Электрический импеданс

Противодействие цепи току при приложении напряжения

В электротехнике импеданс — это противодействие переменному току, создаваемое совместным эффектом активного и реактивного сопротивления в цепи . ^[1]

Количественно импеданс двухполюсного элемента цепи представляет собой отношение комплексного представления синусоидального напряжения между его клеммами к комплексному представлению тока, протекающего через него. ^[2] В общем случае он зависит от частоты синусоидального напряжения.

Импеданс расширяет концепцию сопротивления на цепи переменного тока и обладает как величиной, так и фазой , в отличие от сопротивления, которое имеет только величину.

Импеданс может быть представлен в виде комплексного числа с теми же единицами, что и сопротивление, для которого единицей СИ является ом ( Ω ). Его символом обычно является Z , и его можно представить, записав его величину и фазу в полярной форме | Z | ∠θ . Однако декартово комплексное числовое представление часто более мощно для анализа цепей.

Понятие импеданса полезно для выполнения анализа переменного тока электрических сетей , поскольку оно позволяет связать синусоидальные напряжения и токи простым линейным законом. В сетях с несколькими портами двухтерминальное определение импеданса неадекватно, но комплексные напряжения на портах и ​​токи, протекающие через них, по-прежнему линейно связаны матрицей импеданса . ^[3]

Обратная величина импеданса — проводимость , единицей измерения которой в системе СИ является сименс , ранее называвшийся мо .

Приборы, используемые для измерения электрического импеданса, называются анализаторами импеданса .

История

Возможно, самое раннее использование комплексных чисел в анализе цепей было сделано Иоганном Виктором Витлисбахом в 1879 году при анализе моста Максвелла . Витлисбах избегал использования дифференциальных уравнений, выражая переменные токи и напряжения как экспоненциальные функции с мнимыми показателями (см. § Допустимость комплексного представления). Витлисбах обнаружил, что требуемое напряжение можно получить, умножив ток на комплексное число (импеданс), хотя он не определил это как общий параметр сам по себе. ^[4]

Термин «импеданс» был придуман Оливером Хевисайдом в июле 1886 года. ^{[5] [6]} Хевисайд осознал, что «оператор сопротивления» (импеданс) в его операционном исчислении был комплексным числом. В 1887 году он показал, что существует эквивалент переменного тока закону Ома . ^[7]

Артур Кеннелли опубликовал влиятельную статью об импедансе в 1893 году. Кеннелли пришел к комплексному числовому представлению более прямым путем, чем с помощью мнимых экспоненциальных функций. Кеннелли следовал графическому представлению импеданса (показывающему сопротивление, реактивное сопротивление и импеданс как длины сторон прямоугольного треугольника), разработанному Джоном Амброузом Флемингом в 1889 году. Таким образом, импедансы можно было складывать векторно . Кеннелли понял, что это графическое представление импеданса было напрямую аналогично графическому представлению комплексных чисел ( диаграмма Аргана ). Таким образом, к проблемам расчета импеданса можно было подходить алгебраически с комплексным числовым представлением. ^{[8] [9]} Позже в том же году работа Кеннелли была обобщена на все цепи переменного тока Чарльзом Протеусом Штейнмецем . Штейнмец представлял импедансы не только комплексными числами, но также напряжениями и токами. В отличие от Кеннелли, Штейнмец, таким образом, смог выразить эквиваленты переменного тока для законов постоянного тока, таких как законы Ома и Кирхгофа. ^[10] Работа Штейнмеца оказала большое влияние на распространение этой техники среди инженеров. ^[11]

Введение

В дополнение к сопротивлению, которое наблюдается в цепях постоянного тока, импеданс в цепях переменного тока включает эффекты индукции напряжений в проводниках магнитными полями ( индуктивность ) и электростатическое хранение заряда, вызванное напряжениями между проводниками ( емкость ). Импеданс, вызванный этими двумя эффектами, в совокупности называется реактивным сопротивлением и образует мнимую часть комплексного импеданса, тогда как сопротивление образует действительную часть.

Комплексное сопротивление

Графическое представление комплексной плоскости импеданса

Сопротивление двухполюсного элемента цепи представляется как комплексная величина . Полярная форма удобно фиксирует как амплитудные, так и фазовые характеристики как ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle \ Z=|Z|e^{j\arg(Z)}}$

где величина представляет собой отношение амплитуды разности напряжений к амплитуде тока, в то время как аргумент (обычно обозначаемый символом ) дает разность фаз между напряжением и током. является мнимой единицей и используется вместо в этом контексте, чтобы избежать путаницы с символом электрического тока . ^{[12] : 21} ${\displaystyle |Z|}$ ${\displaystyle \arg(Z)}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$

В декартовой форме импеданс определяется как

${\displaystyle \ Z=R+jX}$

где действительная часть импеданса — это сопротивление R , а мнимая часть — это реактивное сопротивление X.

Когда необходимо сложить или вычесть импедансы, декартова форма более удобна; но когда величины умножаются или делятся, расчет становится проще, если используется полярная форма. Расчет цепи, такой как нахождение общего импеданса двух импедансов, соединенных параллельно, может потребовать преобразования между формами несколько раз во время расчета. Преобразование между формами следует обычным правилам преобразования комплексных чисел .

Комплексное напряжение и ток

Обобщенные импедансы в цепи можно обозначить тем же символом, что и резистор (US ANSI или DIN Euro), или с помощью маркированного прямоугольника.

Для упрощения расчетов синусоидальные волны напряжения и тока обычно представляются как комплекснозначные функции времени, обозначаемые как и . ^{[13] [14]} ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle {\begin{aligned}V&=|V|e^{j(\omega t+\phi _{V})},\\I&=|I|e^{j(\omega t+\phi _{I})}.\end{aligned}}}$

Сопротивление биполярной цепи определяется как отношение следующих величин:

${\displaystyle Z={\frac {V}{I}}={\frac {|V|}{|I|}}e^{j(\phi _{V}-\phi _{I})}.}$

Отсюда, обозначая , имеем ${\displaystyle \theta =\phi _{V}-\phi _{I}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|V|&=|I||Z|,\\\phi _{V}&=\phi _{I}+\theta .\end{aligned}}}$

Уравнение величины представляет собой известный закон Ома, примененный к амплитудам напряжения и тока, тогда как второе уравнение определяет фазовое соотношение.

Действительность комплексного представления

Это представление с использованием комплексных экспонент можно обосновать, заметив, что (по формуле Эйлера ):

${\displaystyle \ \cos(\omega t+\phi )={\frac {1}{2}}{\Big [}e^{j(\omega t+\phi )}+e^{-j(\omega t+\phi )}{\Big ]}}$

Действительная синусоидальная функция, представляющая либо напряжение, либо ток, может быть разбита на две комплекснозначные функции. По принципу суперпозиции мы можем проанализировать поведение синусоиды на левой стороне, проанализировав поведение двух комплексных членов на правой стороне. Учитывая симметрию, нам нужно выполнить анализ только для одного правого члена. Результаты идентичны для другого. В конце любого вычисления мы можем вернуться к действительным синусоидам, дополнительно отметив, что

${\displaystyle \ \cos(\omega t+\phi )=\operatorname {\mathcal {R_{e}}} {\Big \{}e^{j(\omega t+\phi )}{\Big \}}}$

Закон Ома

Источник переменного тока, подающий напряжение на нагрузку и создающий ток. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle I}$

Значение электрического импеданса можно понять, подставив его в закон Ома. ^{[15] [16]} Предполагая, что двухполюсный элемент цепи с импедансом приводится в действие синусоидальным напряжением или током, как указано выше, справедливо ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle \ V=IZ=I|Z|e^{j\arg(Z)}}$

Величина импеданса действует так же, как сопротивление, давая падение амплитуды напряжения через импеданс для заданного тока . Фазовый фактор говорит нам, что ток отстает от напряжения на фазу (т.е. во временной области сигнал тока смещается позже относительно сигнала напряжения). ${\displaystyle |Z|}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \theta =\arg(Z)}$ ${\textstyle {\frac {\theta }{2\pi }}T}$

Подобно тому, как импеданс распространяет закон Ома на цепи переменного тока, другие результаты анализа цепей постоянного тока, такие как деление напряжения , деление тока , теорема Тевенена и теорема Нортона , также можно распространить на цепи переменного тока, заменив сопротивление импедансом.

Фазоры

Фазор представлен постоянным комплексным числом, обычно выраженным в экспоненциальной форме, представляющим комплексную амплитуду (величину и фазу) синусоидальной функции времени. Фазоры используются инженерами-электриками для упрощения вычислений, включающих синусоиду (например, в цепях переменного тока ^{[12] : 53} ), где они часто могут свести задачу дифференциального уравнения к алгебраической.

Импеданс элемента цепи можно определить как отношение фазового напряжения на элементе к фазовому току через элемент, определяемое относительными амплитудами и фазами напряжения и тока. Это идентично определению из закона Ома, приведенного выше, с учетом того, что факторы сокращаются. ${\displaystyle e^{j\omega t}}$

Примеры устройств

Резистор

Фазовые углы в уравнениях для импеданса конденсаторов и индукторов указывают, что напряжение на конденсаторе отстает от тока через него на фазу , тогда как напряжение на индукторе опережает ток через него на . Одинаковые амплитуды напряжения и тока указывают, что величина импеданса равна единице. ${\displaystyle \pi /2}$ ${\displaystyle \pi /2}$

Сопротивление идеального резистора является чисто действительным и называется резистивным сопротивлением :

${\displaystyle \ Z_{R}=R}$

В этом случае формы волн напряжения и тока пропорциональны и синфазны.

Индуктор и конденсатор

Идеальные катушки индуктивности и конденсаторы имеют чисто мнимое реактивное сопротивление :

сопротивление индукторов увеличивается с ростом частоты;

${\displaystyle Z_{L}=j\omega L}$^[а]

сопротивление конденсаторов уменьшается с увеличением частоты;

${\displaystyle Z_{C}={\frac {1}{j\omega C}}}$

В обоих случаях, для приложенного синусоидального напряжения, результирующий ток также синусоидальный, но в квадратуре , на 90 градусов не совпадает по фазе с напряжением. Однако фазы имеют противоположные знаки: в катушке индуктивности ток отстает ; в конденсаторе ток опережает .

Обратите внимание на следующие тождества для мнимой единицы и ее обратной величины:

${\displaystyle {\begin{aligned}j&\equiv \cos {\left({\frac {\pi }{2}}\right)}+j\sin {\left({\frac {\pi }{2}}\right)}\equiv e^{j{\frac {\pi }{2}}}\\{\frac {1}{j}}\equiv -j&\equiv \cos {\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)}+j\sin {\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)}\equiv e^{j\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)}\end{aligned}}}$

Таким образом, уравнения импеданса катушки индуктивности и конденсатора можно переписать в полярной форме:

${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{L}&=\omega Le^{j{\frac {\pi }{2}}}\\Z_{C}&={\frac {1}{\omega C}}e^{j\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)}\end{aligned}}}$

Величина показывает изменение амплитуды напряжения при заданной амплитуде тока через импеданс, тогда как экспоненциальные множители показывают фазовое соотношение.

Вывод импедансов, специфичных для устройств

Ниже приведен вывод импеданса для каждого из трех основных элементов схемы : резистора, конденсатора и катушки индуктивности. Хотя эту идею можно расширить, чтобы определить соотношение между напряжением и током любого произвольного сигнала , эти выводы предполагают синусоидальные сигналы. Фактически, это применимо к любым произвольным периодическим сигналам, поскольку их можно аппроксимировать как сумму синусоид посредством анализа Фурье .

Резистор

Для резистора существует соотношение

${\displaystyle v_{\text{R}}{\mathord {\left(t\right)}}=i_{\text{R}}{\mathord {\left(t\right)}}R}$

что является законом Ома .

Учитывая, что сигнал напряжения

${\displaystyle v_{\text{R}}(t)=V_{p}\sin(\omega t)}$

следует, что

${\displaystyle {\frac {v_{\text{R}}{\mathord {\left(t\right)}}}{i_{\text{R}}{\mathord {\left(t\right)}}}}={\frac {V_{p}\sin(\omega t)}{I_{p}\sin {\mathord {\left(\omega t\right)}}}}=R}$

Это означает, что отношение амплитуды переменного напряжения к амплитуде переменного тока (AC) на резисторе равно , и что переменное напряжение опережает ток на резисторе на 0 градусов. ${\displaystyle R}$

Этот результат обычно выражается как

${\displaystyle Z_{\text{resistor}}=R}$

Конденсатор

Для конденсатора имеет место соотношение:

${\displaystyle i_{\text{C}}(t)=C{\frac {\mathrm {d} v_{\text{C}}(t)}{\mathrm {d} t}}}$

Учитывая, что сигнал напряжения

${\displaystyle v_{\text{C}}(t)=V_{p}e^{j\omega t}}$

следует, что

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} v_{\text{C}}(t)}{\mathrm {d} t}}=j\omega V_{p}e^{j\omega t}}$

и таким образом, как и прежде,

${\displaystyle Z_{\text{capacitor}}={\frac {v_{\text{C}}{\mathord {\left(t\right)}}}{i_{\text{C}}{\mathord {\left(t\right)}}}}={\frac {1}{j\omega C}}.}$

Наоборот, если ток в цепи предполагается синусоидальным, его комплексное представление будет

${\displaystyle i_{\text{C}}(t)=I_{p}e^{j\omega t}}$

затем интегрируем дифференциальное уравнение

${\displaystyle i_{\text{C}}(t)=C{\frac {\mathrm {d} v_{\text{C}}(t)}{\mathrm {d} t}}}$

приводит к

${\displaystyle v_{C}(t)={\frac {1}{j\omega C}}I_{p}e^{j\omega t}+{\text{Const.}}={\frac {1}{j\omega C}}i_{C}(t)+{\text{Const.}}}$

Термин Const представляет собой фиксированное смещение потенциала, наложенное на синусоидальный потенциал переменного тока, который не играет никакой роли в анализе переменного тока. Для этой цели этот термин можно принять равным 0, следовательно, импеданс снова

${\displaystyle Z_{\text{capacitor}}={\frac {1}{j\omega C}}.}$

Индуктор

Для катушки индуктивности имеем соотношение (из закона Фарадея ):

${\displaystyle v_{\text{L}}(t)=L{\frac {\mathrm {d} i_{\text{L}}(t)}{\mathrm {d} t}}}$

На этот раз, учитывая, что текущий сигнал:

${\displaystyle i_{\text{L}}(t)=I_{p}\sin(\omega t)}$

отсюда следует, что:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} i_{\text{L}}(t)}{\mathrm {d} t}}=\omega I_{p}\cos {\mathord {\left(\omega t\right)}}}$

Этот результат обычно выражается в полярной форме как

${\displaystyle Z_{\text{inductor}}=\omega Le^{j{\frac {\pi }{2}}}}$

или, используя формулу Эйлера, как

${\displaystyle Z_{\text{inductor}}=j\omega L}$

Как и в случае с конденсаторами, эту формулу можно вывести непосредственно из комплексных представлений напряжений и токов или, предположив синусоидальное напряжение между двумя полюсами индуктора. В последнем случае интегрирование дифференциального уравнения выше приводит к постоянному члену для тока, который представляет собой фиксированное смещение постоянного тока, протекающего через индуктор. Он установлен равным нулю, поскольку анализ переменного тока с использованием импеданса в частотной области рассматривает одну частоту за раз, а постоянный ток представляет собой отдельную частоту в ноль герц в этом контексте.

Обобщенный импеданс s-плоскости

Импеданс, определенный в терминах jω, может быть строго применен только к цепям, которые приводятся в действие установившимся сигналом переменного тока. Понятие импеданса может быть расширено до цепи, возбуждаемой любым произвольным сигналом, используя комплексную частоту вместо jω . Комплексная частота обозначается символом s и, в общем случае, является комплексным числом. Сигналы выражаются в терминах комплексной частоты путем взятия преобразования Лапласа выражения временной области сигнала. Импеданс основных элементов цепи в этой более общей нотации выглядит следующим образом:

Для цепи постоянного тока это упрощается до s = 0. Для установившегося синусоидального сигнала переменного тока s = jω .

Формальное выведение

Сопротивление электрического компонента определяется как отношение между преобразованиями Лапласа напряжения на нем и тока через него, т.е. ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle Z(s)={\frac {{\mathcal {L}}\{v(t)\}}{{\mathcal {L}}\{i(t)\}}}={\frac {V(s)}{I(s)}}\qquad {\text{(general impedance)}}}$

где - комплексный параметр Лапласа. Например, согласно IV-закону конденсатора, , из которого следует, что . ${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{i(t)\}={\mathcal {L}}\{C\,\mathrm {d} v(t)/\mathrm {d} t\}=sC{\mathcal {L}}\{v(t)\}}$ ${\displaystyle Z_{C}(s)=1/sC}$

В векторном режиме (установившийся переменный ток, то есть все сигналы математически представлены в виде простых комплексных экспонент и колеблются на общей частоте ) импеданс можно просто рассчитать как отношение напряжения к току, в котором общий зависящий от времени фактор сокращается: ${\displaystyle v(t)={\hat {V}}\,e^{j\omega t}}$ ${\displaystyle i(t)={\hat {I}}\,e^{j\omega t}}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle Z(\omega )={\frac {v(t)}{i(t)}}={\frac {{\hat {V}}\,e^{j\omega t}}{{\hat {I}}\,e^{j\omega t}}}={\frac {\hat {V}}{\hat {I}}}\qquad {\text{(phasor-regime impedance)}}}$

Опять же, для конденсатора получается, что , и, следовательно , . Фазорную область иногда называют частотной областью, хотя в ней отсутствует одно из измерений параметра Лапласа. ^[17] Для установившегося переменного тока полярная форма комплексного импеданса связывает амплитуду и фазу напряжения и тока. В частности: ${\displaystyle i(t)=C\,\mathrm {d} v(t)/\mathrm {d} t=j\omega C\,v(t)}$ ${\displaystyle Z_{C}(\omega )=1/j\omega C}$

• Величина комплексного сопротивления равна отношению амплитуды напряжения к амплитуде тока;
• Фаза комплексного сопротивления — это сдвиг фаз , на который ток отстает от напряжения.

Эти два соотношения сохраняются даже после взятия действительной части комплексных экспонент (см. фазоры ), которая является частью сигнала, фактически измеряемой в реальных цепях.

Сопротивление против реактивного сопротивления

Активное и реактивное сопротивления совместно определяют величину и фазу импеданса посредством следующих соотношений:

${\displaystyle {\begin{aligned}|Z|&={\sqrt {ZZ^{*}}}={\sqrt {R^{2}+X^{2}}}\\\theta &=\arctan {\left({\frac {X}{R}}\right)}\end{aligned}}}$

Во многих приложениях относительная фаза напряжения и тока не имеет решающего значения, поэтому важна только величина импеданса.

Сопротивление

Сопротивление — это действительная часть импеданса; устройство с чисто резистивным импедансом не демонстрирует фазового сдвига между напряжением и током. ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \ R=|Z|\cos {\theta }\quad }$

Реактивное сопротивление

Реактивное сопротивление — это мнимая часть импеданса; компонент с конечным реактивным сопротивлением вызывает сдвиг фаз между напряжением на нем и током через него. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \ X=|Z|\sin {\theta }\quad }$

Чисто реактивный компонент отличается тем, что синусоидальное напряжение на компоненте находится в квадратуре с синусоидальным током через компонент. Это означает, что компонент попеременно поглощает энергию из цепи, а затем возвращает ее в цепь. Чистое реактивное сопротивление не рассеивает никакой мощности.

Емкостное реактивное сопротивление

Конденсатор имеет чисто реактивное сопротивление, обратно пропорциональное частоте сигнала . Конденсатор состоит из двух проводников , разделенных изолятором , также известным как диэлектрик .

${\displaystyle X_{\mathsf {C}}={\frac {-1\ ~}{\ \omega \ C\ }}={\frac {-1\ ~}{\ 2\pi \ f\ C\ }}~.}$

Знак минус указывает на то, что мнимая часть импеданса отрицательна.

На низких частотах конденсатор приближается к разомкнутой цепи, поэтому ток через него не протекает.

Постоянное напряжение, приложенное к конденсатору, вызывает накопление заряда на одной стороне; электрическое поле , вызванное накопленным зарядом, является источником противодействия току. Когда потенциал, связанный с зарядом, точно уравновешивает приложенное напряжение, ток становится равным нулю.

Приводимый в действие переменным током, конденсатор накапливает лишь ограниченный заряд, прежде чем разность потенциалов меняет знак и заряд рассеивается. Чем выше частота, тем меньше заряда накапливается и тем меньше сопротивление току.

Индуктивное сопротивление

Индуктивное сопротивление пропорционально частоте сигнала и индуктивности . ${\displaystyle X_{L}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle X_{L}=\omega L=2\pi fL\quad }$

Индуктор состоит из спирального проводника. Закон электромагнитной индукции Фарадея дает обратную ЭДС (напряжение, противодействующее току) из-за скорости изменения плотности магнитного потока через контур тока. ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}=-{{d\Phi _{B}} \over dt}\quad }$

Для индуктора, состоящего из катушки с петлями, это дает: ${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}=-N{d\Phi _{B} \over dt}\quad }$

Противо-ЭДС является источником противодействия току. Постоянный постоянный ток имеет нулевую скорость изменения и рассматривает индуктор как короткое замыкание (обычно он изготавливается из материала с низким удельным сопротивлением ). Переменный ток имеет усредненную по времени скорость изменения, которая пропорциональна частоте, это вызывает увеличение индуктивного сопротивления с частотой.

Полное реактивное сопротивление

Общее реактивное сопротивление определяется по формуле

${\displaystyle {X=X_{L}+X_{C}}}$( отрицательно) ${\displaystyle X_{C}}$

так что общее сопротивление равно

${\displaystyle \ Z=R+jX}$

Объединение импедансов

Общее сопротивление многих простых сетей компонентов можно рассчитать, используя правила объединения сопротивлений последовательно и параллельно. Правила идентичны правилам объединения сопротивлений, за исключением того, что числа в общем случае являются комплексными числами . Однако в общем случае требуются эквивалентные преобразования сопротивлений в дополнение к последовательному и параллельному соединению.

Серийная комбинация

Для компонентов, соединенных последовательно, ток через каждый элемент цепи одинаков; общее сопротивление равно сумме сопротивлений компонентов.

${\displaystyle \ Z_{\text{eq}}=Z_{1}+Z_{2}+\cdots +Z_{n}\quad }$

Или явно в реальных и мнимых терминах:

${\displaystyle \ Z_{\text{eq}}=R+jX=(R_{1}+R_{2}+\cdots +R_{n})+j(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n})\quad }$

Параллельная комбинация

Для компонентов, соединенных параллельно, напряжение на каждом элементе цепи одинаково; отношение токов через любые два элемента обратно пропорционально их импедансам.

Следовательно, обратное полное сопротивление равно сумме обратных сопротивлений компонентов:

${\displaystyle {\frac {1}{Z_{\text{eq}}}}={\frac {1}{Z_{1}}}+{\frac {1}{Z_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{Z_{n}}}}$

или, когда n = 2:

${\displaystyle {\frac {1}{Z_{\text{eq}}}}={\frac {1}{Z_{1}}}+{\frac {1}{Z_{2}}}={\frac {Z_{1}+Z_{2}}{Z_{1}Z_{2}}}}$

${\displaystyle \ Z_{\text{eq}}={\frac {Z_{1}Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}}}}$

Эквивалентное сопротивление можно рассчитать через эквивалентное последовательное сопротивление и реактивное сопротивление . ^[18] ${\displaystyle Z_{\text{eq}}}$ ${\displaystyle R_{\text{eq}}}$ ${\displaystyle X_{\text{eq}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{\text{eq}}&=R_{\text{eq}}+jX_{\text{eq}}\\R_{\text{eq}}&={\frac {(X_{1}R_{2}+X_{2}R_{1})(X_{1}+X_{2})+(R_{1}R_{2}-X_{1}X_{2})(R_{1}+R_{2})}{(R_{1}+R_{2})^{2}+(X_{1}+X_{2})^{2}}}\\X_{\text{eq}}&={\frac {(X_{1}R_{2}+X_{2}R_{1})(R_{1}+R_{2})-(R_{1}R_{2}-X_{1}X_{2})(X_{1}+X_{2})}{(R_{1}+R_{2})^{2}+(X_{1}+X_{2})^{2}}}\end{aligned}}}$

Измерение

Измерение импеданса устройств и линий передачи является практической проблемой в радиотехнике и других областях. Измерения импеданса могут проводиться на одной частоте, или может представлять интерес изменение импеданса устройства в диапазоне частот. Импеданс может быть измерен или отображен непосредственно в омах, или могут быть отображены другие значения, связанные с импедансом; например, в радиоантенне коэффициент стоячей волны или коэффициент отражения могут быть более полезными, чем только импеданс. Измерение импеданса требует измерения величины напряжения и тока, а также разности фаз между ними. Импеданс часто измеряется «мостовыми» методами , аналогичными мосту Уитстона постоянного тока ; калиброванный эталонный импеданс настраивается для уравновешивания эффекта импеданса тестируемого устройства. Измерение импеданса в силовых электронных устройствах может потребовать одновременного измерения и подачи питания на работающее устройство.

Импеданс устройства можно рассчитать путем комплексного деления напряжения и тока. Импеданс устройства можно рассчитать, прикладывая синусоидальное напряжение к устройству последовательно с резистором и измеряя напряжение на резисторе и на устройстве. Выполнение этого измерения путем изменения частот подаваемого сигнала дает фазу и величину импеданса. ^[19]

Использование импульсного отклика может быть использовано в сочетании с быстрым преобразованием Фурье (БПФ) для быстрого измерения электрического импеданса различных электрических устройств. ^[19]

Измеритель LCR (индуктивности (L), емкости (C) и сопротивления (R)) — это устройство, обычно используемое для измерения индуктивности, сопротивления и емкости компонента; на основе этих значений можно рассчитать импеданс на любой частоте.

Пример

Рассмотрим LC- контур . Комплексное сопротивление контура равно

${\displaystyle Z(\omega )={\frac {j\omega L}{1-\omega ^{2}LC}}.}$

Сразу видно, что значение минимально (фактически равно 0 в данном случае) всякий раз, когда ${\textstyle {1 \over |Z|}}$

${\displaystyle \omega ^{2}LC=1.}$

Следовательно, угловая частота основного резонанса равна

${\displaystyle \omega ={1 \over {\sqrt {LC}}}.}$

Переменное сопротивление

В общем случае ни импеданс, ни проводимость не могут меняться со временем, поскольку они определены для комплексных экспонент, в которых −∞ < t < +∞ . Если комплексное экспоненциальное отношение напряжения к току изменяется со временем или амплитудой, элемент схемы не может быть описан с использованием частотной области. Однако многие компоненты и системы (например, варикапы , используемые в радиотюнерах ) могут демонстрировать нелинейные или изменяющиеся во времени отношения напряжения к току, которые кажутся линейными инвариантными во времени (LTI) для малых сигналов и в малых окнах наблюдения, поэтому их можно грубо описать так, как если бы они имели изменяющийся во времени импеданс. Это описание является приближением: при больших колебаниях сигнала или широких окнах наблюдения отношение напряжения к току не будет LTI и не может быть описано импедансом.

Смотрите также

• Биоэлектрический импедансный анализ  – метод оценки состава тела
• Характеристическое сопротивление  – свойство электрической цепи.
• Электрические характеристики динамических громкоговорителей
• Высокий импеданс  – узел в цепи, ограничивающий ток.
• Иммитанс  – комбинированная мера импеданса и проводимости.
• Анализатор импеданса  – Тип электронного испытательного оборудования
• Мостовое сопротивление
• Импедансная кардиография  – гемореологический метод определения свойств кровотока в грудной клеткеPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Контроль импеданса
• Согласование импеданса  – регулировка входного/выходного импеданса электрической цепи для какой-либо цели.
• Импедансная микробиология
• Преобразователь отрицательного импеданса  – активная схема, которая подает энергию в цепи.
• Расстояние сопротивления  – графическая метрика электрического сопротивления между узлами
• Сопротивление линии передачи
• Универсальный диэлектрический отклик  – Возникающее масштабное поведение в гетерогенных материалах под действием переменного токаPages displaying wikidata descriptions as a fallback

Примечания

1. — мнимая единица; т.е. используется в электротехнике. Символ не используется, так как он часто используется для тока. ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j={\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle i}$

Ссылки

1. Slurzberg; Osterheld (1950). Основы электричества для радио и телевидения. 2-е изд. McGraw-Hill. С. 360 - 362
2. Callegaro, L. (2012). Электрический импеданс: принципы, измерения и приложения. CRC Press, стр. 5
3. Каллегаро, Раздел 1.6
4. Клайн, Рональд Р., Штейнмец: инженер и социалист , Johns Hopkins University Press, 1992 ISBN  9780801842986 , стр. 78.
5. Science , стр. 18, 1888 ^{[ необходима полная цитата ] [ неудачная проверка ]}
6. Оливер Хевисайд, «Электрик» , стр. 212, 23 июля 1886 г., перепечатано как «Электрические документы», том II , стр. 64, AMS Bookstore, ISBN 0-8218-3465-7 
7. Клайн, стр. 79.
8. Клайн, стр. 81-2.
9. Кеннелли, Артур, «Импеданс», Труды Американского института инженеров-электриков , т. 10, стр. 175–232, 18 апреля 1893 г.
10. Клайн, стр. 85.
11. Клайн, стр. 90-1.
12. Gross, Charles A. (2012). Основы электротехники. Thaddeus Adam Roppel. Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1-4398-9807-9. OCLC  863646311.
13. Комплексное сопротивление, Гиперфизика
14. Горовиц, Пол; Хилл, Уинфилд (1989). "1". Искусство электроники. Cambridge University Press. стр. 31–32. ISBN 978-0-521-37095-0.
15. Закон Ома, Гиперфизика
16. Горовиц, Пол; Хилл, Уинфилд (1989). "1". Искусство электроники. Cambridge University Press. стр. 32–33. ISBN 978-0-521-37095-0.
17. Александр, Чарльз; Садику, Мэтью (2006). Основы электрических цепей (3, исправленное издание). McGraw-Hill. стр. 387–389. ISBN 978-0-07-330115-0.
18. Параллельные выражения импеданса, Гиперфизика
19. Джордж Льюис-младший; Джордж К. Льюис-старший и Уильям Ольбрихт (август 2008 г.). "Экономически эффективная широкополосная электрическая импедансная спектроскопия измерительной схемы и анализ сигналов для пьезоматериалов и ультразвуковых преобразователей". Measurement Science and Technology . 19 (10): 105102. Bibcode : 2008MeScT..19j5102L. doi : 10.1088/0957-0233/19/10/105102. PMC 2600501. PMID  19081773. 

• Клайн, Рональд Р., Штейнмец: инженер и социалист , Plunkett Lake Press, 2019 (электронная перепечатка книги Johns Hopkins University Press, 1992 ISBN 9780801842986 ). 

Внешние ссылки

• ECE 209: Обзор цепей как систем LTI – Краткое объяснение анализа цепей в области Лапласа; включает определение импеданса.