Самоподобное решение

Концепция в частных дифференциальных уравнениях

При изучении уравнений с частными производными , в частности, в гидродинамике , самоподобное решение — это форма решения, которая подобна себе, если независимые и зависимые переменные соответствующим образом масштабированы. Самоподобные решения появляются всякий раз, когда в задаче отсутствует характерная длина или временной масштаб (например, пограничный слой Блазиуса бесконечной пластины, но не пластины конечной длины). К ним относятся, например, пограничный слой Блазиуса или оболочка Седова–Тейлора . ^{[1] [2]}

Концепция

Мощным инструментом в физике является концепция размерного анализа и законов масштабирования. Изучая физические эффекты, присутствующие в системе, мы можем оценить их размер и, следовательно, которые, например, можно было бы игнорировать. В некоторых случаях система может не иметь фиксированной естественной длины или временной шкалы, в то время как решение зависит от пространства или времени. Тогда необходимо построить шкалу, используя пространство или время и другие присутствующие размерные величины, такие как вязкость . Эти конструкции не «угадываются», а выводятся немедленно из масштабирования основных уравнений. ${\displaystyle \nu }$

Классификация

Нормальное самоподобное решение также называется самоподобным решением первого рода , поскольку для задач конечного размера существует другой тип самоподобия, который не может быть выведен из размерного анализа , известный как самоподобное решение второго рода .

Самоподобное решение второго рода

Раннее выявление автомодельных решений второго рода можно найти в задачах о схлопывании ударных волн ( задача Гудерлея–Ландау–Станюковича ), проанализированных Г. Гудерлеем (1942) и Львом Ландау и К. П. Станюковичем (1944), ^[3] и распространении ударных волн коротким импульсом, проанализированных Карлом Фридрихом фон Вайцзеккером ^[4] и Яковом Борисовичем Зельдовичем (1956), которые также впервые классифицировали его как второй род. ^[5] Полное описание было сделано в 1972 году Григорием Баренблаттом и Яковом Борисовичем Зельдовичем . ^[6] Автомодельное решение второго рода также появляется в различных контекстах, таких как задачи пограничного слоя, подверженные малым возмущениям, ^[7] как было выявлено Кейтом Стюартсоном , ^[8] Полом А. Либби и Гербертом Фоксом. ^[9] Вихри Моффата также являются самоподобным решением второго рода.

Примеры

проблема Рэлея

Простым примером является полубесконечная область, ограниченная жесткой стенкой и заполненная вязкой жидкостью. ^[10] В момент времени, когда стенка движется с постоянной скоростью в фиксированном направлении (для определенности скажем направление и рассмотрим только плоскость), можно увидеть, что в задаче не задана различимая шкала длины. Это известно как задача Рэлея . Граничные условия отсутствия скольжения: ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x-y}$ $${\displaystyle u{(y\!=\!0)}=U}$$

Кроме того, условие, что пластина не оказывает никакого влияния на жидкость на бесконечности, выполняется следующим образом: $${\displaystyle u{(y\!\to \!\infty )}=0.}$$

Теперь из уравнений Навье-Стокса можно заметить, что этот поток будет прямолинейным с градиентами в направлении и потоком в направлении, и что член давления не будет иметь тангенциальной составляющей, так что . Тогда компонент уравнений Навье-Стокса становится и можно применить аргументы масштабирования, чтобы показать, что дает масштабирование координаты как . $${\displaystyle \rho \left({\dfrac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}+{\vec {u}}\cdot \nabla {\vec {u}}\right)=-\nabla p+\mu \nabla ^{2}{\vec {u}}}$$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\dfrac {\partial p}{\partial y}}=0}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle {\dfrac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}=\nu \partial _{y}^{2}{\vec {u}}}$$ $${\displaystyle {\frac {U}{t}}\sim \nu {\frac {U}{y^{2}}}}$$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle y\sim (\nu t)^{1/2}}$$

Это позволяет сформулировать самоподобный анзац, такой что при и безразмерном, ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \eta }$ $${\displaystyle u=Uf\left(\eta \equiv {\dfrac {y}{(\nu t)^{1/2}}}\right)}$$

Вышеизложенное содержит всю соответствующую физику, и следующим шагом является решение уравнений, которое для многих случаев будет включать численные методы. Это уравнение с решением, удовлетворяющим граничным условиям, которое является самоподобным решением первого рода. $${\displaystyle -\eta f'/2=f''}$$ $${\displaystyle f=1-\operatorname {erf} (\eta /2)\quad {\text{ or }}\quad u=U\left(1-\operatorname {erf} \left(y/(4\nu t)^{1/2}\right)\right)}$$

Приближение полубесконечного тела

В приложениях с нестационарной передачей тепла , таких как нагрев палубы корабля при запуске ракет и определение размеров систем тепловой защиты , для полубесконечных твердых тел можно найти самоподобные решения. ^{[11] [12]} Управляющим уравнением, когда теплопроводность является основным механизмом теплопередачи, является одномерное уравнение энергии: где — плотность материала , — удельная теплоемкость материала , — теплопроводность материала . В случае, когда предполагается, что материал однороден, а его свойства постоянны, уравнение энергии сводится к уравнению теплопроводности : с — температуропроводностью . Вводя переменную подобия и предполагая, что , уравнение в частных производных можно преобразовать в уравнение в частных производных: Если предположить простую модель определения размеров системы тепловой защиты, где разложение, поток пиролизного газа и отступание поверхности игнорируются, с начальной температурой и постоянной температурой поверхности , то уравнение в частных производных можно решить для температуры на глубине и во времени : ^[12] где — функция ошибок . $${\displaystyle \rho c_{p}{\frac {\partial T}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(k{\frac {\partial T}{\partial x}}\right)}$$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle c_{p}}$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}},\quad \alpha ={\frac {k}{\rho c_{p}}}}$$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \eta =x/{\sqrt {t}}}$ ${\displaystyle T(t,x)=f(\eta )}$ $${\displaystyle f''(\eta )+{\frac {1}{2\alpha }}\eta f'(\eta )=0}$$ ${\displaystyle T(0,x)=f(\infty )=T_{i}}$ ${\displaystyle T(t,0)=f(0)=T_{s}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle T(t,x)={\text{erf}}\left({\frac {x}{2{\sqrt {\alpha t}}}}\right)\left(T_{i}-T_{s}\right)+T_{s}}$$ ${\displaystyle {\text{erf}}(\cdot )}$

Ссылки

1. Граттон, Дж. (1991). Подобие и самоподобие в динамике жидкости . Основы космической физики. Т. 15. Нью-Йорк: Гордон и Брич. С. 1–106. OCLC  35504041.
2. Баренблатт, Григорий Исаакович (1996). Масштабирование, самоподобие и промежуточная асимптотика: размерный анализ и промежуточная асимптотика . Том 14. Cambridge University Press. ISBN 0-521-43522-6.
3. Станюкович, КП (2016). Неустановившееся движение сплошных сред. Elsevier. Страница 521.
4. Вайцзеккер, CF (1954). Приближенное представление сильных нестационарных ударных волн через гомологические решения. Zeitschrift für Naturforschung A, 9 (4), 269–275.
5. Зельдович, Ю. Б. (1956). «Движение газа под действием кратковременного скачка давления». Акуст. ж . 2 (1): 28–38.
6. Баренблатт, ГИ; Зельдович, ЮБ (1972). «Автомодельные решения как промежуточные асимптотики». Annual Review of Fluid Mechanics . 4 (1): 285–312. Bibcode : 1972AnRFM...4..285B. doi : 10.1146/annurev.fl.04.010172.001441.
7. Коэнен, В.; Раджаманикам, П.; Вайс, AD; Санчес, Алабама; Уильямс, ФА (2019). «Закрученный поток, вызванный струями и шлейфами». Акта Механика . 230 (6): 2221–2231. дои : 10.1007/s00707-019-02382-2. S2CID  126488392.
8. Стюартсон, К. (1957). «Об асимптотических разложениях в теории пограничных слоев». Журнал математики и физики . 36 (1–4): 173–191. doi :10.1002/sapm1957361173.
9. Либби, ПА; Фокс, Х. (1963). «Некоторые решения возмущений в теории ламинарного пограничного слоя». Журнал механики жидкости . 17 (3): 433–449. doi :10.1017/S0022112063001439. S2CID  123824364.
10. Batchelor (2000) [1967]. Введение в гидродинамику. стр. 189. ISBN 9780521663960.
11. Чанг, Ланг-Манн (1986). "Переходная теплопроводность в полубесконечных твердых телах со свойствами, зависящими от температуры" (PDF) . Технический отчет BRL-TR-2720 . Лаборатория баллистических исследований армии США.
12. Dec, John. "Лекция № 1: Нагрев точки торможения" (PDF) . Курс аэротермодинамики . NASA: 105–106.