Теория Чепмена–Энскога

Структура статистической механики

Теория Чепмена–Энскога обеспечивает структуру, в которой уравнения гидродинамики для газа могут быть выведены из уравнения Больцмана . Этот метод оправдывает иначе феноменологические конститутивные соотношения, появляющиеся в гидродинамических описаниях, таких как уравнения Навье–Стокса . При этом выражения для различных коэффициентов переноса, таких как теплопроводность и вязкость, получаются в терминах молекулярных параметров. Таким образом, теория Чепмена–Энскога представляет собой важный шаг в переходе от микроскопического описания, основанного на частицах, к континуальному гидродинамическому описанию.

Теория названа в честь Сиднея Чепмена и Дэвида Энскога , которые независимо друг от друга представили ее в 1916 и 1917 годах. ^[1]

Описание

Отправной точкой теории Чепмена–Энскога является уравнение Больцмана для одночастичной функции распределения : ${\displaystyle f(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+\mathbf {v\cdot } {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}+{\frac {\mathbf {F} }{m}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}={\hat {C}}f,}$

где — нелинейный интегральный оператор, моделирующий эволюцию при межчастичных столкновениях. Эта нелинейность затрудняет решение полного уравнения Больцмана и мотивирует разработку приближенных методов, таких как метод, предоставляемый теорией Чепмена–Энскога. ${\displaystyle {\hat {C}}}$ ${\displaystyle f}$

Учитывая эту отправную точку, различные предположения, лежащие в основе уравнения Больцмана, переносятся и в теорию Чепмена–Энскога. Самое основное из них требует разделения масштаба между длительностью столкновения и средним свободным временем между столкновениями : . Это условие гарантирует, что столкновения являются четко определенными событиями в пространстве и времени, и выполняется, если безразмерный параметр мал, где — диапазон межчастичных взаимодействий, а — плотность числа. ^[2] В дополнение к этому предположению теория Чепмена–Энскога также требует, чтобы было намного меньше любых внешних временных масштабов . Это временные масштабы, связанные с членами в левой части уравнения Больцмана, которые описывают изменения состояния газа на макроскопических длинах. Обычно их значения определяются начальными/граничными условиями и/или внешними полями. Это разделение масштабов подразумевает, что столкновительный член в правой части уравнения Больцмана намного больше потоковых членов в левой части. Таким образом, приближенное решение можно найти из ${\displaystyle \tau _{\mathrm {c} }}$ ${\displaystyle \tau _{\mathrm {f} }}$ ${\displaystyle \tau _{\mathrm {c} }\ll \tau _{\mathrm {f} }}$ ${\displaystyle \gamma \equiv r_{\mathrm {c} }^{3}n}$ ${\displaystyle r_{\mathrm {c} }}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \tau _{\mathrm {f} }}$ ${\displaystyle \tau _{\text{ext}}}$

${\displaystyle {\hat {C}}f=0.}$

Можно показать, что решение этого уравнения является гауссовым :

${\displaystyle f=n(\mathbf {r} ,t)\left({\frac {m}{2\pi k_{B}T(\mathbf {r} ,t)}}\right)^{3/2}\exp \left[-{\frac {m\left(\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0}(\mathbf {r} ,t)\right)^{2}}{2k_{B}T(\mathbf {r} ,t)}}\right],}$

где — масса молекулы, а — постоянная Больцмана . ^[3] Говорят, что газ находится в локальном равновесии , если он удовлетворяет этому уравнению. ^[4] Предположение о локальном равновесии приводит непосредственно к уравнениям Эйлера , которые описывают жидкости без диссипации, т. е. с теплопроводностью и вязкостью, равными . Основная цель теории Чепмена–Энскога — систематически получать обобщения уравнений Эйлера, которые включают диссипацию. Это достигается путем выражения отклонений от локального равновесия в виде ряда возмущений по числу Кнудсена , которое мало, если . Концептуально полученные гидродинамические уравнения описывают динамическое взаимодействие между свободным течением и столкновениями между частицами. Последние стремятся направить газ к локальному равновесию, в то время как первые действуют через пространственные неоднородности, чтобы отвести газ от локального равновесия. ^[5] Когда число Кнудсена имеет порядок 1 или больше, газ в рассматриваемой системе не может быть описан как жидкость. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k_{B}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\text{Kn}}}$ ${\displaystyle \tau _{\mathrm {f} }\ll \tau _{\text{ext}}}$

В первом порядке по получаем уравнения Навье–Стокса . Во втором и третьем порядках соответственно получаются уравнения Бернетта и супер-Бернетта. ${\displaystyle {\text{Kn}}}$

Математическая формулировка

Поскольку число Кнудсена не появляется явно в уравнении Больцмана, а скорее неявно в терминах функции распределения и граничных условий, вводится фиктивная переменная для отслеживания соответствующих порядков в разложении Чепмена–Энскога: ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+\mathbf {v\cdot } {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}+{\frac {\mathbf {F} }{m}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}={\frac {1}{\varepsilon }}{\hat {C}}f.}$

Малый подразумевает, что член столкновения доминирует над потоковым членом , что то же самое, что сказать, что число Кнудсена мало. Таким образом, соответствующая форма для расширения Чепмена-Энскога: ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle {\hat {C}}f}$ ${\displaystyle \mathbf {v\cdot } {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}+{\frac {\mathbf {F} }{m}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}}$

${\displaystyle f=f^{(0)}+\varepsilon f^{(1)}+\varepsilon ^{2}f^{(2)}+\cdots \ .}$

Решения, которые могут быть формально расширены таким образом, известны как нормальные решения уравнения Больцмана. ^[6] Этот класс решений исключает непертурбативные вклады (такие как ), которые появляются в пограничных слоях или вблизи внутренних ударных слоев . Таким образом, теория Чепмена–Энскога ограничена ситуациями, в которых такие решения пренебрежимо малы. ${\displaystyle e^{-1/\varepsilon }}$

Подставляя это расширение и приравнивая порядки выводов к иерархии ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle {\begin{aligned}J(f^{(0)},f^{(0)})&=0\\2J(f^{(0)},f^{(n)})&=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v\cdot } {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}+{\frac {\mathbf {F} }{m}}\cdot {\frac {\partial }{\partial \mathbf {v} }}\right)f^{(n-1)}-\sum _{m=1}^{n-1}J(f^{(n)},f^{(n-m)}),\qquad n>0,\end{aligned}}}$

где — интегральный оператор, линейный по обоим аргументам, удовлетворяющий и . Решением первого уравнения является гауссово: ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J(f,g)=J(g,f)}$ ${\displaystyle J(f,f)={\hat {C}}f}$

${\displaystyle f^{(0)}=n'(\mathbf {r} ,t)\left({\frac {m}{2\pi k_{B}T'(\mathbf {r} ,t)}}\right)^{3/2}\exp \left[-{\frac {m\left(\mathbf {v} -\mathbf {v} '_{0}(\mathbf {r} ,t)\right)^{2}}{2k_{B}T'(\mathbf {r} ,t)}}\right].}$

для некоторых функций , и . Выражение для предполагает связь между этими функциями и физическими гидродинамическими полями, определяемыми как моменты : ${\displaystyle n'(\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} '_{0}(\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle T'(\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle f^{(0)}}$ ${\displaystyle f(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}n(\mathbf {r} ,t)&=\int f\,d\mathbf {v} \\n(\mathbf {r} ,t)\mathbf {v} _{0}(\mathbf {r} ,t)&=\int \mathbf {v} f\,d\mathbf {v} \\n(\mathbf {r} ,t)T(\mathbf {r} ,t)&=\int {\frac {m}{3k_{B}}}\mathbf {v} ^{2}f\,d\mathbf {v} .\end{aligned}}}$

Однако с чисто математической точки зрения два набора функций не обязательно совпадают для (поскольку они равны по определению). Действительно, систематически продвигаясь по иерархии, можно обнаружить, что подобно , каждый также содержит произвольные функции и , связь которых с физическими гидродинамическими полями априори неизвестна. Одним из ключевых упрощающих предположений теории Чепмена–Энскога является предположение, что эти в противном случае произвольные функции могут быть записаны в терминах точных гидродинамических полей и их пространственных градиентов. Другими словами, пространственная и временная зависимость входит только неявно через гидродинамические поля. Это утверждение физически правдоподобно, поскольку малые числа Кнудсена соответствуют гидродинамическому режиму, в котором состояние газа определяется исключительно гидродинамическими полями. В случае функции , и предполагаются точно равными физическим гидродинамическим полям. ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \varepsilon =0}$ ${\displaystyle f^{(0)}}$ ${\displaystyle f^{(n)}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{(0)}}$ ${\displaystyle n'(\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} '_{0}(\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle T'(\mathbf {r} ,t)}$

Хотя эти предположения физически правдоподобны, возникает вопрос, существуют ли решения, удовлетворяющие этим свойствам. Точнее, нужно показать, что существуют решения, удовлетворяющие

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sum _{n=1}^{\infty }\varepsilon ^{n}f^{(n)}\,d\mathbf {v} =0=\int \sum _{n=1}^{\infty }\varepsilon ^{n}f^{(n)}\mathbf {v} ^{2}\,d\mathbf {v} \\\int \sum _{n=1}^{\infty }\varepsilon ^{n}f^{(n)}v_{i}\,d\mathbf {v} =0,\qquad i\in \{x,y,z\}.\end{aligned}}}$

Более того, даже если такие решения существуют, остается дополнительный вопрос о том, охватывают ли они полный набор нормальных решений уравнения Больцмана, т.е. не представляют ли они искусственного ограничения исходного разложения в . Одним из ключевых технических достижений теории Чепмена–Энскога является положительный ответ на оба этих вопроса. ^[6] Таким образом, по крайней мере на формальном уровне, в подходе Чепмена–Энскога нет потери общности. ${\displaystyle \varepsilon }$

Установив эти формальные соображения, можно приступить к вычислению . Результат ^[1] ${\displaystyle f^{(1)}}$

${\displaystyle f^{(1)}=\left[-{\frac {1}{n}}\left({\frac {2k_{B}T}{m}}\right)^{1/2}\mathbf {A} (\mathbf {v} )\cdot \nabla \ln T-{\frac {2}{n}}\mathbb {B(\mathbf {v} )\colon \nabla } \mathbf {v} _{0}\right]f^{(0)},}$

где — вектор и тензор , каждый из которых является решением линейного неоднородного интегрального уравнения , которое может быть решено явно с помощью полиномиального разложения. Здесь двоеточие обозначает двойное скалярное произведение , для тензоров , . ${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {v} )}$ ${\displaystyle \mathbb {B} (\mathbf {v} )}$ ${\displaystyle \mathbb {T} :\mathbb {T'} =\sum _{i}\sum _{j}T_{ij}T'_{ji}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {T'} }$

Прогнозы

В первом порядке по числу Кнудсена тепловой поток подчиняется закону теплопроводности Фурье , ^[7] ${\displaystyle \mathbf {q} ={\frac {m}{2}}\int f\mathbf {v} ^{2}\mathbf {v} \,d\mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {q} =-\lambda \nabla T,}$

а тензор потока импульса — это тензор ньютоновской жидкости , ^[7] ${\displaystyle \mathbf {\sigma } =m\int (\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0})(\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0})^{\mathsf {T}}f\,\mathrm {d} \mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {\sigma } =p\mathbb {I} -\mu \left(\nabla \mathbf {v_{0}} +\nabla \mathbf {v_{0}} ^{T}\right)+{\frac {2}{3}}\mu (\nabla \cdot \mathbf {v_{0}} )\mathbb {I} ,}$

с тензором идентичности. Здесь и — теплопроводность и вязкость. Их можно явно рассчитать в терминах молекулярных параметров, решив линейное интегральное уравнение; в таблице ниже суммированы результаты для нескольких важных молекулярных моделей ( — масса молекулы, — постоянная Больцмана). ^[8] ${\displaystyle \mathbb {I} }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k_{B}}$

С этими результатами легко получить уравнения Навье–Стокса. Взятие моментов скорости уравнения Больцмана приводит к точным уравнениям баланса для гидродинамических полей , и : ${\displaystyle n(\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle T(\mathbf {r} ,t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial n}{\partial t}}+\nabla \cdot \left(n\mathbf {v} _{0}\right)&=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} _{0}}{\partial t}}+\mathbf {v} _{0}\cdot \nabla \mathbf {v} _{0}-{\frac {\mathbf {F} }{m}}+{\frac {1}{n}}\nabla \cdot \mathbf {\sigma } &=0\\{\frac {\partial T}{\partial t}}+\mathbf {v} _{0}\cdot \nabla T+{\frac {2}{3k_{B}n}}\left(\mathbf {\sigma :} \nabla \mathbf {v} _{0}+\nabla \cdot \mathbf {q} \right)&=0.\end{aligned}}}$

Как и в предыдущем разделе, двоеточие обозначает двойное скалярное произведение , . Подставляя выражения Чепмена–Энскога вместо и , приходим к уравнениям Навье–Стокса. ${\displaystyle \mathbb {T} :\mathbb {T'} =\sum _{i}\sum _{j}T_{ij}T'_{ji}}$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle \sigma }$

Сравнение с экспериментом

Важным предсказанием теории Чепмена–Энскога является то, что вязкость, , не зависит от плотности (это можно увидеть для каждой молекулярной модели в таблице 1, но на самом деле она не зависит от модели). Этот контринтуитивный результат восходит к Джеймсу Клерку Максвеллу , который вывел его в 1860 году на основе более элементарных кинетических аргументов. ^[11] Он хорошо проверен экспериментально для газов при обычных плотностях. ${\displaystyle \mu }$

С другой стороны, теория предсказывает, что зависит от температуры. Для жестких эластичных сфер предсказанное масштабирование равно , в то время как другие модели обычно показывают большую вариацию с температурой. Например, для молекул, отталкивающихся друг от друга с силой, предсказанное масштабирование равно , где . Взятие , соответствующего , показывает разумное согласие с экспериментально наблюдаемым масштабированием для гелия. Для более сложных газов согласие не такое хорошее, скорее всего, из-за пренебрежения силами притяжения. ^[13] Действительно, модель Леннарда-Джонса , которая действительно включает притяжения, может быть приведена в более близкое согласие с экспериментом (хотя и ценой более непрозрачной зависимости; см. запись Леннарда-Джонса в таблице 1). ^[14] Для лучшего согласия с экспериментальными данными, чем то, которое было получено с помощью модели Леннарда-Джонса , был использован более гибкий потенциал Ми , ^[15] дополнительная гибкость этого потенциала позволяет точно предсказывать транспортные свойства смесей различных сферически симметричных молекул. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu \propto T^{1/2}}$ ${\displaystyle \propto r^{-\nu }}$ ${\displaystyle \mu \propto T^{s}}$ ${\displaystyle s=1/2+2/(\nu -1)}$ ${\displaystyle s=0.668}$ ${\displaystyle \nu \approx 12.9}$ ${\displaystyle T}$

Теория Чепмена–Энскога также предсказывает простую связь между теплопроводностью, , и вязкостью, , в виде , где — удельная теплоемкость при постоянном объеме, а — чисто численный фактор. Для сферически симметричных молекул его значение, как предсказывают, будет очень близко к слегка зависящим от модели образом. Например, жесткие упругие сферы имеют , а молекулы с отталкивающей силой имеют (последнее отклонение игнорируется в таблице 1). Особый случай молекул Максвелла (сила отталкивания ) имеет точно. ^[16] Поскольку , , и можно измерить непосредственно в экспериментах, простой экспериментальной проверкой теории Чепмена–Энскога является измерение для сферически симметричных благородных газов . Таблица 2 показывает, что существует разумное согласие между теорией и экспериментом. ^[12] ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda =f\mu c_{v}}$ ${\displaystyle c_{v}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 2.5}$ ${\displaystyle f\approx 2.522}$ ${\displaystyle \propto r^{-13}}$ ${\displaystyle f\approx 2.511}$ ${\displaystyle \propto r^{-5}}$ ${\displaystyle f=2.5}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle c_{v}}$ ${\displaystyle f}$

Расширения

Основные принципы теории Чепмена-Энскога могут быть распространены на более разнообразные физические модели, включая газовые смеси и молекулы с внутренними степенями свободы. В режиме высокой плотности теория может быть адаптирована для учета столкновительного переноса импульса и энергии, т. е. переноса по диаметру молекулы во время столкновения, а не по среднему свободному пробегу ( между столкновениями). Включение этого механизма предсказывает зависимость вязкости от плотности при достаточно высокой плотности, что также наблюдается экспериментально. Получение поправок, используемых для учета переноса во время столкновения для мягких молекул (т. е. молекул Леннарда-Джонса или Ми ), в целом нетривиально, но был достигнут успех в применении теории возмущений Баркера-Хендерсона для точного описания этих эффектов вплоть до критической плотности различных смесей жидкостей. ^[15]

Можно также провести теорию до более высокого порядка по числу Кнудсена. В частности, вклад второго порядка был вычислен Бернеттом. ^[17] Однако в общих обстоятельствах эти поправки более высокого порядка могут не дать надежных улучшений теории первого порядка из-за того, что разложение Чепмена–Энскога не всегда сходится. ^[18] (С другой стороны, считается, что разложение является по крайней мере асимптотическим к решениям уравнения Больцмана, и в этом случае усечение в более низком порядке все еще дает точные результаты.) ^[19] Даже если поправки более высокого порядка действительно обеспечивают улучшение в данной системе, интерпретация соответствующих гидродинамических уравнений все еще обсуждается. ^[20] ${\displaystyle f^{(2)}}$

Пересмотренная теория Энскога

Расширение теории Чепмена-Энскога для многокомпонентных смесей до повышенных плотностей, в частности, плотностей, при которых коволюм смеси не является пренебрежимо малым, было выполнено в серии работ Э. Г. Д. Коэна и других, ^{[21] [22] [ 23] [24] [25]} и было названо Пересмотренной теорией Энскога (РЭТ). Успешное выведение РЭТ последовало за несколькими предыдущими попытками, но которые дали результаты, которые, как было показано, не согласуются с необратимой термодинамикой . Отправной точкой для разработки РЭТ является модифицированная форма уравнения Больцмана для функции распределения скоростей -частиц, ${\displaystyle s}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathrm {v} _{i}\cdot {\frac {\partial }{\partial \mathrm {r} }}+{\frac {\mathrm {F} _{i}}{m_{i}}}\cdot {\frac {\partial }{\partial \mathrm {v} _{i}}}\right)f_{i}=\sum _{j}S_{ij}(f_{i},f_{j})}$

где - скорость частиц вида , в положении и времени , - масса частицы, - внешняя сила, и ${\displaystyle \mathrm {v_{i}} (\mathrm {r} ,t)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathrm {r} }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle \mathrm {F} _{i}}$

${\displaystyle S_{ij}(f_{i},f_{j})=\iiint \left[g_{ij}(\sigma _{ij}\mathrm {k} )f_{i}'(\mathrm {r} )f_{j}'(\mathrm {r} +\sigma _{ij}\mathrm {k} )-g_{ij}(-\sigma _{ij}\mathrm {k} )f_{i}(\mathrm {r} )f_{j}(\mathrm {r} -\sigma _{ij}\mathrm {k} )\right]d\tau }$

Отличие этого уравнения от классической теории Чепмена-Энскога заключается в операторе потока , в котором распределение скоростей двух частиц оценивается в разных точках пространства, разделенных , где — единичный вектор вдоль линии, соединяющей центры масс двух частиц. Другое существенное отличие возникает из-за введения факторов , которые представляют повышенную вероятность столкновений из-за исключенного объема. Классические уравнения Чепмена-Энскога восстанавливаются путем установки и . ${\displaystyle S_{ij}}$ ${\displaystyle \sigma _{ij}\mathrm {k} }$ ${\displaystyle \mathrm {k} }$ ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle \sigma _{ij}=0}$ ${\displaystyle g_{ij}(\sigma _{ij}\mathrm {k} )=1}$

Важным моментом для успеха RET является выбор факторов , который интерпретируется как функция распределения пар, оцененная на контактном расстоянии . Важным фактором, который следует здесь отметить, является то, что для получения результатов, согласующихся с необратимой термодинамикой , следует рассматривать их как функционалы полей плотности, а не как функции локальной плотности. ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ ${\displaystyle g_{ij}}$

Результаты пересмотренной теории Энскога

Одним из первых результатов, полученных с помощью RET, который отличается от результатов классической теории Чепмена–Энскога, является уравнение состояния . В то время как из классической теории Чепмена–Энскога восстанавливается закон идеального газа, RET, разработанный для жестких упругих сфер, дает уравнение давления

${\displaystyle {\frac {p}{nkT}}=1+{\frac {2\pi n}{3}}\sum _{i}\sum _{j}x_{i}x_{j}\sigma _{ij}^{3}g_{ij}}$,

что согласуется с уравнением состояния Карнахана-Старлинга и сводится к закону идеального газа в пределе бесконечного разбавления (т.е. когда ) ${\displaystyle n\sum _{i}\sum _{j}x_{i}x_{j}\sigma _{ij}^{3}\ll 1}$

Для коэффициентов переноса : вязкости , теплопроводности , диффузии и термодиффузии , RET дает выражения, которые точно сводятся к тем, которые получены из классической теории Чепмена-Энскога в пределе бесконечного разбавления. Однако RET предсказывает зависимость теплопроводности от плотности , которая может быть выражена как

${\displaystyle \lambda =(1+n\alpha _{\lambda })\lambda _{0}+n^{2}T^{1/2}\lambda _{\sigma }}$

где и являются относительно слабыми функциями состава, температуры и плотности, а — теплопроводность, полученная из классической теории Чепмена-Энскога. ${\displaystyle \alpha _{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda _{\sigma }}$ ${\displaystyle \lambda _{0}}$

Аналогично полученное выражение для вязкости можно записать как

${\displaystyle \mu =(1+nT\alpha _{\mu })\mu _{0}+n^{2}T^{1/2}\mu _{\sigma }}$

с и слабыми функциями состава, температуры и плотности, а также значением, полученным из классической теории Чепмена-Энскога. ${\displaystyle \alpha _{\mu }}$ ${\displaystyle \mu _{\sigma }}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$

Для коэффициентов диффузии и коэффициентов термодиффузии картина несколько сложнее. Однако одним из главных преимуществ RET перед классической теорией Чепмена–Энскога является то, что предсказывается зависимость коэффициентов диффузии от термодинамических факторов, т. е. производных химических потенциалов по составу. Кроме того, RET не предсказывает строгой зависимости

${\displaystyle D\sim {\frac {1}{n}},\quad D_{T}\sim {\frac {1}{n}}}$

для всех плотностей, а скорее предсказывает, что коэффициенты будут уменьшаться медленнее с плотностью при высоких плотностях, что хорошо согласуется с экспериментами. Эти измененные зависимости плотности также приводят RET к предсказанию зависимости плотности коэффициента Соре ,

${\displaystyle S_{T}={\frac {D_{T}}{D}},\quad \left({\frac {\partial S_{T}}{\partial n}}\right)_{T}\neq 0}$,

в то время как классическая теория Чепмена–Энскога предсказывает, что коэффициент Соре, подобно вязкости и теплопроводности, не зависит от плотности.

Приложения

Хотя пересмотренная теория Энскога обеспечивает множество преимуществ по сравнению с классической теорией Чепмена–Энскога, это достигается ценой значительно более сложного практического применения. В то время как классическая теория Чепмена–Энскога может быть применена к произвольно сложным сферическим потенциалам, при условии достаточно точных и быстрых процедур интегрирования для оценки требуемых интегралов столкновений , пересмотренная теория Энскога, в дополнение к этому, требует знания контактного значения функции распределения пар.

Для смесей твердых сфер это значение может быть вычислено без больших трудностей, но для более сложных межмолекулярных потенциалов его получение обычно нетривиально. Однако был достигнут определенный успех в оценке контактного значения функции распределения пар для жидкостей Ми (состоящей из частиц, взаимодействующих через обобщенный потенциал Леннарда-Джонса ) и использовании этих оценок для предсказания транспортных свойств плотных газовых смесей и сверхкритических жидкостей. ^[15]

Применение RET к частицам, взаимодействующим посредством реалистичных потенциалов, также ставит вопрос об определении разумного «контактного диаметра» для мягких частиц. Хотя они однозначно определены для твердых сфер, до сих пор не существует общепринятого значения, которое следует использовать для контактного диаметра мягких частиц.

Смотрите также

• Явления переноса
• Кинетическая теория газов
• Уравнение Больцмана
• Уравнения Навье–Стокса
• Закон Фурье
• Ньютоновская жидкость

Примечания

1. Chapman, Сидней; Cowling, TG (1970), Математическая теория неоднородных газов (3-е изд.), Cambridge University Press
2. Балеску, Раду (1975), Равновесная и неравновесная статистическая механика , John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-04600-4
3. Черчиньяни, Карло (1975), Теория и применение уравнения Больцмана , Elsevier, стр. 78–79, ISBN 978-0-444-19450-3
4. Балеску, стр. 450
5. Балеску, стр. 451
6. Grad, Harold (1958), «Принципы кинетической теории газов», в Flügge, S. (ред.), Encyclopedia of Physics , т. XII, Springer-Verlag, стр. 205–294
7. Bird, R. Bryon; Armstrong, Robert C.; Hassager, Ole (1987), Динамика полимерных жидкостей, Том 1: Механика жидкости (2-е изд.), John Wiley & Sons, стр. 10–11
8. Чепмен и Коулинг, глава 10
9. Чапмен и Коулинг, стр. 172.
10. Чапмен и Коулинг, стр. 185
11. Максвелл, Джеймс (1860), "V. Иллюстрации динамической теории газов. — Часть I. О движениях и столкновениях совершенно упругих сфер", Philosophical Magazine , 19 (124): 19–32, doi :10.1080/14786446008642818
12. Chapman & Cowling стр. 249
13. Чепмен и Коулинг, стр. 230–232.
14. Чепмен и Коулинг, стр. 235–237.
15. Jervell, Vegard G.; Wilhelmsen, Øivind (2023-06-08). "Пересмотренная теория Энскога для жидкостей Ми: прогнозирование коэффициентов диффузии, коэффициентов термодиффузии, вязкостей и теплопроводностей". Журнал химической физики . 158 (22). doi :10.1063/5.0149865. ISSN  0021-9606.
16. Чепмен и Коулинг, стр. 247.
17. Бернетт, Д. (1936), «Распределение молекулярных скоростей и среднее движение в неоднородном газе», Труды Лондонского математического общества , 40 : 382, ​​doi :10.1112/plms/s2-40.1.382
18. Сантос, Андрес; Брей, Дж. Хавьер; Дафти, Джеймс У. (1986), «Расхождение расширения Чепмена–Энскога», Physical Review Letters , 56 (15): 1571–1574, Bibcode : 1986PhRvL..56.1571S, doi : 10.1103/PhysRevLett.56.1571, PMID  10032711
19. Grad, Harold (1963), "Асимптотическая теория уравнения Больцмана", Физика жидкостей , 6 (2): 147, Bibcode : 1963PhFl....6..147G, doi : 10.1063/1.1706716
20. Гарсия-Колин, Л. С.; Веласко, Р. М.; Урибе, Ф. Дж. (2008), «За пределами уравнений Навье–Стокса: гидродинамика Бернетта», Physics Reports , 465 (4): 149–189, Bibcode : 2008PhR...465..149G, doi : 10.1016/j.physrep.2008.04.010
21. Лопес де Аро, М.; Коэн, Э. Г. Д.; Кинкейд, Дж. М. (1983-03-01). «Теория Энскога для многокомпонентных смесей. I. Линейная теория переноса». Журнал химической физики . 78 (5): 2746–2759. doi :10.1063/1.444985. ISSN  0021-9606.
22. Кинкейд, Дж. М.; Лопес де Аро, М.; Коэн, Э. Г. Д. (1983-11-01). «Теория Энскога для многокомпонентных смесей. II. Взаимная диффузия». Журнал химической физики . 79 (9): 4509–4521. doi :10.1063/1.446388. ISSN  0021-9606.
23. Лопес де Аро, М.; Коэн, ЭГД (1984-01-01). «Теория Энскога для многокомпонентных смесей. III. Транспортные свойства плотных бинарных смесей с одним трассерным компонентом». Журнал химической физики . 80 (1): 408–415. doi :10.1063/1.446463. ISSN  0021-9606.
24. Кинкейд, Дж. М.; Коэн, Э. Г. Д.; Лопес де Аро, М. (1987-01-15). «Теория Энскога для многокомпонентных смесей. IV. Термодиффузия». Журнал химической физики . 86 (2): 963–975. doi :10.1063/1.452243. ISSN  0021-9606.
25. Ван Бейерен, Х.; Эрнст, МХ (март 1973). «Нелинейное уравнение Энскога-Больцмана». Physics Letters A. 43 ( 4): 367–368. doi :10.1016/0375-9601(73)90346-0.

Ссылки

Классическая монография на тему:

• Чепмен, Сидней; Коулинг, TG (1970), Математическая теория неоднородных газов (3-е изд.), Cambridge University Press

Содержит техническое введение в нормальные решения уравнения Больцмана:

• Град, Гарольд (1958), «Принципы кинетической теории газов», в Флюгге, С. (ред.), Энциклопедия физики , т. XII, Springer-Verlag, стр. 205–294