В термодинамике жидкости конвекция Рэлея-Бенара представляет собой тип естественной конвекции , происходящей в плоском горизонтальном слое жидкости , нагретой снизу, в котором жидкость образует регулярный образец конвекционных ячеек, известных как ячейки Бенара . Такие системы впервые исследовали Буссинеск [1] и Обербек [2] в XIX веке. Это явление также может проявляться, когда вещество, более плотное, чем электролит, потребляется снизу и образуется вверху. [3] Конвекция Бенара – Рэлея является одним из наиболее часто изучаемых конвекционных явлений из-за ее аналитической и экспериментальной доступности. [4] Модели конвекции являются наиболее тщательно изученным примером самоорганизующихся нелинейных систем . [4] [5] Зависящие от времени автомодельные аналитические решения известны как для полей скорости, так и для распределения температуры. [6] [7]
Плавучесть , а значит и гравитация , ответственны за появление конвекционных ячеек. Первоначальное движение представляет собой подъем менее плотной жидкости из более теплого придонного слоя. [8] Этот апвеллинг спонтанно организуется в регулярную структуру клеток.
Особенности конвекции Бенара можно получить с помощью простого эксперимента, впервые проведенного французским физиком Анри Бенаром в 1900 году.
В экспериментальной установке используется слой жидкости, например воды, между двумя параллельными плоскостями. Высота слоя мала по сравнению с горизонтальным размером. Сначала температура нижней плоскости такая же, как и у верхней. Тогда жидкость будет стремиться к равновесию , при котором ее температура будет такой же, как и температура окружающей среды. (Оказавшись там, жидкость становится совершенно однородной: наблюдателю она будет казаться одинаковой из любого положения. Это равновесие также асимптотически устойчиво : после локального временного возмущения внешней температуры она вернется в свое однородное состояние, в соответствует второму началу термодинамики ).
Затем температура нижней плоскости слегка увеличивается, создавая поток тепловой энергии, проходящий через жидкость. Система начнет иметь структуру теплопроводности : температура, а вместе с ней плотность и давление будут линейно меняться между нижней и верхней плоскостями. Будет установлен равномерный линейный градиент температуры. (Эта система может быть смоделирована статистической механикой ).
Как только проводимость устанавливается, микроскопическое случайное движение самопроизвольно становится упорядоченным на макроскопическом уровне, образуя конвекционные ячейки Бенара с характерной корреляционной длиной.
Вращение ячеек стабильно и будет чередоваться по часовой стрелке и против часовой стрелки по горизонтали; это пример спонтанного нарушения симметрии . Клетки Бенара метастабильны . Это означает, что небольшое возмущение не сможет изменить вращение ячеек, а большее может повлиять на вращение; они демонстрируют форму гистерезиса .
Более того, детерминированный закон на микроскопическом уровне приводит к недетерминированному расположению ячеек: если эксперимент повторяется, определенная позиция в эксперименте будет находиться в ячейке по часовой стрелке в одних случаях и в ячейке против часовой стрелки в других. Микроскопических возмущений начальных условий достаточно, чтобы вызвать недетерминированный макроскопический эффект. То есть в принципе невозможно рассчитать макроскопический эффект микроскопического возмущения. Эта неспособность предсказать условия на большие расстояния и чувствительность к начальным условиям являются характеристиками хаотичных или сложных систем (т. е. эффект бабочки ).
Если бы температуру нижней плоскости еще больше повысить, структура стала бы более сложной в пространстве и времени; турбулентный поток станет хаотичным .
Конвективные ячейки Бенара имеют тенденцию приближаться к правильным шестиугольным призмам, особенно в отсутствие турбулентности, [10] [11] [12], хотя определенные экспериментальные условия могут привести к образованию правильных прямоугольных призм [13] или спиралей. [14]
Конвективные ячейки Бенара не уникальны и обычно появляются только в результате конвекции, вызванной поверхностным натяжением. В общем, решения анализа Рэлея и Пирсона [15] (линейная теория), предполагающие бесконечный горизонтальный слой, приводят к вырождению, означающему, что система может получить множество шаблонов. Если предположить, что температура на верхней и нижней пластинах одинакова, то при использовании реалистичной системы (слоя с горизонтальными границами) форма границ будет определять шаблон. Чаще всего конвекция проявляется в виде валков или их суперпозиции.
Поскольку между верхней и нижней пластинами существует градиент плотности, сила тяжести пытается притянуть более холодную и плотную жидкость сверху вниз. Этой гравитационной силе противостоит сила вязкого демпфирования в жидкости. Баланс этих двух сил выражается безразмерным параметром, называемым числом Рэлея . Число Рэлея определяется как:
где
По мере увеличения числа Рэлея гравитационные силы становятся более доминирующими. При критическом числе Рэлея 1708 [5] наступает неустойчивость и появляются конвекционные ячейки.
Критическое число Рэлея можно получить аналитически для ряда различных граничных условий, выполнив анализ возмущений линеаризованных уравнений в устойчивом состоянии. [16] Простейшим случаем является случай двух свободных границ, который лорд Рэлей решил в 1916 году, получив Ra = 27 ⁄ 4 π 4 ≈ 657,51. [17] В случае жесткой границы внизу и свободной границы вверху (как в случае чайника без крышки) критическое число Рэлея получается как Ra = 1100,65. [18]
В случае свободной поверхности жидкости, контактирующей с воздухом, эффекты плавучести и поверхностного натяжения также будут играть роль в развитии закономерностей конвекции. Жидкости текут из мест с меньшим поверхностным натяжением в места с более высоким поверхностным натяжением. Это называется эффектом Марангони . При подаче тепла снизу температура верхнего слоя будет колебаться. С повышением температуры поверхностное натяжение уменьшается. Таким образом, будет иметь место боковой поток жидкости на поверхности [19] от более теплых областей к более холодным. Чтобы сохранить горизонтальную (или почти горизонтальную) поверхность жидкости, более холодная поверхностная жидкость будет опускаться. Этот спуск более холодной жидкости способствует движущей силе конвекционных ячеек. Конкретный случай изменений поверхностного натяжения, вызванных градиентом температуры, известен как термокапиллярная конвекция или конвекция Бенара – Марангони.
В 1870 году ирландско-шотландский физик и инженер Джеймс Томсон (1822–1892), старший брат лорда Кельвина , наблюдал охлаждение воды в ванне; он отметил, что мыльная пленка на поверхности воды была разделена, как если бы поверхность была выложена плиткой (мозаичной). В 1882 году он показал, что мозаика возникла из-за присутствия конвекционных ячеек. [20] В 1900 году французский физик Анри Бенар (1874–1939) независимо пришел к такому же выводу. [21] Эта модель конвекции, эффекты которой обусловлены исключительно температурным градиентом, была впервые успешно проанализирована в 1916 году лордом Рэлеем (1842–1919). [22] Рэлей предположил граничные условия, при которых вертикальная составляющая скорости и возмущение температуры исчезают на верхней и нижней границах (идеальная теплопроводность). Эти предположения привели к тому, что анализ потерял всякую связь с экспериментом Анри Бенара. Это приводило к расхождениям между теоретическими и экспериментальными результатами до 1958 года, когда Джон Пирсон (1930–) переработал проблему, основанную на поверхностном натяжении. [15] Это то, что первоначально наблюдал Бенар. Тем не менее, в современном использовании «конвекция Рэлея – Бенара» относится к эффектам, обусловленным температурой, тогда как «конвекция Бенара – Марангони» относится конкретно к эффектам поверхностного натяжения. [4] Дэвис и Кошмидер предположили, что конвекцию по праву следует называть «конвекцией Пирсона – Бенара». [5]
Конвекцию Рэлея – Бенара также иногда называют «конвекцией Бенара – Рэлея», «конвекцией Бенара» или «конвекцией Рэлея».
