Теорема Вириала

Теорема статистической механики

В статистической механике теорема вириала дает общее уравнение, которое связывает среднюю по времени полную кинетическую энергию стабильной системы дискретных частиц, связанных консервативной силой (силами, характеризующимися исключительно своей работой), ^{[ сомнительно ]} с это полная потенциальная энергия системы. Математически теорема гласит :

$${\displaystyle \left\langle T\right\rangle =-{\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}{\bigl \langle }\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}{\bigr \rangle }}$$

TNF _kсилу,kr _kугловые скобкивириалvisлатинскогоРудольфом Клаузиусом^{. [1]}

Значение теоремы вириала состоит в том, что она позволяет рассчитывать среднюю полную кинетическую энергию даже для очень сложных систем, которые не поддаются точному решению, например тех, которые рассматриваются в статистической механике ; эта средняя полная кинетическая энергия связана с температурой системы теоремой равнораспределения . Однако теорема вириала не зависит от понятия температуры и справедлива даже для систем, не находящихся в тепловом равновесии . Теорему вириала обобщали различными способами, в первую очередь до тензорной формы.

Если сила между любыми двумя частицами системы возникает из-за потенциальной энергии V ( r ) = αr ⁿ , которая пропорциональна некоторой степени n расстояния между частицами r , теорема вириала принимает простую форму

$${\displaystyle 2\langle T\rangle =n\langle V_{\text{TOT}}\rangle .}$$

Таким образом, удвоенная средняя полная кинетическая энергия ⟨ T ⟩ равна n раз средней полной потенциальной энергии ⟨ V _TOT ⟩ . В то время как V ( r ) представляет собой потенциальную энергию между двумя частицами на расстоянии r , V _TOT представляет собой полную потенциальную энергию системы, т. е. сумму потенциальной энергии V ( r ) по всем парам частиц в системе. Типичным примером такой системы является звезда, удерживаемая собственной гравитацией, где n равно −1.

История

В 1870 году Рудольф Клаузиус прочитал лекцию «О механической теореме, применимой к теплу» Ассоциации естественных и медицинских наук Нижнего Рейна после 20-летнего изучения термодинамики. В лекции говорилось, что среднее значение живой системы равно ее вириалу или что средняя кинетическая энергия равна1/2средняя потенциальная энергия. Теорему вириала можно получить непосредственно из тождества Лагранжа ^{[ перемещенный ресурс? ]} применительно к классической гравитационной динамике, первоначальная форма которой была включена в «Очерк проблемы трех тел» Лагранжа, опубликованный в 1772 году. Обобщение Карлом Якоби тождества на N  тел и нынешнюю форму тождества Лапласа очень напоминает классическая теорема вириала. Однако интерпретации, приведшие к разработке уравнений, были очень разными, поскольку на момент развития статистическая динамика еще не объединила отдельные исследования термодинамики и классической динамики. ^[2] Позднее теорема была использована, популяризирована, обобщена и развита Джеймсом Клерком Максвеллом , лордом Рэлеем , Анри Пуанкаре , Субраманьяном Чандрасекхаром , Энрико Ферми , Полем Леду , Ричардом Бейдером и Юджином Паркером . Фриц Цвикки был первым, кто использовал теорему вириала для вывода о существовании невидимой материи, которая теперь называется темной материей . Ричард Бейдер показал, что распределение заряда всей системы можно разделить на ее кинетическую и потенциальную энергии, которые подчиняются теореме вириала. ^[3] В качестве еще одного примера многочисленных применений теорема вириала использовалась для вывода предела Чандрасекара стабильности звезд белых карликов .

Показательный частный случай

Рассмотрим N = 2 частицы одинаковой массы m , на которые действуют силы взаимного притяжения. Предположим, что частицы находятся в диаметрально противоположных точках круговой орбиты радиуса r . Скорости v ₁ ( t ) и v ₂ ( t ) = − v ₁ ( t ) , которые нормальны к силам F ₁ ( t ) и F ₂ ( t ) = − F ₁ ( t ) . Соответствующие величины фиксированы на v и F. Средняя кинетическая энергия системы в интервале времени от t ₁ до t ₂ равна

$${\displaystyle \langle T\rangle ={\frac {1}{t_{2}-t_{1}}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{k=1}^{N}{\frac {1}{2}}m_{k}\left|\mathbf {v} _{k}(t)\right|^{2}dt={\frac {1}{t_{2}-t_{1}}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\frac {1}{2}}m|\mathbf {v} _{1}(t)|^{2}+{\frac {1}{2}}m|\mathbf {v} _{2}(t)|^{2}\right)dt=mv^{2}.}$$

r ₁ ( t )r ₂ ( t ) = − r ₁ ( t )rF ₁ ( т ) ⋅ р ₁ ( т ) знак равно F ₂ ( т ) ⋅ р ₂ ( т ) = - Frцентростремительной силы F = mv ² / r

$${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}{\bigl \langle }\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}{\bigr \rangle }=-{\frac {1}{2}}(-Fr-Fr)=Fr={\frac {mv^{2}}{r}}\cdot r=mv^{2}=\langle T\rangle ,}$$

F ₁ ( t )F ₂ ( t )

Заявление и вывод

Хотя теорема вириала зависит от усреднения полной кинетической и потенциальной энергий, здесь усреднение откладывается до последнего шага.

Для набора из N точечных частиц скалярный момент инерции I относительно начала координат определяется уравнением

$${\displaystyle I=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left|\mathbf {r} _{k}\right|^{2}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}r_{k}^{2}}$$

m _kr _kk-р _к знак равно | р _к |G

$${\displaystyle G=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}}$$

p _kвектор импульса-^[4]G

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}{\frac {dI}{dt}}&={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\,{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=G\,.\end{aligned}}}$$

G

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dG}{dt}}&=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}+\sum _{k=1}^{N}{\frac {d\mathbf {p} _{k}}{dt}}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=2T+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\end{aligned}}}$$

m _kk-F _k =д п _к/дтTкинетическая энергияv _k =д р _к/дт

$${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}v_{k}^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}.}$$

Связь с потенциальной энергией между частицами

Полная сила F _k , действующая на частицу k , представляет собой сумму всех сил со стороны других частиц j в системе.

$${\displaystyle \mathbf {F} _{k}=\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{jk}}$$

F _jkjk

$${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=-{\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}\,.}$$

Поскольку ни одна частица не действует сама на себя (т. е. F _jj = 0 для 1 ≤ j ≤ N ), мы разделяем сумму на члены ниже и выше этой диагонали и складываем их попарно:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}&=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}\left(\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}+\mathbf {F} _{kj}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)\\&=\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}\left(\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}-\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)=\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}\mathbf {F} _{jk}\cdot \left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}\right)\end{aligned}}}$$

третий закон движения НьютонаF _jk = − F _kj

Часто бывает, что силы можно получить из потенциальной энергии V _jk , которая является функцией только расстояния r _jk между точечными частицами j и k . Поскольку сила представляет собой отрицательный градиент потенциальной энергии, мы имеем в этом случае

$${\displaystyle \mathbf {F} _{jk}=-\nabla _{\mathbf {r} _{k}}V_{jk}=-{\frac {dV_{jk}}{dr_{jk}}}\left({\frac {\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}}{r_{jk}}}\right),}$$

которая равна и противоположна F _kj = −∇ _{r j} V _kj = −∇ _{r j} V _jk , силе, приложенной частицей k к частице j , что может быть подтверждено явным расчетом. Следовательно,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}&=\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}\mathbf {F} _{jk}\cdot \left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}\right)\\&=-\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}{\frac {dV_{jk}}{dr_{jk}}}{\frac {|\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}|^{2}}{r_{jk}}}\\&=-\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}{\frac {dV_{jk}}{dr_{jk}}}r_{jk}.\end{aligned}}}$$

Таким образом, мы имеем

$${\displaystyle {\frac {dG}{dt}}=2T+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=2T-\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}{\frac {dV_{jk}}{dr_{jk}}}r_{jk}.}$$

Особый случай степенных сил

В обычном частном случае потенциальная энергия V между двумя частицами пропорциональна степени n их расстояния r _ij

$${\displaystyle V_{jk}=\alpha r_{jk}^{n},}$$

αn

$${\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}&={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}{\frac {dV_{jk}}{dr_{jk}}}r_{jk}\\&={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}n\alpha r_{jk}^{n-1}r_{jk}\\&={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}nV_{jk}={\frac {n}{2}}\,V_{\text{TOT}}\end{aligned}}}$$

V _TOT

$${\displaystyle V_{\text{TOT}}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}V_{jk}\,.}$$

Таким образом, мы имеем

$${\displaystyle {\frac {dG}{dt}}=2T+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=2T-nV_{\text{TOT}}\,.}$$

Для гравитирующих систем показатель степени n равен −1, что дает тождество Лагранжа.

$${\displaystyle {\frac {dG}{dt}}={\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}=2T+V_{\text{TOT}}}$$

Жозефом-Луи ЛагранжемКарлом Якоби

Усреднение времени

Среднее значение этой производной за определенный период времени τ определяется как

$${\displaystyle \left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }{\frac {dG}{dt}}\,dt={\frac {1}{\tau }}\int _{G(0)}^{G(\tau )}\,dG={\frac {G(\tau )-G(0)}{\tau }},}$$

$${\displaystyle \left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=2\left\langle T\right\rangle _{\tau }+\sum _{k=1}^{N}\left\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle _{\tau }.}$$

Теорема вириала утверждает , что если ⟨генеральный директор/дт⟩ _τ = 0 , тогда

$${\displaystyle 2\left\langle T\right\rangle _{\tau }=-\sum _{k=1}^{N}\left\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle _{\tau }.}$$

Существует множество причин, по которым среднее значение производной по времени может исчезнуть: ⟨генеральный директор/дт⟩ _{τ знак} равно 0 . Одна из часто упоминаемых причин применима к стабильно связанным системам, то есть к системам, которые навсегда остаются вместе и чьи параметры конечны. В этом случае скорости и координаты частиц системы имеют верхний и нижний пределы, так что ^{граница} G ограничена между двумя крайними значениями, G _min и G _max , а среднее значение стремится к нулю в пределе бесконечного τ :

$${\displaystyle \lim _{\tau \to \infty }\left|\left\langle {\frac {dG^{\mathrm {bound} }}{dt}}\right\rangle _{\tau }\right|=\lim _{\tau \to \infty }\left|{\frac {G(\tau )-G(0)}{\tau }}\right|\leq \lim _{\tau \to \infty }{\frac {G_{\max }-G_{\min }}{\tau }}=0.}$$

Даже если среднее значение производной G по времени примерно равно нулю, теорема вириала справедлива с той же степенью приближения.

Для степенных сил с показателем степени n справедливо общее уравнение:

$${\displaystyle \langle T\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle _{\tau }={\frac {n}{2}}\langle V_{\text{TOT}}\rangle _{\tau }.}$$

Для гравитационного притяжения n равно -1, а средняя кинетическая энергия равна половине средней отрицательной потенциальной энергии.

$${\displaystyle \langle T\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\langle V_{\text{TOT}}\rangle _{\tau }.}$$

Этот общий результат полезен для сложных гравитационных систем, таких как солнечные системы или галактики .

Простое применение теоремы вириала касается скоплений галактик . Если область космоса необычно полна галактик, можно с уверенностью предположить, что они были вместе в течение длительного времени, и можно применить теорему вириала. Измерения эффекта Доплера дают нижние границы их относительных скоростей, а теорема вириала дает нижнюю границу общей массы скопления, включая любую темную материю.

Если для рассматриваемой системы справедлива эргодическая гипотеза , то усреднение по времени проводить не обязательно; Также можно взять среднее по ансамблю с эквивалентными результатами .

В квантовой механике

Хотя первоначально теорема вириала была выведена для классической механики, она также справедлива и для квантовой механики, как впервые было показано Фоком ^[5] с использованием теоремы Эренфеста .

Оценить коммутатор гамильтониана _

$${\displaystyle H=V{\bigl (}\{X_{i}\}{\bigr )}+\sum _{n}{\frac {P_{n}^{2}}{2m}}}$$

X _n

$${\displaystyle P_{n}=-i\hbar {\frac {d}{dX_{n}}}}$$

n

$${\displaystyle [H,X_{n}P_{n}]=X_{n}[H,P_{n}]+[H,X_{n}]P_{n}=i\hbar X_{n}{\frac {dV}{dX_{n}}}-i\hbar {\frac {P_{n}^{2}}{m}}~.}$$

Суммируя по всем частицам, находим

$${\displaystyle Q=\sum _{n}X_{n}P_{n}}$$

$${\displaystyle {\frac {i}{\hbar }}[H,Q]=2T-\sum _{n}X_{n}{\frac {dV}{dX_{n}}}}$$

${\textstyle T=\sum _{n}{\frac {P_{n}^{2}}{2m}}}$dQ/дтГейзенберга⟨dQ/дт⟩ квантовой теореме вириала

$${\displaystyle 2\langle T\rangle =\sum _{n}\left\langle X_{n}{\frac {dV}{dX_{n}}}\right\rangle ~.}$$

Личность Похожаева

В области квантовой механики существует еще одна форма теоремы вириала, применимая к локализованным решениям стационарного нелинейного уравнения Шредингера или уравнения Клейна–Гордона , — это тождество Похожаева , ^[6] также известное как теорема Деррика .

Позвольте быть непрерывным и вещественным, с . ${\displaystyle g(s)}$ ${\displaystyle g(0)=0}$

Обозначим . Позволять ${\textstyle G(s)=\int _{0}^{s}g(t)\,dt}$

$${\displaystyle u\in L_{\mathrm {loc} }^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}),\qquad \nabla u\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n}),\qquad G(u(\cdot ))\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n}),\qquad n\in \mathbb {N} ,}$$

$${\displaystyle -\nabla ^{2}u=g(u),}$$

распределений ${\displaystyle u}$

$${\displaystyle \left({\frac {n-2}{2}}\right)\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u(x)|^{2}\,dx=n\int _{\mathbb {R} ^{n}}G(u(x))\,dx.}$$

В специальной теории относительности

Для одиночной частицы в специальной теории относительности это не тот случай, когда T =1/2п · в . Вместо этого верно, что T = ( γ − 1) mc ² , где γ — фактор Лоренца .

$${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$$

β =в/с

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} &={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\beta }}\gamma mc\cdot {\boldsymbol {\beta }}c\\[5pt]&={\frac {1}{2}}\gamma \beta ^{2}mc^{2}\\[5pt]&=\left({\frac {\gamma \beta ^{2}}{2(\gamma -1)}}\right)T\,.\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \left({\frac {1+{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}{2}}\right)T\qquad {\text{or}}\qquad \left({\frac {\gamma +1}{2\gamma }}\right)T}$$

третий закон движения НьютонаF _jk = − F _kjN

$${\displaystyle {\frac {n}{2}}\left\langle V_{\mathrm {TOT} }\right\rangle _{\tau }=\left\langle \sum _{k=1}^{N}\left({\frac {1+{\sqrt {1-\beta _{k}^{2}}}}{2}}\right)T_{k}\right\rangle _{\tau }=\left\langle \sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\gamma _{k}+1}{2\gamma _{k}}}\right)T_{k}\right\rangle _{\tau }\,.}$$

$${\displaystyle {\frac {2\langle T_{\mathrm {TOT} }\rangle }{n\langle V_{\mathrm {TOT} }\rangle }}\in \left[1,2\right]\,,}$$

Примеры

Теорема вириала имеет особенно простую форму для периодического движения. Его можно использовать для выполнения пертурбативных вычислений для нелинейных осцилляторов. ^[7]

Его также можно использовать для изучения движения в центральном потенциале . ^[4] Если центральный потенциал имеет форму , теорема вириала упрощается до . ^{[ нужна ссылка ]} В частности, для гравитационного или электростатического ( кулоновского ) притяжения . ${\displaystyle U\propto r^{n}}$ ${\displaystyle \langle T\rangle ={\frac {n+1}{2}}\langle U\rangle }$ ${\displaystyle \langle T\rangle =-{\frac {1}{2}}\langle U\rangle }$

Закон идеального газа

Рассмотрим сосуд, наполненный идеальным газом, состоящим из точечных масс. Сила, приложенная к точечным массам, является отрицательной силой, приложенной к стенке контейнера, которая имеет форму , где – единичный вектор нормали, направленный наружу. Тогда теорема вириала утверждает ${\displaystyle d\mathbf {F} =-\mathbf {\hat {n}} PdA}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

$${\displaystyle \langle T\rangle =-{\frac {1}{2}}{\Bigg \langle }\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}{\Bigg \rangle }={\frac {P}{2}}\int \mathbf {\hat {n}} \cdot \mathbf {r} dA}$$

теореме о расходимости^[8] ${\textstyle \int \mathbf {\hat {n}} \cdot \mathbf {r} dA=\int \nabla \cdot \mathbf {r} dV=3\int dV=3V}$ ${\textstyle \langle T\rangle =N\langle {\frac {1}{2}}mv^{2}\rangle =N\cdot {\frac {3}{2}}kT}$ ${\displaystyle PV=NkT}$

Темная материя

В 1933 году Фриц Цвикки применил теорему вириала для оценки массы скопления Комы и обнаружил расхождение в массе около 450, которое он объяснил «темной материей». ^[9] Он уточнил анализ в 1937 году, обнаружив расхождение около 500. ^{[10] [11]}

Теоретический анализ

Он аппроксимировал скопление Комы как сферический «газ» звезд примерно одинаковой массы , что дает . Полная гравитационная потенциальная энергия скопления равна , давая . Предполагая, что движение звезд одинаково в течение достаточно длительного времени ( эргодичность ), . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m}$ ${\textstyle \langle T\rangle ={\frac {1}{2}}Nm\langle v^{2}\rangle }$ ${\displaystyle U=-\sum _{i<j}{\frac {Gm^{2}}{r_{i,j}}}}$ ${\textstyle \langle U\rangle =-Gm^{2}\sum _{i<j}\langle {1}/{r_{i,j}}\rangle }$ ${\textstyle \langle U\rangle =-{\frac {1}{2}}N^{2}Gm^{2}\langle {1}/{r}\rangle }$

Цвикки оценил гравитационный потенциал однородного шара постоянной плотности, дав . ${\displaystyle \langle U\rangle }$ ${\textstyle \langle U\rangle =-{\frac {3}{5}}{\frac {GN^{2}m^{2}}{R}}}$

Итак, по теореме вириала полная масса скопления равна

$${\displaystyle Nm={\frac {5\langle v^{2}\rangle }{3G\langle {\frac {1}{r}}\rangle }}}$$

Данные

Цвикки ^[9] подсчитал, что в скоплении есть галактики, каждая из которых имеет наблюдаемую звездную массу (по предположению Хаббла), а скопление имеет радиус . Он также измерил лучевые скорости галактик по доплеровскому сдвигу в галактических спектрах и составил 0,000 . Предполагая равнораспределение кинетической энергии, . ${\displaystyle _{1933}}$ ${\displaystyle N=800}$ ${\displaystyle m=10^{9}M_{\odot }}$ ${\displaystyle R=10^{6}{\text{ly}}}$ ${\displaystyle \langle v_{r}^{2}\rangle =(1000{\text{km/s}})^{2}}$ ${\displaystyle \langle v^{2}\rangle =3\langle v_{r}^{2}\rangle }$

По теореме вириала общая масса скопления должна составлять . Однако наблюдаемая масса равна , что означает, что общая масса в 450 раз превышает наблюдаемую массу. ${\displaystyle {\frac {5R\langle v_{r}^{2}\rangle }{G}}\approx 3.6\times 10^{14}M_{\odot }}$ ${\displaystyle Nm=8\times 10^{11}M_{\odot }}$

Обобщения

Лорд Рэлей опубликовал обобщение теоремы вириала в 1900 году ^[12] , которое было частично переиздано в 1903 году. ^[13] Анри Пуанкаре доказал и применил форму теоремы вириала в 1911 году к проблеме формирования Солнечной системы из прото- звездное облако (тогда известное как космогония). ^[14] Вариационная форма теоремы вириала была разработана в 1945 году Леду. ^[15] Тензорная форма теоремы вириала была развита Паркером, [ ^16] Чандрасекаром ^[17] и Ферми. ^[18] Следующее обобщение теоремы вириала было установлено Поллардом в 1964 году для случая закона обратных квадратов: ^{[19] [20] [ проверка не удалась ]}

$${\displaystyle 2\lim _{\tau \to +\infty }\langle T\rangle _{\tau }=\lim _{\tau \to +\infty }\langle U\rangle _{\tau }\qquad {\text{if and only if}}\quad \lim _{\tau \to +\infty }{\tau }^{-2}I(\tau )=0\,.}$$

условие . ^[21]

Включение электромагнитных полей

Теорему вириала можно расширить, включив в нее электрические и магнитные поля. Результат ^[22]

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}+\int _{V}x_{k}{\frac {\partial G_{k}}{\partial t}}\,d^{3}r=2(T+U)+W^{\mathrm {E} }+W^{\mathrm {M} }-\int x_{k}(p_{ik}+T_{ik})\,dS_{i},}$$

где I — момент инерции , G — плотность импульса электромагнитного поля , Т — кинетическая энергия «жидкости», U — случайная «тепловая» энергия частиц, W ^E и WM ^— электрическая и содержание магнитной энергии рассматриваемого объема. Наконец, p _ik — тензор давления жидкости, выраженный в локальной подвижной системе координат

$${\displaystyle p_{ik}=\Sigma n^{\sigma }m^{\sigma }\langle v_{i}v_{k}\rangle ^{\sigma }-V_{i}V_{k}\Sigma m^{\sigma }n^{\sigma },}$$

T ik _— тензор электромагнитных напряжений ,

$${\displaystyle T_{ik}=\left({\frac {\varepsilon _{0}E^{2}}{2}}+{\frac {B^{2}}{2\mu _{0}}}\right)\delta _{ik}-\left(\varepsilon _{0}E_{i}E_{k}+{\frac {B_{i}B_{k}}{\mu _{0}}}\right).}$$

Плазмоид — это конечная конфигурация магнитных полей и плазмы. С помощью теоремы вириала легко увидеть, что любая такая конфигурация будет расширяться, если ее не удерживают внешние силы. В конечной конфигурации без несущих стенок или магнитных катушек поверхностный интеграл будет равен нулю. Поскольку все остальные члены в правой части положительны, ускорение момента инерции также будет положительным. Также легко оценить время расширения τ . Если общая масса M ограничена радиусом R , то момент инерции равен примерно MR ² , а левая часть теоремы вириала равнаМР ²/τ ². Слагаемые в правой части в сумме составляют примерно pR ³ , где p — большее из давления плазмы или магнитного давления. Приравнивая эти два члена и решая относительно τ , мы находим

$${\displaystyle \tau \,\sim {\frac {R}{c_{\mathrm {s} }}},}$$

где c _s — скорость ионно -звуковой волны (или альвеновской волны , если магнитное давление выше давления плазмы). Таким образом, ожидается, что время жизни плазмоида будет порядка акустического (или альфвеновского) времени прохождения.

Релятивистская единая система

В случае, когда в физической системе учитываются поле давления, электромагнитное и гравитационное поля, а также поле ускорения частиц, теорема вириала записывается в релятивистской форме следующим образом: ^[23]

$${\displaystyle \left\langle W_{k}\right\rangle \approx -0.6\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle ,}$$

где величина W _k ≈ γ _c T превышает кинетическую энергию частиц T в раз, равный лоренц-фактору γ _c частиц в центре системы. В нормальных условиях можно считать, что γ _c ≈ 1 , тогда мы видим, что в теореме вириала кинетическая энергия связана с потенциальной энергией не коэффициентом1/2, а скорее коэффициентом, близким к 0,6. Отличие от классического случая возникает за счет учета поля давления и поля ускорения частиц внутри системы, при этом производная скаляра G не равна нулю и ее следует рассматривать как материальную производную .

Анализ интегральной теоремы обобщенного вириала позволяет на основе теории поля найти формулу для среднеквадратичной скорости типичных частиц системы без использования понятия температуры: [24 ^]

$${\displaystyle v_{\mathrm {rms} }=c{\sqrt {1-{\frac {4\pi \eta \rho _{0}r^{2}}{c^{2}\gamma _{c}^{2}\sin ^{2}\left({\frac {r}{c}}{\sqrt {4\pi \eta \rho _{0}}}\right)}}}},}$$

где – скорость света, – константа поля ускорений, – массовая плотность частиц, – текущий радиус. ${\displaystyle ~c}$ ${\displaystyle ~\eta }$ ${\displaystyle ~\rho _{0}}$ ${\displaystyle ~r}$

В отличие от теоремы вириала для частиц, для электромагнитного поля теорема вириала записывается следующим образом: ^[25]

$${\displaystyle ~E_{kf}+2W_{f}=0,}$$

${\textstyle ~E_{kf}=\int A_{\alpha }j^{\alpha }{\sqrt {-g}}\,dx^{1}\,dx^{2}\,dx^{3}}$ ${\displaystyle j^{\alpha }}$

$${\displaystyle ~W_{f}={\frac {1}{4\mu _{0}}}\int F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\,dx^{1}\,dx^{2}\,dx^{3}}$$

В астрофизике

Теорема вириала часто применяется в астрофизике, особенно в связи гравитационной потенциальной энергии системы с ее кинетической или тепловой энергией . Некоторые ^{общие вириальные отношения}

$${\displaystyle {\frac {3}{5}}{\frac {GM}{R}}={\frac {3}{2}}{\frac {k_{\mathrm {B} }T}{m_{\mathrm {p} }}}={\frac {1}{2}}v^{2}}$$

M,vT.постоянная Ньютона Gпостоянная Больцмана k _Bm _p3/51/2

Галактики и космология (вириальная масса и радиус)

В астрономии масса и размер галактики (или общая сверхплотность) часто определяются с точки зрения « вириальной массы » и « вириального радиуса » соответственно. Поскольку галактики и сверхплотности в непрерывных жидкостях могут быть сильно расширены (даже до бесконечности в некоторых моделях, таких как изотермическая сфера ), может быть трудно определить конкретные, конечные меры их массы и размера. Теорема вириала и связанные с ней концепции часто предоставляют удобные средства для количественной оценки этих свойств.

В динамике галактик масса галактики часто определяется путем измерения скорости вращения ее газа и звезд, исходя из круговых кеплеровских орбит . Используя теорему вириала, дисперсию скорости σ можно использовать аналогичным образом. Принимая кинетическую энергию (на одну частицу) системы как T =1/2т ² ~3/2σ ² , а потенциальная энергия (на частицу) как U ~3/5 ГМ/рмы можем написать

$${\displaystyle {\frac {GM}{R}}\approx \sigma ^{2}.}$$

Здесь — радиус, на котором измеряется дисперсия скорости, а M — масса внутри этого радиуса. Вириальная масса и радиус обычно определяются для радиуса, на котором дисперсия скоростей максимальна, т.е. ${\displaystyle R}$

$${\displaystyle {\frac {GM_{\text{vir}}}{R_{\text{vir}}}}\approx \sigma _{\max }^{2}.}$$

Поскольку были сделаны многочисленные приближения, в дополнение к приблизительному характеру этих определений, константы пропорциональности порядка единицы часто опускаются (как в приведенных выше уравнениях). Таким образом, эти отношения точны только в смысле порядка величины или при их самосогласованном использовании.

Альтернативное определение вириальной массы и радиуса часто используется в космологии, где оно используется для обозначения радиуса сферы с центром в галактике или скоплении галактик , внутри которой сохраняется вириальное равновесие. Поскольку этот радиус трудно определить путем наблюдений, его часто аппроксимируют радиусом, в пределах которого средняя плотность в заданный раз превышает критическую плотность.

$${\displaystyle \rho _{\text{crit}}={\frac {3H^{2}}{8\pi G}}}$$

Hпараметр ХабблаGгравитационная постояннаяВириальная масса

$${\displaystyle r_{\text{vir}}\approx r_{200}=r,\qquad \rho =200\cdot \rho _{\text{crit}}.}$$

$${\displaystyle M_{\text{vir}}\approx M_{200}={\frac {4}{3}}\pi r_{200}^{3}\cdot 200\rho _{\text{crit}}.}$$

Звезды

Теорема вириала применима к ядрам звезд, устанавливая связь между гравитационной потенциальной энергией и тепловой кинетической энергией (т.е. температурой). Поскольку звезды главной последовательности превращают водород в гелий в своих ядрах, средняя молекулярная масса ядра увеличивается, и ему приходится сжиматься, чтобы поддерживать давление, достаточное для поддержания собственного веса. Это сокращение уменьшает его потенциальную энергию и, как утверждает теорема вириала, увеличивает его тепловую энергию. Температура ядра увеличивается даже при потере энергии, что фактически приводит к отрицательной удельной теплоемкости . ^[26] Это продолжается и за пределами главной последовательности, если только ядро ​​не вырождается, поскольку это приводит к тому, что давление становится независимым от температуры, и вириальное соотношение с n , равным -1, больше не выполняется. ^[27]

Смотрите также

• Вириальный коэффициент
• Вириальный стресс
• Вириальная масса
• Тензор Чандрасекара
• Вириальные уравнения Чандрасекара
• Теорема Деррика
• Теорема о равнораспределении
• Теорема Эренфеста
• Личность Похожаева

Рекомендации

1. Клаузиус, RJE (1870). «О механической теореме, применимой к теплу». Философский журнал . Серия 4. 40 (265): 122–127. дои : 10.1080/14786447008640370.
2. Коллинз, GW (1978). "Введение". Теорема Вириала в звездной астрофизике. Пачарт Пресс. Бибкод :1978вца.книга.....С. ISBN 978-0-912918-13-6.
3. Бадер, RFW ; Беддалл, премьер-министр (1972). «Зависимость вириального поля для распределения молекулярных зарядов и пространственного разделения молекулярных свойств». Журнал химической физики . 56 (7): 3320–3329. Бибкод : 1972JChPh..56.3320B. дои : 10.1063/1.1677699.
4. Гольдштейн, Герберт (1980). Классическая механика (2-е изд.). Аддисон-Уэсли. ISBN 0-201-02918-9. ОСЛК  5675073.
5. Фок, В. (1930). «Bemerkung zum Virialsatz». Zeitschrift für Physik A. 63 (11): 855–858. Бибкод : 1930ZPhy...63..855F. дои : 10.1007/BF01339281. S2CID  122502103.
6. Берестицкий, Х.; Львов, П. -Л. (1983). «Нелинейные уравнения скалярного поля, существование основного состояния». Арх. Рациональный механизм. Анал . 82 (4): 313–345. Бибкод : 1983ArRMA..82..313B. дои : 10.1007/BF00250555. S2CID  123081616.
7. Сивардьер, Жан (декабрь 1986 г.). «Использование теоремы вириала». Американский журнал физики . 54 (12): 1100–1103. Бибкод : 1986AmJPh..54.1100S. дои : 10.1119/1.14723. ISSN  0002-9505.
8. «2.11: Теорема Вириала». Свободные тексты по физике . 22 марта 2018 г. Проверено 7 июня 2023 г.
9. Цвикки, Фриц (1933). Перевод Хайнца Андернаха. «Красное смещение внегалактических туманностей». Гельветика Физика Акта . 6 : 110–127. ISSN  0018-0238.
10. Цвикки, Ф. (октябрь 1937 г.). «О массах туманностей и скоплений туманностей». Астрофизический журнал . 86 : 217. Бибкод : 1937ApJ....86..217Z. дои : 10.1086/143864 . ISSN  0004-637X.
11. Бертоне, Джанфранко; Хупер, Дэн (15 октября 2018 г.). «История темной материи». Обзоры современной физики . 90 (4): 045002. arXiv : 1605.04909 . Бибкод : 2018RvMP...90d5002B. doi : 10.1103/RevModPhys.90.045002. ISSN  0034-6861. S2CID  18596513.
12. Лорд Рэлей (август 1900 г.). «XV. Об одной теореме, аналогичной теореме вириала». Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал . 5. 50 (303): 210–213. дои : 10.1080/14786440009463903.
13. Лорд Рэлей (1903). Научные статьи: 1892–1901 гг. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. 491–493.
14. Пуанкаре, Анри (1911). Leçons sur les hispotèses космогонические [Лекции по теориям космогонии] . Париж: Германн. стр. 90–91 и след.
15. Леду, П. (1945). «О радиальной пульсации газообразных звезд». Астрофизический журнал . 102 : 143–153. Бибкод : 1945ApJ...102..143L. дои : 10.1086/144747 .
16. Паркер, EN (1954). «Тензорные вириальные уравнения». Физический обзор . 96 (6): 1686–1689. Бибкод : 1954PhRv...96.1686P. doi :10.1103/PhysRev.96.1686.
17. Чандрасекхар, С ; Лебовиц Н.Р. (1962). «Потенциалы и суперпотенциалы однородных эллипсоидов». Астрофиз. Дж . 136 : 1037–1047. Бибкод : 1962ApJ...136.1037C. дои : 10.1086/147456 .
18. Чандрасекхар, С ; Ферми Э (1953). «Проблемы гравитационной устойчивости в присутствии магнитного поля». Астрофиз. Дж . 118 : 116. Бибкод : 1953ApJ...118..116C. дои : 10.1086/145732.
19. Поллард, Х. (1964). «Точная форма теоремы вириала». Бык. амер. Математика. Соц . ЛХХ (5): 703–705. дои : 10.1090/S0002-9904-1964-11175-7 .
20. Поллард, Гарри (1966). Математическое введение в небесную механику . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: ISBN Prentice – Hall, Inc. 978-0-13-561068-8.
21. Колар, М.; О'Ши, Сан-Франциско (июль 1996 г.). «Высокотемпературное приближение квантового метода Монте-Карло с интегралом по траекториям». Журнал физики A: Математический и общий . 29 (13): 3471–3494. Бибкод : 1996JPhA...29.3471K. дои : 10.1088/0305-4470/29.13.018.
22. Шмидт, Джордж (1979). Физика высокотемпературной плазмы (Второе изд.). Академическая пресса. п. 72.
23. Федосин, С.Г. (2016). «Теорема вириала и кинетическая энергия частиц макроскопической системы в общей концепции поля». Механика сплошной среды и термодинамика . 29 (2): 361–371. arXiv : 1801.06453 . Бибкод : 2017CMT....29..361F. дои : 10.1007/s00161-016-0536-8. S2CID  53692146.
24. Федосин, Сергей Г. (24 сентября 2018 г.). «Интегральная теорема обобщенного вириала в релятивистской однородной модели». Механика сплошной среды и термодинамика . 31 (3): 627–638. arXiv : 1912.08683 . Бибкод : 2019CMT....31..627F. дои : 10.1007/s00161-018-0715-x. ISSN  1432-0959. S2CID  125180719.
25. Федосин, С.Г. (2019). «Интегральная теорема энергии поля». Научный журнал Университета Гази . 32 (2): 686–703. дои : 10.5281/zenodo.3252783 .
26. БАЙДЬЯНАТХ БАСУ; ТАНУКА ЧАТТОПАДХАЙ; СУДХИНДРА НАТХ БИСВАС (1 января 2010 г.). ВВЕДЕНИЕ В АСТРОФИЗИКУ. PHI Learning Pvt. Ltd., стр. 365–. ISBN 978-81-203-4071-8.
27. Уильям К. Роуз (16 апреля 1998 г.). Передовая звездная астрофизика. Издательство Кембриджского университета. стр. 242–. ISBN 978-0-521-58833-1.

дальнейшее чтение

• Гольдштейн, Х. (1980). Классическая механика (2-е изд.). Аддисон-Уэсли. ISBN 978-0-201-02918-5.
• Коллинз, GW (1978). Теорема Вириала в звездной астрофизике. Пачарт Пресс. Бибкод :1978вца.книга.....С. ISBN 978-0-912918-13-6.
• i̇Пекоглу, Ю.; Тургут, С. (2016). «Элементарный вывод квантовой теоремы вириала из теоремы Хеллмана – Фейнмана». Европейский журнал физики . 37 (4): 045405. Бибкод : 2016EJPh...37d5405I. дои : 10.1088/0143-0807/37/4/045405. S2CID  125030620.

Внешние ссылки

• Теорема Вириала на MathPages
• Гравитационное сжатие и звездообразование, Университет штата Джорджия