Поток

Любой эффект, который кажется проходящим через поверхность или вещество.

Поток описывает любой эффект, который кажется проходящим или путешествующим (независимо от того, движется он на самом деле или нет) через поверхность или вещество. Поток — это концепция прикладной математики и векторного исчисления , имеющая множество приложений в физике . Для явлений переноса поток представляет собой векторную величину, описывающую величину и направление потока вещества или свойства. В векторном исчислении поток — это скалярная величина, определяемая как поверхностный интеграл от перпендикулярной компоненты векторного поля по поверхности. ^[1]

Терминология

Слово флюс происходит от латинского слова : fluxus означает «течь», а fluere — «течь». ^[2] Как флюксия , этот термин был введен в дифференциальное исчисление Исааком Ньютоном .

Концепция теплового потока была ключевым вкладом Жозефа Фурье в анализ явлений теплопередачи. ^[3] Его основополагающий трактат Théorie analytique de la chaleur ( «Аналитическая теория тепла »), ^[4] определяет текучесть как центральную величину и переходит к выводу теперь хорошо известных выражений потока через разницу температур поперек плиты, и затем, в более общем плане, с точки зрения температурных градиентов или перепадов температур в других геометриях. Можно утверждать, основываясь на работе Джеймса Клерка Максвелла ^[5] , что определение переноса предшествует определению потока, используемому в электромагнетизме . Конкретная цитата Максвелла:

В случае потоков мы должны взять интеграл по поверхности от потока, проходящего через каждый элемент поверхности. Результат этой операции называется поверхностным интегралом потока. Он представляет собой количество, которое проходит через поверхность.

—  Джеймс Клерк Максвелл

Согласно определению транспорта, поток может быть одним вектором или векторным полем/функцией положения. В последнем случае поток легко интегрируется по поверхности. Напротив, согласно определению электромагнетизма, поток представляет собой интеграл по поверхности; нет смысла интегрировать поток второго определения, поскольку интегрирование будет происходить дважды по поверхности. Таким образом, цитата Максвелла имеет смысл только в том случае, если «поток» используется в соответствии с определением переноса (и, кроме того, это векторное поле, а не одиночный вектор). Это иронично, поскольку Максвелл был одним из главных разработчиков того, что мы сейчас называем «электрическим потоком» и «магнитным потоком» в соответствии с определением электромагнетизма. Их имена в соответствии с цитатой (и определением переноса) будут «поверхностный интеграл электрического потока» и «поверхностный интеграл магнитного потока», и в этом случае «электрический поток» вместо этого будет определяться как «электрическое поле» и «магнитный поток». определяется как «магнитное поле». Это означает, что Максвелл рассматривал эти поля как своего рода потоки/потоки.

Учитывая поток согласно определению электромагнетизма, соответствующая плотность потока , если этот термин используется, относится к его производной вдоль интегрированной поверхности. По Основной теореме исчисления соответствующая плотность потока является потоком согласно определению переноса. Учитывая такой ток , как электрический ток — заряд за время, плотность тока также будет потоком в соответствии с определением переноса — заряд за время на площадь. Из-за противоречивых определений потока и взаимозаменяемости потоков , потока и тока в нетехническом английском языке все термины, используемые в этом параграфе, иногда используются как взаимозаменяемые и неоднозначные. Конкретные флюсы в остальной части этой статьи будут использоваться в соответствии с их широким признанием в литературе, независимо от того, какому определению флюса соответствует этот термин.

Поток как скорость потока на единицу площади

В явлениях переноса ( теплопередача , массоперенос и гидродинамика ) поток определяется как скорость потока объекта на единицу площади, которая имеет размеры [количество]·[время] ⁻¹ ·[площадь] ⁻¹ . ^[6] Площадь – это поверхность, через которую или «через» проходит объект недвижимости. Например, количество воды, протекающей через поперечное сечение реки каждую секунду, разделенное на площадь этого поперечного сечения, или количество солнечной энергии, попадающей на участок земли каждую секунду, разделенное на площадь этого участка, являются разновидностью флюса.

Общее математическое определение (транспорт)

Силовые линии векторного поля F проходят через поверхности с единичной нормалью n , угол от n до F равен θ . Поток — это мера того, какая часть поля проходит через данную поверхность. F разлагается на компоненты, перпендикулярные (⊥) и параллельные ( ‖) n . Только параллельная составляющая вносит вклад в поток, поскольку это максимальная протяженность поля, проходящего через поверхность в точке, перпендикулярная составляющая не вносит вклада. Вверху: три силовые линии, проходящие через плоскую поверхность: одна нормаль к поверхности, одна параллельна и одна промежуточная. Внизу: линия поля, проходящая через изогнутую поверхность , показывающая настройку единичной нормали и элемента поверхности для расчета потока.

Для расчета потока векторного поля F (красные стрелки) через поверхность S поверхность разделяется на небольшие участки dS . Поток через каждый участок равен нормальной (перпендикулярной) составляющей поля, скалярному произведению F ( x ) с единичным вектором нормали n ( x ) ( синие стрелки) в точке x , умноженному на площадь dS . Сумма F · n , dS для каждого участка на поверхности представляет собой поток через поверхность

Вот 3 определения в порядке возрастания сложности. Каждый из них является частным случаем следующего. Во всех случаях часто встречающийся символ j (или J ) ​​используется для обозначения потока, q для физической величины потока, t для времени и A для площади. Эти идентификаторы будут выделены жирным шрифтом тогда и только тогда, когда они являются векторами.

Во-первых, поток как (одиночный) скаляр:

$${\displaystyle j={\frac {I}{A}},}$$

$${\displaystyle I=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta q}{\Delta t}}={\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}.}$$

A.

Во-вторых, поток как скалярное поле , определенное вдоль поверхности, т.е. функция точек на поверхности:

$${\displaystyle j(\mathbf {p} )={\frac {\partial I}{\partial A}}(\mathbf {p} ),}$$

$${\displaystyle I(A,\mathbf {p} )={\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}(A,\mathbf {p} ).}$$

qpAqAp

Наконец, поток как векторное поле :

$${\displaystyle \mathbf {j} (\mathbf {p} )={\frac {\partial \mathbf {I} }{\partial A}}(\mathbf {p} ),}$$

$${\displaystyle \mathbf {I} (A,\mathbf {p} )={\underset {\mathbf {\hat {n}} }{\operatorname {arg\,max} }}\mathbf {\hat {n}} _{\mathbf {p} }{\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}(A,\mathbf {p} ,\mathbf {\hat {n}} ).}$$

qIзлоупотребление обозначениями ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

Характеристики

Эти прямые определения, особенно последнее, довольно громоздки. Например, конструкция arg max является искусственной с точки зрения эмпирических измерений, когда с помощью флюгера или чего-то подобного можно легко определить направление потока в точке. Вместо того, чтобы напрямую определять векторный поток, часто более интуитивно понятно указать некоторые его свойства. Более того, по этим свойствам в любом случае можно однозначно определить поток.

Если поток j проходит через область под углом θ к нормали площади , то скалярное произведение ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

$${\displaystyle \mathbf {j} \cdot \mathbf {\hat {n}} =j\cos \theta .}$$

j cos,jθчерез,

Для векторного потока поверхностный интеграл от j по поверхности S дает правильное течение в единицу времени через поверхность:

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}=\iint _{S}\mathbf {j} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dA=\iint _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {A} ,}$$

Aплощадь вектораAединичного вектора, ${\displaystyle \mathbf {A} =A\mathbf {\hat {n}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

Наконец, мы можем снова интегрировать по времени от t ₁ до t ₂ , получая общее количество имущества, протекающего через поверхность за это время ( t ₂  −  t ₁ ):

$${\displaystyle q=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\iint _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {A} \,dt.}$$

Транспортные потоки

Восемь наиболее распространенных форм потоков в литературе по явлениям переноса определяются следующим образом:

1. Поток импульса , скорость передачи импульса через единицу площади (Н·с·м ^-2 ·с ^-1 ). ( Закон вязкости Ньютона ) ^[7]
2. Тепловой поток , скорость теплового потока через единицу площади (Дж·м ⁻² ·с ⁻¹ ). ( Закон проводимости Фурье ) ^[8] (Это определение теплового потока соответствует первоначальному определению Максвелла.) ^[5]
3. Диффузионный поток , скорость движения молекул через единицу площади (моль·м ^-2 ·с ^-1 ). ( Закон диффузии Фика ) ^[7]
4. Объемный поток , скорость объемного потока через единицу площади (м ³ ·м ^-2 ·с ^-1 ). ( Закон Дарси о движении грунтовых вод )
5. Массовый поток , скорость массового расхода через единицу площади (кг·м ^-2 ·с ^-1 ). (Либо альтернативная форма закона Фика, включающая молекулярную массу, либо альтернативная форма закона Дарси, включающая плотность.)
6. Радиационный поток — количество энергии, передаваемой в виде фотонов на определенном расстоянии от источника на единицу площади в секунду (Дж·м ^-2 ·с ^-1 ). Используется в астрономии для определения величины и спектрального класса звезды. Также действует как обобщение теплового потока, который равен потоку излучения, если ограничить его электромагнитным спектром.
7. Поток энергии , скорость передачи энергии через единицу площади (Дж·м ^-2 ·с ^-1 ). Радиационный поток и тепловой поток являются частными случаями потока энергии.
8. Поток частиц, скорость переноса частиц через единицу площади ([количество частиц] м ^-2 ·с ^-1 )

Эти потоки представляют собой векторы в каждой точке пространства и имеют определенную величину и направление. Также по дивергенции любого из этих потоков можно определить скорость накопления количества в контрольном объеме вокруг данной точки пространства. Для несжимаемого потока дивергенция объемного потока равна нулю.

Химическая диффузия

Как упоминалось выше, химический молярный поток компонента А в изотермической изобарной системе определяется в законе диффузии Фика как:

$${\displaystyle \mathbf {J} _{A}=-D_{AB}\nabla c_{A}}$$

символ наблыградиентаD _AB^2-1c _Aконцентрациямоль^3[9]

Этот поток имеет единицы моль·м ^-2 ·с ^-1 и соответствует первоначальному определению потока Максвелла. ^[5]

Для разбавленных газов кинетическая молекулярная теория связывает коэффициент диффузии D с плотностью частиц n = N / V , молекулярной массой m , сечением столкновения и абсолютной температурой T следующим образом: ${\displaystyle \sigma }$

$${\displaystyle D={\frac {2}{3n\sigma }}{\sqrt {\frac {kT}{\pi m}}}}$$

длина свободного пробегапостоянной Больцмана kсредняя скорость

В турбулентных потоках перенос за счет вихревого движения можно выразить как резко увеличенный коэффициент диффузии.

Квантовая механика

В квантовой механике частицы массы m в квантовом состоянии ψ ( r , t ) имеют плотность вероятности , определяемую как

$${\displaystyle \rho =\psi ^{*}\psi =|\psi |^{2}.}$$

элементе объема³ r

$${\displaystyle dP=|\psi |^{2}\,d^{3}\mathbf {r} .}$$

поперечного сечения

$${\displaystyle \mathbf {J} ={\frac {i\hbar }{2m}}\left(\psi \nabla \psi ^{*}-\psi ^{*}\nabla \psi \right).}$$

^[10][11]

Поток как поверхностный интеграл

Общее математическое определение (поверхностный интеграл)

Поток визуализируется. Кольцами показаны границы поверхности. Красные стрелки обозначают поток зарядов, частиц жидкости, субатомных частиц, фотонов и т. д. Количество стрелок, проходящих через каждое кольцо, и есть поток.

Как математическое понятие, поток представлен поверхностным интегралом векторного поля , ^[12]

${\displaystyle \Phi _{F}=\iint _{A}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$

${\displaystyle \Phi _{F}=\iint _{A}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} A}$

где F — векторное поле , а d A — векторная площадь поверхности A , направленная по нормали к поверхности . Во втором случае n — направленный наружу единичный вектор нормали к поверхности.

Поверхность должна быть ориентируемой , т. е. можно выделить две стороны: поверхность не сворачивается сама на себя. Кроме того, поверхность должна быть фактически ориентирована, т. е. мы используем соглашение о том, какое направление течения считается положительным; течение обратного потока тогда считается отрицательным.

Нормаль к поверхности обычно определяется правилом правой руки .

И наоборот, можно считать поток более фундаментальной величиной и называть векторное поле плотностью потока.

Часто векторное поле рисуется кривыми (линиями поля), идущими по «течению»; тогда величина векторного поля — это плотность линий, а поток через поверхность — это количество линий. Линии берут начало в областях положительной дивергенции (источники) и заканчиваются в областях отрицательной дивергенции (стоки).

См. также изображение справа: количество красных стрелок, проходящих через единицу площади, представляет собой плотность потока, кривая, описывающая красные стрелки, обозначает границу поверхности, а ориентация стрелок относительно поверхности обозначает знак скалярное произведение векторного поля с нормалями к поверхности.

Если поверхность охватывает трехмерную область, обычно поверхность ориентирована так, что приток считается положительным; обратное – отток .

Теорема о дивергенции утверждает, что чистый отток через замкнутую поверхность, другими словами, чистый отток из трехмерной области, находится путем сложения локального чистого оттока из каждой точки области (который выражается дивергенцией ) .

Если поверхность не замкнута, то ее границей является ориентированная кривая. Теорема Стокса утверждает, что поток ротора векторного поля представляет собой линейный интеграл векторного поля по этой границе. Этот интеграл по траекториям также называется циркуляцией , особенно в гидродинамике. Таким образом, ротор – это плотность циркуляции.

Мы можем применить поток и эти теоремы ко многим дисциплинам, в которых мы видим токи, силы и т. д., действующие через области.

Электромагнетизм

Электрический поток

Электрический «заряд», такой как одиночный протон в космосе, имеет величину, определяемую в кулонах. Вокруг такого заряда существует электрическое поле. В графической форме электрическое поле положительного точечного заряда можно представить как точку, излучающую линии электрического поля (иногда также называемые «силовыми линиями»). Концептуально электрический поток можно рассматривать как «количество силовых линий», проходящих через данную область. Математически электрический поток представляет собой интеграл нормальной составляющей электрического поля на заданной площади. Следовательно, единицами электрического потока в системе MKS являются ньютоны на кулон , умноженные на квадратные метры, или Н м ² /Кл. (Плотность электрического потока представляет собой электрический поток на единицу площади и является мерой напряженности нормальной составляющей электрического поля, усредненной по площади интегрирования. Ее единицами являются N/C, такие же, как и электрическое поле в единицах МКС. )

Используются две формы электрического потока , одна для электрического поля: ^{[13] [14]}

${\displaystyle \Phi _{E}=}$ ${\displaystyle {\scriptstyle A}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \cdot {\rm {d}}\mathbf {A} }$

и один для D -поля (называемый электрическим смещением ):

${\displaystyle \Phi _{D}=}$ ${\displaystyle {\scriptstyle A}}$ ${\displaystyle \mathbf {D} \cdot {\rm {d}}\mathbf {A} }$

Эта величина возникает в законе Гаусса , который гласит, что поток электрического поля E из замкнутой поверхности пропорционален электрическому заряду Q _A , заключенному в поверхности (независимо от того, как этот заряд распределен), интегральная форма:

${\displaystyle {\scriptstyle A}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \cdot {\rm {d}}\mathbf {A} ={\frac {Q_{A}}{\varepsilon _{0}}}}$

где ε ₀ — диэлектрическая проницаемость свободного пространства .

Если рассматривать поток вектора электрического поля E для трубки вблизи точечного заряда в поле заряда, но не содержащей его со сторонами, образованными линиями, касающимися поля, то поток для сторон равен нулю и существует равный и противоположный поток на обоих концах трубки. Это следствие закона Гаусса, примененного к полю обратных квадратов. Поток для любой поверхности поперечного сечения трубки будет одинаковым. Полный поток для любой поверхности, окружающей заряд q, равен q / ε ₀ . ^[15]

В свободном пространстве электрическое смещение задается определяющим соотношением D = ε ₀ E , поэтому для любой ограничивающей поверхности поток D -поля равен заряду Q _A внутри нее. Здесь выражение «поток» указывает на математическую операцию и, как видно, результатом не обязательно является «поток», поскольку на самом деле ничто не течет вдоль силовых линий электрического поля.

Магнитный поток

Плотность магнитного потока ( магнитного поля ), имеющая единицу Вб/м ² ( Тесла ), обозначается B , а магнитный поток определяется аналогично: ^{[13] [14]}

${\displaystyle \Phi _{B}=\iint _{A}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$

с теми же обозначениями, что и выше. Величина возникает в законе индукции Фарадея , где магнитный поток зависит от времени либо потому, что граница зависит от времени, либо магнитное поле зависит от времени. В интегральной форме:

${\displaystyle -{\frac {{\rm {d}}\Phi _{B}}{{\rm {d}}t}}=\oint _{\partial A}\mathbf {E} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}}$

где d ℓ — бесконечно малый элемент векторной линии замкнутой кривой с величиной , равной длине бесконечно малого элемента прямой, и направлением , заданным касательной к кривой , со знаком, определяемым направлением интегрирования. ${\displaystyle \partial A}$ ${\displaystyle \partial A}$

Скорость изменения магнитного потока через петлю провода минус электродвижущая сила , созданная в этом проводе. Направление таково, что если позволить току проходить по проводу, электродвижущая сила вызовет ток, который «противодействует» изменению магнитного поля, сам по себе создавая магнитное поле, противоположное этому изменению. Это основа катушек индуктивности и многих электрических генераторов .

Пойнтинг-флюс

Используя это определение, поток вектора Пойнтинга S над заданной поверхностью представляет собой скорость, с которой электромагнитная энергия течет через эту поверхность, определенную, как и раньше: ^[14]

${\displaystyle \Phi _{S}=}$ ${\displaystyle {\scriptstyle A}}$ ${\displaystyle \mathbf {S} \cdot {\rm {d}}\mathbf {A} }$

Поток вектора Пойнтинга через поверхность — это электромагнитная мощность или энергия в единицу времени , проходящая через эту поверхность. Это обычно используется при анализе электромагнитного излучения , но применимо и к другим электромагнитным системам.

Как ни странно, вектор Пойнтинга иногда называют потоком мощности , что является примером первого использования потока, приведенного выше. ^[16] Единицы измерения — ватты на квадратный метр (Вт/м ² ).

Радиометрические установки СИ

1. Организации по стандартизации рекомендуют обозначать радиометрические величины суффиксом «e» (от «энергетические»), чтобы избежать путаницы с фотометрическими или фотонными величинами.
2. Иногда встречаются альтернативные символы: W или E для энергии излучения, P или F для потока излучения, I для излучения, W для мощности излучения.
3. Спектральные величины, заданные на единицу частоты , обозначаются суффиксом « ν » (греческая буква nu , не путать с буквой «v», обозначающей фотометрическую величину.)
4. Спектральные величины, приведённые на единицу длины волны , обозначаются суффиксом « λ ».
5. Направленные величины обозначаются суффиксом « Ом ».

Смотрите также

• Математический портал

• Величина AB
• Генератор сжатия потока со взрывной накачкой
• Поток вихревой ковариации (также известный как вихревая корреляция, вихревой поток)
• Испытательная установка для быстрого флюса
• Флюенс (поток первого рода для пучков частиц)
• Динамика жидкостей
• След потока
• Закрепление флюса
• Квантование потока
• Закон Гаусса
• Закон обратных квадратов
• Янский (единица спектральной плотности потока вне системы СИ)
• Скрытый тепловой поток
• Световой поток
• Магнитный поток
• Квант магнитного потока
• Нейтронный поток
• Пойнтинг-флюс
• Теорема Пойнтинга
• Лучистый поток
• Быстрый одиночный квант потока
• Поток звуковой энергии
• Объемный поток (поток первого рода для жидкостей)
• Объемный расход (поток второго рода для жидкостей)

Примечания

1. Перселл, с. 22-26
2. Уикли, Эрнест (1967). Этимологический словарь современного английского языка . Публикации Courier Dover. п. 581. ИСБН 0-486-21873-2.
3. Херивел, Джон (1975). Жозеф Фурье: человек и физик . Оксфорд: Кларендон Пресс. стр. 181–191. ISBN 0198581491.
4. Фурье, Жозеф (1822). Théorie Analytique de la Chaleur (на французском языке). Париж: Firmin Didot Père et Fils. ОСЛК  2688081.
5. Максвелл, Джеймс Клерк (1892). Трактат об электричестве и магнетизме . ISBN 0-486-60636-8.
6. Берд, Р. Байрон ; Стюарт, Уоррен Э.; Лайтфут, Эдвин Н. (1960). Транспортные явления . Уайли. ISBN 0-471-07392-Х.
7. PM Уилан; М. Дж. Ходжсон (1978). Основные принципы физики (2-е изд.). Джон Мюррей. ISBN 0-7195-3382-1.
8. Карслоу, HS; Джагер, JC (1959). Теплопроводность в твердых телах (второе изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-853303-9.
9. Велти; Уикс, Уилсон и Роррер (2001). Основы импульса, тепла и массообмена (4-е изд.). Уайли. ISBN 0-471-38149-7.
10. Д. МакМахон (2006). Квантовая механика демистифицирована . Мак Грау Хилл. ISBN 0-07-145546-9.
11. Сакураи, Джей-Джей (1967). Продвинутая квантовая механика . Эддисон Уэсли. ISBN 0-201-06710-2.
12. Г-н Шпигель; С. Липшуц; Д. Спеллман (2009). Векторный анализ . Очерки Шаума (2-е изд.). МакГроу Хилл. п. 100. ИСБН 978-0-07-161545-7.
13. IS Грант; В. Р. Филлипс (2008). Электромагнетизм . Манчестерская физика (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья . ISBN 978-0-471-92712-9.
14. DJ Гриффитс (2007). Введение в электродинамику (3-е изд.). Pearson Education, Дорлинг Киндерсли . ISBN 978-81-7758-293-2.
15. Лекции Фейнмана по физике Том. II гл. 4: Электростатика
16. Вангснесс, Роальд К. (1986). Электромагнитные поля (2-е изд.). Уайли. ISBN 0-471-81186-6.стр.357

• Браун, Майкл, доктор философии (2010). Физика для техники и науки, 2-е издание . Очертания Шаума. Нью-Йорк, Торонто: Издательство McGraw-Hill . ISBN 978-0-0716-1399-6.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Перселл, Эдвард, доктор философии (2013). Электричество и магнетизм, 3-е издание . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978110-7014022.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

дальнейшее чтение

• Стауффер, PH (2006). «Флюс в замешательстве: предложение для последовательного использования». Грунтовые воды . 44 (2): 125–128. Бибкод : 2006GrWat..44..125S. дои : 10.1111/j.1745-6584.2006.00197.x . PMID  16556188. S2CID  21812226.

Внешние ссылки

• Словарное определение потока в Викисловаре