Впервые он был определен и использован для описания скоростей частиц в идеализированных газах , где частицы свободно движутся внутри неподвижного контейнера, не взаимодействуя друг с другом, за исключением очень кратких столкновений , при которых они обмениваются энергией и импульсом друг с другом или со своей тепловой средой. Термин «частица» в этом контексте относится только к газообразным частицам ( атомам или молекулам ), и предполагается, что система частиц достигла термодинамического равновесия . [1] Энергии таких частиц соответствуют так называемой статистике Максвелла-Больцмана , а статистическое распределение скоростей получается путем приравнивания энергии частиц к кинетической энергии .
Распределение Максвелла-Больцмана является результатом кинетической теории газов , которая дает упрощенное объяснение многих фундаментальных свойств газа, включая давление и диффузию . [3] Распределение Максвелла-Больцмана в основном применимо к скоростям частиц в трех измерениях, но оказывается, что оно зависит только от скорости (величины скорости ) частиц. Распределение вероятностей скоростей частиц указывает, какие скорости более вероятны: случайно выбранная частица будет иметь скорость, случайно выбранную из распределения, и с большей вероятностью будет находиться в одном диапазоне скоростей, чем в другом. Кинетическая теория газов применима к классическому идеальному газу , который представляет собой идеализацию реальных газов. В реальных газах существуют различные эффекты (например, взаимодействия Ван-дер-Ваальса , вихревой поток, релятивистские пределы скорости и квантовые обменные взаимодействия ), которые могут отличать их распределение скоростей от формы Максвелла-Больцмана. Однако разреженные газы при обычных температурах ведут себя очень близко к идеальному газу, и распределение скоростей Максвелла является отличным приближением для таких газов. Это справедливо и для идеальной плазмы , представляющей собой ионизированные газы достаточно малой плотности. [4]
Распределение было впервые получено Максвеллом в 1860 году на эвристических основаниях. [5] Больцман позже, в 1870-х годах, провел значительные исследования физических причин этого распределения. Распределение можно получить на том основании, что оно максимизирует энтропию системы. Список производных:
Для системы, содержащей большое количество идентичных невзаимодействующих, нерелятивистских классических частиц, находящихся в термодинамическом равновесии, доля частиц внутри бесконечно малого элемента трехмерного пространства скоростей d 3 v , центрированного на векторе скорости величины v , дан кем-то
f ( v ) — функция распределения вероятностей, правильно нормированная так, чтопо всем скоростям равна единице.
Элемент пространства скоростей можно записать как , для скоростей в стандартной декартовой системе координат, или как в стандартной сферической системе координат, где – элемент телесного угла и
Функция распределения Максвелла для частиц, движущихся только в одном направлении, если это направление равно x , равна
v yv z
Признавая симметрию , можно проинтегрировать по телесному углу и записать вероятностное распределение скоростей в виде функции [6]
Эта функция плотности вероятности дает вероятность на единицу скорости найти частицу со скоростью, близкой к v . Это уравнение представляет собой просто распределение Максвелла-Больцмана (приведенное в информационном окне) с параметром распределения.
Распределение Максвелла-Больцмана эквивалентно распределению хи с тремя степенями свободы и параметром масштаба.
Релаксация к двумерному распределению Максвелла – Больцмана.
Для частиц, которые могут двигаться в плоскости, распределение скорости определяется выражением
Это распределение используется для описания систем, находящихся в равновесии. Однако большинство систем изначально не находятся в равновесном состоянии. Эволюция системы к равновесному состоянию определяется уравнением Больцмана . Уравнение предсказывает, что для короткодействующих взаимодействий равновесное распределение скоростей будет следовать распределению Максвелла – Больцмана. Справа показано моделирование молекулярной динамики (МД), в котором 900 частиц твердых сфер вынуждены двигаться по прямоугольнику. Они взаимодействуют посредством совершенно упругих столкновений . Система инициализируется вне равновесия, но распределение скоростей (синий цвет) быстро сходится к двумерному распределению Максвелла – Больцмана (оранжевый цвет).
Типичные скорости
Средняя скорость , наиболее вероятная скорость ( режим ) v p и среднеквадратическая скорость могут быть получены из свойств распределения Максвелла.
Наиболее вероятная скорость vp — это скорость, которой с наибольшей вероятностью будет обладать любая молекула (той же массы m ) в системе, и она соответствует максимальному значению или моде f ( v ) . Чтобы найти его, мы вычисляем производную , приравниваем ее к нулю и находим v :
Средняя скорость — это ожидаемое значение распределения скорости, устанавливающее :
Среднеквадратическая скорость — это необработанный момент второго порядка распределения скорости. «Среднеквадратическая скорость» представляет собой квадратный корень из среднеквадратичной скорости, соответствующей скорости частицы со средней кинетической энергией , устанавливая :
Таким образом, типичные скорости связаны следующим образом:
Среднеквадратическая скорость напрямую связана со скоростью звука c в газе соотношением
Интеграл можно легко получить, перейдя к координатам и
Вывод и связанные с ним распределения
Статистика Максвелла – Больцмана
Первоначальный вывод Джеймса Клерка Максвелла , сделанный в 1860 году , был аргументом, основанным на молекулярных столкновениях кинетической теории газов, а также на определенных симметриях в функции распределения по скорости; Максвелл также выдвинул один из первых аргументов в пользу того, что эти молекулярные столкновения влекут за собой тенденцию к равновесию. [5] [10] Вслед за Максвеллом Людвиг Больцман в 1872 году [11] также получил распределение на механических основаниях и утверждал, что газы должны со временем стремиться к этому распределению из-за столкновений (см. H-теорему ). Позже (1877 г.) [12] он снова получил это распределение в рамках статистической термодинамики . Выводы в этом разделе аналогичны выводам Больцмана 1877 года, начиная с результата, известного как статистика Максвелла – Больцмана (из статистической термодинамики). Статистика Максвелла-Больцмана дает среднее количество частиц, находящихся в данном одночастичном микросостоянии . При некоторых предположениях логарифм доли частиц в данном микросостоянии линеен по отношению энергии этого состояния к температуре системы: существуют константы и такие, что для всех ,
[1] [13]
Это соотношение можно записать в виде уравнения, введя нормирующий множитель:
где:
Ni — ожидаемое число частиц в одночастичном микросостоянии i ,
Знаменатель в уравнении ( 1 ) является нормирующим коэффициентом, так что сумма отношений равна единице — другими словами, это своего рода статистическая сумма (для одночастичной системы, а не обычная статистическая сумма всей системы).
Поскольку скорость и скорость связаны с энергией, уравнение ( 1 ) можно использовать для вывода взаимосвязи между температурой и скоростями частиц газа. Все, что нужно, — это обнаружить плотность микросостояний по энергии, которая определяется разделением импульсного пространства на области одинакового размера.
Распределение вектора импульса
Потенциальная энергия принимается равной нулю, так что вся энергия находится в форме кинетической энергии. Связь между кинетической энергией и импульсом для массивных нерелятивистских частиц имеет вид
где p 2 - квадрат вектора импульса p = [ p x , p y , p z ] . Поэтому мы можем переписать уравнение ( 1 ) так:
Это распределение N i : N пропорционально функции плотности вероятности f p для нахождения молекулы с этими значениями компонентов импульса, поэтому :
Нормализующую константу можно определить, признав, что вероятность того, что молекула будет иметь некоторый импульс, должна быть равна 1. Интегрирование экспоненты в ( 4 ) по всем p x , py и p z дает коэффициент
Итак, нормированная функция распределения:
( 6 )
Распределение рассматривается как произведение трех независимых нормально распределенных переменных , и , с дисперсией . Кроме того, можно видеть, что величина импульса будет распределяться как распределение Максвелла – Больцмана с . Распределение Максвелла-Больцмана для импульса (или, что равно, для скоростей) можно получить более фундаментально, используя H-теорему в состоянии равновесия в рамках кинетической теории газов .
Распределение энергии
Распределение энергии оказывается впечатляющим
где – бесконечно малый фазовый объем импульсов, соответствующий энергетическому интервалу dE . Используя сферическую симметрию дисперсионного уравнения энергии-импульса, это можно выразить через dE как
Используя тогда ( 8 ) в ( 7 ) и выражая все через энергию E , получаем
( 9 )
Поскольку энергия пропорциональна сумме квадратов трех нормально распределенных компонентов импульса, это распределение энергии можно эквивалентно записать как гамма-распределение , используя параметр формы и параметр масштаба:
Используя теорему о равнораспределении , учитывая, что энергия равномерно распределена между всеми тремя степенями свободы в равновесии, мы также можем разделить на набор распределений хи-квадрат , где энергия на степень свободы, ε , распределяется как хи-квадрат распределение с одной степенью свободы, [14]
В состоянии равновесия это распределение будет справедливым для любого числа степеней свободы. Например, если частицы представляют собой диполи жесткой массы с фиксированным дипольным моментом, они будут иметь три поступательные степени свободы и две дополнительные вращательные степени свободы. Энергия в каждой степени свободы будет описываться согласно вышеуказанному распределению хи-квадрат с одной степенью свободы, а полная энергия будет распределяться согласно распределению хи-квадрат с пятью степенями свободы. Это имеет значение в теории удельной теплоемкости газа.
Распределение вектора скорости
Учитывая, что плотность вероятности скорости f v пропорциональна функции плотности вероятности импульса по формуле
и используя p = m v, мы получаем
что представляет собой распределение скорости Максвелла – Больцмана. Вероятность найти частицу со скоростью в бесконечно малом элементе [ dv x , dv y , dv z ] относительно скорости v = [ v x , v y , v z ] равна
Как и импульс, это распределение рассматривается как произведение трех независимых нормально распределенных переменных , , и , но с дисперсией . Также можно видеть, что распределение скорости Максвелла – Больцмана для векторной скорости [ v x , v y , v z ] является продуктом распределений для каждого из трех направлений:
Каждый компонент вектора скорости имеет нормальное распределение со средним значением и стандартным отклонением , поэтому вектор имеет трехмерное нормальное распределение, особый вид многомерного нормального распределения , со средним значением и ковариацией , где — единичная матрица 3 × 3 .
Распределение по скорости
Распределение скорости Максвелла – Больцмана сразу следует из распределения вектора скорости, приведенного выше. Обратите внимание, что скорость
^ ab Статистическая физика (2-е издание), Ф. Мандл, Манчестерская физика, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 9780471915331
^ Университетская физика - с современной физикой (12-е издание), HD Young, RA Freedman (оригинальное издание), Addison-Wesley (Pearson International), 1-е издание: 1949, 12-е издание: 2008, ISBN 978-0-321-50130-1
^ Н. А. Кролл и А. В. Трайвелпис, Принципы физики плазмы, San Francisco Press, Inc., 1986, среди многих других текстов по основам физики плазмы.
^ аб См.:
Максвелл, Дж. К. (1860 г.): Иллюстрации динамической теории газов. Часть I. О движении и столкновениях идеально упругих сфер. Философский журнал и научный журнал Лондона, Эдинбурга и Дублина , 4-я серия, том 19, стр. 19–32. [1]
Максвелл, Дж. К. (1860 г.): Иллюстрации динамической теории газов. Часть II. О процессе диффузии двух и более видов движущихся частиц между собой. Философский журнал и научный журнал Лондона, Эдинбурга и Дублина , 4-я серия, том 20, стр. 21–37. [2]
^ Раймонд А. Сервей; Джерри С. Фон и Крис Вуй (2011). Колледж физики, Том 1 (9-е изд.). п. 352. ИСБН9780840068484.
^ На расчет не влияет двухатомный азот. Несмотря на большую теплоемкость (большую внутреннюю энергию при той же температуре) двухатомных газов по сравнению с одноатомными газами, из-за их большего числа степеней свободы все еще остается средняя поступательная кинетическая энергия . Двухатомность азота влияет только на значение молярной массы M =28 г/моль . См., например, К. Пракашан, Инженерная физика (2001), 2.278.
^ Азот при комнатной температуре считается «жестким» двухатомным газом с двумя вращательными степенями свободы в дополнение к трем поступательным, а колебательная степень свободы недоступна.
^ Гиенис, Балаж (2017). «Максвелл и нормальное распределение: цветная история вероятности, независимости и тенденции к равновесию». Исследования по истории и философии современной физики . 57 : 53–65. arXiv : 1702.01411 . Бибкод : 2017ШПМП..57...53Г. doi :10.1016/j.shpsb.2017.01.001. S2CID 38272381.
^ Больцманн, Л., «Weitere studien über das Wärmegleichgewicht unter Gasmolekülen». Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften в Вене, mathematisch-naturwissenschaftliche Classe , 66 , 1872, стр. 275–370.
^ Больцманн, Л., «Über die Beziehung zwischen dem zweiten Hauptsatz der mechanischen Wärmetheorie und der Wahrscheinlichkeitsrechnung respektive den Sätzen über das Wärmegleichgewicht». Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften в Вене, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Classe . ок. II, 76 , 1877, стр. 373–435. Перепечатано в Wissenschaftliche Abhandlungen , Vol. II, стр. 164–223, Лейпциг: Барт, 1909. Перевод доступен по адресу : http://crystal.med.upenn.edu/sharp-lab-pdfs/2015SharpMatschinsky_Boltz1877_Entropy17.pdf.
^ Энциклопедия физики МакГроу Хилла (2-е издание), CB Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3
^ Лорандо, Норманд М. (2005). Статистическая термодинамика: основы и приложения. Издательство Кембриджского университета. п. 434. ИСБН0-521-84635-8., Приложение N, стр. 434
дальнейшее чтение
Физика для ученых и инженеров - с современной физикой (6-е издание), П. А. Типлер, Г. Моска, Фриман, 2008 г., ISBN 0-7167-8964-7
Термодинамика, от концепций к приложениям (2-е издание), А. Шавит, К. Гутфингер, CRC Press (Taylor and Francisco Group, США), 2009, ISBN 978-1-4200-7368-3
Химическая термодинамика , DJG Ives, Университет химии, Macdonald Technical and Scientific, 1971, ISBN 0-356-03736-3
Элементы статистической термодинамики (2-е издание), Л.К. Нэш, Принципы химии, Аддисон-Уэсли, 1974, ISBN 0-201-05229-6
Уорд, К.А. и Фанг, Г. 1999, «Выражение для прогнозирования потока испарения жидкости: подход статистической теории скорости», Physical Review E , vol. 59, нет. 1, стр. 429–40.
Рахими, П и Уорд, Калифорния, 2005, «Кинетика испарения: подход статистической теории скорости», Международный журнал термодинамики , том. 8, нет. 9, стр. 1–14.
Внешние ссылки
Викискладе есть медиафайлы, связанные с распределениями Максвелла-Больцмана .
«Распределение скорости Максвелла» из демонстрационного проекта Wolfram в Mathworld