Отрезок бесконечно малой длины
В геометрии элемент линии или элемент длины можно неформально рассматривать как сегмент линии, связанный с бесконечно малым вектором смещения в метрическом пространстве . Длина элемента линии, которую можно рассматривать как длину дифференциальной дуги , является функцией метрического тензора и обозначается . д с {\displaystyle ds}
Линейные элементы используются в физике , особенно в теориях гравитации (особенно в общей теории относительности ), где пространство-время моделируется как искривленное псевдориманово многообразие с соответствующим метрическим тензором . [1]
Общая формулировка Определение элемента линии и длины дуги Независимое от координат определение квадрата линейного элемента ds в n - мерном римановом или псевдоримановом многообразии (в физике обычно лоренцевом многообразии ) есть «квадрат длины» бесконечно малого смещения [2] (в псевдоримановом многообразии многообразия, возможно, отрицательные), квадратный корень которого следует использовать для вычисления длины кривой: д д {\displaystyle d\mathbf {q} }
д с 2 "=" д д ⋅ д д "=" г ( д д , д д ) {\displaystyle ds^{2}=d\mathbf {q} \cdot d\mathbf {q} =g (d\mathbf {q}, d\mathbf {q})} g метрический тензор · скалярное произведение d q — бесконечно малое на
длину дуги интеграл [3] д ( λ ) {\displaystyle q(\lambda)} д ( λ 1 ) {\displaystyle q(\lambda _{1})} д ( λ 2 ) {\displaystyle q(\lambda _{2})} с "=" ∫ λ 1 λ 2 д λ | д с 2 | "=" ∫ λ 1 λ 2 д λ | г ( д д д λ , д д д λ ) | "=" ∫ λ 1 λ 2 д λ | г я дж д д я д λ д д дж д λ | {\displaystyle s=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}d\lambda {\sqrt {\left|ds^{2}\right|}}=\int _{ \lambda _{1}}^{\lambda _{2}}d\lambda {\sqrt {\left|g\left({\frac {dq}{d\lambda }},{\frac {dq}{ d\lambda }}\right)\right|}}=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}d\lambda {\sqrt {\left|g_{ij}{\ frac {dq^{i}}{d\lambda }}{\frac {dq^{j}}{d\lambda }}\right|}}} Чтобы вычислить разумную длину кривых в псевдоримановых многообразиях, лучше всего предположить, что бесконечно малые смещения всюду имеют один и тот же знак. Например, в физике квадрат элемента линии вдоль кривой временной шкалы будет (в соответствии с соглашением о сигнатурах) отрицательным, а отрицательный квадратный корень из квадрата элемента линии вдоль кривой будет измерять правильное прохождение времени для наблюдателя, движущегося по кривой. . С этой точки зрения метрика помимо линейного элемента определяет также элементы поверхности , объема и т. д. − + + + {\displaystyle -+++}
Отождествление квадрата линейного элемента с метрическим тензором Поскольку это произвольный «квадрат длины дуги», он полностью определяет метрику, и поэтому обычно лучше рассматривать выражение для как определение самого метрического тензора, записанное в наводящей на размышления, но нетензорной записи: д д {\displaystyle d\mathbf {q} } д с 2 {\displaystyle ds^{2}} д с 2 {\displaystyle ds^{2}}
д с 2 "=" г {\displaystyle ds^{2}=g} n криволинейных координатах q = ( q 1 , q 2 , q 3 , ..., q n ) [3] [4] д с 2 {\displaystyle ds^{2}} д с 2 "=" г я дж д д я д д дж "=" г . {\displaystyle ds^{2}=g_{ij}dq^{i}dq^{j}=g.} Здесь индексы i и j принимают значения 1, 2, 3, ..., n и используется соглашение Эйнштейна о суммировании . Общие примеры (псевдо)римановых пространств включают трехмерное пространство (без включения временных координат) и даже четырехмерное пространство-время .
Линейные элементы в евклидовом пространстве Элемент векторной линии d r (зеленый) в трехмерном евклидовом пространстве, где λ — параметр пространственной кривой (светло-зеленый). Ниже приведены примеры того, как элементы строки находятся из метрики.
Декартовы координаты Самый простой линейный элемент находится в декартовых координатах — в этом случае метрикой является просто дельта Кронекера :
г я дж "=" δ я дж {\displaystyle g_{ij} =\delta _{ij}} i, j матричной i j [ г я дж ] "=" ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) {\displaystyle [g_{ij}]={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}} Общие криволинейные координаты сводятся к декартовым координатам:
( д 1 , д 2 , д 3 ) "=" ( Икс , й , я ) ⇒ д р "=" ( д Икс , д й , д я ) {\displaystyle (q^{1},q^{2},q^{3})=(x,y,z)\,\Rightarrow \,d\mathbf {r} =(dx,dy,dz) } д с 2 "=" г я дж д д я д д дж "=" д Икс 2 + д й 2 + д я 2 {\displaystyle ds^{2}=g_{ij}dq^{i}dq^{j}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}} Ортогональные криволинейные координаты Для всех ортогональных координат метрика определяется следующим образом: [3]
[ г я дж ] "=" ( час 1 2 0 0 0 час 2 2 0 0 0 час 3 2 ) {\displaystyle [g_{ij}]={\begin{pmatrix}h_{1}^{2}&0&0\\0&h_{2}^{2}&0\\0&0&h_{3}^{2}\end{pmatrix }}} час я "=" | ∂ р ∂ д я | {\displaystyle h_{i}=\left|{\frac {\partial \mathbf {r} {\partial q^{i}}}\right|} для i = 1, 2, 3 являются масштабными коэффициентами , поэтому квадрат линейного элемента равен:
д с 2 "=" час 1 2 ( д д 1 ) 2 + час 2 2 ( д д 2 ) 2 + час 3 2 ( д д 3 ) 2 {\displaystyle ds^{2}=h_{1}^{2}(dq^{1})^{2}+h_{2}^{2}(dq^{2})^{2}+h_ {3}^{2}(dq^{3})^{2}} Некоторые примеры линейных элементов в этих координатах приведены ниже. [2]
Общие криволинейные координаты Учитывая произвольный базис пространства размерности , метрика определяется как скалярное произведение базисных векторов. н , { б ^ я } {\ displaystyle n, \ {{\ шляпа {b}} _ {i} \}}
г я дж "=" ⟨ б ^ я , б ^ дж ⟩ {\displaystyle g_{ij}=\langle {\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}\rangle } Где и внутренний продукт находится по отношению к окружающему пространству (обычно его ) 1 ≤ i , j ≤ n {\displaystyle 1\leq i,j\leq n} δ i j {\displaystyle \delta _{ij}}
В координатном порядке b ^ i = ∂ ∂ x i {\displaystyle {\hat {b}}_{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}
Координатный базис — это особый тип базиса, который регулярно используется в дифференциальной геометрии.
Линейные элементы в 4-мерном пространстве-времени Пространство-время Минковского Метрика Минковского : [5] [1]
[ g i j ] = ± ( 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 ) {\displaystyle [g_{ij}]=\pm {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\\end{pmatrix}}} плоскому пространству-времени 4-мя позициями x = ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) = ( c t , r ) ⇒ d x = ( c d t , d r ) {\displaystyle \mathbf {x} =(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,\mathbf {r} )\,\Rightarrow \,d\mathbf {x} =(cdt,d\mathbf {r} )} поэтому элемент строки:
d s 2 = ± ( c 2 d t 2 − d r ⋅ d r ) . {\displaystyle ds^{2}=\pm (c^{2}dt^{2}-d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} ).} Координаты Шварцшильда В координатах Шварцшильда координаты , являются общей метрикой вида: ( t , r , θ , ϕ ) {\displaystyle \left(t,r,\theta ,\phi \right)}
[ g i j ] = ( − a ( r ) 2 0 0 0 0 b ( r ) 2 0 0 0 0 r 2 0 0 0 0 r 2 sin 2 θ ) {\displaystyle [g_{ij}]={\begin{pmatrix}-a(r)^{2}&0&0&0\\0&b(r)^{2}&0&0\\0&0&r^{2}&0\\0&0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \\\end{pmatrix}}} (обратите внимание на сходство с метрикой в 3D сферических полярных координатах).
поэтому элемент строки:
d s 2 = − a ( r ) 2 d t 2 + b ( r ) 2 d r 2 + r 2 d θ 2 + r 2 sin 2 θ d ϕ 2 . {\displaystyle ds^{2}=-a(r)^{2}\,dt^{2}+b(r)^{2}\,dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}.} Общее пространство-время Независимое от координат определение квадрата линейного элемента d s в пространстве-времени : [1]
d s 2 = d x ⋅ d x = g ( d x , d x ) {\displaystyle ds^{2}=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} =g(d\mathbf {x} ,d\mathbf {x} )} По координатам:
d s 2 = g α β d x α d x β {\displaystyle ds^{2}=g_{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }} α β Это пространственно-временной интервал — мера разделения между двумя сколь угодно близкими событиями в пространстве-времени . В специальной теории относительности он инвариантен относительно преобразований Лоренца . В общей теории относительности он инвариантен относительно произвольных обратимых дифференцируемых преобразований координат .
Смотрите также Рекомендации ^ abc Gravitation, Дж. А. Уиллер, К. Миснер, К. С. Торн, WH Freeman & Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0 ^ ab Тензорное исчисление, округ Колумбия Кей, Очерки Шаума, МакГроу Хилл (США), 1988, ISBN 0-07-033484-6 ^ Векторный анализ abc (2-е издание), М. Р. Шпигель, С. Липшуц, Д. Спеллман, Очерки Шаума, McGraw Hill (США), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7 ^ Введение в тензорный анализ: для инженеров и ученых-прикладников, Дж. Р. Тилдесли, Лонгман, 1975, ISBN 0-582-44355-5 ^ Демистификация относительности, Д. МакМахон, Мак Гроу Хилл (США), 2006, ISBN 0-07-145545-0 
![{\displaystyle [g_{ij}]={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2026fde7268eda31a855b1b6cac64137b910b12)
![{\displaystyle [g_{ij}]={\begin{pmatrix}h_{1}^{2}&0&0\\0&h_{2}^{2}&0\\0&0&h_{3}^{2}\end{pmatrix }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87ea89479394915d623f5a14f2484bfa1bb97562)
![{\displaystyle [g_{ij}]=\pm {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da98e0ca80b80fe04c277cf30479cbdb7ddde431)
![{\displaystyle [g_{ij}]={\begin{pmatrix}-a(r)^{2}&0&0&0\\0&b(r)^{2}&0&0\\0&0&r^{2}&0\\0&0&0&r^{ 2}\sin ^{2}\theta \\\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ba51ad7dca34a4059f15ab3ef94c03e9c512b85)
