Теорема о дивергенции

Теорема исчисления, связывающая поток замкнутых поверхностей с дивергенцией по их объему.

В векторном исчислении теорема о дивергенции , также известная как теорема Гаусса или теорема Остроградского , ^[1] представляет собой теорему , связывающую поток векторного поля через замкнутую поверхность с дивергенцией поля в замкнутом объеме.

Точнее, теорема о дивергенции утверждает, что поверхностный интеграл векторного поля по замкнутой поверхности, который называется «потоком» через поверхность, равен объемному интегралу от дивергенции по области, ограниченной поверхностью. Интуитивно понятно, что «сумма всех источников поля в регионе (с стоками, рассматриваемыми как отрицательные источники) дает чистый поток из региона».

Теорема о расходимости — важный результат для математики физики и техники , особенно в электростатике и гидродинамике . В этих областях он обычно применяется в трех измерениях. Однако он распространяется на любое количество измерений. В одном измерении это эквивалентно фундаментальной теореме исчисления . В двух измерениях это эквивалентно теореме Грина .

Объяснение с использованием потока жидкости

Векторные поля часто иллюстрируют на примере поля скоростей жидкости , например газа или жидкости. Движущаяся жидкость имеет скорость — скорость и направление — в каждой точке, которую можно представить вектором , так что скорость жидкости в любой момент образует векторное поле. Рассмотрим воображаемую замкнутую поверхность S внутри тела жидкости, заключающую в себе объем жидкости. Поток жидкости из объема в любой момент времени равен объемной скорости жидкости, пересекающей эту поверхность, т. е. поверхностному интегралу скорости по поверхности.

Поскольку жидкости несжимаемы, количество жидкости внутри замкнутого объема постоянно; если внутри объема нет источников или стоков, то поток жидкости из S равен нулю. Если жидкость движется, она может втекать в объем в некоторых точках поверхности S и выходить из объема в других точках, но количества, втекающие и выходящие в любой момент, равны, поэтому чистый поток жидкости из объема громкость равна нулю.

Однако если источник жидкости находится внутри закрытой поверхности, например труба, через которую подается жидкость, дополнительная жидкость будет оказывать давление на окружающую жидкость, вызывая поток наружу во всех направлениях. Это вызовет чистый поток наружу через поверхность S. Поток наружу через S равен объемному расходу жидкости в S из трубы. Аналогично, если внутри S имеется раковина или слив , например труба, отводящая жидкость, внешнее давление жидкости вызовет скорость в жидкости, направленную внутрь к месту слива. Объемная скорость потока жидкости внутрь через поверхность S равна скорости удаления жидкости стоком.

Если внутри S имеется несколько источников и стоков жидкости , поток через поверхность можно рассчитать путем сложения объемной скорости жидкости, добавляемой источниками, и вычитания скорости жидкости, стекаемой стоками. Объемная скорость течения жидкости через источник или сток (при этом расход через сток имеет отрицательный знак) равна дивергенции поля скоростей в устье трубы, поэтому складываем (интегрируем) дивергенцию жидкости по всему объему. объем, заключенный в S , равен объемной скорости потока через S. Это теорема о дивергенции. ^[2]

Теорема о дивергенции используется в любом законе сохранения , который утверждает, что общий объем всех стоков и источников, то есть объемный интеграл от дивергенции, равен чистому потоку через границу объема. ^[3]

Математическое утверждение

Область V, ограниченная поверхностью с нормалью к поверхности n ${\displaystyle S=\partial V}$

Предположим, что V — подмножество (в случае n = 3 V представляет собой объем в трехмерном пространстве ), которое компактно и имеет кусочно- гладкую границу S (также обозначенную знаком ). Если F — непрерывно дифференцируемое векторное поле, определенное в окрестности V , то : ^{[4] [5]} ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \partial V=S}$

${\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right)\,\mathrm {d} V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} )\,\mathrm {d} S.}$

Левая часть представляет собой объемный интеграл по объему V , правая часть — поверхностный интеграл по границе объема V. Замкнутое многообразие ориентировано нормалями , направленными наружу , и является единичной нормалью, указывающей наружу, в каждой точке границы . ( может использоваться как сокращение для .) С точки зрения интуитивного описания, приведенного выше, левая часть уравнения представляет собой общее количество источников в объеме V , а правая часть представляет общий поток через границу С. _ ${\displaystyle \partial V}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ ${\displaystyle \partial V}$ ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} \mathrm {d} S}$

Неофициальный вывод

Теорема о дивергенции следует из того, что если объем V разбить на отдельные части, поток из исходного объема равен сумме потоков из каждого составного объема. ^{[6] [7]} Это верно, несмотря на то, что новые подобъемы имеют поверхности, которые не были частью поверхности исходного объема, поскольку эти поверхности являются всего лишь перегородками между двумя подобъемами, и поток через них просто переходит из одного объема в другой и поэтому уравновешивается, когда поток из субобъемов суммируется.

Том разделен на два подтома. Справа два субобъема разделены, чтобы показать поток, исходящий от разных поверхностей.

См. диаграмму. Замкнутый ограниченный объем V разделен на два объема V ₁ и V ₂ поверхностью S ₃ (зеленого цвета) . Поток Φ( Vi ₎ из каждой составляющей области _Vi равен сумме потока через две ее грани, поэтому сумма потока из двух частей равна

${\displaystyle \Phi (V_{\text{1}})+\Phi (V_{\text{2}})=\Phi _{\text{1}}+\Phi _{\text{31}}+\Phi _{\text{2}}+\Phi _{\text{32}}}$

где Ф ₁ и Ф ₂ — поток через поверхности S ₁ и S ₂ , Ф ₃₁ — поток через S ₃ из объема 1, Ф ₃₂ — поток через S ₃ из объема 2. Дело в том, что поверхность S ₃ является частью поверхности обоих объемов. Направление «наружного» вектора нормали противоположно для каждого объема, поэтому поток из одного через S ₃ равен отрицательному значению потока из другого. ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

${\displaystyle \Phi _{\text{31}}=\iint _{S_{3}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S=-\iint _{S_{3}}\mathbf {F} \cdot (-\mathbf {\hat {n}} )\;\mathrm {d} S=-\Phi _{\text{32}}}$

так что эти два потока в сумме сокращаются. Поэтому

${\displaystyle \Phi (V_{\text{1}})+\Phi (V_{\text{2}})=\Phi _{\text{1}}+\Phi _{\text{2}}}$

_{Поскольку} объединение поверхностей S1 и S2 есть _S

${\displaystyle \Phi (V_{\text{1}})+\Phi (V_{\text{2}})=\Phi (V)}$

Объем можно разделить на любое количество субобъемов, и поток из V равен сумме потоков из каждого субобъема, поскольку поток через зеленые поверхности сокращается в сумме. На (b) тома показаны слегка разделенными, показывая, что каждая зеленая перегородка является частью границы двух соседних томов.

Этот принцип применим к объему, разделенному на любое количество частей, как показано на схеме. ^[7] Поскольку интеграл по каждой внутренней перегородке (зеленые поверхности) появляется с противоположными знаками в потоке двух соседних объемов, они компенсируются, и единственным вкладом в поток является интеграл по внешним поверхностям (серый цвет) . Поскольку внешние поверхности всех составляющих объемов равны исходной поверхности.

${\displaystyle \Phi (V)=\sum _{V_{\text{i}}\subset V}\Phi (V_{\text{i}})}$

Поскольку объем подразделяется на более мелкие части, отношение потока из каждого объема к объему приближается к ${\displaystyle \Phi (V_{\text{i}})}$ ${\displaystyle |V_{\text{i}}|}$ ${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} }$

Поток Φ из каждого объема представляет собой поверхностный интеграл векторного поля F ( x ) по поверхности

${\displaystyle \iint _{S(V)}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S=\sum _{V_{\text{i}}\subset V}\iint _{S(V_{\text{i}})}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S}$

Цель состоит в том, чтобы разделить исходный объем на бесконечное множество бесконечно малых объемов. Поскольку объем делится на все меньшие и меньшие части, поверхностный интеграл справа, поток из каждого субобъема, приближается к нулю, потому что площадь поверхности S ( Vi ₎ приближается к нулю. Однако из определения дивергенции отношение потока к объему , часть в скобках ниже, в общем случае не исчезает, а приближается к дивергенции div F , когда объем приближается к нулю. ^[7] ${\displaystyle {\frac {\Phi (V_{\text{i}})}{|V_{\text{i}}|}}={\frac {1}{|V_{\text{i}}|}}\iint _{S(V_{\text{i}})}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S}$

${\displaystyle \iint _{S(V)}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S=\sum _{V_{\text{i}}\subset V}\left({\frac {1}{|V_{\text{i}}|}}\iint _{S(V_{\text{i}})}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S\right)|V_{\text{i}}|}$

Пока векторное поле F ( x ) имеет непрерывные производные, приведенная выше сумма сохраняется даже в пределе , когда объем разделен на бесконечно малые приращения.

${\displaystyle \iint _{S(V)}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S=\lim _{|V_{\text{i}}|\to 0}\sum _{V_{\text{i}}\subset V}\left({\frac {1}{|V_{\text{i}}|}}\iint _{S(V_{\text{i}})}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S\right)|V_{\text{i}}|}$

По мере приближения к нулевому объему он становится бесконечно малым dV , часть в скобках становится дивергенцией, а сумма становится объемным интегралом по V. ${\displaystyle |V_{\text{i}}|}$

${\displaystyle \;\iint _{S(V)}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S=\iiint _{V}\operatorname {div} \mathbf {F} \;\mathrm {d} V\;}$

Поскольку этот вывод является бескоординатным, он показывает, что расходимость не зависит от используемых координат.

Доказательства

Для ограниченных открытых подмножеств евклидова пространства

Мы собираемся доказать следующее:

Теорема  —  Пусть открыто и ограничено краем. Если находится в открытой окрестности , то есть , то для каждого , ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$ ${\displaystyle u\in C^{1}(O)}$ ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$

$${\displaystyle \int _{\Omega }u_{x_{i}}\,dV=\int _{\partial \Omega }u\nu _{i}\,dS,}$$

где - направленный наружу единичный вектор нормали к . Эквивалентно, ${\displaystyle \nu :\partial \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$

$${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\,dV=\int _{\partial \Omega }u\nu \,dS.}$$

Доказательство теоремы. ^[8] (1) Первым шагом является сведение к случаю, когда . Выбери такую, чтобы на . Обратите внимание, что и далее . Следовательно, достаточно доказать теорему для . Следовательно, мы можем предположить, что . ${\displaystyle u\in C_{c}^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(O)}$ ${\displaystyle \phi =1}$ ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$ ${\displaystyle \phi u\in C_{c}^{1}(O)\subset C_{c}^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \phi u=u}$ ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$ ${\displaystyle \phi u}$ ${\displaystyle u\in C_{c}^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$

(2) Пусть произвольно. Предположение о наличии границы означает, что существует открытая окрестность в такой , что является графиком функции , лежащей по одну сторону от этого графика. Точнее, это означает, что после перевода и поворота существуют и и функция такая, что с обозначением ${\displaystyle x_{0}\in \partial \Omega }$ ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \partial \Omega \cap U}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle \Omega \cap U}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle h>0}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n-1}\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle x'=(x_{1},\dots ,x_{n-1}),}$$

$${\displaystyle U=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x'|<r{\text{ and }}|x_{n}-g(x')|<h\}}$$

${\displaystyle x\in U}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{n}=g(x')&\implies x\in \partial \Omega ,\\-h<x_{n}-g(x')<0&\implies x\in \Omega ,\\0<x_{n}-g(x')<h&\implies x\notin \Omega .\\\end{aligned}}}$$

разбиение единицы,носитель ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle U_{1},\dots ,U_{N}}$ ${\displaystyle \{\Omega ,U_{1},\dots ,U_{N}\}}$ ${\displaystyle {\overline {\Omega }}=\Omega \cup \partial \Omega }$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle U_{j}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$ ${\displaystyle \int _{\Omega }u_{x_{i}}\,dV=\int _{\mathbb {R} ^{n}}u_{x_{i}}\,dV=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{\infty }u_{x_{i}}(x)\,dx_{i}\,dx'=0}$ ${\displaystyle \int _{\partial \Omega }u\nu _{i}\,dS=0}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle U_{j}}$

(3) Итак, предположим, что оно имеет компактный носитель в некотором . Последний шаг теперь — доказать, что теорема верна, путем прямых вычислений. Измените обозначение на и введите обозначения из (2), используемые для описания . Обратите внимание: это означает, что мы повернули и перевели . Это допустимая редукция, поскольку теорема инвариантна относительно вращений и сдвигов координат. Поскольку for и for , у нас есть для каждого это ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle U_{j}}$ ${\displaystyle U=U_{j}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u(x)=0}$ ${\displaystyle |x'|\geq r}$ ${\displaystyle |x_{n}-g(x')|\geq h}$ ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\Omega }u_{x_{i}}\,dV&=\int _{|x'|<r}\int _{g(x')-h}^{g(x')}u_{x_{i}}(x',x_{n})\,dx_{n}\,dx'\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{g(x')}u_{x_{i}}(x',x_{n})\,dx_{n}\,dx'.\end{aligned}}}$$

${\displaystyle i=n}$

$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{g(x')}u_{x_{n}}(x',x_{n})\,dx_{n}\,dx'=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}u(x',g(x'))\,dx'.}$$

${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n-1\}}$

$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{g(x')}u_{x_{i}}(x',x_{n})\,dx_{n}\,dx'=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{0}u_{x_{i}}(x',g(x')+s)\,ds\,dx'}$$

${\displaystyle v:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle v(x',s)=u(x',g(x')+s)}$

$${\displaystyle v_{x_{i}}(x',s)=u_{x_{i}}(x',g(x')+s)+u_{x_{n}}(x',g(x')+s)g_{x_{i}}(x').}$$

${\displaystyle v}$ ${\displaystyle dx_{i}}$

$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{0}v_{x_{i}}(x',s)\,ds\,dx'=0.}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{0}u_{x_{i}}(x',g(x')+s)\,ds\,dx'&=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{0}-u_{x_{n}}(x',g(x')+s)g_{x_{i}}(x')\,ds\,dx'\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}-u(x',g(x'))g_{x_{i}}(x')\,dx'.\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \nabla u=(u_{x_{1}},\dots ,u_{x_{n}})}$

$${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\,dV=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{g(x')}\nabla u\,dV=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}u(x',g(x'))(-\nabla g(x'),1)\,dx'.}$$

${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (x',g(x'))\in \Gamma }$ ${\displaystyle \nu (x',g(x'))={\frac {1}{\sqrt {1+|\nabla g(x')|^{2}}}}(-\nabla g(x'),1)}$ ${\displaystyle dS}$ ${\displaystyle dS={\sqrt {1+|\nabla g(x')|^{2}}}\,dx'}$

$${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\,dV=\int _{\partial \Omega }u\nu \,dS.}$$

Для компактных римановых многообразий с краем

Мы собираемся доказать следующее:

Теорема . Пусть  —  компактное многообразие с краем и метрическим тензором . Обозначим внутреннюю часть многообразия и обозначим границу многообразия . Пусть обозначают скалярные произведения функций и обозначают скалярные произведения векторов. Предположим , и является векторным полем на . Затем ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle L^{2}({\overline {\Omega }})}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle u\in C^{1}({\overline {\Omega }},\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$

$${\displaystyle (\operatorname {grad} u,X)=-(u,\operatorname {div} X)+\int _{\partial \Omega }u\langle X,N\rangle \,dS,}$$

где - направленный наружу единичный вектор нормали к . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$

Доказательство теоремы. ^[9] Мы используем соглашение Эйнштейна о суммировании. Используя разбиение единицы, мы можем предположить, что и имеем компактную поддержку в координатном патче . Сначала рассмотрим случай, когда патч не пересекается с . Затем отождествляется с открытым подмножеством и интегрирование по частям не дает граничных членов: ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle O\subset {\overline {\Omega }}}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}(\operatorname {grad} u,X)&=\int _{O}\langle \operatorname {grad} u,X\rangle {\sqrt {g}}\,dx\\&=\int _{O}\partial _{j}uX^{j}{\sqrt {g}}\,dx\\&=-\int _{O}u\partial _{j}({\sqrt {g}}X^{j})\,dx\\&=-\int _{O}u{\frac {1}{\sqrt {g}}}\partial _{j}({\sqrt {g}}X^{j}){\sqrt {g}}\,dx\\&=(u,-{\frac {1}{\sqrt {g}}}\partial _{j}({\sqrt {g}}X^{j}))\\&=(u,-\operatorname {div} X).\end{aligned}}}$$

${\displaystyle -\operatorname {div} }$ ${\displaystyle \operatorname {grad} }$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:x_{n}\geq 0\}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}(\operatorname {grad} u,X)&=\int _{O}\langle \operatorname {grad} u,X\rangle {\sqrt {g}}\,dx\\&=\int _{\mathbb {R} _{+}^{n}}\partial _{j}uX^{j}{\sqrt {g}}\,dx\\&=(u,-\operatorname {div} X)-\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}u(x',0)X^{n}(x',0){\sqrt {g(x',0)}}\,dx',\end{aligned}}}$$

теоремы о выпрямлении векторных полей ${\displaystyle dx'=dx_{1}\dots dx_{n-1}}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}}$ ${\displaystyle -N}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle {\sqrt {g(x',0)}}\,dx'={\sqrt {g_{\partial \Omega }(x')}}\,dx'=dS}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$

$${\displaystyle (\operatorname {grad} u,X)=(u,-\operatorname {div} X)+\int _{\partial \Omega }u\langle X,N\rangle \,dS.}$$

Следствия

Заменяя F в теореме о дивергенции конкретными формами, можно получить и другие полезные тождества (ср. векторные тождества ). ^[10]

• Для скалярной функции g и векторного поля F ${\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow \mathbf {F} g}$

${\displaystyle \iiint _{V}\left[\mathbf {F} \cdot \left(\nabla g\right)+g\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\right]\mathrm {d} V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle g\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \mathrm {d} S.}$

Особым случаем этого является , и в этом случае теорема является основой тождеств Грина . ${\displaystyle \mathbf {F} =\nabla f}$

• Для двух векторных полей F и G , где обозначает векторное произведение, ${\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow \mathbf {F} \times \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \times }$

${\displaystyle \iiint _{V}\nabla \cdot \left(\mathbf {F} \times \mathbf {G} \right)\mathrm {d} V=\iiint _{V}\left[\mathbf {G} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {F} \right)-\mathbf {F} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {G} \right)\right]\,\mathrm {d} V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )\cdot \mathbf {n} \mathrm {d} S.}$

• С для двух векторных полей F и G , где обозначает скалярное произведение , ${\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow \mathbf {F} \cdot \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \cdot }$

${\displaystyle \iiint _{V}\nabla \left(\mathbf {F} \cdot \mathbf {G} \right)\mathrm {d} V=\iiint _{V}\left[\left(\nabla \mathbf {G} \right)\cdot \mathbf {F} +\left(\nabla \mathbf {F} \right)\cdot \mathbf {G} \right]\,\mathrm {d} V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {G} )\mathbf {n} \mathrm {d} S.}$

• С для скалярной функции f и векторного поля c : ^[11] ${\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow f\mathbf {c} }$  

${\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {c} \cdot \nabla f\,\mathrm {d} V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle (\mathbf {c} f)\cdot \mathbf {n} \mathrm {d} S-\iiint _{V}f(\nabla \cdot \mathbf {c} )\,\mathrm {d} V.}$

Последний член справа исчезает для постоянного или любого бездивергентного (соленоидального) векторного поля, например, несжимаемые потоки без источников или стоков, такие как фазовый переход или химические реакции и т. д. В частности, принимая постоянным: ${\displaystyle \mathbf {c} }$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$

${\displaystyle \iiint _{V}\nabla f\,\mathrm {d} V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle f\mathbf {n} \mathrm {d} S.}$

• С для векторного поля F и постоянного вектора c : ^[11] ${\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow \mathbf {c} \times \mathbf {F} }$

${\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {c} \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle (\mathbf {F} \times \mathbf {c} )\cdot \mathbf {n} \mathrm {d} S.}$

Переупорядочивая тройное произведение в правой части и удаляя постоянный вектор интеграла,

${\displaystyle \iiint _{V}(\nabla \times \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V\cdot \mathbf {c} =}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle (\mathrm {d} \mathbf {S} \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {c} .}$

Следовательно,

${\displaystyle \iiint _{V}(\nabla \times \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {n} \times \mathbf {F} \mathrm {d} S.}$

Пример

Векторное поле, соответствующее показанному примеру. Векторы могут указывать в сферу или за ее пределы.

Теорему о дивергенции можно использовать для расчета потока через замкнутую поверхность , которая полностью окружает объем, как и любая из поверхностей слева. Его нельзя напрямую использовать для расчета потока через поверхности с границами, как показано справа. (Поверхности синие, границы красные.)

Предположим, мы хотим оценить

${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S,}$

где S - единичная сфера , определяемая формулой

${\displaystyle S=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\},}$

F — векторное поле

${\displaystyle \mathbf {F} =2x\mathbf {i} +y^{2}\mathbf {j} +z^{2}\mathbf {k} .}$

Непосредственное вычисление этого интеграла довольно сложно, но мы можем упростить вывод результата, используя теорему о расходимости, поскольку теорема о расходимости гласит, что интеграл равен:

${\displaystyle \iiint _{W}(\nabla \cdot \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V=2\iiint _{W}(1+y+z)\,\mathrm {d} V=2\iiint _{W}\mathrm {d} V+2\iiint _{W}y\,\mathrm {d} V+2\iiint _{W}z\,\mathrm {d} V,}$

где W — единичный шар :

${\displaystyle W=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1\right\}.}$

Поскольку функция y положительна в одном полушарии W и отрицательна в другом, равным и противоположным образом, ее полный интеграл по W равен нулю. То же самое справедливо и для z :

${\displaystyle \iiint _{W}y\,\mathrm {d} V=\iiint _{W}z\,\mathrm {d} V=0.}$

Поэтому,

${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S=2\iiint _{W}\,dV={\frac {8\pi }{3}},}$

потому что единичный шар W имеет объем 4 π/3.

Приложения

Дифференциальные и интегральные формы физических законов

В результате теоремы о дивергенции множество физических законов можно записать как в дифференциальной форме (где одна величина является дивергенцией другой), так и в интегральной форме (когда поток одной величины через замкнутую поверхность равен другой количество). Три примера — закон Гаусса (в электростатике ), закон Гаусса для магнетизма и закон Гаусса для гравитации .

Уравнения непрерывности

Уравнения непрерывности предлагают больше примеров законов как с дифференциальной, так и с интегральной формой, связанных друг с другом теоремой о дивергенции. В гидродинамике , электромагнетизме , квантовой механике , теории относительности и ряде других областей существуют уравнения непрерывности , описывающие сохранение массы, импульса, энергии, вероятности или других величин. В общем, эти уравнения утверждают, что дивергенция потока сохраняющейся величины равна распределению источников или стоков этой величины. Теорема о дивергенции утверждает, что любое такое уравнение неразрывности можно записать в дифференциальной форме (в терминах дивергенции) и интегральной форме (в терминах потока). ^[12]

Законы обратных квадратов

Вместо этого любой закон обратных квадратов можно записать в форме закона Гаусса (с дифференциальной и интегральной формой, как описано выше). Двумя примерами являются закон Гаусса (в электростатике), который следует из закона обратных квадратов Кулона , и закон Гаусса для гравитации , который следует из закона обратных квадратов Ньютона всемирного тяготения . Вывод уравнения типа закона Гаусса из формулировки обратных квадратов или наоборот в обоих случаях совершенно одинаков; подробности см. в любой из этих статей. ^[12]

История

Жозеф-Луи Лагранж ввел понятие поверхностных интегралов в 1760 году и снова в более общих терминах в 1811 году, во втором издании своей « Аналитической механики» . Лагранж использовал поверхностные интегралы в своей работе по механике жидкости. ^[13] Он открыл теорему о расходимости в 1762 году. ^[14]

Карл Фридрих Гаусс также использовал поверхностные интегралы, работая над гравитационным притяжением эллиптического сфероида в 1813 году, когда он доказал частные случаи теоремы о дивергенции. ^{[15] [13]} Он доказал дополнительные частные случаи в 1833 и 1839 годах. ^[16] Но именно Михаил Остроградский дал первое доказательство общей теоремы в 1826 году в рамках своего исследования теплового потока. ^[17] Особые случаи были доказаны Джорджем Грином в 1828 году в «Очерке о применении математического анализа к теориям электричества и магнетизма» , ^{[18] [16]} Симеоном Дени Пуассоном в 1824 году в статье по упругости и Фредериком Саррюсом в 1828 г. в работе о плавающих телах. ^{[19] [16]}

Работающие примеры

Пример 1

Чтобы проверить планарный вариант теоремы о дивергенции для области : ${\displaystyle R}$

${\displaystyle R=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\},}$

и векторное поле:

${\displaystyle \mathbf {F} (x,y)=2y\mathbf {i} +5x\mathbf {j} .}$

Границей является единичный круг, который можно параметрически представить как: ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle x=\cos(s),\quad y=\sin(s)}$

такой, что где единицы — это длина дуги от точки до точки на . Тогда векторное уравнение ${\displaystyle 0\leq s\leq 2\pi }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C(s)=\cos(s)\mathbf {i} +\sin(s)\mathbf {j} .}$

В какой-то момент : ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle P=(\cos(s),\,\sin(s))\,\Rightarrow \,\mathbf {F} =2\sin(s)\mathbf {i} +5\cos(s)\mathbf {j} .}$

Поэтому,

${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} s&=\int _{0}^{2\pi }(2\sin(s)\mathbf {i} +5\cos(s)\mathbf {j} )\cdot (\cos(s)\mathbf {i} +\sin(s)\mathbf {j} )\,\mathrm {d} s\\&=\int _{0}^{2\pi }(2\sin(s)\cos(s)+5\sin(s)\cos(s))\,\mathrm {d} s\\&=7\int _{0}^{2\pi }\sin(s)\cos(s)\,\mathrm {d} s\\&=0.\end{aligned}}}$

Потому что мы можем оценить и потому что . Таким образом ${\displaystyle M=2y}$ ${\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial x}}=0}$ ${\displaystyle N=5x}$ ${\displaystyle {\frac {\partial N}{\partial y}}=0}$

${\displaystyle \iint _{R}\,\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \,\mathrm {d} A=\iint _{R}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}+{\frac {\partial N}{\partial y}}\right)\,\mathrm {d} A=0.}$

Пример 2

Допустим, мы хотели оценить поток следующего векторного поля , определяемого следующими неравенствами: ${\displaystyle \mathbf {F} =2x^{2}{\textbf {i}}+2y^{2}{\textbf {j}}+2z^{2}{\textbf {k}}}$

${\displaystyle \left\{0\leq x\leq 3\right\},\left\{-2\leq y\leq 2\right\},\left\{0\leq z\leq 2\pi \right\}}$

По теореме о дивергенции

${\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right)\mathrm {d} V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} )\,\mathrm {d} S.}$

Теперь нам нужно определить расхождение . Если – трехмерное векторное поле, то дивергенция определяется выражением . ${\displaystyle {\textbf {F}}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle {\textbf {F}}}$ ${\textstyle \nabla \cdot {\textbf {F}}=\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\textbf {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\textbf {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\textbf {k}}\right)\cdot {\textbf {F}}}$

Таким образом, мы можем составить следующий интеграл потока следующим образом: ${\displaystyle I=}$ ${\displaystyle {\scriptstyle S}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {F} \,\mathrm {d} V\\[6pt]&=\iiint _{V}\left({\frac {\partial \mathbf {F_{x}} }{\partial x}}+{\frac {\partial \mathbf {F_{y}} }{\partial y}}+{\frac {\partial \mathbf {F_{z}} }{\partial z}}\right)\mathrm {d} V\\[6pt]&=\iiint _{V}(4x+4y+4z)\,\mathrm {d} V\\[6pt]&=\int _{0}^{3}\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(4x+4y+4z)\,\mathrm {d} V\end{aligned}}}$

Теперь, когда мы установили интеграл, мы можем его вычислить.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{3}\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(4x+4y+4z)\,\mathrm {d} V&=\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(12y+12z+18)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z\\[6pt]&=\int _{0}^{2\pi }24(2z+3)\,\mathrm {d} z\\[6pt]&=48\pi (2\pi +3)\end{aligned}}}$

Обобщения

Несколько измерений

Можно использовать обобщенную теорему Стокса, чтобы приравнять n -мерный объемный интеграл дивергенции векторного поля F над областью U к ( n - 1) -мерному поверхностному интегралу F по границе U :

${\displaystyle \underbrace {\int \cdots \int _{U}} _{n}\nabla \cdot \mathbf {F} \,\mathrm {d} V=\underbrace {\oint _{}\cdots \oint _{\partial U}} _{n-1}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S}$

Это уравнение также известно как теорема о дивергенции.

Когда n = 2 , это эквивалентно теореме Грина .

Когда n = 1 , это сводится к фундаментальной теореме исчисления , часть 2.

Тензорные поля

Записываем теорему в обозначениях Эйнштейна :

${\displaystyle \iiint _{V}{\dfrac {\partial \mathbf {F} _{i}}{\partial x_{i}}}\mathrm {d} V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{i}n_{i}\,\mathrm {d} S}$

предположительно, заменив векторное поле F на тензорное поле T ранга n , это можно обобщить до: ^[20]

${\displaystyle \iiint _{V}{\dfrac {\partial T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{q}\cdots i_{n}}}{\partial x_{i_{q}}}}\mathrm {d} V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{q}\cdots i_{n}}n_{i_{q}}\,\mathrm {d} S.}$

где с каждой стороны происходит сжатие тензора хотя бы для одного индекса. Эта форма теоремы все еще существует в 3d, каждый индекс принимает значения 1, 2 и 3. Ее можно еще обобщить на более высокие (или низкие) измерения (например, на 4- мерное пространство-время в общей теории относительности ^[21] ).

Смотрите также

• Теорема Кельвина – Стокса

Рекомендации

1. Кац, Виктор Дж. (1979). «История теоремы Стокса». Журнал «Математика» . 52 (3): 146–156. дои : 10.2307/2690275. JSTOR  2690275.перепечатано в Anderson, Marlow (2009). Кто дал вам эпсилон?: и другие рассказы математической истории. Математическая ассоциация Америки. стр. 78–79. ISBN 978-0-88385-569-0.
2. Р. Г. Лернер ; Г.Л. Тригг (1994). Энциклопедия физики (2-е изд.). ВХК. ISBN 978-3-527-26954-9.
3. Байрон, Фредерик; Фуллер, Роберт (1992), Математика классической и квантовой физики, Dover Publications, стр. 22, ISBN 978-0-486-67164-2
4. Уайли, К. Рэй младший. Высшая инженерная математика, 3-е изд . МакГроу-Хилл. стр. 372–373.
5. Крейциг, Эрвин; Крейциг, Герберт; Норминтон, Эдвард Дж. (2011). Высшая инженерная математика (10-е изд.). Джон Уайли и сыновья. стр. 453–456. ISBN 978-0-470-45836-5.
6. Бенфорд, Фрэнк А. (май 2007 г.). «Заметки о векторном исчислении» (PDF) . Материалы курса «Математика 105: Многомерное исчисление» . Веб-страница профессора Стивена Миллера, Колледж Уильямс . Проверено 14 марта 2022 г.
7. Перселл, Эдвард М.; Дэвид Дж. Морин (2013). Электричество и магнетизм. Кембриджский университет. Нажимать. стр. 56–58. ISBN 978-1-107-01402-2.
8. Альт, Ганс Вильгельм (2016). «Линейный функциональный анализ». Университетский текст . Лондон: Спрингер Лондон. стр. 259–261, 270–272. дои : 10.1007/978-1-4471-7280-2. ISBN 978-1-4471-7279-6. ISSN  0172-5939.
9. Тейлор, Майкл Э. (2011). «Уравнения в частных производных I». Прикладные математические науки . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. стр. 178–179. дои : 10.1007/978-1-4419-7055-8. ISBN 978-1-4419-7054-1. ISSN  0066-5452.
10. Г-н Шпигель; С. Липшуц; Д. Спеллман (2009). Векторный анализ . Очерки Шаума (2-е изд.). США: МакГроу Хилл. ISBN 978-0-07-161545-7.
11. MathWorld
12. CB Паркер (1994). Энциклопедия физики МакГроу Хилла (2-е изд.). МакГроу Хилл. ISBN 978-0-07-051400-3.
13. Кац, Виктор (2009). «Глава 22: Векторный анализ». История математики: Введение . Аддисон-Уэсли. стр. 808–9. ISBN 978-0-321-38700-4.
14. В своей статье о звуке 1762 года Лагранж рассматривает частный случай теоремы о дивергенции: Лагранж (1762) «Nouvelles recherches sur la Nature et la Propagation du son» (Новые исследования природы и распространения звука), Miscellanea Taurinensia (также известный как: Mélanges de Turin ), 2 : 11 – 172. Эта статья перепечатана как: «Nouvelles recherches sur la Nature et la Propagation du son» в: JA Serret, ed., Oeuvres de Lagrange , (Париж, Франция: Готье -Вилларс, 1867), т. 1, страницы 151–316; на страницах 263–265 Лагранж преобразует тройные интегралы в двойные, используя интегрирование по частям.
15. CF Gauss (1813) «Theoria attractis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum Methodo novatractata», Commentationes societatis regiae scientiarium Gottingensisrecentiores , 2 : 355–378; Гаусс рассмотрел частный случай теоремы; см. 4-ю, 5-ю и 6-ю страницы его статьи.
16. Кац, Виктор (май 1979 г.). «История теоремы Стокса». Журнал «Математика» . 52 (3): 146–156. дои : 10.1080/0025570X.1979.11976770. JSTOR  2690275.
17. Михаил Остраградский представил свое доказательство теоремы о дивергенции Парижской академии в 1826 году; однако его работы не были опубликованы Академией. Он вернулся в Санкт-Петербург, Россия, где в 1828–1829 годах прочитал работу, которую он сделал во Франции, в Санкт-Петербургской Академии, которая опубликовала его работу в сокращенной форме в 1831 году.
    • Его доказательство теоремы о расходимости - «Démonstration d'un theorème du Calcul Integral» (Доказательство теоремы в интегральном исчислении), которое он прочитал в Парижской академии 13 февраля 1826 года, было переведено в 1965 году на русский язык вместе. с другой его статьей. См.: Юшкевич А.П. (Юшкевич А.П.) и Антропова В.И. (Антропов В.И.) (1965) "Неопубликованные работы М.В. Остроградского" (Неопубликованные труды М.В. Остроградского), Историко-математические исследования (Историко-математические исследования), 16 : 49–96; см. раздел: "Остроградский М.В. Доказательство одной теоремы интегрального исчисления" (Остроградский М.В. Доказательство одной теории интегрального исчисления / Остраградский М.В. Доказательство теоремы интегрального исчисления).
    • М. Остроградский (представлено: 5 ноября 1828 г.; опубликовано: 1831 г.) «Première note sur la theorie de la chaleur» (Первые заметки по теории теплоты) Mémoires de l'Académie Imperiale des Sciences de St. Pétersbourg , серия 6, 1 : 129–133; сокращенную версию его доказательства теоремы о расходимости см. на стр. 130–131.
    • Виктор Дж. Кац (май 1979 г.) «История теоремы Стокса», Архивировано 2 апреля 2015 г., в журнале Wayback Machine Mathematics Magazine , 52 (3): 146–156; доказательство Остраградского теоремы о расходимости см. на стр. 147–148.
18. Джордж Грин, Очерк применения математического анализа к теориям электричества и магнетизма (Ноттингем, Англия: Т. Уилхаус, 1838). Форма «теоремы о дивергенции» появляется на страницах 10–12.
19. Другие ранние исследователи, которые использовали ту или иную форму теоремы о дивергенции, включают:
    • Пуассон (представлено: 2 февраля 1824 г.; опубликовано: 1826 г.) «Mémoire sur la theorie du Magnetisme» (Мемуары по теории магнетизма), Mémoires de l'Académie des Sciences de l'Institut de France , 5 : 247–338; на страницах 294–296 Пуассон преобразует объемный интеграл (который используется для оценки величины Q) в поверхностный интеграл. Чтобы осуществить это преобразование, Пуассон следует той же процедуре, которая используется для доказательства теоремы о расходимости.
    • Фредерик Саррус (1828) «Mémoire sur les колебания де плавающих тел» (Мемуары о колебаниях плавающих тел), Annales de mathématiques pures et appliquées (Nismes), 19 : 185–211.
20. К. Ф. Райли; член парламента Хобсон; С. Дж. Бенс (2010). Математические методы в физике и технике . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-86153-3.
21. см., например: Дж. А. Уилер; К. Миснер; К. С. Торн (1973). Гравитация . WH Freeman & Co., стр. 85–86, §3.5. ISBN
     978-0-7167-0344-0.и Р. Пенроуз (2007). Дорога к реальности . Винтажные книги. ISBN
     978-0-679-77631-4.

Внешние ссылки

• «Формула Остроградского», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Дифференциальные операторы и теорема о дивергенции на MathPages
• Теорема о дивергенции (Гаусса), Ник Быков, Демонстрационный проект Wolfram .
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема о дивергенции». Математический мир .– Эта статья изначально была основана на статье GFDL из PlanetMath по адресу https://web.archive.org/web/20021029094728/http://planetmath.org/encyclepedia/Divergence.html.