Раздача риса

Распределение вероятностей

В 2D-плоскости выберите фиксированную точку на расстоянии ν от начала координат. Создайте распределение 2D-точек с центром вокруг этой точки, где координаты x и y выбираются независимо от гауссова распределения со стандартным отклонением σ (синяя область). Если R — расстояние от этих точек до начала координат, то R имеет распределение Райса.

В теории вероятностей распределение Райса или распределение Райса (или, реже, распределение Райса ) — это вероятностное распределение величины круговой симметричной двумерной нормальной случайной величины , возможно, с ненулевым средним (нецентральным). Он был назван в честь Стивена О. Райса (1907–1986).

Характеристика

Функция плотности вероятности

${\displaystyle f(x\mid \nu ,\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left({\frac {-(x^{2}+\nu ^{2})}{2\sigma ^{2}}}\right)I_{0}\left({\frac {x\nu }{\sigma ^{2}}}\right),}$

где I ₀ ( z ) — модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

В контексте затухания Райса распределение часто также переписывается с использованием параметра формы , определяемого как отношение вкладов мощности по пути прямой видимости к оставшимся многолучевым распространениям, и параметра масштаба , определяемого как общая мощность, полученная в все пути. ^[1] ${\displaystyle K={\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$ ${\displaystyle \Omega =\nu ^{2}+2\sigma ^{2}}$

Характеристическая функция распределения Райса имеет вид: ^{[2] [3]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{X}(t\mid \nu ,\sigma )=\exp \left(-{\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)&\left[\Psi _{2}\left(1;1,{\frac {1}{2}};{\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}},-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\right)\right.\\[8pt]&\left.{}+i{\sqrt {2}}\sigma t\Psi _{2}\left({\frac {3}{2}};1,{\frac {3}{2}};{\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}},-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\right)\right],\end{aligned}}}$

где – одна из вырожденных гипергеометрических функций Хорна с двумя переменными, сходящаяся при всех конечных значениях и . Это определяется: ^{[4] [5]} ${\displaystyle \Psi _{2}\left(\alpha ;\gamma ,\gamma ';x,y\right)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \Psi _{2}\left(\alpha ;\gamma ,\gamma ';x,y\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m+n}}{(\gamma )_{m}(\gamma ')_{n}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}},}$

где

${\displaystyle (x)_{n}=x(x+1)\cdots (x+n-1)={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}}}$

– это возрастающий факториал .

Характеристики

Моменты

Первые несколько резких моментов :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}^{'}&=\sigma {\sqrt {\pi /2}}\,\,L_{1/2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2})\\\mu _{2}^{'}&=2\sigma ^{2}+\nu ^{2}\,\\\mu _{3}^{'}&=3\sigma ^{3}{\sqrt {\pi /2}}\,\,L_{3/2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2})\\\mu _{4}^{'}&=8\sigma ^{4}+8\sigma ^{2}\nu ^{2}+\nu ^{4}\,\\\mu _{5}^{'}&=15\sigma ^{5}{\sqrt {\pi /2}}\,\,L_{5/2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2})\\\mu _{6}^{'}&=48\sigma ^{6}+72\sigma ^{4}\nu ^{2}+18\sigma ^{2}\nu ^{4}+\nu ^{6}\end{aligned}}}$

и вообще, сырые моменты даны

${\displaystyle \mu _{k}^{'}=\sigma ^{k}2^{k/2}\,\Gamma (1\!+\!k/2)\,L_{k/2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2}).\,}$

Здесь L _q ( x ) обозначает полином Лагерра :

${\displaystyle L_{q}(x)=L_{q}^{(0)}(x)=M(-q,1,x)=\,_{1}F_{1}(-q;1;x)}$

где – вырожденная гипергеометрическая функция первого рода. Когда k четно, необработанные моменты становятся простыми полиномами от σ и ν , как в примерах выше. ${\displaystyle M(a,b,z)=_{1}F_{1}(a;b;z)}$

Для случая q = 1/2:

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{1/2}(x)&=\,_{1}F_{1}\left(-{\frac {1}{2}};1;x\right)\\&=e^{x/2}\left[\left(1-x\right)I_{0}\left(-{\frac {x}{2}}\right)-xI_{1}\left(-{\frac {x}{2}}\right)\right].\end{aligned}}}$

Второй центральный момент , дисперсия , равен

${\displaystyle \mu _{2}=2\sigma ^{2}+\nu ^{2}-(\pi \sigma ^{2}/2)\,L_{1/2}^{2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2}).}$

Обратите внимание, что здесь указан квадрат полинома Лагерра , а не обобщенного полинома Лагерра. ${\displaystyle L_{1/2}^{2}(\cdot )}$ ${\displaystyle L_{1/2}(\cdot )}$ ${\displaystyle L_{1/2}^{(2)}(\cdot ).}$

Связанные дистрибутивы

• ${\displaystyle R\sim \mathrm {Rice} \left(|\nu |,\sigma \right)}$если где и – статистически независимые нормальные случайные величины и – любое действительное число. ${\displaystyle R={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}$ ${\displaystyle X\sim N\left(\nu \cos \theta ,\sigma ^{2}\right)}$ ${\displaystyle Y\sim N\left(\nu \sin \theta ,\sigma ^{2}\right)}$ ${\displaystyle \theta }$
• Другой случай, когда происходят следующие шаги: ${\displaystyle R\sim \mathrm {Rice} \left(\nu ,\sigma \right)}$
  1. Сгенерировать распределение Пуассона с параметром (также означает для Пуассона) ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \lambda ={\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}.}$
  2. Сгенерируйте распределение хи-квадрат с 2 P + 2 степенями свободы. ${\displaystyle X}$
  3. Набор ${\displaystyle R=\sigma {\sqrt {X}}.}$
• If then имеет нецентральное распределение хи-квадрат с двумя степенями свободы и параметром нецентральности . ${\displaystyle R\sim \operatorname {Rice} (\nu ,1)}$ ${\displaystyle R^{2}}$ ${\displaystyle \nu ^{2}}$
• If then имеет нецентральное распределение хи с двумя степенями свободы и параметром нецентральности . ${\displaystyle R\sim \operatorname {Rice} (\nu ,1)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \nu }$
• Если тогда , то есть для частного случая распределения Райса, заданного , распределение становится распределением Рэлея , для которого дисперсия равна . ${\displaystyle R\sim \operatorname {Rice} (0,\sigma )}$ ${\displaystyle R\sim \operatorname {Rayleigh} (\sigma )}$ ${\displaystyle \nu =0}$ ${\displaystyle \mu _{2}={\frac {4-\pi }{2}}\sigma ^{2}}$
• Если то имеет показательное распределение . ^[6] ${\displaystyle R\sim \operatorname {Rice} (0,\sigma )}$ ${\displaystyle R^{2}}$
• If then имеет обратное распределение Райса. ^[7] ${\displaystyle R\sim \operatorname {Rice} \left(\nu ,\sigma \right)}$ ${\displaystyle 1/R}$
• Свернутое нормальное распределение является одномерным частным случаем распределения Райса.

Предельные случаи

Для больших значений аргумента полином Лагерра принимает вид ^[8]

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }L_{\nu }(x)={\frac {|x|^{\nu }}{\Gamma (1+\nu )}}.}$

Видно, что по мере того, как ν становится большим или σ становится маленьким, среднее значение становится ν , а дисперсия становится σ ² .

Переход к гауссовскому приближению происходит следующим образом. Из теории функций Бесселя имеем

${\displaystyle I_{\alpha }(z)\to {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}\left(1-{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8z}}+\cdots \right){\text{ as }}z\rightarrow \infty }$

Итак, в большой области асимптотическое разложение распределения Райса: ${\displaystyle x\nu /\sigma ^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,\nu ,\sigma )={}&{\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left({\frac {-(x^{2}+\nu ^{2})}{2\sigma ^{2}}}\right)I_{0}\left({\frac {x\nu }{\sigma ^{2}}}\right)\\{\text{ is }}\\&{\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left({\frac {-(x^{2}+\nu ^{2})}{2\sigma ^{2}}}\right){\sqrt {\frac {\sigma ^{2}}{2\pi x\nu }}}\exp \left({\frac {2x\nu }{2\sigma ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {\sigma ^{2}}{8x\nu }}+\cdots \right)\\\rightarrow {}&{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(x-\nu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right){\sqrt {\frac {x}{\nu }}},\;\;\;{\text{ as }}{\frac {x\nu }{\sigma ^{2}}}\rightarrow \infty \end{aligned}}}$

Более того, когда плотность сконцентрирована вокруг показателя Гаусса и из-за него, мы также можем записать и в конечном итоге получить Нормальное приближение ${\textstyle \nu }$ ${\textstyle |x-\nu |\ll \sigma }$ ${\textstyle {\sqrt {{x}/{\nu }}}\approx 1}$

${\displaystyle f(x,\nu ,\sigma )\approx {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(x-\nu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right),\;\;\;{\frac {\nu }{\sigma }}\gg 1}$

Приближение становится пригодным для ${\displaystyle {\frac {\nu }{\sigma }}>3}$

Оценка параметров (метод инверсии Коаи)

Существует три различных метода оценки параметров распределения Райса: (1) метод моментов , ^{[9] [10] [11] [12]} (2) метод максимального правдоподобия , ^{[9] [10] [11] [13]} и (3) метод наименьших квадратов. ^{[ нужна цитация ]} В первых двух методах интерес заключается в оценке параметров распределения, ν и σ, на основе выборки данных. Это можно сделать, используя метод моментов, например, выборочного среднего и выборочного стандартного отклонения. Среднее значение выборки представляет собой оценку µ ₁ ^' , а стандартное отклонение выборки представляет собой оценку µ ₂ ^1/2 .

Ниже приводится эффективный метод, известный как «метод инверсии Коаи». ^[14] для одновременного решения уравнений оценки на основе выборочного среднего и выборочного стандартного отклонения. Этот метод инверсии также известен как формула SNR с фиксированной точкой . В более ранних работах ^{[9] [15]} по методу моментов для решения задачи обычно используется метод поиска корней, который неэффективен.

Во-первых, отношение выборочного среднего к выборочному стандартному отклонению определяется как r , т.е. Формула SNR с фиксированной точкой выражается как ${\displaystyle r=\mu _{1}^{'}/\mu _{2}^{1/2}}$

${\displaystyle g(\theta )={\sqrt {\xi {(\theta )}\left[1+r^{2}\right]-2}},}$

где отношение параметров, т. е. , и определяется выражением: ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta ={\nu }/{\sigma }}$ ${\displaystyle \xi {\left(\theta \right)}}$

${\displaystyle \xi {\left(\theta \right)}=2+\theta ^{2}-{\frac {\pi }{8}}\exp {(-\theta ^{2}/2)}\left[(2+\theta ^{2})I_{0}(\theta ^{2}/4)+\theta ^{2}I_{1}(\theta ^{2}/4)\right]^{2},}$

где и – модифицированные функции Бесселя первого рода . ${\displaystyle I_{0}}$ ${\displaystyle I_{1}}$

Обратите внимание, что это коэффициент масштабирования и связан с : ${\displaystyle \xi {\left(\theta \right)}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mu _{2}}$

${\displaystyle \mu _{2}=\xi {\left(\theta \right)}\sigma ^{2}.}$

Чтобы найти фиксированную точку , из , выбирается начальное решение , которое больше нижней границы, что и происходит, когда ^[14] (Обратите внимание, что это распределение Рэлея). Это обеспечивает отправную точку для итерации, в которой используется функциональная композиция, ^{[ необходимы пояснения ]} , и это продолжается до тех пор, пока значение не станет меньше некоторого небольшого положительного значения. Здесь обозначает композицию одной и той же функции, , раз. На практике мы связываем финал некоторого целого числа с фиксированной точкой, т.е. ${\displaystyle \theta ^{*}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\theta }_{0}}$ ${\displaystyle {\theta }_{\text{lower bound}}=0}$ ${\textstyle r={\sqrt {\pi /(4-\pi )}}}$ ${\displaystyle r=\mu _{1}^{'}/\mu _{2}^{1/2}}$ ${\displaystyle \left|g^{i}\left(\theta _{0}\right)-\theta _{i-1}\right|}$ ${\displaystyle g^{i}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \theta _{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \theta ^{*}}$ ${\displaystyle \theta ^{*}=g\left(\theta ^{*}\right)}$

После того как фиксированная точка найдена, оценки и находятся с помощью масштабирующей функции следующим образом: ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \xi {\left(\theta \right)}}$

${\displaystyle \sigma ={\frac {\mu _{2}^{1/2}}{\sqrt {\xi \left(\theta ^{*}\right)}}},}$

и

${\displaystyle \nu ={\sqrt {\left(\mu _{1}^{'~2}+\left(\xi \left(\theta ^{*}\right)-2\right)\sigma ^{2}\right)}}.}$

Чтобы еще больше ускорить итерацию, можно использовать метод поиска корня Ньютона. ^[14] Этот конкретный подход очень эффективен.

Приложения

• Евклидова норма двумерного кругово-симметричного нормально распределенного случайного вектора .
• Затухание по Райсу (для многолучевых помех ))
• Влияние ошибки прицеливания на стрельбу по мишеням. ^[16]
• Анализ разнесения приемников в радиосвязи. ^{[17] [18]}
• Распределение эксцентриситетов моделей внутренней части Солнечной системы после длительного численного интегрирования . ^[19]

Смотрите также

• Распределение Хойта
• Распределение Рэлея

Рекомендации

1. Абди, А., Тепеделенлиоглу, К., Каве, М. и Яннакис, Г., «Об оценке параметра K для распределения затухания Райса», IEEE Communications Letters , март 2001 г., стр. 92–94
2. Лю 2007 (в одной из вырожденных гипергеометрических функций Хорна с двумя переменными).
3. Аннамалай 2000 (в сумме бесконечных серий).
4. Эрдели 1953.
5. Шривастава 1985.
6. Ричардс, Массачусетс, Распределение риса для RCS, Технологический институт Джорджии (сентябрь 2006 г.)
7. Джонс, Джессика Л., Джойс Маклафлин и Дэниел Ренци. «Распределение шума на изображении скорости поперечной волны, рассчитанное с использованием времени прибытия в фиксированные пространственные положения». Обратные задачи 33.5 (2017): 055012.
8. Абрамовиц и Стегун (1968) §13.5.1
9. Talukdar et al. 1991 год
10. Бонни и др. 1996 год
11. Сийберс и др. 1998 год
12. Ден Деккер и Сийберс, 2014 г.
13. Варадараджан и Халдар 2015 г.
14. Koay et al. 2006 г. (известная как формула фиксированной точки SNR).
15. Абди 2001
16. "Баллистопедия" . Проверено 4 мая 2014 г.
17. Болье, Норман С; Хемачандра, Касун (сентябрь 2011 г.). «Новые представления двумерного распределения Райса». Транзакции IEEE в области коммуникаций . 59 (11): 2951–2954. дои : 10.1109/TCOMM.2011.092011.090171. S2CID  1221747.
18. Дхармаванса, Пратапасингхе; Раджатева, Нандана; Телламбура, Чинтхананда (март 2009 г.). «Новое представление ряда для трехмерного нецентрального распределения хи-квадрат» (PDF) . Транзакции IEEE в области коммуникаций . 57 (3): 665–675. CiteSeerX 10.1.1.582.533 . дои :10.1109/TCOMM.2009.03.070083. S2CID  15706035. 
19. Ласкар, Дж. (1 июля 2008 г.). «Хаотическая диффузия в Солнечной системе». Икар . 196 (1): 1–15. arXiv : 0802.3371 . Бибкод : 2008Icar..196....1L. дои : 10.1016/j.icarus.2008.02.017. ISSN  0019-1035. S2CID  11586168.

дальнейшее чтение

• Абрамовиц М. и Стегун И.А. (ред.), Справочник по математическим функциям , Национальное бюро стандартов, 1964; переиздано Dover Publications, 1965. ISBN 0-486-61272-4. 
• Райс, С.О. , Математический анализ случайного шума. Технический журнал Bell System 24 (1945) 46–156.
• И. Солтани Бозчалуи; Мин Лян (20 ноября 2007 г.). «Подход на основе индекса гладкости к выбору параметров вейвлета при шумоподавлении сигнала и обнаружении неисправностей». Журнал звука и вибрации . 308 (1–2): 253–254. Бибкод : 2007JSV...308..246B. дои : 10.1016/j.jsv.2007.07.038.
• Ван, Донг; Чжоу, Цян; Цуй, Квок-Леунг (2017). «О распределении модуля вейвлет-коэффициентов Габора и верхней границе безразмерного индекса гладкости в случае аддитивных гауссовских шумов: еще раз». Журнал звука и вибрации . 395 : 393–400. дои : 10.1016/j.jsv.2017.02.013.
• Лю, Х. и Ханзо, Л., Унифицированный точный анализ производительности BER в асинхронных системах DS-CDMA с использованием модуляции BPSK по каналам с замиранием, Транзакции IEEE в беспроводной связи, том 6, выпуск 10, октябрь 2007 г., стр. 3504–3509.
• Аннамалай А., Телламбура К. и Бхаргава В.К., Производительность приемника с разнесением и равным усилением в беспроводных каналах, Транзакции IEEE в области связи, том 48, октябрь 2000 г., стр. 1732–1745.
• Эрдели А., Магнус В., Оберхеттингер Ф. и Трикоми Ф.Г., Высшие трансцендентные функции, Том 1. Архивировано 11 августа 2011 г. в Wayback Machine McGraw-Hill Book Company Inc., 1953.
• Шривастава, Х.М. и Карлссон, П.В., Множественные гауссовы гипергеометрические ряды. Эллис Хорвуд Лтд., 1985.
• Сийберс Дж., ден Деккер А.Дж., Шеундерс П. и Ван Дайк Д., «Оценка максимального правдоподобия параметров распределения Райса». Архивировано 19 октября 2011 г. в Wayback Machine , IEEE Transactions on Medical Imaging, Vol. 17, №. 3, стр. 357–361 (1998).
• Варадараджан Д. и Халдар Дж. П., «Схема мажорирования-минимизации для МР-изображений Райса и нецентрального хи», IEEE Transactions on Medical Imaging, Vol. 34, нет. 10, стр. 2191–2202, (2015)
• ден Деккер, AJ; Сийберс, Дж. (декабрь 2014 г.). «Распределение данных на магнитно-резонансных изображениях: обзор». Физика Медика . 30 (7): 725–741. дои :10.1016/j.ejmp.2014.05.002. ПМИД  25059432.
• Коай, К.Г. и Бассер, П.Дж., Аналитически точная схема коррекции для извлечения сигнала из сигналов МР с шумом, Журнал магнитного резонанса, том 179, выпуск = 2, стр. 317–322, (2006)
• Абди А., Тепеделенлиоглу К., Каве М. и Джаннакис Г. Об оценке параметра K для распределения замираний Райса, IEEE Communications Letters, том 5, номер 3, март 2001 г., стр. 92– 94.
• Талукдар, КК; Лоуинг, Уильям Д. (март 1991 г.). «Оценка параметров распределения Райса». Журнал Акустического общества Америки . 89 (3): 1193–1197. Бибкод : 1991ASAJ...89.1193T. дои : 10.1121/1.400532.
• Бонни, Дж. М.; Рену, JP; Занка, М. (ноябрь 1996 г.). «Оптимальное измерение амплитуды и фазы по данным МРТ». Журнал магнитного резонанса, серия B. 113 (2): 136–144. Бибкод : 1996JMRB..113..136B. дои : 10.1006/jmrb.1996.0166. ПМИД  8954899.

Внешние ссылки

• Код MATLAB для распределения Райса/Райсиана (PDF, среднее значение и дисперсия, а также генерация случайных выборок)