),}$

где связано с ${\displaystyle g({\vec {x}},{\vec {e}}_{i},t)}$ ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {e}}_{i},t)}$

${\displaystyle g({\vec {x}},{\vec {e}}_{i},t)={\frac {({\vec {e}}-{\vec {u}})^{2}}{2}}f({\vec {x}},{\vec {e}}_{i},t),}$

${\displaystyle F}$— внешняя сила, — интеграл столкновений и (также обозначаемый в литературе) — микроскопическая скорость. Внешняя сила связана с температурной внешней силой соотношением, приведенным ниже. Типичным тестом модели является конвекция Рэлея – Бенара для . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\vec {e}}}$ ${\displaystyle {\vec {\xi }}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle F={\frac {{\vec {G}}\cdot ({\vec {e}}-{\vec {u}})}{RT}}f^{\text{eq}},}$

${\displaystyle {\vec {G}}=\beta g_{0}(T-T_{avg}){\vec {k}}.}$

Макроскопические переменные, такие как плотность , скорость и температура, можно рассчитать как моменты функции распределения плотности: ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\vec {u}}}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \rho =\int f\,d{\vec {e}},}$

${\displaystyle \rho {\vec {u}}=\int {\vec {e}}f\,d{\vec {e}},}$

${\displaystyle {\frac {\rho DRT}{2}}=\rho \epsilon =\int g\,d{\vec {e}}.}$

Решеточный метод Больцмана дискретизирует это уравнение, ограничивая пространство решеткой, а пространство скоростей дискретным набором микроскопических скоростей (т.е. ). Например, микроскопические скорости в D2Q9, D3Q15 и D3Q19 задаются как: ${\displaystyle {\vec {e}}_{i}=({\vec {e}}_{ix},{\vec {e}}_{iy})}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{i}=c\times {\begin{cases}(0,0)&i=0\\(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)&i=1,2,3,4\\(1,1),(-1,1),(-1,-1),(1,-1)&i=5,6,7,8\\\end{cases}}}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{i}=c\times {\begin{cases}(0,0,0)&i=0\\(\pm 1,0,0),(0,\pm 1,0),(0,0,\pm 1)&i=1,2,...,5,6\\(\pm 1,\pm 1,\pm 1)&i=7,8,...,13,14\\\end{cases}}}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{i}=c\times {\begin{cases}(0,0,0)&i=0\\(\pm 1,0,0),(0,\pm 1,0),(0,0,\pm 1)&i=1,2,...,5,6\\(\pm 1,\pm 1,0),(\pm 1,0,\pm 1),(0,\pm 1,\pm 1)&i=7,8,...,17,18\\\end{cases}}}$

Однофазное дискретизированное уравнение Больцмана для плотности массы и плотности внутренней энергии:

${\displaystyle f_{i}({\vec {x}}+{\vec {e}}_{i}\delta _{t},t+\delta _{t})-f_{i}({\vec {x}},t)+F_{i}=\Omega (f),}$

${\displaystyle g_{i}({\vec {x}}+{\vec {e}}_{i}\delta _{t},t+\delta _{t})-g_{i}({\vec {x}},t)+G_{i}=\Omega (g).}$

Оператор столкновения часто аппроксимируется оператором столкновения BGK при условии, что он также удовлетворяет законам сохранения:

${\displaystyle \Omega (f)={\frac {1}{\tau _{f}}}(f_{i}^{\text{eq}}-f_{i}),}$

${\displaystyle \Omega (g)={\frac {1}{\tau _{g}}}(g_{i}^{\text{eq}}-g_{i}).}$

В операторе столкновения есть дискретная, равновесная функция распределения вероятностей частиц ^{[ уточнить ]} . В D2Q9 и D3Q19 это показано ниже для несжимаемого потока в непрерывной и дискретной форме, где D , R и T — размерность, универсальная газовая постоянная и абсолютная температура соответственно. Частичный вывод от непрерывной формы к дискретной обеспечивается посредством простого вывода со вторым порядком точности. ${\displaystyle f_{i}^{\text{eq}}}$

${\displaystyle f^{\text{eq}}={\frac {\rho }{(2\pi RT)^{D/2}}}e^{-{\frac {({\vec {e}}-{\vec {u}})^{2}}{2RT}}}}$

${\displaystyle ={\frac {\rho }{(2\pi RT)^{D/2}}}e^{-{\frac {({\vec {e}})^{2}}{2RT}}}e^{{\frac {{\vec {e}}{\vec {u}}}{RT}}-{\frac {{\vec {u}}^{2}}{2RT}}}}$

${\displaystyle ={\frac {\rho }{(2\pi RT)^{D/2}}}e^{-{\frac {({\vec {e}})^{2}}{2RT}}}\left(1+{\frac {{\vec {e}}{\vec {u}}}{RT}}+{\frac {({\vec {e}}{\vec {u}})^{2}}{2(RT)^{2}}}-{\frac {{\vec {u}}^{2}}{2RT}}+...\right)}$

Сдача дает конечный результат: ${\displaystyle c={\sqrt {3RT}}}$

${\displaystyle f_{i}^{eq}=\omega _{i}\rho \left(1+{\frac {3{\vec {e}}_{i}{\vec {u}}}{c^{2}}}+{\frac {9({\vec {e}}_{i}{\vec {u}})^{2}}{2c^{4}}}-{\frac {3({\vec {u}})^{2}}{2c^{2}}}\right)}$

${\displaystyle g^{eq}={\frac {\rho ({\vec {e}}-{\vec {u}})^{2}}{2(2\pi RT)^{D/2}}}e^{-{\frac {({\vec {e}}-{\vec {u}})^{2}}{2RT}}}}$

${\displaystyle \omega _{i}={\begin{cases}4/9&i=0\\1/9&i=1,2,3,4\\1/36&i=5,6,7,8\\\end{cases}}}$

${\displaystyle \omega _{i}={\begin{cases}1/3&i=0\\1/18&i=1,2,...,5,6\\1/36&i=7,8,...,17,18\\\end{cases}}}$

Поскольку над однокомпонентным потоком уже проделана большая работа, будет обсуждаться следующий TLBM. Многокомпонентный/многофазный TLBM также более интересен и полезен, чем просто один компонент. Чтобы соответствовать текущим исследованиям, определите набор всех компонентов системы (т.е. стенок пористой среды, множества жидкостей/газов и т. д.) с помощью элементов . ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \sigma _{j}}$

${\displaystyle f_{i}^{\sigma }({\vec {x}}+{\vec {e}}_{i}\delta _{t},t+\delta _{t})-f_{i}^{\sigma }({\vec {x}},t)+F_{i}={\frac {1}{\tau _{f}^{\sigma }}}(f_{i}^{\sigma ,eq}(\rho ^{\sigma },v^{\sigma })-f_{i}^{\sigma })}$

Параметр релаксации связан с кинематической вязкостью следующим соотношением: ${\displaystyle \tau _{f}^{\sigma _{j}}\,\!}$ ${\displaystyle \nu _{f}^{\sigma _{j}}\,\!}$

${\displaystyle \nu _{f}^{\sigma _{j}}=(\tau _{f}^{\sigma _{j}}-0.5)c_{s}^{2}\delta _{t}.}$

Моменты дают локальные сохраняющиеся величины . Плотность определяется выражением ${\displaystyle f_{i}\,\!}$

${\displaystyle \rho =\sum _{\sigma }\sum _{i}f_{i}\,\!}$

${\displaystyle \rho \epsilon =\sum _{i}g_{i}\,\!}$

${\displaystyle \rho ^{\sigma }=\sum _{i}f_{i}^{\sigma }\,\!}$

а средневзвешенная скорость и локальный импульс определяются выражениями ${\displaystyle {\vec {u'}}\,\!}$

${\displaystyle {\vec {u'}}=\left(\sum _{\sigma }{\frac {\rho ^{\sigma }{\vec {u^{\sigma }}}}{\tau _{f}^{\sigma }}}\right)/\left(\sum _{\sigma }{\frac {\rho ^{\sigma }}{\tau _{f}^{\sigma }}}\right)}$

${\displaystyle \rho ^{\sigma }{\vec {u^{\sigma }}}=\sum _{i}f_{i}^{\sigma }{\vec {e}}_{i}.}$

${\displaystyle v^{\sigma }={\vec {u'}}+{\frac {\tau _{f}^{\sigma }}{\rho ^{\sigma }}}{\vec {F}}^{\sigma }}$

В приведенном выше уравнении для равновесной скорости этот термин представляет собой силу взаимодействия между компонентом и другими компонентами. Это до сих пор является предметом многочисленных дискуссий, поскольку обычно это параметр настройки, который определяет, как взаимодействуют жидкость-жидкость, жидкость-газ и т. д. Франк и др. перечислите текущие модели для этого термина силы. Обычно используемые выводы - это хромодинамическая модель Ганстенсена, подход Свифта, основанный на свободной энергии как для систем жидкость/пар, так и для бинарных жидкостей, модель Хе, основанная на межмолекулярном взаимодействии, подход Инамуро и подход Ли и Линя. ^[15] ${\displaystyle v^{\sigma }\,\!}$ ${\displaystyle {\vec {F}}^{\sigma }\,\!}$

Ниже приводится общее описание, данное несколькими авторами. ^{[16] [17]} ${\displaystyle {\vec {F}}^{\sigma }\,\!}$

${\displaystyle {\vec {F}}^{\sigma }=-\psi ^{\sigma }({\vec {x}})\sum _{\sigma _{j}}H^{\sigma \sigma _{j}}({\vec {x}},{\vec {x}}')\sum _{i}\psi ^{\sigma _{j}}({\vec {x}}+{\vec {e}}_{i}){\vec {e}}_{i}\,\!}$

${\displaystyle \psi ({\vec {x}})\,\!}$– эффективная масса, – функция Грина, представляющая межчастичное взаимодействие с соседним узлом. Удовлетворяющий и представляющий отталкивающие силы. Для D2Q9 и D3Q19 это приводит к ${\displaystyle H({\vec {x}},{\vec {x}}')\,\!}$ ${\displaystyle {\vec {x}}'\,\!}$ ${\displaystyle H({\vec {x}},{\vec {x}}')=H({\vec {x}}',{\vec {x}})\,\!}$ ${\displaystyle H({\vec {x}},{\vec {x}}')>0\,\!}$

${\displaystyle H^{\sigma \sigma _{j}}({\vec {x}},{\vec {x}}')={\begin{cases}h^{\sigma \sigma _{j}}&\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}'\right|\leq c\\0&\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}'\right|>c\\\end{cases}}}$

${\displaystyle H^{\sigma \sigma _{j}}({\vec {x}},{\vec {x}}')={\begin{cases}h^{\sigma \sigma _{j}}&\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}'\right|=c\\h^{\sigma \sigma _{j}}/2&\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}'\right|={\sqrt {2c}}\\0&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}}$

Эффективная масса, предложенная Шанем и Ченом, использует следующую эффективную массу для однокомпонентной многофазной системы . Уравнение состояния также приведено в условии однокомпонентности и многофазности.

${\displaystyle \psi ({\vec {x}})=\psi (\rho ^{\sigma })=\rho _{0}^{\sigma }\left[1-e^{(-\rho ^{\sigma }/\rho _{0}^{\sigma })}\right]\,\!}$

${\displaystyle p=c_{s}^{2}\rho +c_{0}h[\psi ({\vec {x}})]^{2}\,\!}$

На данный момент кажется, что и являются свободными константами для настройки, но после включения в уравнение состояния системы (EOS) они должны удовлетворять термодинамическим соотношениям в критической точке, таким образом, что и . Для EOS оно равно 3,0 для D2Q9 и D3Q19, а для D3Q15 оно равно 10,0. ^[18] ${\displaystyle \rho _{0}^{\sigma }\,\!}$ ${\displaystyle h^{\sigma \sigma _{j}}\,\!}$ ${\displaystyle (\partial P/\partial {\rho })_{T}=(\partial ^{2}P/\partial {\rho ^{2}})_{T}=0\,\!}$ ${\displaystyle p=p_{c}\,\!}$ ${\displaystyle c_{0}\,\!}$

Позже Юань и Шефер ^[19] показали , что для более точного моделирования многофазного потока необходимо изменить эффективную массовую плотность. Они сравнили Шан и Чен (SC), Карнахан-Старлинг (C-S), Ван-дер-Ваальса (vdW), Редлиха-Квонга (R-K), Редлиха-Квонга Соаве (RKS) и Пенг-Робинсона (P- Р) ЭОС. Их результаты показали, что SC EOS было недостаточно и что C–S, P–R, R–K и RKS EOS более точны при моделировании многофазного потока одного компонента.

Для популярных изотермических методов решетки Больцмана это единственные сохраняющиеся величины. Тепловые модели также сохраняют энергию и, следовательно, имеют дополнительную сохраняемую величину:

${\displaystyle \rho \theta +\rho uu=\sum _{i}f_{i}{\vec {e}}_{i}{\vec {e}}_{i}.}$

Приложения

За последние годы LBM зарекомендовал себя как мощный инструмент для решения проблем разной длины и временного масштаба. Некоторые из применений LBM включают в себя:

• Потоки пористой среды ^[20]
• Биомедицинские потоки
• Науки о Земле (Фильтрация почвы).
• Энергетические науки (Топливные элементы ^[21] ).

Внешние ссылки

• Метод LBM
• Энтропийный решеточный метод Больцмана (ELBM)
• dsfd.org: веб-сайт серии ежегодных конференций DSFD (с 1986 г. по настоящее время), на которых обсуждаются достижения в теории и применении решеточного метода Больцмана.
• Сайт ежегодной конференции ICMMES, посвящённой решеточным методам Больцмана и их приложениям.

дальнейшее чтение

• Дойч, Андреас; Сабина Дорманн (2004). Клеточно-автоматное моделирование формирования биологических паттернов . Биркхойзер Верлаг . ISBN 978-0-8176-4281-5.
• Суччи, Сауро (2001). Решеточное уравнение Больцмана для гидродинамики и не только . Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-850398-9.
• Вольф-Гладроу, Дитер (2000). Решеточные газовые клеточные автоматы и решеточные модели Больцмана . Спрингер Верлаг . ISBN 978-3-540-66973-9.
• Сукоп, Майкл С.; Дэниел Т. Торн-младший (2007). Решётчатое Больцмановское моделирование: введение для геологов и инженеров . Спрингер . ISBN 978-3-540-27981-5.
• Цзянь Го Чжоу (2004). Решеточные методы Больцмана для мелководных течений . Спрингер . ISBN 978-3-540-40746-1.
• Хе, X., Чен, С., Дулен, Г. (1998). Новая тепловая модель для решеточного метода Больцмана в пределе несжимаемости . Академическая пресса .{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Го, ЗЛ; Шу, К. (2013). Решетчатый метод Больцмана и его применение в технике . Мировое научное издательство .
• Хуанг, Х.; МЦ Сукоп; ХY. Лу (2015). Многофазные решеточные методы Больцмана: теория и применение . Уайли-Блэквелл . ISBN 978-1-118-97133-8.
• Крюгер, Т.; Кусумаатмая, Х.; Кузьмин А.; Шардт, О.; Сильва, Г.; Вигген, Э.М. (2017). Решетчатый метод Больцмана: принципы и практика . Спрингер Верлаг . ISBN 978-3-319-44647-9.

Примечания

1. Чен, Шии; Дулен, Гэри Д. (1998). «Решетчатый метод Больцмана для потоков жидкости». Ежегодный обзор механики жидкости . 30 (1): 329–364. Бибкод : 1998AnRFM..30..329C. doi :10.1146/annurev.fluid.30.1.329. ISSN  0066-4189.
2. Бхатнагар, Польша; Гросс, EP; Крук, М. (1 мая 1954 г.). «Модель столкновительных процессов в газах. I. Процессы малой амплитуды в заряженных и нейтральных однокомпонентных системах». Физический обзор . 94 (3): 511–525. Бибкод : 1954PhRv...94..511B. doi : 10.1103/PhysRev.94.511. ISSN  0031-899X.
3. Амир Х. Хеджрипур, Дэвид П. Каллаган и Том Э. Бэлдок, Обобщенное преобразование метода Больцмана решетки для потоков мелкой воды, https://doi.org/10.1080/00221686.2016.1168881
4. Суччи, с. 68
5. Суччи, Приложение D (стр. 261-262)
6. Суччи, глава 8.3, с. 117-119
7. Ди Риенцо, А. Фабио; Асинари, Пьетро; Кьяваццо, Элиодоро; Прасианакис, Николаос; Манцарас, Джон (2012). «Решеточная модель Больцмана для моделирования реактивного потока» (PDF) . ЭПЛ . 98 (3): 34001. Бибкод : 2012EL.....9834001D. дои : 10.1209/0295-5075/98/34001. S2CID  121908046.
8. Кьяваццо, Элиодоро; Карлин, Илья; Горбань, Александр; Булухос, Константинос (2010). «Сочетание метода сокращения модели с методом решетки Больцмана для моделирования горения». Сжечь. Пламя . 157 (10): 1833–1849. doi : 10.1016/j.combustflame.2010.06.009.
9. Кьяваццо, Элиодоро; Карлин, Илья; Горбань, Александр; Булухос, Константинос (2012). «Эффективное моделирование детальных полей горения с помощью метода решетки Больцмана». Международный журнал численных методов измерения потока тепла и жидкости . 21 (5): 494–517. дои : 10.1108/09615531111135792. S2CID  122060895.
10. Кьяваццо, Элиодоро; Карлин, Илья; Горбань, Александр; Булухос, Константинос (2009). «Моделирование горения с помощью решетки Больцмана и уменьшенной химической кинетики». Журнал статистической механики: теория и эксперимент . 2009 (6): P06013. Бибкод : 2009JSMTE..06..013C. дои : 10.1088/1742-5468/2009/06/P06013. S2CID  6459762.
11. Макнамара, Г., Гарсия, А., и Алдер, Б., «Гидродинамически правильная модель Больцмана с тепловой решеткой», Журнал статистической физики, том. 87, нет. 5, стр. 1111–1121, 1997.
12. Шан, X., «Моделирование конвекции Рэлея-Бенара с использованием метода решетчатого Больцмана», Physical Review E, vol. 55, стр. 2780–2788, Американское физическое общество, 1997.
13. Хе, X., Чен, С., и Дулен, Г.Д., «Новая тепловая модель для метода решетчатого Больцмана в несжимаемом пределе», Journal of Computational Physics, vol. 146, стр. 282–300, 1998.
14. Чен С. и Дулен Г.Д., «Решетчатый метод Больцмана для потоков жидкости. Архивировано 25 февраля 2019 г. в Wayback Machine », Annual Review of Fluid Mechanics, vol. 30, с. 329–364, 1998.
15. Франк, X., Алмейда, Г., Перре, П., «Многофазный поток в сосудистой системе древесины: от микроскопического исследования до трехмерных экспериментов Больцмана на решетке», International Journal of Multiphase Flow, vol. 36, стр. 599-607, 2010.
16. Юань П., Шефер Л. , «Уравнения состояния в решеточной модели Больцмана», Физика жидкостей, том. 18, 2006.
17. Хартинг, Дж., Чин, Дж., Маддалена, В., Ковени, П., «Крупномасштабное решеточное моделирование Больцмана сложных жидкостей: достижения благодаря появлению вычислительных сеток», Philosophical Transactions of the Royal Society A , vol. . 363, стр. 1895–1915, 2005 г.
18. Юань П., Шефер Л. , «Модель двухфазного потока Больцмана с тепловой решеткой и ее применение к проблемам теплопередачи - Часть 1. Теоретическая основа», Journal of Fluid Engineering 142-150, vol. 128, 2006.
19. Юань, П.; Шефер, Л. (2006). «Уравнения состояния в решетчатой ​​модели Больцмана». Физика жидкостей . 18 (4): 042101–042101–11. Бибкод : 2006PhFl...18d2101Y. дои : 10.1063/1.2187070.
20. Фу, Цзиньлун; Донг, Цзябин; Ван, Юнлян; Цзюй, Ян; Оуэн, Д. Роджер Дж.; Ли, Чэньфэн (апрель 2020 г.). «Эффект разрешения: модель коррекции ошибок для внутренней проницаемости пористых сред, оцененной с помощью решеточного метода Больцмана». Транспорт в пористых средах . 132 (3): 627–656. doi : 10.1007/s11242-020-01406-z. S2CID  214648297.
21. Эспиноза, Майкен (2015). «Влияние сжатия на пористость, извилистость газовой фазы и газопроницаемость в моделируемом газодиффузионном слое PEM». Международный журнал энергетических исследований . 39 (11): 1528–1536. дои : 10.1002/er.3348 . S2CID  93173199.