Полунормальное распределение

Распределение вероятностей

В теории вероятностей и статистике полунормальное распределение является частным случаем свернутого нормального распределения .

Пусть следует обычному нормальному распределению , . Затем следует полунормальное распределение. Таким образом, полунормальное распределение представляет собой складку в среднем от обычного нормального распределения со средним нулевым значением. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N(0,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle Y=|X|}$

Характеристики

Используя параметризацию нормального распределения, функция плотности вероятности (PDF) полунормального распределения определяется выражением ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle f_{Y}(y;\sigma )={\frac {\sqrt {2}}{\sigma {\sqrt {\pi }}}}\exp \left(-{\frac {y^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\quad y\geq 0,}$

где . ${\displaystyle E[Y]=\mu ={\frac {\sigma {\sqrt {2}}}{\sqrt {\pi }}}}$

В качестве альтернативы можно использовать параметризацию масштабированной точности (обратной дисперсии) (чтобы избежать проблем, если значение близко к нулю), полученное путем установки , функция плотности вероятности определяется выражением ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \theta ={\frac {\sqrt {\pi }}{\sigma {\sqrt {2}}}}}$

${\displaystyle f_{Y}(y;\theta )={\frac {2\theta }{\pi }}\exp \left(-{\frac {y^{2}\theta ^{2}}{\pi }}\right)\quad y\geq 0,}$

где . ${\displaystyle E[Y]=\mu ={\frac {1}{\theta }}}$

Кумулятивная функция распределения (CDF) определяется выражением

${\displaystyle F_{Y}(y;\sigma )=\int _{0}^{y}{\frac {1}{\sigma }}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\,dx}$

Используя замену переменных , CDF можно записать как ${\displaystyle z=x/({\sqrt {2}}\sigma )}$

${\displaystyle F_{Y}(y;\sigma )={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\,\int _{0}^{y/({\sqrt {2}}\sigma )}\exp \left(-z^{2}\right)dz=\operatorname {erf} \left({\frac {y}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right),}$

где erf — функция ошибок , стандартная функция во многих пакетах математических программ.

Функция квантиля (или обратная CDF) записывается:

${\displaystyle Q(F;\sigma )=\sigma {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(F)}$

где и – обратная функция ошибок ${\displaystyle 0\leq F\leq 1}$ ${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}}$

Тогда ожидание определяется выражением

${\displaystyle E[Y]=\sigma {\sqrt {2/\pi }},}$

Дисперсия определяется выражением

${\displaystyle \operatorname {var} (Y)=\sigma ^{2}\left(1-{\frac {2}{\pi }}\right).}$

Поскольку это пропорционально дисперсии σ2 ^X , σ можно рассматривать как параметр масштаба нового распределения.

Дифференциальная энтропия полунормального распределения ровно на один бит меньше дифференциальной энтропии нормального распределения с нулевым средним с тем же вторым моментом около 0. Это можно понять интуитивно, поскольку оператор величины уменьшает информацию на один бит (если вероятность распределение на его входе равномерное). В качестве альтернативы, поскольку полунормальное распределение всегда положительно, один бит, который потребовался бы для записи того, была ли стандартная нормальная случайная величина положительной (скажем, 1) или отрицательной (скажем, 0), больше не нужен. Таким образом,

${\displaystyle h(Y)={\frac {1}{2}}\log _{2}\left({\frac {\pi e\sigma ^{2}}{2}}\right)={\frac {1}{2}}\log _{2}\left(2\pi e\sigma ^{2}\right)-1.}$

Приложения

Полунормальное распределение обычно используется в качестве априорного распределения вероятностей для параметров дисперсии в приложениях байесовского вывода . ^{[1] [2]}

Оценка параметров

Учитывая числа , полученные из полунормального распределения, неизвестный параметр этого распределения можно оценить методом максимального правдоподобия , что дает ${\displaystyle \{x_{i}\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle {\hat {\sigma }}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}}$

Смещение равно

${\displaystyle b\equiv \operatorname {E} {\bigg [}\;({\hat {\sigma }}_{\mathrm {mle} }-\sigma )\;{\bigg ]}=-{\frac {\sigma }{4n}}}$

что дает оценку максимального правдоподобия с поправкой на смещение

${\displaystyle {\hat {\sigma \,}}_{\text{mle}}^{*}={\hat {\sigma \,}}_{\text{mle}}-{\hat {b\,}}.}$

Связанные дистрибутивы

• Распределение является частным случаем свернутого нормального распределения с µ  = 0.
• Оно также совпадает с нормальным распределением с нулевым средним, усеченным снизу до нуля (см. усеченное нормальное распределение )
• Если Y имеет полунормальное распределение, то ( Y / σ ) ² имеет распределение хи-квадрат с 1 степенью свободы, т.е. Y / σ имеет распределение хи с 1 степенью свободы.
• Полунормальное распределение является частным случаем обобщенного гамма-распределения с d  = 1, p  = 2, a  =  . ${\displaystyle {\sqrt {2}}\sigma }$
• Если Y имеет полунормальное распределение, Y ^-2 имеет распределение Леви.
• Распределение Рэлея представляет собой масштабированное обобщение полунормального распределения с наклоном по моменту.
• Модифицированное полунормальное распределение ^[3] с PDF на имеет вид , где обозначает пси-функцию Фокса–Райта . ${\displaystyle (0,\infty )}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {2\beta ^{\frac {\alpha }{2}}x^{\alpha -1}\exp(-\beta x^{2}+\gamma x)}{\Psi {\left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}}}$ ${\displaystyle \Psi (\alpha ,z)={}_{1}\Psi _{1}\left({\begin{matrix}\left(\alpha ,{\frac {1}{2}}\right)\\(1,0)\end{matrix}};z\right)}$

Смотрите также

• Распределение половинного t
• Усеченное нормальное распределение
• Свернутое нормальное распределение
• Выпрямленное распределение Гаусса

Рекомендации

1. Гельман, А. (2006), «Предварительные распределения параметров дисперсии в иерархических моделях», Байесовский анализ , 1 (3): 515–534, doi : 10.1214/06-ba117a
2. Ревер, К.; Бендер, Р.; Диас, С.; Шмид, CH; Шмидли, Х.; Штурц, С.; Вебер, С.; Фриде, Т. (2021), «О слабоинформативных априорных распределениях параметра гетерогенности в метаанализе байесовских случайных эффектов», Research Synthesis Methods , 12 (4): 448–474, arXiv : 2007.08352 , doi : 10.1002/jrsm .1475, PMID  33486828, S2CID  220546288
3. Сунь, Цзинчао; Конг, Майинг; Пал, Субхадип (22 июня 2021 г.). «Модифицированное полунормальное распределение: свойства и эффективная схема выборки». Коммуникации в статистике - теория и методы . 52 (5): 1591–1613. дои : 10.1080/03610926.2021.1934700. ISSN  0361-0926. S2CID  237919587.

дальнейшее чтение

• Леоне, ФК; Нельсон, Л.С.; Ноттингем, РБ (1961), «Свернутое нормальное распределение», Technometrics , 3 (4): 543–550, doi : 10.2307/1266560, hdl : 2027/mdp.39015095248541 , JSTOR  1266560

Внешние ссылки

• Полунормальное распределение в MathWorld

(обратите внимание, что MathWorld использует параметр ${\displaystyle \theta ={\frac {1}{\sigma }}{\sqrt {\pi /2}}}$