Распределение Рэлея

Распределение вероятностей

В теории вероятностей и статистике распределение Рэлея представляет собой непрерывное распределение вероятностей для случайных величин с неотрицательными значениями . С точностью до масштабирования оно совпадает с распределением ци с двумя степенями свободы . Распределение названо в честь лорда Рэлея ( / ˈ r eɪ l i / ). ^[1]

Распределение Рэлея часто наблюдается, когда общая величина вектора в плоскости связана с его направленными компонентами . Одним из примеров естественного возникновения распределения Рэлея является анализ скорости ветра в двух измерениях . Если предположить, что каждый компонент некоррелирован , нормально распределен с равной дисперсией и имеет нулевое среднее значение , тогда общая скорость ветра ( векторная величина) будет характеризоваться распределением Рэлея. Второй пример распределения возникает в случае случайных комплексных чисел, действительные и мнимые компоненты которых независимо и одинаково распределены по Гауссу с равной дисперсией и нулевым средним значением. В этом случае абсолютное значение комплексного числа распределяется по Рэлею.

Определение

Функция плотности вероятности распределения Рэлея равна ^[2]

${\displaystyle f(x;\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})},\quad x\geq 0,}$

где – параметр масштаба распределения. Кумулятивная функция распределения равна ^[2] ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle F(x;\sigma )=1-e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})}}$

для ${\displaystyle x\in [0,\infty ).}$

Связь с длиной случайного вектора

Рассмотрим двумерный вектор , который имеет компоненты, которые являются двумерными, нормально распределенными , с центром в нуле и независимыми. ^{[ необходимы пояснения ]} Тогда и есть функции плотности ${\displaystyle Y=(U,V)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle f_{U}(x;\sigma )=f_{V}(x;\sigma )={\frac {e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})}}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}.}$

Пусть будет длина . То есть Тогда имеет кумулятивную функцию распределения ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X={\sqrt {U^{2}+V^{2}}}.}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle F_{X}(x;\sigma )=\iint _{D_{x}}f_{U}(u;\sigma )f_{V}(v;\sigma )\,dA,}$

где диск ${\displaystyle D_{x}}$

${\displaystyle D_{x}=\left\{(u,v):{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\leq x\right\}.}$

Записав двойной интеграл в полярных координатах , получим

${\displaystyle F_{X}(x;\sigma )={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{x}re^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})}\,dr\,d\theta ={\frac {1}{\sigma ^{2}}}\int _{0}^{x}re^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})}\,dr.}$

Наконец, функция плотности вероятности для является производной ее кумулятивной функции распределения, которая по фундаментальной теореме исчисления равна ${\displaystyle X}$

${\displaystyle f_{X}(x;\sigma )={\frac {d}{dx}}F_{X}(x;\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})},}$

что является распределением Рэлея. Легко обобщить векторы размерности, отличной от 2. Существуют также обобщения, когда компоненты имеют неравную дисперсию или корреляцию ( распределение Хойта ) или когда вектор Y следует двумерному t -распределению Стьюдента (см. также: Т-квадрат Хотеллинга). распределение ). ^[3]

Характеристики

Сырые моменты переданы:

${\displaystyle \mu _{j}=\sigma ^{j}2^{j/2}\,\Gamma \left(1+{\frac {j}{2}}\right),}$

где гамма - функция . ${\displaystyle \Gamma (z)}$

Таким образом, среднее значение случайной величины Рэлея равно:

${\displaystyle \mu (X)=\sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\ \approx 1.253\ \sigma .}$

Стандартное отклонение случайной величины Рэлея составляет:

${\displaystyle \operatorname {std} (X)={\sqrt {\left(2-{\frac {\pi }{2}}\right)}}\sigma \approx 0.655\ \sigma }$

Дисперсия случайной величины Рэлея равна :

${\displaystyle \operatorname {var} (X)=\mu _{2}-\mu _{1}^{2}=\left(2-{\frac {\pi }{2}}\right)\sigma ^{2}\approx 0.429\ \sigma ^{2}}$

Режим есть и максимальный pdf есть ${\displaystyle \sigma ,}$

${\displaystyle f_{\max }=f(\sigma ;\sigma )={\frac {1}{\sigma }}e^{-1/2}\approx {\frac {0.606}{\sigma }}.}$

Асимметрия определяется :

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}}\approx 0.631}$

Избыточный эксцесс определяется выражением:

${\displaystyle \gamma _{2}=-{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}\approx 0.245}$

Характеристическая функция определяется выражением:

${\displaystyle \varphi (t)=1-\sigma te^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left[\operatorname {erfi} \left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)-i\right]}$

где – мнимая функция ошибок . Производящая функция момента определяется выражением ${\displaystyle \operatorname {erfi} (z)}$

${\displaystyle M(t)=1+\sigma t\,e^{{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)+1\right]}$

где функция ошибки . ${\displaystyle \operatorname {erf} (z)}$

Дифференциальная энтропия

Дифференциальная энтропия определяется выражением ^{[ нужна ссылка ]}

${\displaystyle H=1+\ln \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {\gamma }{2}}}$

где – постоянная Эйлера–Машерони . ${\displaystyle \gamma }$

Оценка параметров

Учитывая выборку из N независимых и одинаково распределенных случайных величин Рэлея с параметром , ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle {\widehat {\sigma ^{2}}}=\!\,{\frac {1}{2N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}}$является оценкой максимального правдоподобия и также является несмещенной .

${\displaystyle {\widehat {\sigma }}\approx {\sqrt {{\frac {1}{2N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}}}}$представляет собой смещенную оценку, которую можно исправить по формуле

${\displaystyle \sigma ={\widehat {\sigma }}{\frac {\Gamma (N){\sqrt {N}}}{\Gamma \left(N+{\frac {1}{2}}\right)}}={\widehat {\sigma }}{\frac {4^{N}N!(N-1)!{\sqrt {N}}}{(2N)!{\sqrt {\pi }}}}}$^[4] , где c 4 — поправочный коэффициент, используемый для несмещения оценок стандартного отклонения для нормальных случайных величин . ${\displaystyle ={\frac {\hat {\sigma }}{c_{4}(2N+1)}}}$

Доверительные интервалы

Чтобы найти доверительный интервал (1 −  α ), сначала найдите границы, где: ${\displaystyle [a,b]}$

  ${\displaystyle P\left(\chi _{2N}^{2}\leq a\right)=\alpha /2,\quad P\left(\chi _{2N}^{2}\leq b\right)=1-\alpha /2}$

тогда параметр масштаба будет находиться в пределах

  ${\displaystyle {\frac {{N}{\overline {x^{2}}}}{b}}\leq {\widehat {\sigma ^{2}}}\leq {\frac {{N}{\overline {x^{2}}}}{a}}}$^[5]

Генерация случайных переменных

Учитывая случайную величину U , взятую из равномерного распределения в интервале (0, 1), тогда переменная

${\displaystyle X=\sigma {\sqrt {-2\ln U}}\,}$

имеет распределение Рэлея с параметром . Это достигается применением метода выборки обратного преобразования . ${\displaystyle \sigma }$

Связанные дистрибутивы

• ${\displaystyle R\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )}$распределено по Рэлею, если , где и – независимые нормальные случайные величины . ^[6] Это дает мотивацию для использования этого символа в приведенной выше параметризации плотности Рэлея. ${\displaystyle R={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}$ ${\displaystyle X\sim N(0,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle Y\sim N(0,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle \sigma }$
• Величина стандартной комплексной нормально распределенной переменной z распределена по Рэлею. ${\displaystyle |z|}$
• Распределение хи с v  = 2 эквивалентно распределению Рэлея с  σ  = 1: ${\displaystyle R(\sigma )\sim \sigma \chi _{2}^{\,}\ .}$
• Если , то имеет распределение хи-квадрат с 2 степенями свободы: ${\displaystyle R\sim \mathrm {Rayleigh} (1)}$ ${\displaystyle R^{2}}$ ${\displaystyle [Q=R(\sigma )^{2}]\sim \sigma ^{2}\chi _{2}^{2}\ .}$
• Если , то имеет гамма-распределение с параметрами и ${\displaystyle R\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}R_{i}^{2}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2\sigma ^{2}}}}$

  ${\displaystyle \left[Y=\sum _{i=1}^{N}R_{i}^{2}\right]\sim \Gamma \left(N,{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\right).}$

• Распределение Райса является нецентральным обобщением распределения Рэлея: . ${\displaystyle \mathrm {Rayleigh} (\sigma )=\mathrm {Rice} (0,\sigma )}$
• Распределение Вейбулла с параметром формы k  = 2 дает распределение Рэлея. Тогда параметр распределения Рэлея связан с параметром масштаба Вейбулла соотношением ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \lambda =\sigma {\sqrt {2}}.}$
• Если имеет показательное распределение , то ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\sim \mathrm {Exponential} (\lambda )}$ ${\displaystyle Y={\sqrt {X}}\sim \mathrm {Rayleigh} (1/{\sqrt {2\lambda }}).}$
• Полунормальное распределение является одномерным эквивалентом распределения Рэлея.
• Распределение Максвелла -Больцмана является трехмерным эквивалентом распределения Рэлея.

Приложения

Применение оценки σ можно найти в магнитно-резонансной томографии (МРТ). Поскольку изображения МРТ записываются как сложные изображения, но чаще всего рассматриваются как изображения магнитуды, фоновые данные распределены по Рэлею. Следовательно, приведенную выше формулу можно использовать для оценки дисперсии шума на изображении МРТ на основе фоновых данных. ^{[7] [8]}

Распределение Рэлея также использовалось в области питания для связи уровней питательных веществ в рационе и реакций человека и животных . Таким образом, параметр σ можно использовать для расчета зависимости реакции питательных веществ. ^[9]

В области баллистики распределение Рэлея используется для расчета вероятной круговой ошибки — меры точности оружия.

В физической океанографии распределение значительной высоты волн примерно соответствует распределению Рэлея. ^[10]

Смотрите также

• Возможна круговая ошибка
• Рэлеевское затухание
• Распределение смеси Рэлея
• Раздача риса

Рекомендации

1. «Волновая теория света», Британская энциклопедия, 1888 г.; «Проблема случайного блуждания», Nature 1905, том 72, стр.318.
2. Папулис, Афанасий; Пиллаи, С. (2001) Вероятность, случайные величины и случайные процессы . ISBN  0073660116 , ISBN 9780073660110 ^{[ необходима страница ]} 
3. Рёвер, К. (2011). «Фильтр на основе студента для надежного обнаружения сигнала». Физический обзор D . 84 (12): 122004. arXiv : 1109.0442 . Бибкод : 2011PhRvD..84l2004R. doi : 10.1103/physrevd.84.122004.
4. Сиддики, М.М. (1964) «Статистический вывод для распределений Рэлея», Журнал исследований Национального бюро стандартов, разд. D: Радионаука, Том. 68Д, № 9, с. 1007
5. Сиддики, М.М. (1961) «Некоторые проблемы, связанные с распределениями Рэлея», Журнал исследований Национального бюро стандартов; Разд. D: Распространение радио, Vol. 66Д, № 2, с. 169
6. Хогема, Джерун (2005) «Статистика группы выстрелов»
7. Сийберс, Дж.; ден Деккер, AJ; Раман, Э.; Ван Дейк, Д. (1999). «Оценка параметров по магнитудным МР-изображениям». Международный журнал систем и технологий визуализации . 10 (2): 109–114. CiteSeerX 10.1.1.18.1228 . doi :10.1002/(sici)1098-1098(1999)10:2<109::aid-ima2>3.0.co;2-r. 
8. ден Деккер, AJ; Сийберс, Дж. (2014). «Распределение данных на магнитно-резонансных изображениях: обзор». Физика Медика . 30 (7): 725–741. дои :10.1016/j.ejmp.2014.05.002. ПМИД  25059432.
9. Ахмади, Хамед (21 ноября 2017 г.). «Математическая функция для описания кривой реакции на питательные вещества». ПЛОС ОДИН . 12 (11): e0187292. Бибкод : 2017PLoSO..1287292A. дои : 10.1371/journal.pone.0187292 . ISSN  1932-6203. ПМК 5697816 . ПМИД  29161271. 
10. «Распределение вероятностей Рэлея применительно к случайной высоте волн» (PDF) . Военно-морская академия США.