Вектор Пойнтинга

Мера направленного потока электромагнитной энергии

Дипольное излучение диполя вертикально на странице, показывающее напряженность электрического поля (цвет) и вектор Пойнтинга (стрелки) в плоскости страницы.

В физике вектор Пойнтинга ( или вектор Умова–Пойнтинга ) представляет собой направленный поток энергии (перенос энергии на единицу площади в единицу времени) или поток мощности электромагнитного поля . Единицей вектора Пойнтинга в системе СИ является ватт на квадратный метр (Вт/м ² ); кг/с ³ в базовых единицах СИ. Он назван в честь своего первооткрывателя Джона Генри Пойнтинга , который впервые вывел его в 1884 году. ^{[1] : 132} Сформулирование этой концепции также приписывают Николаю Умову . ^[2] Оливер Хевисайд также открыл его независимо в более общей форме, которая допускает свободу добавления к определению ротора произвольного векторного поля . ^[3] Вектор Пойнтинга используется в электромагнетизме в сочетании с теоремой Пойнтинга , уравнением непрерывности , выражающим сохранение электромагнитной энергии , для расчета потока мощности в электромагнитных полях.

Определение

В оригинальной статье Пойнтинга и в большинстве учебников вектор Пойнтинга определяется как векторное произведение ^{[4] [5] [6]} ${\displaystyle \mathbf {S} }$

$${\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H} ,}$$

векторы

• E – вектор электрического поля ;
• H – вектор вспомогательного поля магнитного поля или поле намагничивания .

Это выражение часто называют формой Абрахама и оно является наиболее широко используемым. ^[7] Вектор Пойнтинга обычно обозначается S или N.

Проще говоря, вектор Пойнтинга S отображает направление и скорость передачи энергии, то есть мощности , из-за электромагнитных полей в области пространства, которая может быть или не быть пустой. Более строго, это величина, которую необходимо использовать, чтобы сделать теорему Пойнтинга справедливой. Теорема Пойнтинга, по сути, гласит, что разница между электромагнитной энергией, поступающей в область, и электромагнитной энергией, покидающей область, должна равняться энергии, преобразованной или рассеянной в этой области, то есть превращенной в другую форму энергии (часто в тепло). Итак, если принять справедливость векторного описания передачи электромагнитной энергии Пойнтинга, то теорема Пойнтинга — это просто утверждение о сохранении энергии .

Если электромагнитная энергия не приобретается и не теряется из-за других форм энергии в некоторой области (например, механической энергии или тепла), то электромагнитная энергия локально сохраняется внутри этой области, что дает уравнение непрерывности как частный случай теоремы Пойнтинга:

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} =-{\frac {\partial u}{\partial t}}}$$

${\displaystyle u}$

Пример. Поток мощности в коаксиальном кабеле.

Хотя проблемы электромагнетизма с произвольной геометрией, как известно, трудно решить, мы можем найти относительно простое решение в случае передачи энергии через участок коаксиального кабеля , анализируемый в цилиндрических координатах, как показано на прилагаемой диаграмме. Мы можем воспользоваться симметрией модели: нет зависимости ни от θ (круговая симметрия), ни от Z (положение вдоль кабеля). Модель (и решение) можно рассматривать просто как цепь постоянного тока, не зависящую от времени, но следующее решение одинаково хорошо применимо и к передаче радиочастотной мощности, если мы рассматриваем момент времени (в течение которого напряжение и ток не меняется), причем на достаточно коротком отрезке кабеля (значительно меньшем длины волны, так что эти величины не зависят от Z ). Коаксиальный кабель имеет внутренний проводник радиуса R ₁ и внешний проводник с внутренним радиусом R ₂ (его толщина, превышающая R ₂ , не влияет на последующий анализ). Между R ₁ и R ₂ кабель содержит идеальный диэлектрический материал с относительной диэлектрической проницаемостью ε _r , и мы предполагаем, что проводники являются немагнитными (поэтому μ = μ 0 ) и без потерь (идеальные проводники), все из которых являются хорошим приближением к реальным. -мировой коаксиальный кабель в типичных ситуациях.

Иллюстрация потока электромагнитной энергии внутри коаксиального кабеля в соответствии с вектором Пойнтинга S , рассчитанным с использованием электрического поля E (из-за напряжения V ) и магнитного поля H (из-за тока I).

Передача энергии постоянного тока через коаксиальный кабель , показывающая относительную напряженность электрического ( ) и магнитного ( ) полей и результирующий вектор Пойнтинга ( ) в радиусе r от центра коаксиального кабеля. Прерывистая пурпурная линия показывает совокупную передачу мощности в пределах радиуса r , половина которой протекает внутри среднего геометрического R ₁ и R ₂ . ${\displaystyle E_{r}}$ ${\displaystyle H_{\theta }}$ ${\displaystyle S_{z}=E_{r}\cdot H_{\theta }}$

Центральный проводник находится под напряжением V и пропускает ток I вправо, поэтому мы ожидаем, что общий поток мощности составит P = V · I в соответствии с основными законами электричества . Однако, оценив вектор Пойнтинга, мы можем определить профиль потока мощности с точки зрения электрических и магнитных полей внутри коаксиального кабеля. Электрические поля, конечно, равны нулю внутри каждого проводника, но симметрия между проводниками ( ) требует, чтобы они располагались строго в радиальном направлении, и можно показать (используя закон Гаусса ), что они должны подчиняться следующей форме: ${\displaystyle R_{1}<r<R_{2}}$

$${\displaystyle E_{r}(r)={\frac {W}{r}}}$$

WV ${\displaystyle r=R_{2}}$ ${\displaystyle R_{1}}$

$${\displaystyle -V=\int _{R_{2}}^{R_{1}}{\frac {W}{r}}dr=-W\ln \left({\frac {R_{2}}{R_{1}}}\right)}$$

$${\displaystyle W={\frac {V}{\ln(R_{2}/R_{1})}}}$$

Магнитное поле, опять-таки по симметрии, может быть отличным от нуля только в направлении θ , то есть векторное поле, огибающее центральный проводник на каждом радиусе между R ₁ и R ₂ . Внутри самих проводников магнитное поле может быть нулевым, а может и не быть, но это не имеет значения, поскольку вектор Пойнтинга в этих областях равен нулю из-за того, что электрическое поле равно нулю. Вне всего коаксиального кабеля магнитное поле тождественно равно нулю, поскольку пути в этой области охватывают нулевой чистый ток (+ I в центральном проводнике и - I во внешнем проводнике), и опять-таки электрическое поле там все равно равно нулю. Используя закон Ампера в области от R ₁ до R ₂ , которая охватывает ток + I в центральном проводнике, но без вклада тока во внешнем проводнике, находим на радиусе r :

$${\displaystyle {\begin{aligned}I=\oint _{C}\mathbf {H} \cdot ds&=2\pi rH_{\theta }(r)\\H_{\theta }(r)&={\frac {I}{2\pi r}}\end{aligned}}}$$

ZrS

$${\displaystyle S_{z}(r)=E_{r}(r)H_{\theta }(r)={\frac {W}{r}}{\frac {I}{2\pi r}}={\frac {W\,I}{2\pi r^{2}}}}$$

WV,А

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\text{tot}}&=\iint _{\mathbf {A} }S_{z}(r,\theta )\,dA=\int _{R_{2}}^{R_{1}}2\pi rdrS_{z}(r)\\&=\int _{R_{2}}^{R_{1}}{\frac {W\,I}{r}}dr=W\,I\,\ln \left({\frac {R_{2}}{R_{1}}}\right).\end{aligned}}}$$

Подставив константу W в предыдущее решение , мы находим:

$${\displaystyle P_{\mathrm {tot} }=I\ln \left({\frac {R_{2}}{R_{1}}}\right){\frac {V}{\ln(R_{2}/R_{1})}}=V\,I}$$

Другими подобными примерами, в которых результат P = V · I может быть вычислен аналитически, являются: линия передачи с параллельными пластинами, ^[8] с использованием декартовых координат и двухпроводная линия передачи, ^[9] с использованием биполярных цилиндрических координат .

Другие формы

В «микроскопической» версии уравнений Максвелла это определение должно быть заменено определением в терминах электрического поля E и плотности магнитного потока B (описанного далее в статье).

Также возможно объединить поле электрического смещения D с магнитным потоком B , чтобы получить форму Минковского вектора Пойнтинга, или использовать D и H для построения еще одной версии. Выбор был спорным: Pfeifer et al. ^[10] подытоживают и в определенной степени разрешают многовековой спор между сторонниками форм Абрахама и Минковского (см. полемика Авраама-Минковского ).

Вектор Пойнтинга представляет собой частный случай вектора потока энергии электромагнитной энергии. Однако любой вид энергии имеет свое направление движения в пространстве, а также свою плотность, поэтому векторы потоков энергии можно определить и для других видов энергии, например, для механической энергии . Вектор Умова–Пойнтинга ^[11] , открытый Николаем Умовым в 1874 г., описывает поток энергии в жидких и упругих средах в совершенно обобщенном виде.

Интерпретация

Вектор Пойнтинга появляется в теореме Пойнтинга (вывод см. В этой статье), законе сохранения энергии:

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {S} -\mathbf {J_{\mathrm {f} }} \cdot \mathbf {E} ,}$$

J _fплотность токазарядовuнедисперсионных

$${\displaystyle u={\frac {1}{2}}\!\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} \right)\!,}$$

• Е – электрическое поле;
• D – поле электрического смещения;
• B – плотность магнитного потока;
• H – намагничивающее поле. ^{[12] : 258–260}

Первое слагаемое в правой части представляет собой поток электромагнитной энергии в малый объем, а второе слагаемое вычитает работу поля над свободными электрическими токами, которая тем самым выходит из электромагнитной энергии в виде диссипации , тепла и т. д. При этом По определению, связанные электрические токи не включены в этот термин и вместо этого вносят вклад в S и u .

Для линейных, недисперсионных и изотропных (для простоты) материалов определяющие соотношения можно записать в виде

$${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\quad \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} ,}$$

• ε — диэлектрическая проницаемость материала;
• μ — проницаемость материала. ^{[12] : 258–260}

Здесь ε и μ — скалярные константы с действительным знаком, не зависящие от положения, направления и частоты.

В принципе, это ограничивает теорему Пойнтинга в этой форме полями в вакууме и недисперсионными ^{( нужны разъяснения )} линейными материалами. Обобщение на дисперсные материалы возможно при определенных обстоятельствах за счет дополнительных условий. ^{[12] : 262–264.}

Одним из следствий формулы Пойнтинга является то, что для того, чтобы электромагнитное поле совершило работу, должны присутствовать как магнитное, так и электрическое поля. Одно лишь магнитное поле или одно лишь электрическое поле не могут совершить никакой работы. ^[13]

Плоские волны

В распространяющейся плоской электромагнитной волне в изотропной среде без потерь мгновенный вектор Пойнтинга всегда указывает в направлении распространения, при этом быстро колеблясь по величине. Это можно просто увидеть, учитывая, что в плоской волне величина магнитного поля H ( r , t ) определяется величиной вектора электрического поля E ( r , t ), деленного на η , собственное сопротивление передачи середина:

$${\displaystyle |\mathbf {H} |={\frac {|\mathbf {E} |}{\eta }},}$$

Авекторную нормуEHXYEHZ

$${\displaystyle \left|{\mathsf {S_{z}}}\right|=\left|{\mathsf {E_{x}}}{\mathsf {H_{y}}}\right|={\frac {\left|{\mathsf {E_{x}}}\right|^{2}}{\eta }}.}$$

Для нахождения усредненной по времени мощности плоской волны требуется усреднение по периоду волны (обратной частоте волны):

$${\displaystyle \left\langle {\mathsf {S_{z}}}\right\rangle ={\frac {\left\langle \left|{\mathsf {E_{x}}}\right|^{2}\right\rangle }{\eta }}={\frac {\mathsf {E_{\text{rms}}^{2}}}{\eta }},}$$

E _rmsсреднеквадратическаяEtE _пикE _rms ${\displaystyle {\mathsf {E_{peak}}}/{\sqrt {2}}}$

$${\displaystyle \left\langle {\mathsf {S_{z}}}\right\rangle ={\frac {\mathsf {E_{peak}^{2}}}{2\eta }}.}$$

E _rmsηсвободного пространства η ₀  ε _r ${\displaystyle {\mathsf {n}}={\sqrt {\epsilon _{r}}}}$

$${\displaystyle \eta ={\frac {\eta _{0}}{\sqrt {\epsilon _{r}}}}.}$$

В оптике величина излучаемого потока, пересекающего поверхность, то есть средняя компонента вектора Пойнтинга в направлении, нормальном к этой поверхности, технически известна как облученность , чаще называемая просто интенсивностью ( несколько двусмысленный термин).

Формулировка в терминах микроскопических полей

«Микроскопическая» (дифференциальная) версия уравнений Максвелла допускает только фундаментальные поля E и B без встроенной модели материальной среды. Используются только вакуумная диэлектрическая проницаемость и магнитная проницаемость, D и H отсутствуют . При использовании этой модели вектор Пойнтинга определяется как

$${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} ,}$$

• µ ₀ – вакуумная проницаемость ;
• E – вектор электрического поля;
• B – магнитный поток.

На самом деле это общее выражение вектора Пойнтинга ^{[ сомнительно ]} . ^[14] Соответствующая форма теоремы Пойнтинга такова:

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {S} -\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ,}$$

Jполная плотность токаu

$${\displaystyle u={\frac {1}{2}}\!\left(\varepsilon _{0}|\mathbf {E} |^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}|\mathbf {B} |^{2}\right)\!,}$$

ε ₀диэлектрическая проницаемость вакуумауравнений Максвелла, выраженных в терминах полного заряда и токасилы Лоренца

Два альтернативных определения вектора Пойнтинга одинаковы в вакууме или в немагнитных материалах, где B = µ ₀ H . Во всех остальных случаях они отличаются тем, что S = (1/ µ ₀ ) E × B и соответствующий u являются чисто радиационными, поскольку член диссипации − J ⋅ E покрывает полный ток, а в определение E × H вносят вклады связанные токи, которые затем исключаются из диссипационного члена. ^[15]

Поскольку при выводе S = (1/ μ ₀ ) E × B и плотности энергии учитываются только микроскопические поля E и B , предположения о наличии какого-либо материала избегаются. Вектор Пойнтинга, теорема и выражение для плотности энергии универсально действительны в вакууме и всех материалах. ^[15]

Усредненный по времени вектор Пойнтинга

Вышеупомянутая форма вектора Пойнтинга представляет мгновенный поток энергии, обусловленный мгновенными электрическими и магнитными полями. Чаще всего задачи электромагнетизма решаются в терминах синусоидально изменяющихся полей на заданной частоте. Затем результаты можно применять в более общем плане, например, представляя некогерентное излучение как суперпозицию таких волн на разных частотах и ​​с флуктуирующими амплитудами.

Таким образом, мы будем рассматривать не мгновенные значения E ( t ) и H ( t ) , использованные выше, а скорее комплексную (векторную) амплитуду для каждого, которая описывает фазу (а также амплитуду) когерентной волны с использованием векторной записи. Эти комплексные векторы амплитуд не являются функциями времени, поскольку считается, что они относятся к колебаниям во времени. _{Подразумевается ,} что вектор, такой как Em _, обозначает синусоидально изменяющееся поле, мгновенная амплитуда которого E ( t ) соответствует действительной части Em e ^jωt  , где ω — (радианная) частота рассматриваемой синусоидальной волны.

Во временной области будет видно, что мгновенный поток мощности будет колебаться с частотой 2 ω . Но что обычно представляет интерес, так это средний поток мощности, в котором эти колебания не учитываются. В приведенной ниже математике это достигается путем интегрирования по полному циклу T = 2 π / ω . Следующая величина, до сих пор называемая «вектором Пойнтинга», выражается непосредственно через векторы как:

$${\displaystyle \mathbf {S} _{\mathrm {m} }={\tfrac {1}{2}}\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*},}$$

где ^∗ обозначает комплексно-сопряженное число. Усредненный по времени поток мощности (например, в соответствии с мгновенным вектором Пойнтинга, усредненным за полный цикл) затем определяется как действительная часть S _m . Мнимая часть обычно игнорируется, однако она означает «реактивную мощность», например, помехи из-за стоячей волны или ближнего поля антенны. В одной плоской электромагнитной волне (а не в стоячей волне, которую можно описать как две такие волны, движущиеся в противоположных направлениях) E и H находятся точно в фазе, поэтому S _m — это просто действительное число согласно приведенному выше определению.

Эквивалентность Re( S _m ) среднему по времени мгновенного вектора Пойнтинга S можно показать следующим образом.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {S} (t)&=\mathbf {E} (t)\times \mathbf {H} (t)\\&=\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }e^{j\omega t}\right)\times \operatorname {Re} \!\left(\mathbf {H} _{\mathrm {m} }e^{j\omega t}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}\!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }e^{j\omega t}+\mathbf {E} _{\mathrm {m} }^{*}e^{-j\omega t}\right)\times {\tfrac {1}{2}}\!\left(\mathbf {H} _{\mathrm {m} }e^{j\omega t}+\mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}e^{-j\omega t}\right)\\&={\tfrac {1}{4}}\!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}+\mathbf {E} _{\mathrm {m} }^{*}\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }+\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }e^{2j\omega t}+\mathbf {E} _{\mathrm {m} }^{*}\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}e^{-2j\omega t}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}\right)+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }e^{2j\omega t}\right)\!.\end{aligned}}}$$

Среднее значение мгновенного вектора Пойнтинга S во времени определяется выражением:

$${\displaystyle \langle \mathbf {S} \rangle ={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\mathbf {S} (t)\,dt={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\!\left[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}\right)+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\mathbf {E} _{\mathrm {m} }}\times {\mathbf {H} _{\mathrm {m} }}e^{2j\omega t}\right)\right]dt.}$$

Второе слагаемое представляет собой двухчастотную составляющую, имеющую среднее значение, равное нулю, поэтому находим:

$${\displaystyle \langle \mathbf {S} \rangle =\operatorname {Re} \!\left({\tfrac {1}{2}}{\mathbf {E} _{\mathrm {m} }}\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}\right)=\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {S} _{\mathrm {m} }\right)}$$

Согласно некоторым соглашениям, коэффициент 1/2 в приведенном выше определении может быть опущен. _{Умножение на 1/2 необходимо для правильного описания потока мощности ,} поскольку величины Em и H _m относятся к пиковым полям осциллирующих величин. Если скорее поля описываются с точки зрения их среднеквадратичных значений (RMS) (каждое из которых меньше в коэффициент ), то правильный средний поток мощности получается без умножения на 1/2. ${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$

Резистивное рассеивание

Если проводник имеет значительное сопротивление, то вблизи поверхности этого проводника вектор Пойнтинга будет наклонен в сторону проводника и сталкиваться с ним. ^{[9] : рис.7,8} Как только вектор Пойнтинга входит в проводник, он изгибается в направлении, почти перпендикулярном поверхности. ^{[16] : 61} Это следствие закона Снелла и очень низкой скорости света внутри проводника. Можно дать определение и вычисление скорости света в проводнике. ^{[17] : 402} Внутри проводника вектор Пойнтинга представляет собой поток энергии из электромагнитного поля в провод, вызывающий резистивный джоулевый нагрев в проводе. Вывод, начинающийся с закона Снелла, см. у Рейца, стр. 454. ^{[18] : 454.}

Радиационное давление

Плотность импульса электромагнитного поля равна S / c ² , где S — величина вектора Пойнтинга, а с — скорость света в свободном пространстве. Давление излучения , оказываемое электромагнитной волной на поверхность мишени, определяется выражением

$${\displaystyle P_{\mathrm {rad} }={\frac {\langle S\rangle }{\mathrm {c} }}.}$$

Уникальность вектора Пойнтинга

Вектор Пойнтинга встречается в теореме Пойнтинга только благодаря его дивергенции ∇ ⋅ S , то есть требуется только, чтобы поверхностный интеграл вектора Пойнтинга вокруг замкнутой поверхности описывал чистый поток электромагнитной энергии в замкнутый объем или из него. Это означает, что добавление к S соленоидального векторного поля (с нулевой дивергенцией) приведет к появлению другого поля, которое удовлетворяет этому необходимому свойству векторного поля Пойнтинга согласно теореме Пойнтинга. Поскольку дивергенция любого ротора равна нулю , можно добавить ротор любого векторного поля к вектору Пойнтинга, и результирующее векторное поле S ′ по-прежнему будет удовлетворять теореме Пойнтинга.

Однако, хотя вектор Пойнтинга изначально был сформулирован только ради теоремы Пойнтинга, в которой фигурирует только его расходимость, оказывается, что указанный выше выбор его формы является единственным. ^{[12] : 258–260, 605–612} В следующем разделе приводится пример, который иллюстрирует, почему неприемлемо добавлять произвольное соленоидальное поле к E × H.

Статические поля

Вектор Пойнтинга в статическом поле, где E — электрическое поле, H — магнитное поле, а S — вектор Пойнтинга.

Рассмотрение вектора Пойнтинга в статических полях показывает релятивистскую природу уравнений Максвелла и позволяет лучше понять магнитную составляющую силы Лоренца q ( v × B ) . Для иллюстрации рассматривается прилагаемая картинка, описывающая вектор Пойнтинга в цилиндрическом конденсаторе, находящемся в поле H (направленном в сторону страницы), создаваемом постоянным магнитом. Хотя существуют только статические электрические и магнитные поля, расчет вектора Пойнтинга создает круговой поток электромагнитной энергии по часовой стрелке, без начала и конца.

Хотя циркулирующий поток энергии может показаться нефизическим, его существование необходимо для поддержания сохранения углового момента . Импульс электромагнитной волны в свободном пространстве равен ее мощности, разделенной на скорость света c . Следовательно, круговой поток электромагнитной энергии подразумевает наличие углового момента. ^[19] Если бы нужно было соединить провод между двумя пластинами заряженного конденсатора, то на этот провод действовала бы сила Лоренца, пока конденсатор разряжается из-за разрядного тока и скрещенного магнитного поля; эта сила будет касательной к центральной оси и, таким образом, добавит угловой момент системе. Этот угловой момент будет соответствовать «скрытому» угловому моменту, обнаруженному вектором Пойнтинга, циркулирующим до того, как конденсатор был разряжен.

Смотрите также

• Волновой вектор

Рекомендации

1. Страттон, Джулиус Адамс (1941). Электромагнитная теория (1-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-470-13153-4.
2. "Вектор Пойнтинга" . Физическая энциклопедия . Проверено 21 февраля 2022 г.
3. Нахин, Пол Дж. (2002). Оливер Хевисайд: жизнь, работа и времена электрического гения викторианской эпохи . п. 131. ИСБН 9780801869099.
4. Пойнтинг, Джон Генри (1884). «О передаче энергии в электромагнитном поле». Философские труды Лондонского королевского общества . 175 : 343–361. дои : 10.1098/rstl.1884.0016 .
5. Грант, Ян С.; Филлипс, Уильям Р. (1990). Электромагнетизм (2-е изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-92712-9.
6. Гриффитс, Дэвид Дж. (2012). Введение в электродинамику (3-е изд.). Бостон: Аддисон-Уэсли. ISBN 978-0-321-85656-2.
7. Кинслер, Пол; Фаваро, Альберто; МакКолл, Мартин В. (2009). «Четыре теоремы Пойнтинга». Европейский журнал физики . 30 (5): 983. arXiv : 0908.1721 . Бибкод : 2009EJPh...30..983K. дои : 10.1088/0143-0807/30/5/007. S2CID  118508886.
8. Мортон, Н. (1979). «Введение в вектор Пойнтинга». Физическое образование . 14 (5): 301–304. дои : 10.1088/0031-9120/14/5/004.
9. Буле, Марк (2024). «Энергия постоянного тока, передаваемая по двум бесконечным параллельным проводам». Американский журнал физики . 92 (1): 14–22. arXiv : 2305.11827 . дои : 10.1119/5.0121399.
10. Пфайфер, Роберт, Северная Каролина; Ниеминен, Тимо А.; Хекенберг, Норман Р.; Рубинштейн-Данлоп, Халина (2007). «Импульс электромагнитной волны в диэлектрических средах». Обзоры современной физики . 79 (4): 1197. arXiv : 0710.0461 . Бибкод : 2007RvMP...79.1197P. doi : 10.1103/RevModPhys.79.1197.
11. Умов, Николай Алексеевич (1874). «Теорема Ein über die Wechselwirkungen in Endlichen Entfernungen». Zeitschrift für Mathematik und Physik . 19 : 97–114.
12. Джексон, Джон Дэвид (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-30932-1.
13. "Примеры физики К. Макдональда - Рейлган" (PDF) . puhep1.princeton.edu . Проверено 14 февраля 2021 г.
14. Зангвилл, Эндрю (2013). Современная электродинамика . Издательство Кембриджского университета. п. 508. ИСБН 9780521896979.
15. Рихтер, Феликс; Флориан, Матиас; Хеннебергер, Клаус (2008). «Теорема Пойнтинга и сохранение энергии при распространении света в ограниченных средах». ЭПЛ . 81 (6): 67005. arXiv : 0710.0515 . Бибкод : 2008EL.....8167005R. дои : 10.1209/0295-5075/81/67005. S2CID  119243693.
16. Харрингтон, Роджер Ф. (2001). Гармонические во времени электромагнитные поля (2-е изд.). МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-471-20806-8.
17. Хейт, Уильям (2011). Инженерная электромагнетика (4-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-338066-7.
18. Рейтц, Джон Р.; Милфорд, Фредерик Дж.; Кристи, Роберт В. (2008). Основы электромагнитной теории (4-е изд.). Бостон: Аддисон-Уэсли. ISBN 978-0-321-58174-7.
19. Фейнман, Ричард Филлипс (2011). Фейнмановские лекции по физике. Том. II: В основном электромагнетизм и материя (изд. «Новое тысячелетие»). Нью-Йорк: Основные книги. ISBN 978-0-465-02494-0.

дальнейшее чтение

• Беккер, Ричард (1982). Электромагнитные поля и взаимодействия (1-е изд.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-64290-1.
• Администратор, Джозеф; Нахви, Махмуд (2013). Электромагнетизм (4-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-183149-9.