Решетчатые газовые автоматы ( LGCA ), или клеточные автоматы с решетчатым газом , представляют собой тип клеточных автоматов , используемых для моделирования потоков жидкости, впервые изобретенных Харди-Помо-де Пацци и Фришем - Хасслахером - Помо . Они были предшественниками решеточных методов Больцмана . Из автоматов решеточного газа можно вывести макроскопические уравнения Навье – Стокса . [1] Интерес к автоматным методам решеточного газа выровнялся в начале 1990-х годов, когда начал расти интерес к решеточному газу Больцмана. [2] Однако вариант LGCA, названный BIO-LGCA , до сих пор широко используется [3] для моделирования коллективной миграции в биологии.
В качестве клеточного автомата эти модели представляют собой решетку, узлы которой могут принимать определенное количество различных состояний. В решеточном газе различные состояния представляют собой частицы с определенными скоростями. Эволюция моделирования осуществляется дискретными шагами по времени. После каждого временного шага состояние данного сайта может определяться состоянием самого сайта и соседних сайтов до этого временного шага.
Состояние на каждом сайте является чисто логическим . В данном месте либо есть , либо нет частица, движущаяся в каждом направлении.
На каждом временном шаге происходят два процесса: распространение и столкновение. [4]
На этапе распространения каждая частица будет перемещаться в соседний участок, определяемый скоростью, которую имела частица. За исключением каких-либо столкновений, частица с восходящей скоростью после определенного временного шага сохранит эту скорость, но переместится в соседний участок над исходным. Так называемый принцип исключения не позволяет двум или более частицам перемещаться по одному и тому же звену в одном направлении.
На этапе столкновения правила столкновений используются для определения того, что произойдет, если несколько частиц достигнут одного и того же места. Эти правила столкновений необходимы для поддержания сохранения массы и общего импульса ; блочная модель клеточного автомата может быть использована для достижения этих законов сохранения. [5] Обратите внимание, что принцип исключения не запрещает двум частицам двигаться по одному и тому же звену в противоположных направлениях; когда это происходит, две частицы проходят друг мимо друга, не сталкиваясь.
В статьях, опубликованных в 1973 и 1976 годах, Жан Харди, Ив Помо и Оливье де Пацци представили первую решеточную модель Больцмана, названную в честь авторов моделью HPP . Модель HPP представляет собой двумерную модель взаимодействия частиц жидкости. В этой модели решетка квадратная, и частицы движутся независимо с единичной скоростью в дискретное время. Частицы могут перемещаться в любой из четырех узлов, ячейки которых имеют общее ребро. Частицы не могут двигаться по диагонали.
Если две частицы сталкиваются лоб в лоб, например, частица, движущаяся влево, встречает частицу, движущуюся вправо, в результате две частицы покинут это место под прямым углом к направлению, в котором они пришли. [6]
Модель HPP не имела вращательной инвариантности , что делало ее очень анизотропной . Это означает, например, что вихри, создаваемые моделью HPP, имеют квадратную форму. [7]
Модель гексагональной сетки была впервые представлена в 1986 году в статье Уриэля Фриша , Бросла Хасслахера и Помо, и в честь ее изобретателей она стала известна как модель FHP. Модель имеет шесть или семь скоростей, в зависимости от того, какая вариация используется. В любом случае шесть скоростей представляют собой движение к каждому из соседних участков. В некоторых моделях (называемых FHP-II и FHP-III) вводится седьмая скорость, представляющая частицы «в покое». «Покоящиеся» частицы не распространяются на соседние узлы, но способны сталкиваться с другими частицами. Модель FHP-III допускает все возможные столкновения, сохраняющие плотность и импульс. [8] Увеличение количества столкновений увеличивает число Рейнольдса , поэтому модели FHP-II и FHP-III могут моделировать менее вязкие потоки, чем шестиступенчатая модель FHP-I. [9]
Простое правило обновления модели FHP выполняется в два этапа, выбранных для сохранения числа и импульса частиц. Во-первых, это обработка столкновений. Правила коллизий в модели FHP не являются детерминированными , некоторые входные ситуации дают два возможных результата, и когда это происходит, один из них выбирается случайным образом. Поскольку генерация случайных чисел невозможна полностью вычислительными средствами, обычно выбирается псевдослучайный процесс. [10]
После этапа столкновения считается, что частица на ссылке покидает сайт. Если на площадке есть две частицы, сближающиеся в лоб, они рассеиваются. Производится случайный выбор между двумя возможными исходящими направлениями, которые сохраняют импульс.
Шестиугольная сетка не страдает от таких больших проблем с анизотропией, как те, которые преследуют модель квадратной сетки HPP, и это удачный факт, который не совсем очевиден, и это побудило Фриша заметить, что «боги симметрии доброжелательны». [11]
Для трехмерной сетки единственным правильным многогранником , заполняющим все пространство, является куб , а единственными правильными многогранниками с достаточно большой группой симметрии являются додекаэдр и икосаэдр (без второго ограничения модель будет иметь те же недостатки, что и модель Модель ГЭС). Поэтому для создания модели, учитывающей три измерения, требуется увеличение количества измерений, как, например, в модели 1986 года Д'Юмьера, Лаллемана и Фриша, в которой использовалась модель гранецентрированного гиперкуба . [12]
Плотность в узле можно найти, подсчитав количество частиц в каждом узле. Если перед суммированием частиц умножить на единичную скорость, можно получить импульс в данном месте. [13]
Однако вычисление плотности, импульса и скорости для отдельных участков сопряжено с большим количеством шума, и на практике для получения более разумных результатов следует усреднять данные по большей области. Усреднение по ансамблю часто используется для дальнейшего уменьшения статистического шума. [14]
Основные преимущества модели решеточного газа заключаются в том, что логические состояния означают, что будут точные вычисления без каких-либо ошибок округления из-за точности с плавающей запятой, и что система клеточных автоматов позволяет запускать моделирование автоматов решетчатого газа параллельно . вычисления . [15]
К недостаткам метода решеточного газа относятся отсутствие галилеевой инвариантности и статистический шум . [16] Другая проблема заключается в сложности расширения модели для решения трехмерных задач, что требует использования большего количества измерений для поддержания достаточно симметричной сетки для решения таких проблем. [12]
Клеточные автоматы с решеточным газом были адаптированы и до сих пор широко используются для моделирования коллективной миграции в биологии. Благодаря активной природе биологических агентов, а также вязкой среде, в которой живут клетки, сохранение импульса не требуется. Более того, агенты могут умирать или размножаться, поэтому сохранение массы также может отсутствовать. На этапе столкновения частицы стохастически переориентируются в соответствии с распределением Больцмана, моделируя локальное взаимодействие между людьми.