Стоячая волна

Волна, которая остается в постоянном положении

Анимация стоячей волны ( красная ) , созданная в результате суперпозиции бегущей левой ( синяя ) и правой бегущей ( зеленой ) волны .

В физике стоячая волна , также известная как стоячая волна , представляет собой волну , которая колеблется во времени, но профиль пиковой амплитуды которой не перемещается в пространстве. Пиковая амплитуда волновых колебаний в любой точке пространства постоянна во времени, а колебания в разных точках волны синфазны . Места, в которых абсолютное значение амплитуды минимально, называются узлами , а места, где абсолютное значение амплитуды максимально, — пучностями .

Стоячие волны были впервые описаны с научной точки зрения Майклом Фарадеем в 1831 году. Фарадей наблюдал стоячие волны на поверхности жидкости в вибрирующем контейнере . ^{[1] [2]} Франц Мельде придумал термин «стоячая волна» (нем. stehende Welle или Stehwelle ) около 1860 года и продемонстрировал это явление в своем классическом эксперименте с вибрирующими струнами. ^{[3] [4] [5] [6]}

Это явление может возникнуть из-за того, что среда движется в направлении, противоположном движению волны, либо возникнуть в неподвижной среде в результате интерференции двух волн, бегущих в противоположных направлениях. Наиболее распространенной причиной стоячих волн является явление резонанса , при котором стоячие волны возникают внутри резонатора из-за интерференции волн, отражающихся вперед и назад на резонансной частоте резонатора .

Для волн одинаковой амплитуды , распространяющихся в противоположных направлениях, суммарное распространение энергии в среднем отсутствует .

Движущаяся среда

• Каякеры катаются на стоячей волне в парке Грейт-Фолс
• Устье реки Кармель . Стоячие волны образуются там, где река Кармель впадает в Тихий океан.

Пример первого типа: при определенных метеорологических условиях в атмосфере с подветренной стороны горных хребтов образуются стоячие волны. Такие волны часто эксплуатируют планеристы .

Стоячие волны и гидравлические скачки также образуются на быстрых речных порогах и приливных течениях, таких как водоворот Сальтстраумен . Требованием для этого в речных течениях является проточная вода с небольшой глубиной, в которой инерция воды преодолевает силу тяжести из-за сверхкритической скорости потока ( число Фруда : 1,7–4,5, превышение 4,5 приводит к прямой стоячей волне ^[7] ) и поэтому препятствие не замедляет его существенно и не отталкивает в сторону. Многие стоячие речные волны являются популярным местом для серфинга на реке .

Противостоящие волны

В качестве примера второго типа стоячая волна в линии передачи представляет собой волну, в которой распределение тока , напряжения или напряженности поля формируется в результате суперпозиции двух волн одинаковой частоты , распространяющихся в противоположных направлениях. Эффект представляет собой серию узлов (нулевое смещение ) и пучностей (максимальное смещение ) в фиксированных точках вдоль линии передачи. Такая стоячая волна может образовываться, когда волна передается на один конец линии передачи и отражается от другого конца из-за несоответствия импедансов , т . е. разрыва, такого как обрыв цепи или короткое замыкание . ^[8] Неспособность линии передавать мощность на частоте стоячей волны обычно приводит к искажениям затухания .

На практике потери в линии передачи и других компонентах означают, что идеальное отражение и чистая стоячая волна никогда не достигаются. В результате получается частичная стоячая волна , которая представляет собой суперпозицию стоячей и бегущей волны. Степень, в которой волна напоминает чистую стоячую волну или чистую бегущую волну, измеряется коэффициентом стоячей волны (КСВ). ^[9]

Другой пример — стоячие волны в открытом океане , образованные волнами одинакового периода волн, движущимися в противоположных направлениях. Они могут образовываться вблизи центров штормов или в результате отражения зыби от берега и являются источником микробаром и микросейсм .

Математическое описание

В этом разделе рассмотрены типичные одно- и двумерные случаи стоячих волн. Во-первых, пример струны бесконечной длины показывает, как одинаковые волны, движущиеся в противоположных направлениях, взаимодействуют, создавая стоячие волны. Далее два примера струн конечной длины с разными граничными условиями демонстрируют, как граничные условия ограничивают частоты, которые могут образовывать стоячие волны. Далее пример звуковых волн в трубе демонстрирует, как те же принципы можно применить к продольным волнам с аналогичными граничными условиями.

Стоячие волны также могут возникать в двух- или трехмерных резонаторах . В случае стоячих волн на двумерных мембранах, таких как барабанные пластики , показанных на анимации выше, узлы становятся узловыми линиями, линиями на поверхности, на которых нет движения, которые разделяют области, вибрирующие с противоположной фазой. Эти узоры узловых линий называются фигурами Хладни . В трехмерных резонаторах, таких как звуковые коробки музыкальных инструментов и резонаторы микроволновых резонаторов , имеются узловые поверхности. В этот раздел включен двумерный пример стоячей волны с прямоугольной границей, чтобы проиллюстрировать, как распространить эту концепцию на более высокие измерения.

Стоячая волна на струне бесконечной длины

Для начала рассмотрим струну бесконечной длины вдоль оси x , которую можно растягивать в поперечном направлении в направлении y .

Для гармонической волны , бегущей вправо вдоль струны, смещение струны в направлении y в зависимости от положения x и времени t равно ^[10]

${\displaystyle y_{\text{R}}(x,t)=y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }-\omega t\right).}$

Смещение в направлении y для одинаковой гармонической волны, бегущей влево, равно

${\displaystyle y_{\text{L}}(x,t)=y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }+\omega t\right),}$

где

• y _max – амплитуда смещения струны для каждой волны,
• ω — угловая частота или, что эквивалентно, в 2π раз больше частоты f ,
• λ — длина волны.

Для одинаковых бегущих вправо и влево волн на одной и той же струне полное смещение струны представляет собой сумму y _R и y _L ,

${\displaystyle y(x,t)=y_{\text{R}}+y_{\text{L}}=y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }-\omega t\right)+y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }+\omega t\right).}$

Используя тригонометрическое тождество суммы к произведению , ${\displaystyle \sin a+\sin b=2\sin \left({a+b \over 2}\right)\cos \left({a-b \over 2}\right)}$

Уравнение ( 1 ) не описывает бегущую волну. В любом положении x , y ( x , t ) просто колеблется во времени с амплитудой, которая меняется в направлении x как . ^[10] Анимация в начале этой статьи показывает, что происходит. Когда левая синяя волна и правая зеленая волна интерферируют, они образуют стоячую красную волну, которая не движется, а вместо этого колеблется на месте. ${\displaystyle 2y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }\right)}$

Поскольку струна имеет бесконечную длину, у нее нет граничных условий для ее смещения в любой точке вдоль оси x . В результате стоячая волна может образоваться на любой частоте.

В точках на оси X , кратных четверти длины волны,

${\displaystyle x=\ldots ,-{3\lambda \over 2},\;-\lambda ,\;-{\lambda \over 2},\;0,\;{\lambda \over 2},\;\lambda ,\;{3\lambda \over 2},\ldots }$

амплитуда всегда равна нулю. Эти места называются узлами . В точках на оси X , которые нечетно кратны четверти длины волны.

${\displaystyle x=\ldots ,-{5\lambda \over 4},\;-{3\lambda \over 4},\;-{\lambda \over 4},\;{\lambda \over 4},\;{3\lambda \over 4},\;{5\lambda \over 4},\ldots }$

амплитуда максимальна, ее значение в два раза превышает амплитуду бегущих вправо и влево волн, которые интерферируют, создавая эту структуру стоячей волны. Эти места называются антиузлами . Расстояние между двумя последовательными узлами или пучностями составляет половину длины волны λ /2.

Стоячая волна на струне с двумя закрепленными концами

Далее рассмотрим строку с фиксированными концами в точках x = 0 и x = L. Струна будет иметь некоторое затухание, поскольку она растягивается бегущими волнами, но предположим, что затухание очень мало. Предположим, что к фиксированному концу x = 0 приложена синусоидальная сила, которая перемещает струну вверх и вниз в направлении y с небольшой амплитудой на некоторой частоте f . В этой ситуации движущая сила создает правостороннюю волну. Эта волна отражается от правого фиксированного конца и движется обратно влево, снова отражается от левого фиксированного конца и возвращается вправо и так далее. В конце концов, достигается устойчивое состояние, когда струна имеет одинаковые волны, бегущие вправо и влево, как и в случае бесконечной длины, а мощность, рассеиваемая при затухании в струне, равна мощности, подаваемой движущей силой, поэтому волны имеют постоянную амплитуду.

Уравнение ( 1 ) по-прежнему описывает структуру стоячей волны, которая может сформироваться на этой струне, но теперь уравнение ( 1 ) подчиняется граничным условиям , где y = 0 при x = 0 и x = L , поскольку струна зафиксирована в точке x = L и потому что мы предполагаем, что движущая сила на фиксированном конце x = 0 имеет небольшую амплитуду. Проверяем значения y на двух концах,

${\displaystyle y(0,t)=0,}$

${\displaystyle y(L,t)=2y_{\text{max}}\sin \left({2\pi L \over \lambda }\right)\cos(\omega t)=0.}$

Стоячие волны в струне – основная мода и первые 5 гармоник .

Это граничное условие имеет форму формулировки Штурма – Лиувилля . Последнее граничное условие выполняется, когда . L задано, поэтому граничное условие ограничивает длину волны стоячих волн величиной ^[11] ${\displaystyle \sin \left({2\pi L \over \lambda }\right)=0}$

${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$

Волны могут образовывать стоячие волны на этой струне только в том случае, если их длина волны удовлетворяет этому соотношению с L . Если волны движутся со скоростью v вдоль струны, то эквивалентно частота стоячих волн ограничивается ^{[11] [12]}

${\displaystyle f={\frac {v}{\lambda }}={\frac {nv}{2L}}.}$

Стоячая волна с n = 1 колеблется на основной частоте и имеет длину волны, в два раза превышающую длину струны. Более высокие целые значения n соответствуют режимам колебаний, называемым гармониками или обертонами . Любая стоячая волна на струне будет иметь n + 1 узел, включая фиксированные концы и n антиузлов.

Чтобы сравнить узлы этого примера с описанием узлов стоячих волн в строке бесконечной длины, уравнение ( 2 ) можно переписать как

${\displaystyle \lambda ={\frac {4L}{n}},}$

${\displaystyle n=2,4,6,\ldots }$

В этом варианте выражения для длины волны n должно быть четным. Перекрестное умножение мы видим, что, поскольку L является узлом, оно кратно четверти длины волны,

${\displaystyle L={\frac {n\lambda }{4}},}$

${\displaystyle n=2,4,6,\ldots }$

Этот пример демонстрирует тип резонанса , а частоты, вызывающие стоячие волны, можно назвать резонансными частотами . ^{[11] [13] [14]}

Стоячая волна на струне с одним закрепленным концом

Анализ переходных процессов затухающей бегущей волны , отражающейся от границы

Далее рассмотрим ту же строку длины L , но на этот раз она зафиксирована только в точке x = 0 . При x = L струна может свободно перемещаться в направлении y . Например, веревку можно привязать в точке x = L к кольцу, которое может свободно скользить вверх и вниз по шесту. Струна снова имеет небольшое демпфирование и приводится в движение небольшой движущей силой в точке x = 0 .

В этом случае уравнение ( 1 ) по-прежнему описывает структуру стоячей волны, которая может сформироваться на струне, и струна имеет то же граничное условие y = 0 при x = 0 . Однако при x = L , где струна может свободно двигаться, должен быть пучность с максимальной амплитудой y . Эквивалентно, это граничное условие «свободного конца» можно сформулировать как ∂y/∂x = 0 при x = L , что имеет форму формулировки Штурма – Лиувилля . Интуиция для этого граничного условия ∂y/∂x = 0 при x = L заключается в том, что движение «свободного конца» будет следовать за движением точки слева от него.

Рассматривая уравнение ( 1 ), для x = L наибольшая амплитуда y возникает, когда ∂y/∂x = 0 , или

${\displaystyle \cos \left({2\pi L \over \lambda }\right)=0.}$

Это приводит к другому набору длин волн, чем в примере с двумя фиксированными концами. Здесь длина волны стоячих волн ограничена

${\displaystyle \lambda ={\frac {4L}{n}},}$

${\displaystyle n=1,3,5,\ldots }$

Аналогично, частота ограничена

${\displaystyle f={\frac {nv}{4L}}.}$

В этом примере n принимает только нечетные значения. Поскольку L является пучностью, она нечетно кратна четверти длины волны. Таким образом, основная мода в этом примере имеет только одну четверть полного синусоидального цикла – ноль при x = 0 и первый пик при x = L – первая гармоника имеет три четверти полного синусоидального цикла и так далее.

Этот пример также демонстрирует тип резонанса, а частоты, вызывающие стоячие волны, называются резонансными частотами .

Стоячая волна в трубе

Рассмотрим стоячую волну в трубе длиной L. Воздух внутри трубы служит средой для продольных звуковых волн , распространяющихся по трубе вправо или влево. В то время как поперечные волны на струне из предыдущих примеров различаются по своему смещению перпендикулярно направлению движения волны, волны, распространяющиеся по воздуху в трубе, различаются по давлению и продольному смещению вдоль направления движения волны. Волна распространяется путем поочередного сжатия и расширения воздуха в сегментах трубы, что слегка вытесняет воздух из его исходного положения и передает энергию соседним сегментам за счет сил, оказываемых попеременным высоким и низким давлением воздуха. ^[15] Уравнения, подобные уравнениям для волны на струне, можно записать для изменения давления Δ p из-за право- или лево-бегущей волны в трубе.

${\displaystyle \Delta p_{\text{R}}(x,t)=p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }-\omega t\right),}$

${\displaystyle \Delta p_{\text{L}}(x,t)=p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }+\omega t\right),}$

где

• p _max — амплитуда давления или максимальное увеличение или уменьшение давления воздуха за счет каждой волны,
• ω — угловая частота или, что эквивалентно, в 2π раз больше частоты f ,
• λ — длина волны.

Если по трубе проходят одинаковые бегущие вправо и влево волны, то результирующая суперпозиция описывается суммой

${\displaystyle \Delta p(x,t)=\Delta p_{\text{R}}(x,t)+\Delta p_{\text{L}}(x,t)=2p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }\right)\cos(\omega t).}$

Эта формула для давления имеет ту же форму, что и уравнение ( 1 ), поэтому образуется стационарная волна давления, фиксированная в пространстве и колеблющаяся во времени.

Если конец трубы закрыт, давление максимально, поскольку закрытый конец трубы оказывает силу, ограничивающую движение воздуха. Это соответствует антиузлу давления (который является узлом молекулярных движений, поскольку молекулы вблизи закрытого конца не могут двигаться). Если конец трубы открыт, изменения давления очень малы, что соответствует узлу давления (который является антиузлом для молекулярных движений, поскольку молекулы вблизи открытого конца могут свободно перемещаться). ^{[16] [17]} Точное расположение узла давления на открытом конце фактически немного выходит за открытый конец трубы, поэтому эффективная длина трубы с целью определения резонансных частот немного больше, чем ее физическая длина. ^[18] В этом примере эта разница в длине игнорируется. Что касается отражений, открытые концы частично отражают волны обратно в трубу, позволяя высвободить некоторую энергию в наружный воздух. В идеале закрытые концы отражают всю волну обратно в другом направлении. ^{[18] [19]}

Сначала рассмотрим трубу, открытую с обоих концов, например, открытую органную трубу или блокфлейту . Учитывая, что давление должно быть равно нулю на обоих открытых концах, граничные условия аналогичны струне с двумя закрепленными концами:

${\displaystyle \Delta p(0,t)=0,}$

${\displaystyle \Delta p(L,t)=2p_{\text{max}}\sin \left({2\pi L \over \lambda }\right)\cos(\omega t)=0,}$

что происходит только тогда, когда длина волны стоячих волн равна ^[18]

${\displaystyle \lambda ={\frac {2L}{n}},}$

${\displaystyle n=1,2,3,\ldots ,}$

или, что то же самое, когда частота равна ^{[18] [20]}

${\displaystyle f={\frac {nv}{2L}},}$

где v — скорость звука .

Далее рассмотрим трубу, которая открыта в точке x = 0 (и, следовательно, имеет узел давления) и закрыта в точке x = L (и, следовательно, имеет антиузел давления). Замкнутое граничное условие «свободного конца» для давления при x = L можно сформулировать как ∂(Δp)/∂x = 0 , что имеет форму формулировки Штурма – Лиувилля . Интуиция для этого граничного условия ∂(Δp)/∂x = 0 при x = L заключается в том, что давление закрытого конца будет следовать давлению точки слева от него. Примеры такой установки включают бутылку и кларнет . Эта труба имеет граничные условия, аналогичные струне только с одним закрепленным концом. Его стоячие волны имеют длину волны, ограниченную ^[18]

${\displaystyle \lambda ={\frac {4L}{n}},}$

${\displaystyle n=1,3,5,\ldots ,}$

или, что то же самое, частота стоячих волн ограничена ^{[21] [20]}

${\displaystyle f={\frac {nv}{4L}}.}$

В случае, когда один конец закрыт, n принимает только нечетные значения, как и в случае, когда строка зафиксирована только на одном конце.

Молекулярное представление стоячей волны с n = 2 для трубы, закрытой с обоих концов. Учитывая продольное смещение, молекулы на концах и молекулы в середине не смещаются волной, представляя собой узлы продольного смещения. На полпути между узлами находятся пучности продольного смещения, где молекулы смещены максимально. С учетом давления молекулы максимально сжаты и расширены на концах и в середине, представляя собой пучности давления. На полпути между пучностями находятся узлы давления, в которых молекулы не сжимаются и не расширяются при движении.

До сих пор волна описывалась в терминах давления как функции положения x и времени. Альтернативно, волну можно описать как продольное перемещение воздуха, при котором воздух в сегменте трубы слегка перемещается взад и вперед в направлении x , когда давление меняется, а волны распространяются в одном или обоих направлениях. Изменение давления Δp и продольное перемещение s связаны соотношением ^[22]

${\displaystyle \Delta p=-\rho v^{2}{\frac {\partial s}{\partial x}},}$

где ρ – плотность воздуха. С точки зрения продольного смещения закрытые концы труб соответствуют узлам, поскольку движение воздуха ограничено, а открытые концы соответствуют антиузлам, поскольку воздух может двигаться свободно. ^{[18] [23]} Аналогичное, более простое для визуализации явление возникает в продольных волнах, распространяющихся вдоль пружины. ^[24]

Мы также можем рассмотреть трубу, закрытую с обоих концов. В этом случае оба конца будут пучностями давления или, что эквивалентно, оба конца будут узлами смещения. Этот пример аналогичен случаю, когда оба конца открыты, за исключением того, что структура стоячей волны имеет фазовый сдвиг π ⁄ 2 вдоль направления x , чтобы сместить расположение узлов и антиузлов. Например, самая длинная резонирующая длина волны (основная мода) снова в два раза превышает длину трубы, за исключением того, что на концах трубы вместо узлов давления имеются пучности давления. Между концами имеется один напорный узел. В случае двух закрытых концов длина волны снова ограничивается

${\displaystyle \lambda ={\frac {2L}{n}},}$

${\displaystyle n=1,2,3,\ldots ,}$

и частота снова ограничивается

${\displaystyle f={\frac {nv}{2L}}.}$

Трубка Рубенса позволяет визуализировать изменения давления стоячих волн в трубке с двумя закрытыми концами. ^[25]

2D стоячая волна с прямоугольной границей

Далее рассмотрим поперечные волны, которые могут двигаться вдоль двумерной поверхности внутри прямоугольной границы длиной L _x в направлении x и длиной L _y в направлении y . Примерами волн этого типа являются волны на воде в бассейне или волны на туго натянутом прямоугольном листе. Волны смещают поверхность в направлении z , при этом z = 0 определяется как высота поверхности, когда она неподвижна.

В двух измерениях и декартовых координатах волновое уравнение имеет вид

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}\;=\;c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}\right),}$

где

• z ( x , y , t ) — смещение поверхности,
• с — скорость волны.

Чтобы решить это дифференциальное уравнение, давайте сначала решим его преобразование Фурье с помощью

${\displaystyle Z(x,y,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }z(x,y,t)e^{-i\omega t}dt.}$

Принимая преобразование Фурье волнового уравнения,

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}Z}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}Z}{\partial y^{2}}}=-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}Z(x,y,\omega ).}$

Это проблема собственных значений , где частоты соответствуют собственным значениям, которые затем соответствуют частотно-зависимым режимам или собственным функциям. В частности, это форма уравнения Гельмгольца , и ее можно решить, используя разделение переменных . ^[26] Предположим

${\displaystyle Z=X(x)Y(y).}$

Разделив уравнение Гельмгольца на Z ,

${\displaystyle {\frac {1}{X(x)}}{\frac {\partial ^{2}X}{\partial x^{2}}}+{\frac {1}{Y(y)}}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial y^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=0.}$

Это приводит к двум связанным обыкновенным дифференциальным уравнениям. Член x равен константе по отношению к x , которую мы можем определить как

${\displaystyle {\frac {1}{X(x)}}{\frac {\partial ^{2}X}{\partial x^{2}}}=(ik_{x})^{2}.}$

Решение для X ( x ),

${\displaystyle X(x)=A_{k_{x}}e^{ik_{x}x}+B_{k_{x}}e^{-ik_{x}x}.}$

Эта зависимость от x является синусоидальной, напоминающей формулу Эйлера , с константами A _{k x} и B _{k x} , определяемыми граничными условиями. Аналогично, член y равен константе по отношению к y , которую мы можем определить как

${\displaystyle {\frac {1}{Y(y)}}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial y^{2}}}=(ik_{y})^{2}=k_{x}^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}},}$

и поэтому дисперсионное уравнение для этой волны имеет вид

${\displaystyle \omega =c{\sqrt {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}}.}$

Решая дифференциальное уравнение для члена y ,

${\displaystyle Y(y)=C_{k_{y}}e^{ik_{y}y}+D_{k_{y}}e^{-ik_{y}y}.}$

Умножив эти функции вместе и применив обратное преобразование Фурье, z ( x , y , t ) представляет собой суперпозицию режимов, где каждый режим является продуктом синусоидальных функций для x , y и t ,

${\displaystyle z(x,y,t)\sim e^{\pm ik_{x}x}e^{\pm ik_{y}y}e^{\pm i\omega t}.}$

Константы, определяющие точные синусоидальные функции, зависят от граничных и начальных условий. Чтобы увидеть, как применяются граничные условия, рассмотрим такой пример, как туго натянутый лист, где z ( x , y , t ) должно быть равно нулю по всей границе прямоугольника. Для зависимости от x z ( x , y , t ) должно меняться таким образом, чтобы оно могло быть равно нулю как при x = 0 , так и при x = L _x для всех значений y и t . Как и в одномерном примере струны, закрепленной на обоих концах, синусоидальная функция, удовлетворяющая этому граничному условию, равна

${\displaystyle \sin {k_{x}x},}$

с k _x, ограниченным

${\displaystyle k_{x}={\frac {n\pi }{L_{x}}},\quad n=1,2,3,\dots }$

Аналогично, зависимость z ( x , y , t ) от y должна быть нулевой как при y = 0 , так и при y = L _y , чему удовлетворяет соотношение

${\displaystyle \sin {k_{y}y},\quad k_{y}={\frac {m\pi }{L_{y}}},\quad m=1,2,3,\dots }$

Ограничение волновых чисел этими значениями также ограничивает частоты, которые резонируют с

${\displaystyle \omega =c\pi {\sqrt {\left({\frac {n}{L_{x}}}\right)^{2}+\left({\frac {m}{L_{y}}}\right)^{2}}}.}$

Если начальные условия для z ( x , y ,0) и ее производной по времени ż ( x , y ,0) выбраны так, что t -зависимость представляет собой косинусоидальную функцию, то стоячие волны для этой системы принимают вид

${\displaystyle z(x,y,t)=z_{\text{max}}\sin \left({\frac {n\pi x}{L_{x}}}\right)\sin \left({\frac {m\pi y}{L_{y}}}\right)\cos \left(\omega t\right).}$

${\displaystyle n=1,2,3,\dots \quad m=1,2,3,\dots }$

Итак, стоячие волны внутри этой фиксированной прямоугольной границы колеблются во времени на определенных резонансных частотах, параметризованных целыми числами n и m . Поскольку они колеблются во времени, они не перемещаются, и их пространственные изменения являются синусоидальными как в направлениях x , так и в направлениях y , так что они удовлетворяют граничным условиям. Основная мода n = 1 и m = 1 имеет единственный пучность в середине прямоугольника. Изменение n и m дает сложную, но предсказуемую двумерную структуру узлов и пучностей внутри прямоугольника. ^[27]

Согласно закону дисперсии, в определенных ситуациях разные моды, то есть разные комбинации n и m , могут резонировать на одной и той же частоте, даже если они имеют разные формы зависимости от x и y . Например, если граница квадратная, L _x = L _y , моды n = 1 и m = 7 , n = 7 и m = 1 , а также n = 5 и m = 5 все резонируют на частоте

${\displaystyle \omega ={\frac {c\pi }{L_{x}}}{\sqrt {50}}.}$

Учитывая, что ω определяет собственное значение в приведенном выше уравнении Гельмгольца, количество мод, соответствующих каждой частоте, связано с кратностью частоты как собственным значением.

Коэффициент стоячей волны, фаза и передача энергии

Если две бегущие волны, движущиеся в противоположном направлении, не имеют одинаковой амплитуды, они не будут полностью компенсироваться в узлах, точках, где волны сдвинуты по фазе на 180 °, поэтому амплитуда стоячей волны не будет равна нулю в узлах. а всего лишь минимум. Коэффициент стоячей волны (КСВ) — это отношение амплитуды в пучности (максимум) к амплитуде в узле (минимум). Чистая стоячая волна будет иметь бесконечный КСВ. Он также будет иметь постоянную фазу в любой точке пространства (но может поворачиваться на 180° каждые полпериода). Конечный ненулевой КСВ указывает на частично стационарную и частично бегущую волну. Такие волны можно разложить на суперпозицию двух волн: компонента бегущей волны и компонента стационарной волны. КСВ, равный единице, указывает на то, что волна не имеет стационарной составляющей – это чисто бегущая волна, поскольку отношение амплитуд равно 1. ^[28]

Чистая стоячая волна не передает энергию от источника к месту назначения. ^[29] Однако волна по-прежнему подвержена потерям в среде. Такие потери проявятся в виде конечного КСВ, указывая на то, что компонент бегущей волны покидает источник и компенсирует потери. Несмотря на то, что КСВ теперь конечен, все равно может случиться так, что энергия не достигнет места назначения, потому что движущийся компонент просто компенсирует потери. Однако в среде без потерь конечный КСВ предполагает определенную передачу энергии к месту назначения.

Примеры

Одним из простых примеров, позволяющих понять стоячие волны, являются два человека, трясущие оба конца скакалки . Если они трясутся синхронно, веревка может образовывать регулярный узор волн, колеблющихся вверх и вниз, со стационарными точками вдоль веревки, где веревка почти неподвижна (узлы), и точками, где дуга веревки максимальна (пучности).

Акустический резонанс

Первоначально предполагалось, что шестиугольное облако на северном полюсе Сатурна представляет собой стоячие волны Россби . ^[30] Однако это объяснение недавно было оспорено. ^[31]

Стоячие волны также наблюдаются в физических средах, таких как струны и столбы воздуха. Любые волны, распространяющиеся по среде, отражаются обратно, когда достигают конца. Этот эффект наиболее заметен в музыкальных инструментах, где при различных частотах, кратных собственной частоте вибрирующей струны или столба воздуха , создается стоячая волна, позволяющая идентифицировать гармоники . Узлы встречаются на фиксированных концах, а антиузлы на открытых концах. Если зафиксировано только на одном конце, доступны только нечетные гармоники. На открытом конце трубы антиузел не будет находиться точно на конце, поскольку он изменяется при контакте с воздухом, поэтому для его точного размещения используется коррекция конца . Плотность струны будет влиять на частоту, на которой будут воспроизводиться гармоники; чем больше плотность, тем ниже должна быть частота, чтобы создать стоячую волну той же гармоники.

Видимый свет

Стоячие волны также наблюдаются в оптических средах, таких как оптические волноводы и оптические резонаторы . В лазерах используются оптические резонаторы в виде пары обращенных зеркал, которые составляют интерферометр Фабри-Перо . Усиливающая среда в резонаторе (например, кристалл ) когерентно излучает свет , возбуждая стоячие волны света в резонаторе. ^[32] Длина волны света очень коротка (в диапазоне нанометров , 10-9 ^м ), поэтому стоячие волны имеют микроскопические размеры. Одним из применений стоячих световых волн является измерение небольших расстояний с помощью оптических плоскостей .

Рентгеновские лучи

Интерференция между рентгеновскими лучами может образовывать поле стоячей рентгеновской волны (XSW). ^[33] Из-за короткой длины волны рентгеновских лучей (менее 1 нанометра) это явление можно использовать для измерения событий атомного масштаба на поверхностях материалов . XSW генерируется в области, где рентгеновский луч интерферирует с дифрагированным лучом от почти идеальной поверхности монокристалла или отражением от рентгеновского зеркала . Настраивая геометрию кристалла или длину волны рентгеновского излучения, XSW можно перемещать в пространстве, вызывая сдвиг рентгеновской флуоресценции или выхода фотоэлектронов из атомов вблизи поверхности. Этот сдвиг можно проанализировать, чтобы точно определить расположение определенного вида атомов относительно основной кристаллической структуры или зеркальной поверхности. Метод XSW использовался для выяснения деталей примесей в полупроводниках на атомном уровне, ^[34] атомной и молекулярной адсорбции на поверхностях ^[35] и химических превращений, участвующих в катализе . ^[36]

Механические волны

Стоячие волны можно механически индуцировать в твердой среде с помощью резонанса. Один простой для понимания пример: два человека трясут оба конца скакалки. Если они трясутся синхронно, веревка образует регулярный узор с узлами и пучностями и будет казаться стационарной, отсюда и название стоячая волна. Аналогичным образом, на консольную балку может быть наложена стоячая волна путем применения базового возбуждения. В этом случае свободный конец перемещается на наибольшее расстояние в поперечном направлении по сравнению с любым местом вдоль балки. Такое устройство можно использовать в качестве датчика для отслеживания изменений частоты или фазы резонанса волокна. Одним из применений является измерительное устройство для размерной метрологии . ^{[37] [38]}

Сейсмические волны

Стоячие поверхностные волны на Земле наблюдаются как свободные колебания Земли .

Волны Фарадея

Волна Фарадея представляет собой нелинейную стоячую волну на границе раздела воздух-жидкость, вызванную гидродинамической неустойчивостью. Его можно использовать в качестве шаблона на жидкой основе для сборки микромасштабных материалов. ^[39]

Сейши

Сейша — это пример стоячей волны в замкнутом водоеме. Он характеризуется колебательным поведением уровня воды на обоих концах тела и обычно имеет узловую точку около середины тела, где наблюдается очень незначительное изменение уровня воды. Его следует отличать от простого штормового нагона , при котором колебания отсутствуют. В крупных озерах период таких колебаний может составлять от минут до часов, например, продольный период Женевского озера составляет 73 минуты, а его поперечная сейша имеет период около 10 минут, ^[40] в то время как на озере Гурон можно увидеть резонансы с периодами от 1 до 2 часов. ^[41] См. Озерные сейши . ^{[42] [43] [44]}

Смотрите также

Волны

• Указатель волновых статей :
• Амфидромная точка
• Клапотис
• Продольный режим
• Блокировка режима
• Метахрональный ритм
• Резонансные комнатные моды
• Сейше
• Труба
• трубка Кундта
• Волновое уравнение
• Одностороннее волновое уравнение

Электроника

• Указатель статей по электронике :
• Резонатор полости
• Характеристический импеданс
• Киматика
• Импеданс
• Нормальный режим

Примечания

1. Алвин Скотт (редактор), Энциклопедия нелинейной науки , стр. 683, Рутледж, 2006 ISBN  1135455589 .
2. Теодор Ю. Ву, «Устойчивость резонансно поддерживаемых нелинейных волн», Нелинейная неустойчивость непараллельных потоков: Симпозиум IUTAM, Потсдам, Нью-Йорк , стр. 368, Springer, ISBN 3642850847 , 2012 г. . 
3. Мельде, Франц. Ueber einige krumme Flächen, welche von Ebenen,parallel einer bestimmten Ebene, durchschnitten, als Durchschnittsfigur einen Kegelschnittliefern: Инаугурационная диссертация... Кох, 1859.
4. Мельде, Франц. «Ueber die Erregung stehender Wellen eines fadenförmigen Körpers». Аннален дер Физик 185, вып. 2 (1860): 193–215.
5. Мельде, Франц. Die Lehre von den Schwingungscurven...: mit einem Atlas von 11 Tafeln в Штайндраке. Дж. А. Барт, 1864 г.
6. Мельде, Франц. «Акустические эксперименты». Аннален дер Физик 257, вып. 3 (1884): 452–470.
7. Дитше, Даниэла (31 декабря 2014 г.). "Surfbare Wechselsprünge | Espazium". www.espazium.ch (на немецком языке) . Проверено 13 января 2022 г.
8.  Эта статья включает общедоступные материалы из Федерального стандарта 1037C. Управление общего обслуживания . Архивировано из оригинала 22 января 2022 г.
9. Блэксток, Дэвид Т. (2000), Основы физической акустики , Wiley – IEEE, стр. 141, ISBN 0-471-31979-1
10. Холлидей, Резник и Уокер 2005, стр. 432.
11. Холлидей, Резник и Уокер 2005, стр. 434.
12. Сервей и Фон 1992, с. 472.
13. Сервей и Фон 1992, с. 475-476.
14. Струнный резонанс. Цифровой звук и музыка. 21 мая 2014 г. Идентификатор видео YouTube: oZ38Y0K8e-Y . Проверено 22 августа 2020 г.
15. Холлидей, Резник и Уокер 2005, стр. 450.
16. Нейв, Чехия (2016). «Стоячие волны». Гиперфизика. Государственный университет Джорджии . Проверено 23 августа 2020 г.
17. Улицы 2010, с. 6.
18. Холлидей, Резник и Уокер 2005, стр. 457.
19. Улицы 2010, с. 15.
20. Serway & Faughn 1992, стр. 478.
21. Холлидей, Резник и Уокер 2005, стр. 458.
22. Холлидей, Резник и Уокер 2005, стр. 451.
23. Сервей и Фон 1992, с. 477.
24. Томас-Палмер, Джонатан (16 октября 2019 г.). Демонстрация продольных стоячих волн. Переворачивание физики. Событие происходит в 4:11. Идентификатор видео YouTube: 3QbmvunlQR0 . Проверено 23 августа 2020 г.
25. Молд, Стив (13 апреля 2017 г.). Лучшее описание резонанса. YouTube. Событие происходит в 6:04. Идентификатор видео YouTube: dihQuwrf9yQ . Проверено 23 августа 2020 г.
26. Вайсштейн, Эрик В. «Дифференциальное уравнение Гельмгольца - декартовы координаты». MathWorld — веб-ресурс Wolfram . Проверено 2 января 2021 г.
27. Галлис, Майкл Р. (15 февраля 2008 г.). 2D-паттерны стоячей волны (прямоугольные фиксированные границы). Анимации по физике и астрономии. Государственный университет Пенсильвании. Также доступно как идентификатор видео YouTube: NMlys8A0_4s . Проверено 28 декабря 2020 г.
28. Р.С. Рао, Микроволновая техника , стр. 153–154, PHI Learning, 2015 ISBN 8120351592 . 
29. К. А. Цокос, Физика для диплома IB , с. 251, Издательство Кембриджского университета, 2010 ISBN 0521138213 . 
30. Волновая динамическая интерпретация полярной области Сатурна. Архивировано 21 октября 2011 г. в Wayback Machine , М. Эллисон, Д. А. Годфри, РФ Биб, Science vol. 247, с. 1061 (1990)
31. Барбоза Агиар, Ана К. (2010). «Лабораторная модель северного полярного шестиугольника Сатурна». Икар . 206 (2): 755–763. Бибкод : 2010Icar..206..755B. дои :10.1016/j.icarus.2009.10.022.
32. Педротти, Фрэнк Л.; Педротти, Лено М. (2017). Введение в оптику (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-1-108-42826-2.
33. Баттерман, Борис В.; Коул, Хендерсон (1964). «Динамическая дифракция рентгеновских лучей на совершенных кристаллах». Обзоры современной физики . 36 (3): 681–717. Бибкод : 1964РвМП...36..681Б. doi : 10.1103/RevModPhys.36.681.
34. Баттерман, Борис В. (1969). «Обнаружение сайтов чужеродных атомов по их рентгеновскому флуоресцентному рассеянию». Письма о физических отзывах . 22 (14): 703–705. Бибкод : 1969PhRvL..22..703B. doi : 10.1103/PhysRevLett.22.703.
35. Головченко, Ю.А.; Патель, младший; Каплан, Д.Р.; Коуэн, Польша; Бедзик, МЮ (1982). «Решение проблемы регистрации поверхности с использованием стоячих рентгеновских волн» (PDF) . Письма о физических отзывах . 49 (8): 560–563. Бибкод : 1982PhRvL..49..560G. doi : 10.1103/PhysRevLett.49.560.
36. Фэн, З.; Ким, К.-Ю.; Элам, JW; Ма, Кью; Чжан, З.; Бедзик, МЮ (2009). «Прямое наблюдение в атомном масштабе динамики катионов, индуцированной окислительно-восстановительным процессом, в монослойном катализаторе, нанесенном на оксид: WO _x /α-Fe ₂ O ₃ (0001)». Варенье. хим. Соц . 131 (51): 18200–18201. дои : 10.1021/ja906816y. ПМИД  20028144.
37. Бауза, Марцин Б.; Хокен, Роберт Дж.; Смит, Стюарт Т.; Вуди, Шейн К. (2005). «Разработка виртуального наконечника зонда с применением микромасштабных функций с высоким соотношением сторон». Обзор научных инструментов . 76 (9): 095112–095112–8. Бибкод : 2005RScI...76i5112B. дои : 10.1063/1.2052027.
38. «Решения для точного машиностроения и производства - IST Precision» . www.insitutec.com . Архивировано из оригинала 31 июля 2016 года . Проверено 28 апреля 2018 г.
39. Чен, Пу (2014). «Микромасштабная сборка, управляемая шаблоном на основе жидкости». Передовые материалы . 26 (34): 5936–5941. дои : 10.1002/adma.201402079. ПМК 4159433 . ПМИД  24956442. 
40. Леммин, Ульрих (2012), «Surface Seiches», в Бенгтссоне, Ларс; Херши, Реджинальд В.; Фэрбридж, Родс В. (ред.), Энциклопедия озер и водоемов , Серия энциклопедий наук о Земле, Springer Нидерланды, стр. 751–753, doi : 10.1007/978-1-4020-4410-6_226, ISBN 978-1-4020-4410-6
41. "Штормовой нагон на озере Гурон, 13 июля 1995 г." НОАА. Архивировано из оригинала 16 сентября 2008 г. Проверено 1 января 2023 г.
42. Корген, Бен (февраль 2000 г.). «Золотое дно для озера Верхнее: сейши делают больше, чем просто перемещают воду». seagrant.umn.edu . Университет Миннесоты в Дулуте . Архивировано из оригинала 27 декабря 2007 г.
43. "Сейше". www.soest.hawaii.edu . Архивировано из оригинала 26 января 2019 г. Проверено 1 января 2023 г.
44. Джонсон, Скотт К. (30 июня 2013 г.). «Японское землетрясение буквально взбудоражило Норвегию». Арс Техника . Архивировано из оригинала 30 июля 2022 года . Проверено 1 января 2023 г.

Рекомендации

• Холлидей, Дэвид; Резник, Роберт; Уокер, Джерл (2005). Основы физики (7-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-42959-7.
• Сервей, Раймонд А.; Фон, Джерри С. (1992). Колледж физики (3-е изд.). Издательство Колледжа Сондерса. ISBN 0-03-076377-0.
• Улицы, Дж. (2010). «Глава 16 – Суперпозиция и стоячие волны» (PDF) . Кафедра физики. PHYS122 Основы физики II. Университет Мэриленда . Проверено 23 августа 2020 г.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные со стоячими волнами, на Викискладе?