Обобщение обобщенной гипергеометрической функции pFq(z)
В математике функция Фокса –Райта (также известная как Пси-функция Фокса–Райта , не путать с функцией Омега Райта ) является обобщением обобщенной гипергеометрической функции p F q ( z ), основанной на идеях Чарльза Фокса (1928). и Э. Мейтленд Райт (1935):
![{\displaystyle {}_{p}\Psi _{q}\left[{\begin{matrix}(a_{1},A_{1})&(a_{2},A_{2})&\ldots &(a_{p},A_{p})\\(b_{1},B_{1})&(b_{2},B_{2})&\ldots &(b_{q},B_{q })\end{matrix}};z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (a_{1}+A_{1}n)\cdots \Gamma ( a_{p}+A_{p}n)}{\Gamma (b_{1}+B_{1}n)\cdots \Gamma (b_{q}+B_{q}n)}}\,{\frac {z^{n}}{n!}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
При изменении нормировки
![{\displaystyle {}_{p}\Psi _{q}^{*}\left[{\begin{matrix}(a_{1},A_{1})&(a_{2},A_{2} )&\ldots &(a_{p},A_{p})\\(b_{1},B_{1})&(b_{2},B_{2})&\ldots &(b_{q} ,B_{q})\end{matrix}};z\right]={\frac {\Gamma (b_{1})\cdots \Gamma (b_{q})}{\Gamma (a_{1}) \cdots \Gamma (a_{p})}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (a_{1}+A_{1}n)\cdots \Gamma (a_{ p}+A_{p}n)}{\Gamma (b_{1}+B_{1}n)\cdots \Gamma (b_{q}+B_{q}n)}}\,{\frac {z ^{n}}{n!}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
оно становится p F q ( z ) для A 1... p = B 1... q = 1.
Функция Фокса-Райта является частным случаем H-функции Фокса (Srivastava & Manocha 1984, стр. 50):
![{\displaystyle {}_{p}\Psi _{q}\left[{\begin{matrix}(a_{1},A_{1})&(a_{2},A_{2})&\ldots &(a_{p},A_{p})\\(b_{1},B_{1})&(b_{2},B_{2})&\ldots &(b_{q},B_{q })\end{matrix}};z\right]=H_{p,q+1}^{1,p}\left[-z\left|{\begin{matrix}(1-a_{1}, A_{1})&(1-a_{2},A_{2})&\ldots &(1-a_{p},A_{p})\\(0,1)&(1-b_{1 },B_{1})&(1-b_{2},B_{2})&\ldots &(1-b_{q},B_{q})\end{matrix}}\right.\right] .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Особый случай функции Фокса-Райта появляется как часть нормализующей константы модифицированного полунормального распределения [1] с PDF-файлом в виде , где обозначает пси-функцию Фокса-Райта .![{\displaystyle (0,\infty)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(x)={\frac {2\beta ^{\frac {\alpha }{2}}x^{\alpha -1}\exp(-\beta x^{2}+\gamma x )}{\Psi {\left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Psi (\alpha,z)={}_{1}\Psi _{1}\left({\begin{matrix}\left(\alpha,{\frac {1}{2}}\ вправо)\\(1,0)\end{matrix}};z\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Функция Райта
Всю функцию часто называют функцией Райта . [2] Это частный случай функции Фокса–Райта. Его серийное представление![{\ displaystyle W _ {\ лямбда, \ му } (z)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {}_{0}\Psi _{1}\left[\ldots \right]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle W_{\lambda,\mu }(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!\,\Gamma (\lambda n+\ му )}},\лямбда >-1.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Эта функция широко используется в дробном исчислении и стабильном распределении количества . Напомним, что . Следовательно, ненулевое значение с нулем является простейшим нетривиальным расширением показательной функции в таком контексте.![{\displaystyle \lim \limits _ {\lambda \to 0}W_ {\lambda,\mu }(z)=e^{z}/\Gamma (\mu)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lambda }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mu }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Три свойства были сформулированы в теореме 1 Райта (1933) [3] и 18.1(30–32) Эрдели, Bateman Project, Vol 3 (1955) [4] (стр. 212).
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda zW_ {\lambda,\mu +\lambda }(z)&=W_{\lambda,\mu -1}(z)+(1-\mu)W_{\ лямбда ,\mu }(z)&(a)\\[6pt]{d \over dz}W_{\lambda ,\mu }(z)&=W_{\lambda ,\mu +\lambda }(z) &(b)\\[6pt]\lambda z{d \over dz}W_{\lambda ,\mu }(z)&=W_{\lambda ,\mu -1}(z)+(1-\mu )W_{\lambda ,\mu }(z)&(c)\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Уравнение (а) представляет собой рекуррентную формулу. (b) и (c) предоставляют два пути уменьшения производной. А (в) может быть получено из (а) и (б).
Частным случаем (с) является . Заменив на , мы имеем![{\displaystyle \lambda = -c\alpha,\mu =0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle z}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle -x^{\alpha }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{array}{lcl}x{d \over dx}W_{-c\alpha,0}(-x^{\alpha})&=&-{\frac {1}{c} }\left[W_{-c\alpha ,-1}(-x^{\alpha })+W_{-c\alpha ,0}(-x^{\alpha })\right]\end{array} }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Особым случаем (а) является . Заменив на , мы имеем![{\displaystyle \lambda =-\alpha,\mu =1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle z}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle -z}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \alpha zW_ {-\alpha,1-\alpha }(-z)=W_{-\alpha,0}(-z)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В литературе широко использовались два обозначения и :![{\displaystyle M_{\alpha }(z)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle F_{\alpha }(z)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}M_{\alpha }(z)&=W_{-\alpha ,1-\alpha }(-z),\\[1ex]\ подразумевает F_{\alpha }(z) &=W_{-\alpha ,0}(-z)=\alpha zM_{\alpha }(z).\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
М-функция Райта
известна как функция М-Райта и входит в качестве плотности вероятности в соответствующий класс самоподобных случайных процессов, обычно называемых процессами дробной по времени диффузии.
Его свойства были исследованы в Mainardi et al (2010). [5]
Через стабильное распределение количества связано с индексом стабильности Леви .![{\displaystyle \альфа }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (0<\alpha \leq 1)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Его асимптотическое разложение for равно![{\displaystyle M_{\alpha }(z)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \alpha >0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle M_{\alpha }\left({\frac {r}{\alpha }}\right)=A(\alpha )\,r^{(\alpha -1/2)/(1-\alpha )}\,e^{-B(\alpha )\,r^{1/(1-\alpha )}},\,\,r\rightarrow \infty ,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A(\alpha)={\frac {1}{\sqrt {2\pi (1-\alpha)}}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle B(\alpha)={\frac {1-\alpha {\alpha }}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Смотрите также
- Функция Прабхакара
- Гипергеометрическая функция
- Обобщенная гипергеометрическая функция
- Модифицированное полунормальное распределение [1] с PDF-распределением имеет вид , где обозначает пси-функцию Фокса–Райта .
![{\displaystyle (0,\infty)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(x)={\frac {2\beta ^{\frac {\alpha }{2}}x^{\alpha -1}\exp(-\beta x^{2}+\gamma x )}{\Psi {\left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Psi (\alpha,z)={}_{1}\Psi _{1}\left({\begin{matrix}\left(\alpha,{\frac {1}{2}}\ вправо)\\(1,0)\end{matrix}};z\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Рекомендации
- ^ аб Сунь, Цзинчао; Конг, Майинг; Пал, Субхадип (22 июня 2021 г.). «Модифицированное полунормальное распределение: свойства и эффективная схема выборки». Коммуникации в статистике – теория и методы . 52 (5): 1591–1613. дои : 10.1080/03610926.2021.1934700. ISSN 0361-0926. S2CID 237919587.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Функция Райта». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram . Проверено 3 декабря 2022 г.
- ^ Райт, Э. (1933). «О коэффициентах степенных рядов, имеющих экспоненциальные особенности». Журнал Лондонского математического общества . Вторая серия: 71–79. дои : 10.1112/JLMS/S1-8.1.71. S2CID 122652898.
- ^ Эрдели, А (1955). Проект Бейтмана, Том 3 . Калифорнийский технологический институт.
- ^ Майнарди, Франческо; Мура, Антонио; Паньини, Джанни (17 апреля 2010 г.). Функция М-Райта в процессах диффузии с дробным временем: учебный обзор . arXiv : 1004.2950 .
- Фокс, К. (1928). «Асимптотическое разложение целых функций, определяемых обобщенными гипергеометрическими рядами». Учеб. Лондонская математика. Соц . 27 (1): 389–400. дои : 10.1112/plms/s2-27.1.389.
- Райт, Э.М. (1935). «Асимптотическое разложение обобщенной гипергеометрической функции». Дж. Лондон Математика. Соц . 10 (4): 286–293. дои : 10.1112/jlms/s1-10.40.286.
- Райт, Э.М. (1940). «Асимптотическое разложение обобщенной гипергеометрической функции». Учеб. Лондонская математика. Соц . 46 (2): 389–408. дои : 10.1112/plms/s2-46.1.389.
- Райт, Э.М. (1952). «Ошибка в статье «Асимптотическое разложение обобщенной гипергеометрической функции»». Дж. Лондон Математика. Соц . 27 : 254. doi : 10.1112/plms/s2-54.3.254-s .
- Шривастава, HM; Маноча, Х.Л. (1984). Трактат о производящих функциях . Э. Хорвуд. ISBN 0-470-20010-3.
- Миллер, Арканзас; Московиц, И.С. (1995). «Редукция класса пси-функций Фокса – Райта для некоторых рациональных параметров». Компьютеры Математика. Приложение . 30 (11): 73–82. дои : 10.1016/0898-1221(95)00165-у .
- Сунь, Цзинчао; Конг, Майинг; Пал, Субхадип (22 июня 2021 г.). «Модифицированное полунормальное распределение: свойства и эффективная схема выборки». Коммуникации в статистике – теория и методы . 52 (5): 1591–1613. дои : 10.1080/03610926.2021.1934700. ISSN 0361-0926. S2CID 237919587.
Внешние ссылки