Среднее расстояние между частицами

Физическое количество

Среднее расстояние между частицами (или среднее расстояние между частицами) — это среднее расстояние между микроскопическими частицами (обычно атомами или молекулами ) в макроскопическом теле.

Двусмысленность

Из самых общих соображений среднее расстояние между частицами пропорционально размеру объема, приходящегося на частицу , т. е. ${\displaystyle 1/n}$

${\displaystyle \langle r\rangle \sim 1/n^{1/3},}$

где плотность частиц . Однако, за исключением нескольких простых случаев, таких как модель идеального газа , точные расчеты коэффициента пропорциональности аналитически невозможны. Поэтому часто используются приближенные выражения. Одной из таких оценок является радиус Вигнера – Зейтца. ${\displaystyle n=N/V}$

${\displaystyle \left({\frac {3}{4\pi n}}\right)^{1/3},}$

что соответствует радиусу сферы, приходящейся на одну частицу . Другое популярное определение: ${\displaystyle 1/n}$

${\displaystyle 1/n^{1/3}}$,

соответствующую длине ребра куба с объемом, приходящимся на одну частицу . Эти два определения различаются примерно в 0 раз , поэтому следует проявлять осторожность, если в статье не удается точно определить параметр. С другой стороны, он часто используется в качественных утверждениях, где такой числовой коэффициент либо не имеет значения, либо играет незначительную роль, например: ${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle 1.61}$

• «потенциальная энергия... пропорциональна некоторой степени n расстояния между частицами r» ( теорема Вириала )
• «расстояние между частицами намного больше тепловой длины волны де Бройля » ( Кинетическая теория )

Идеальный газ

Распределение по ближайшему соседу

PDF NN-расстояний в идеальном газе.

Мы хотим вычислить функцию распределения вероятностей расстояния до ближайшей соседней (NN) частицы. (Проблема была впервые рассмотрена Паулем Герцем; ^[1] современный вывод см., например, ^[2] ) Предположим, что частицы внутри сферы имеют объем , так что . Обратите внимание: поскольку частицы в идеальном газе не взаимодействуют, вероятность найти частицу на определенном расстоянии от другой частицы такая же, как вероятность найти частицу на том же расстоянии от любой другой точки; мы будем использовать центр сферы. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n=N/V}$

Частица NN на расстоянии означает, что ровно одна из частиц находится на этом расстоянии, а остальные частицы находятся на больших расстояниях, т.е. они находятся где-то за пределами сферы с радиусом . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N-1}$ ${\displaystyle r}$

Вероятность найти частицу на расстоянии от начала координат между и равна , плюс у нас есть способы выбрать, какую именно частицу, а вероятность найти частицу за пределами этой сферы равна . Тогда искомое выражение будет ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r+dr}$ ${\displaystyle (4\pi r^{2}/V)dr}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 1-4\pi r^{3}/3V}$

${\displaystyle P_{N}(r)dr=4\pi r^{2}dr{\frac {N}{V}}\left(1-{\frac {4\pi }{3}}r^{3}/V\right)^{N-1}={\frac {3}{a}}\left({\frac {r}{a}}\right)^{2}dr\left(1-\left({\frac {r}{a}}\right)^{3}{\frac {1}{N}}\right)^{N-1}\,}$

где мы заменили

${\displaystyle {\frac {1}{V}}={\frac {3}{4\pi Na^{3}}}.}$

Обратите внимание, что это радиус Вигнера-Зейтца . Наконец, переходя к пределу и используя , получаем ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle N\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e}$

${\displaystyle P(r)={\frac {3}{a}}\left({\frac {r}{a}}\right)^{2}e^{-(r/a)^{3}}\,.}$

Это можно сразу проверить

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }P(r)dr=1\,.}$

Распределение достигает максимума

${\displaystyle r_{\text{peak}}=\left(2/3\right)^{1/3}a\approx 0.874a\,.}$

Среднее расстояние и высшие моменты

${\displaystyle \langle r^{k}\rangle =\int _{0}^{\infty }P(r)r^{k}dr=3a^{k}\int _{0}^{\infty }x^{k+2}e^{-x^{3}}dx\,,}$

или, используя замену, ${\displaystyle t=x^{3}}$

${\displaystyle \langle r^{k}\rangle =a^{k}\int _{0}^{\infty }t^{k/3}e^{-t}dt=a^{k}\Gamma (1+{\frac {k}{3}})\,,}$

где гамма - функция . Таким образом, ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \langle r^{k}\rangle =a^{k}\Gamma (1+{\frac {k}{3}})\,.}$

В частности,

${\displaystyle \langle r\rangle =a\Gamma ({\frac {4}{3}})={\frac {a}{3}}\Gamma ({\frac {1}{3}})\approx 0.893a\,.}$

Рекомендации

1. Герц, Пол (1909). «Über den gegenseitigen durchschnittlichen Abstand von Punkten, die mit bekannter mttlerer Dichte im Raume angeordnet sind». Математические Аннален . 67 (3): 387–398. дои : 10.1007/BF01450410. ISSN  0025-5831. S2CID  120573104.
2. Чандрасекхар, С. (1 января 1943). «Стохастические проблемы физики и астрономии». Обзоры современной физики . 15 (1): 1–89. Бибкод : 1943РвМП...15....1С. doi : 10.1103/RevModPhys.15.1.

Смотрите также

• Радиус Вигнера – Зейтца