Волна

Повторяющиеся колебания вокруг равновесия

Поверхностные волны в воде, показывающие водную рябь

В физике , математике , технике и смежных областях волна — это распространяющееся динамическое возмущение (изменение равновесия ) одной или нескольких величин . Периодические волны неоднократно колеблются около равновесного (покоящегося) значения с некоторой частотой . Когда вся форма волны движется в одном направлении, ее называют бегущей волной ; напротив, пара наложенных друг на друга периодических волн, движущихся в противоположных направлениях, образует стоячую волну . В стоячей волне амплитуда вибрации имеет нулевое значение в некоторых положениях, где амплитуда волны кажется меньшей или даже нулевой. Волны часто описываются волновым уравнением (поле стоячих волн из двух противоположных волн) или односторонним волновым уравнением для распространения одной волны в определенном направлении.

В классической физике чаще всего изучаются два типа волн : механические волны и электромагнитные волны . В механической волне поля напряжений и деформаций колеблются вокруг механического равновесия. Механическая волна — это локальная деформация (деформация) в некоторой физической среде, которая распространяется от частицы к частице, создавая локальные напряжения , которые вызывают деформацию и в соседних частицах. Например, звуковые волны — это вариации местного давления и движения частиц , распространяющихся в среде. Другими примерами механических волн являются сейсмические волны , гравитационные волны , поверхностные волны и колебания струн . В электромагнитной волне (например, световой) связь между электрическим и магнитным полями обеспечивает распространение волн с участием этих полей в соответствии с уравнениями Максвелла . Электромагнитные волны могут распространяться через вакуум и через некоторые диэлектрические среды (на длинах волн, при которых они считаются прозрачными ). Электромагнитные, в зависимости от их частот (или длин волн ), имеют более конкретные обозначения, включая радиоволны , инфракрасное излучение , терагерцовые волны , видимый свет , ультрафиолетовое излучение , рентгеновские лучи и гамма-лучи .

Другие типы волн включают гравитационные волны , которые представляют собой возмущения в пространстве-времени , распространяющиеся в соответствии с общей теорией относительности ; теплодиффузионные волны ; плазменные волны , сочетающие в себе механические деформации и электромагнитные поля; реакционно-диффузионные волны , например, в реакции Белоусова-Жаботинского ; и многое другое. Механические и электромагнитные волны переносят энергию , ^[1] импульс и информацию , но они не переносят частицы в среде. В математике и электронике волны изучаются как сигналы . ^[2] С другой стороны, некоторые волны имеют оболочку , которая вообще не движется, например, стоячие волны (которые являются фундаментальными для музыки) и гидравлические прыжки .

Пример биологических волн, распространяющихся по коре головного мозга, пример распространения деполяризации . ^[3]

Физическое волновое поле почти всегда ограничено некоторой конечной областью пространства, называемой его областью . Например, сейсмические волны, порождаемые землетрясениями , существенны только внутри и на поверхности планеты, поэтому за ее пределами ими можно пренебречь. Однако волны с бесконечной областью действия, распространяющиеся по всему пространству, обычно изучаются в математике и являются очень ценными инструментами для понимания физических волн в конечных областях.

Плоская волна — это важная математическая идеализация, в которой возмущение одинаково в любой (бесконечной) плоскости, нормальной к определенному направлению движения. Математически самая простая волна — это синусоидальная плоская волна , в которой в любой точке поле испытывает простое гармоническое движение на одной частоте. В линейных средах сложные волны обычно можно разложить на сумму множества синусоидальных плоских волн, имеющих разные направления распространения и/или разные частоты . Плоская волна классифицируется как поперечная волна , если возмущение поля в каждой точке описывается вектором, перпендикулярным направлению распространения (также направлению передачи энергии); или продольная волна , если эти векторы совпадают с направлением распространения. Механические волны включают как поперечные, так и продольные волны; с другой стороны, плоские электромагнитные волны строго поперечны, тогда как звуковые волны в жидкостях (например, в воздухе) могут быть только продольными. Это физическое направление колеблющегося поля относительно направления распространения также называется поляризацией волны , которая может быть важным атрибутом.

Математическое описание

Одиночные волны

Волну можно описать так же, как поле, а именно как функцию , где – положение, – время. ${\displaystyle F(x,t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$

Значением является точка пространства, особенно в области, где определена волна. С математической точки зрения это обычно вектор в декартовом трехмерном пространстве . Однако во многих случаях можно игнорировать одно измерение и пусть оно будет точкой декартовой плоскости . Так обстоит дело, например, при изучении колебаний кожи барабана. Можно даже ограничиться точкой декартовой прямой , то есть множеством действительных чисел . Так обстоит дело, например, при изучении колебаний скрипичной струны или блокфлейты . С другой стороны, время всегда считается скаляром ; то есть действительное число. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle t}$

Значением может быть любая интересующая физическая величина, присвоенная точке , которая может меняться со временем. Например, если представляют собой вибрации внутри упругого твердого тела, значение обычно представляет собой вектор, который дает текущее смещение частиц материала, которые находились бы в данной точке в отсутствие вибрации. Для электромагнитной волны значением может быть вектор электрического поля , вектор магнитного поля или любая связанная величина, например вектор Пойнтинга . В гидродинамике значением может быть вектор скорости жидкости в точке или любое скалярное свойство, такое как давление , температура или плотность . В химической реакции это может быть концентрация какого-либо вещества вблизи точки реакционной среды. ${\displaystyle F(x,t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F(x,t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle E\times H}$ ${\displaystyle F(x,t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F(x,t)}$ ${\displaystyle x}$

Для любого измерения (1, 2 или 3) областью волны является подмножество , так что значение функции определяется для любой точки в . Например, при описании движения шкуры барабана можно считать диском ( кругом) на плоскости с центром в начале координат , а - вертикальное перемещение шкурки в точке и в момент времени . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle F(x,t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle F(x,t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle t}$

Суперпозиция

Волны одного и того же типа часто накладываются друг на друга и встречаются одновременно в данной точке пространства и времени. Свойства в этой точке представляют собой сумму свойств каждой составляющей волны в этой точке. В общем, скорости неодинаковы, поэтому форма волны будет меняться во времени и пространстве.

Волновой спектр

Волновые семейства

Иногда человека интересует одна конкретная волна. Однако чаще всего необходимо понимать большой набор возможных волн; как и все способы, которыми может вибрировать оболочка барабана после однократного удара барабанной палочкой , или все возможные радиолокационные эхо, которые можно услышать от самолета , который может приближаться к аэропорту .

В некоторых из этих ситуаций такое семейство волн можно описать функцией, которая зависит от определенных параметров , кроме и . Тогда можно получить разные волны, то есть разные функции от и , выбирая разные значения этих параметров. ${\displaystyle F(A,B,\ldots ;x,t)}$ ${\displaystyle A,B,\ldots }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$

Звуковое давление стоячей волны в полуоткрытой трубе, играющей 7-ю гармонику основной гармоники ( n = 4)

Например, звуковое давление внутри магнитофона , воспроизводящего «чистую» ноту, обычно представляет собой стоячую волну , которую можно записать как

${\displaystyle F(A,L,n,c;x,t)=A\left(\cos 2\pi x{\frac {2n-1}{4L}}\right)\left(\cos 2\pi ct{\frac {2n-1}{4L}}\right)}$

Параметр определяет амплитуду волны (то есть максимальное звуковое давление в канале, связанное с громкостью ноты); – скорость звука; – длина ствола; и представляет собой целое положительное число (1,2,3,...), которое определяет количество узлов стоячей волны. (Положение следует измерять от мундштука , а время от любого момента, в который давление на мундштук максимально. Величина — это длина излучаемой ноты и ее частота .) Многие общие свойства этих волн можно определить выводятся из этого общего уравнения без выбора конкретных значений параметров. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \lambda =4L/(2n-1)}$ ${\displaystyle f=c/\lambda }$

В качестве другого примера может оказаться, что колебания кожи барабана после одиночного удара зависят только от расстояния от центра кожи до точки удара и от силы удара. Тогда вибрацию для всех возможных ударов можно описать функцией . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle F(r,s;x,t)}$

Иногда семейство интересующих волн имеет бесконечно много параметров. Например, кто-то может захотеть описать, что происходит с температурой металлического стержня, когда его сначала нагревают при различных температурах в разных точках по длине, а затем дают возможность остыть самому в вакууме. В этом случае вместо скаляра или вектора параметр должен быть функцией, такой как начальная температура в каждой точке стержня. Тогда температуры в более поздние моменты времени можно выразить функцией , зависящей от функции (т. е. функциональным оператором ), так что температура в более поздний момент времени будет равна ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle F(h;x,t)}$

Дифференциальные волновые уравнения

Другой способ описать и изучить семейство волн — составить математическое уравнение, которое вместо того, чтобы явно указывать значение , лишь ограничивает то, как эти значения могут меняться со временем. Тогда рассматриваемое семейство волн состоит из всех функций , удовлетворяющих этим ограничениям, то есть всех решений уравнения. ${\displaystyle F(x,t)}$ ${\displaystyle F}$

Этот подход чрезвычайно важен в физике, поскольку ограничения обычно являются следствием физических процессов, вызывающих эволюцию волны. Например, если температура внутри блока некоторого однородного и изотропного твердого материала, ее эволюция ограничивается уравнением в частных производных ${\displaystyle F(x,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial t}}(x,t)=\alpha \left({\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{1}^{2}}}(x,t)+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{2}^{2}}}(x,t)+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{3}^{2}}}(x,t)\right)+\beta Q(x,t)}$

где – теплота, выделяющаяся в единице объема и времени в окрестности времени (например, в результате происходящих там химических реакций); – декартовы координаты точки ; является (первой) производной по ; и является второй производной относительно . (Символ « » означает, что в производной по некоторой переменной все остальные переменные должны считаться фиксированными.) ${\displaystyle Q(p,f)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \partial F/\partial t}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \partial ^{2}F/\partial x_{i}^{2}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \partial }$

Это уравнение можно вывести из законов физики, управляющих диффузией тепла в твердых средах. По этой причине в математике его называют уравнением теплопроводности , хотя оно применимо ко многим другим физическим величинам, помимо температуры.

В качестве другого примера мы можем описать все возможные звуки, отражающиеся в контейнере с газом, с помощью функции, которая определяет давление в определенный момент и время внутри этого контейнера. Если газ изначально имел однородную температуру и состав, эволюция ограничивается формулой ${\displaystyle F(x,t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}F}{\partial t^{2}}}(x,t)=\alpha \left({\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{1}^{2}}}(x,t)+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{2}^{2}}}(x,t)+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{3}^{2}}}(x,t)\right)+\beta P(x,t)}$

Вот некоторая дополнительная сила сжатия, которая прикладывается к газу рядом с каким-то внешним процессом, например, громкоговорителем или поршнем, находящимся рядом с . ${\displaystyle P(x,t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$

Это же дифференциальное уравнение описывает поведение механических колебаний и электромагнитных полей в однородном изотропном непроводящем твердом теле. Обратите внимание, что это уравнение отличается от уравнения теплового потока только тем, что его левая часть равна , второй производной по времени, а не первой производной . Однако это небольшое изменение имеет огромное значение для набора решений . Это дифференциальное уравнение в математике называется « волновым уравнением » , хотя оно описывает только один особый вид волн. ${\displaystyle \partial ^{2}F/\partial t^{2}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \partial F/\partial t}$ ${\displaystyle F}$

Волна в упругой среде

Рассмотрим бегущую поперечную волну (которая может быть импульсом ) на струне (среде). Предположим, что строка имеет одно пространственное измерение. Считайте эту волну бегущей

Длину волны λ можно измерить между любыми двумя соответствующими точками на форме волны.

Анимация двух волн: зеленая волна движется вправо, а синяя волна движется влево, чистая амплитуда красной волны в каждой точке представляет собой сумму амплитуд отдельных волн. Обратите внимание, что f(x,t) + g(x,t) = u(x,t).

• в направлении в пространстве. Например, пусть положительное направление будет вправо, а отрицательное — влево. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
• с постоянной амплитудой ${\displaystyle u}$
• с постоянной скоростью , где ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$
  • не зависит от длины волны (без дисперсии )
  • не зависит от амплитуды ( линейная среда, а не нелинейная ). ^{[4] [5]}
• с постоянной формой волны или формой

Тогда эту волну можно описать двумерными функциями

• ${\displaystyle u(x,t)=F(x-vt)}$(сигнал перемещается вправо) ${\displaystyle F}$
• ${\displaystyle u(x,t)=G(x+vt)}$(сигнал перемещается влево) ${\displaystyle G}$

или, в более общем смысле, по формуле Даламбера : ^[6]

$${\displaystyle u(x,t)=F(x-vt)+G(x+vt).}$$

^[7]уравнения в частных производных ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle {\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.}$$

Общие решения основаны на принципе Дюамеля . ^[8]

Помимо волновых уравнений второго порядка, которые описывают поле стоячей волны, уравнение односторонней волны описывает распространение одиночной волны в определенном направлении.

Формы волн

Синусоидальная , прямоугольная , треугольная и пилообразная формы сигналов.

Форма или форма F в формуле Даламбера включает аргумент x − vt . Постоянные значения этого аргумента соответствуют постоянным значениям F , и эти постоянные значения возникают, если x увеличивается с той же скоростью, что и vt . То есть волна, имеющая форму функции F , будет двигаться в положительном направлении x со скоростью v (а волна G будет распространяться с той же скоростью в отрицательном направлении x ). ^[9]

В случае периодической функции F с периодом λ , то есть F ( x + λ − vt ) = F ( x − vt ), периодичность F в пространстве означает, что снимок волны в данный момент времени t находит волна периодически меняется в пространстве с периодом λ ( длиной волны). Аналогичным образом, эта периодичность F также подразумевает периодичность во времени: F ( x − v ( t + T )) = F ( x − vt ) при условии, что vT = λ , поэтому наблюдение волны в фиксированном месте x находит волну, периодически волнообразную во времени с периодом T = λ / v . ^[10]

Амплитуда и модуляция

Амплитудная модуляция может быть достигнута с помощью f ( x , t ) = 1,00×sin(2π/0,10×( x −1,00× t )) и g ( x , t ) = 1,00×sin(2π/0,11×( x −1,00× t )) виден только результат, чтобы улучшить четкость формы сигнала.

Иллюстрация огибающей ( медленно меняющейся красной кривой) амплитудно-модулированной волны. Быстро меняющаяся синяя кривая — это несущая волна, которая модулируется.

Амплитуда волны может быть постоянной (в этом случае волна является непрерывной или непрерывной ) или может быть модулированной , чтобы изменяться во времени и/или положении. Контур изменения амплитуды называется огибающей волны. Математически модулированную волну можно записать в виде: ^{[11] [12] [13]}

$${\displaystyle u(x,t)=A(x,t)\sin \left(kx-\omega t+\phi \right),}$$

волновое числофазагрупповая скорость^[14] ${\displaystyle A(x,\ t)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle v_{g}}$

$${\displaystyle u(x,t)=A(x-v_{g}t)\sin \left(kx-\omega t+\phi \right),}$$

огибающей^{[14] [15]}

Фазовая скорость и групповая скорость

Красный квадрат движется с фазовой скоростью , а зеленые кружки распространяются с групповой скоростью .

С волнами связаны две скорости: фазовая скорость и групповая скорость .

Фазовая скорость — это скорость, с которой фаза волны распространяется в пространстве : любая данная фаза волны (например, гребень ) будет двигаться с фазовой скоростью. Фазовая скорость выражается через длину волны λ (лямбда) и период T как

$${\displaystyle v_{\mathrm {p} }={\frac {\lambda }{T}}.}$$

Волна с групповой и фазовой скоростями, идущими в разных направлениях.

Групповая скорость — это свойство волн, имеющих определенную огибающую, измеряющее распространение в пространстве (то есть фазовую скорость) общей формы амплитуд волн — модуляции или огибающей волны.

Специальные волны

Синусоидальные волны

Отслеживание компонента y круга при обходе круга приводит к появлению синусоидальной волны (красного цвета). Отслеживание компонента x приводит к появлению косинусоидальной волны (синего цвета). Обе волны представляют собой синусоиды одинаковой частоты, но разных фаз.

Синусоидальная волна , синусоидальная волна или синусоида (символ: ∿) — это периодическая волна, форма (форма) которой представляет собой тригонометрическую синусоидальную функцию . В механике , как линейное движение во времени, это простое гармоническое движение ; как и вращение , оно соответствует равномерному круговому движению . Синусоидальные волны часто встречаются в физике , включая ветровые волны , звуковые волны и световые волны, такие как монохроматическое излучение . В инженерии , обработке сигналов и математике анализ Фурье разлагает общие функции на сумму синусоидальных волн различных частот, относительных фаз и величин.

Когда любые две синусоидальные волны одной и той же частоты (но произвольной фазы ) линейно объединяются , в результате получается еще одна синусоидальная волна той же частоты; это свойство уникально среди периодических волн. И наоборот, если какая-то фаза выбрана в качестве нулевой опорной точки, синусоидальную волну произвольной фазы можно записать как линейную комбинацию двух синусоидальных волн с фазами нуля и четверти цикла, составляющих синуса и косинуса соответственно.

Плоские волны

Плоская волна — это разновидность волны, значение которой меняется только в одном пространственном направлении. То есть его значение постоянно в плоскости, перпендикулярной этому направлению. Плоские волны могут быть заданы вектором единичной длины , указывающим направление изменения волны, и профилем волны, описывающим, как волна изменяется в зависимости от смещения в этом направлении ( ) и времени ( ). Поскольку профиль волны зависит только от положения в комбинации , любое смещение в направлениях, перпендикулярных к, не может повлиять на величину поля. ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle {\hat {n}}\cdot {\vec {x}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {n}}\cdot {\vec {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$

Плоские волны часто используются для моделирования электромагнитных волн вдали от источника. Для плоских электромагнитных волн сами электрическое и магнитное поля поперечны направлению распространения, а также перпендикулярны друг другу.

Стоячие волны

Стоячая волна. Красные точки представляют собой волновые узлы .

Стоячая волна, также известная как стоячая волна , представляет собой волну, огибающая которой остается в постоянном положении. Это явление возникает в результате интерференции двух волн, бегущих в противоположных направлениях.

Сумма двух встречных волн (равной амплитуды и частоты) создает стоячую волну . Стоячие волны обычно возникают, когда граница блокирует дальнейшее распространение волны, вызывая тем самым отражение волны и, следовательно, создавая встречную волну. Например, когда струна скрипки смещается, поперечные волны распространяются туда, где струна удерживается на месте у подставки и порожка , где волны отражаются обратно. В мосту и гайке две противоположные волны находятся в противофазе и нейтрализуют друг друга, образуя узел . На полпути между двумя узлами находится пучность , где две встречные волны максимально усиливают друг друга. Нет никакого чистого распространения энергии во времени.

• 
  Одномерные стоячие волны; основной лад и первые 5 обертонов
• 
  Двумерная стоячая волна на диске ; это основной режим.
• 
  Стоячая волна на диске с двумя узловыми линиями, пересекающимися в центре; это обертон.

Одиночные волны

Уединенная волна в лабораторном волновом канале

Солитон или уединенная волна — это самоусиливающийся волновой пакет , который сохраняет свою форму , пока распространяется с постоянной скоростью. Солитоны возникают в результате подавления нелинейных и дисперсионных эффектов в среде. (Дисперсионные эффекты — это свойство некоторых систем, в которых скорость волны зависит от ее частоты.) Солитоны — это решения широко распространенного класса слабонелинейных дисперсионных уравнений в частных производных, описывающих физические системы.

Физические свойства

Распространение

Распространение волн – это любой из способов распространения волн. Распространение одиночной волны можно рассчитать с помощью волнового уравнения второго порядка ( поле стоячей волны ) или уравнения односторонней волны первого порядка .

Что касается направления колебаний относительно направления распространения, мы можем различать продольные волны и поперечные волны .

Электромагнитные волны распространяются как в вакууме , так и в материальных средах. Распространение других типов волн, таких как звук, может происходить только в передающей среде .

Отражение плоских волн в полупространстве

Распространение и отражение плоских волн — например, волны давления ( P-волны ) или поперечные волны (SH- или SV-волны) — это явления, которые впервые были охарактеризованы в области классической сейсмологии и теперь считаются фундаментальными концепциями современной сейсмической томографии . Аналитическое решение этой проблемы существует и хорошо известно. Решение в частотной области можно получить, сначала найдя разложение Гельмгольца поля смещений, которое затем подставляется в волновое уравнение . Отсюда можно рассчитать собственные моды плоской волны . ^{[ нужна ссылка ] [ нужны разъяснения ]}

Распространение СВ-волн

Распространение СВ-волны в однородном полупространстве (поле горизонтальных смещений)

Распространение СВ-волны в однородном полупространстве (Поле вертикальных смещений) ^{[ нужны разъяснения ]}

Аналитическое решение SV-волны в полупространстве указывает на то, что плоская SV-волна отражается обратно в область как P- и SV-волны, исключая частные случаи. Угол отраженной волны SV идентичен падающей волне, тогда как угол отраженной волны P больше угла волны SV. Для той же частоты волны длина волны SV меньше длины волны P. Этот факт был изображен на этой анимированной картинке. ^[16]

Распространение P-волны

Подобно волне SV, частота P, как правило, отражает волны P и SV. Есть особые случаи, когда режим иной. ^{[ нужны разъяснения ]}

Скорость волны

Распространение сейсмических волн в 2D-моделировании с использованием метода FDTD при наличии мины

Скорость волны — это общее понятие различных видов скоростей волн, определяющее фазу и скорость волны в отношении распространения энергии (и информации). Фазовая скорость определяется как:

$${\displaystyle v_{\rm {p}}={\frac {\omega }{k}},}$$

• v _p — фазовая скорость (в метрах в секунду , м/с),
• ω — угловая частота (в радианах в секунду, рад/с),
• k — волновое число (в радианах на метр, рад/м).

Фазовая скорость дает вам скорость, с которой точка постоянной фазы волны будет перемещаться на дискретной частоте. Угловая частота ω не может быть выбрана независимо от волнового числа k , но оба связаны дисперсионным соотношением :

$${\displaystyle \omega =\Omega (k).}$$

В частном случае Ω( k ) = ck , когда c является константой, волны называются недисперсионными, поскольку все частоты распространяются с одинаковой фазовой скоростью c . Например, электромагнитные волны в вакууме недисперсионны. В случае других форм дисперсионного уравнения мы имеем дисперсионные волны. Дисперсионное соотношение зависит от среды, в которой распространяются волны, и от типа волн (например, электромагнитные , звуковые или водные волны).

Скорость, с которой будет распространяться результирующий волновой пакет из узкого диапазона частот, называется групповой скоростью и определяется из градиента дисперсионного уравнения :

$${\displaystyle v_{\rm {g}}={\frac {\partial \omega }{\partial k}}}$$

Почти во всех случаях волна – это преимущественно движение энергии через среду. Чаще всего групповая скорость — это скорость, с которой энергия движется через эту среду.

Световой луч, демонстрирующий отражение, преломление, пропускание и дисперсию при встрече с призмой.

Волны демонстрируют общее поведение в ряде стандартных ситуаций, например:

Передача и СМИ

Волны обычно движутся по прямой линии (то есть прямолинейно) через передающую среду . Такие средства массовой информации можно отнести к одной или нескольким из следующих категорий:

• Ограниченная среда , если она конечна по протяженности, в противном случае неограниченная среда.
• Линейная среда , если амплитуды различных волн в любой конкретной точке среды можно сложить.
• Однородная среда или однородная среда , если ее физические свойства не изменяются в разных местах пространства.
• Анизотропная среда , если одно или несколько ее физических свойств различаются в одном или нескольких направлениях.
• Среда является изотропной , если ее физические свойства одинаковы во всех направлениях.

Поглощение

Волны обычно определяются в средах, которые позволяют большей части или всей энергии волны распространяться без потерь . Однако материалы можно охарактеризовать как «с потерями», если они удаляют энергию из волны, обычно преобразуя ее в тепло. Это называется «поглощением». Материал, который поглощает энергию волны как при передаче , так и при отражении, характеризуется комплексным показателем преломления . Величина поглощения обычно зависит от частоты (длины волны) волны, что, например, объясняет, почему объекты могут казаться цветными.

Отражение

Когда волна ударяется о отражающую поверхность, она меняет направление, так что угол, образуемый падающей волной и линией, нормалью к поверхности, равен углу, образуемому отраженной волной и той же нормалью.

Преломление

Синусоидальная бегущая плоская волна, попадающая в область с более низкой скоростью волны под углом, иллюстрирующая уменьшение длины волны и изменение направления (преломление), что приводит к

Рефракция – это явление изменения скорости волны. Математически это означает, что изменяется размер фазовой скорости . Обычно преломление происходит при переходе волны из одной среды в другую. Величина, на которую волна преломляется материалом, определяется показателем преломления материала. Направления падения и преломления связаны с показателями преломления двух материалов законом Снеллиуса .

Дифракция

Волна испытывает дифракцию, когда сталкивается с препятствием, которое изгибает волну, или когда она распространяется после выхода из отверстия. Эффекты дифракции более выражены, когда размер препятствия или отверстия сравним с длиной волны.

Помехи

Идентичные волны от двух источников подвергаются интерференции . Внизу видно 5 положений, в которых волны складываются по фазе, но между которыми они не совпадают по фазе и гасятся.

Когда волны в линейной среде (обычный случай) пересекаются в некоторой области пространства, они фактически не взаимодействуют друг с другом, а продолжают двигаться так, как будто другой волны нет. Однако в любой точке этой области величины поля , описывающие эти волны, складываются в соответствии с принципом суперпозиции . Если волны имеют одинаковую частоту с фиксированным фазовым соотношением, то обычно будут положения, в которых две волны находятся в фазе , а их амплитуды складываются , и другие положения, где они не совпадают по фазе и их амплитуды (частично или полностью). отмена . Это называется интерференционной картиной .

поляризация

Явление поляризации возникает, когда волновое движение может происходить одновременно в двух ортогональных направлениях. Например, поперечные волны могут быть поляризованными. Когда поляризация используется в качестве дескриптора без уточнений, это обычно относится к особому, простому случаю линейной поляризации . Поперечная волна линейно поляризована, если она колеблется только в одном направлении или плоскости. В случае линейной поляризации часто бывает полезно добавить относительную ориентацию той плоскости, перпендикулярной направлению движения, в которой происходят колебания, например, «горизонтальную», если плоскость поляризации параллельна земля. Например, электромагнитные волны , распространяющиеся в свободном пространстве, являются поперечными; их можно поляризовать с помощью поляризационного фильтра .

Продольные волны, такие как звуковые волны, не обладают поляризацией. Для этих волн существует только одно направление колебаний — вдоль направления движения.

Дисперсия

Схема света, рассеиваемого призмой. Нажмите, чтобы увидеть анимацию.

Волна испытывает дисперсию, когда от частоты волны зависит либо фазовая скорость , либо групповая скорость . Дисперсию легче всего увидеть, пропустив белый свет через призму , в результате чего образуется спектр цветов радуги. Исаак Ньютон проводил эксперименты со светом и призмами, изложив в « Оптике» (1704 г.) свои выводы о том, что белый свет состоит из нескольких цветов и что эти цвета не подлежат дальнейшему разложению. ^[17]

Эффект Допплера

Эффект Доплера или доплеровский сдвиг — это изменение частоты волны по отношению к наблюдателю , который движется относительно источника волны. ^[18] Он назван в честь австрийского физика Кристиана Допплера , описавшего это явление в 1842 году.

Механические волны

Механическая волна представляет собой колебание материи и, следовательно, передает энергию через среду . ^[19] Хотя волны могут перемещаться на большие расстояния, движение среды передачи — материала — ограничено. Поэтому колеблющийся материал не уходит далеко от своего исходного положения. Механические волны могут возникать только в средах, обладающих упругостью и инерцией . Существует три типа механических волн: поперечные волны , продольные волны и поверхностные волны .

Волны на струнах

Поперечная вибрация струны является функцией натяжения и инерции и ограничивается длиной струны, поскольку ее концы закреплены. Это ограничение ограничивает возможные устойчивые режимы и, следовательно, частоты. Скорость поперечной волны, распространяющейся по колеблющейся струне ( v ), прямо пропорциональна корню квадратному из натяжения струны ( T ) по линейной плотности массы ( μ ):

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {T}{\mu }}},}$

где линейная плотность μ — это масса единицы длины струны.

Акустические волны

Акустические или звуковые волны — это волны сжатия, которые распространяются как объемные волны со скоростью, определяемой формулой:

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {B}{\rho _{0}}}},}$

или квадратный корень из адиабатического модуля объемного сжатия, разделенный на плотность окружающей среды (см. Скорость звука ).

Волны на воде

• Рябь на поверхности пруда на самом деле представляет собой комбинацию поперечных и продольных волн; следовательно, точки на поверхности следуют орбитальным путям.
• Звук  – механическая волна, распространяющаяся через газы, жидкости, твердые тела и плазму;
• Инерционные волны , возникающие во вращающихся жидкостях и восстанавливающиеся за счет эффекта Кориолиса ;
• Волны на поверхности океана — возмущения, распространяющиеся через воду.

Объемные волны

Объемные волны распространяются внутри среды по путям, контролируемым свойствами материала с точки зрения плотности и модуля (жесткости). Плотность и модуль, в свою очередь, изменяются в зависимости от температуры, состава и фазы материала. Этот эффект напоминает преломление световых волн. Два типа движения частиц приводят к образованию двух типов объемных волн: первичных и вторичных волн.

Сейсмические волны

Сейсмические волны — это волны энергии, которые проходят через слои Земли и являются результатом землетрясений, извержений вулканов, движения магмы, крупных оползней и крупных техногенных взрывов, которые выделяют низкочастотную акустическую энергию. Они включают объемные волны — первичные ( волны P ) и вторичные волны ( волны S ) — и поверхностные волны, такие как волны Рэлея , волны Лява и волны Стоунли .

Ударные волны

Формирование ударной волны самолетом

Ударная волна – это тип распространяющегося возмущения. Когда волна движется быстрее локальной скорости звука в жидкости , это ударная волна. Как и обычная волна, ударная волна несет энергию и может распространяться в среде; однако для него характерно резкое, почти прерывистое изменение давления , температуры и плотности среды. ^[20]

Поперечные волны

Поперечные волны представляют собой объемные волны из-за сдвиговой жесткости и инерции. Они могут передаваться только через твердые тела и в меньшей степени через жидкости с достаточно высокой вязкостью.

Другой

• Волны дорожного движения , то есть распространение автомобилей различной плотности и т. д., которые можно смоделировать как кинематические волны ^{[21] [22]}
• Метахронная волна относится к появлению бегущей волны, вызванной скоординированными последовательными действиями.

Электромагнитные волны

Электромагнитная волна состоит из двух волн, которые представляют собой колебания электрического и магнитного полей . Электромагнитная волна распространяется в направлении, перпендикулярном направлению колебаний обоих полей. В 19 веке Джеймс Клерк Максвелл показал, что в вакууме электрические и магнитные поля удовлетворяют волновому уравнению со скоростью, равной скорости света . Отсюда возникла идея, что свет — это электромагнитная волна. Электромагнитные волны могут иметь разные частоты (и, следовательно, длины волн) и соответственно классифицируются по диапазонам волн, например, радиоволны , микроволны , инфракрасное излучение , видимый свет , ультрафиолет , рентгеновские лучи и гамма-лучи . Диапазон частот в каждом из этих диапазонов непрерывен, а пределы каждого диапазона в основном произвольны, за исключением видимого света, который должен быть виден нормальному человеческому глазу.

Квантово-механические волны

Уравнение Шрёдингера

Уравнение Шрёдингера описывает волновое поведение частиц в квантовой механике . Решениями этого уравнения являются волновые функции , которые можно использовать для описания плотности вероятности частицы.

Уравнение Дирака

Уравнение Дирака — это релятивистское волновое уравнение, подробно описывающее электромагнитные взаимодействия. Волны Дирака совершенно строго объясняли мелкие детали спектра водорода. Волновое уравнение также предполагало существование новой формы материи — антиматерии, о которой ранее не подозревали и которую не наблюдали и которая была экспериментально подтверждена. В контексте квантовой теории поля уравнение Дирака переосмысливается для описания квантовых полей, соответствующих частицам со спином 1/2 .

Распространяющийся волновой пакет; вообще говоря, огибающая волнового пакета движется со скоростью, отличной от скорости составляющих его волн. ^[23]

волны де Бройля

Луи де Бройль постулировал, что все частицы, обладающие импульсом , имеют длину волны.

${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}},}$

где h — постоянная Планка , а p — величина импульса частицы . Эта гипотеза легла в основу квантовой механики . В настоящее время эта длина волны называется длиной волны де Бройля . Например, электроны в ЭЛТ- дисплее имеют длину волны де Бройля около 10–13 ^мкм  .

Волна, представляющая такую ​​частицу, движущуюся в направлении k , выражается волновой функцией следующим образом:

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,\,t=0)=Ae^{i\mathbf {k\cdot r} },}$

где длина волны определяется волновым вектором k как:

${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{k}},}$

и импульс:

${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} .}$

Однако такая волна с определенной длиной волны не локализована в пространстве и поэтому не может представлять собой локализованную в пространстве частицу. Чтобы локализовать частицу, де Бройль предложил суперпозицию различных длин волн, расположенных вокруг центрального значения волнового пакета , ^[24] — формы волны, часто используемой в квантовой механике для описания волновой функции частицы. В волновом пакете длина волны частицы не является точной, а локальная длина волны отклоняется в обе стороны от значения основной длины волны.

При представлении волновой функции локализованной частицы волновой пакет часто принимается имеющим гауссову форму и называется гауссовским волновым пакетом . ^{[25] [26] [27]} Гауссовы волновые пакеты также используются для анализа волн на воде. ^[28]

Например, гауссова волновая функция ψ может иметь вид: ^[29]

${\displaystyle \psi (x,\,t=0)=A\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}+ik_{0}x\right),}$

в некоторый начальный момент времени t = 0, где центральная длина волны связана с центральным волновым вектором k ₀ соотношением λ ₀ = 2π/ k ₀ . Из теории анализа Фурье ^[30] или из принципа неопределенности Гейзенберга (в случае квантовой механики) хорошо известно, что для создания локализованного волнового пакета необходим узкий диапазон длин волн, и чем более локализована огибающая, тем тем больше разброс требуемых длин волн. Преобразование Фурье гауссиана само по себе является гауссианом. ^[31] Учитывая гауссиану:

${\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}/\left(2\sigma ^{2}\right)},}$

преобразование Фурье:

${\displaystyle {\tilde {f}}(k)=\sigma e^{-\sigma ^{2}k^{2}/2}.}$

Таким образом, гауссиан в пространстве состоит из волн:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\ {\tilde {f}}(k)e^{ikx}\ dk;}$

то есть количество волн с длинами волн λ таких, что k λ = 2 π.

Параметр σ определяет пространственный разброс гауссианы вдоль оси x , тогда как преобразование Фурье показывает разброс волнового вектора k , определяемый 1/ σ . То есть, чем меньше протяженность в пространстве, тем больше протяженность по k и, следовательно, по λ = 2π/ k .

Анимация, показывающая воздействие кросс-поляризованной гравитационной волны на кольцо пробных частиц.

Гравитационные волны

Гравитационные волны — это волны, генерируемые в жидкой среде или на границе двух сред, когда сила гравитации или плавучести восстанавливает равновесие. Поверхностные волны на воде — наиболее известный пример.

Гравитационные волны

Гравитационные волны также распространяются в космосе. О первом наблюдении гравитационных волн было объявлено 11 февраля 2016 года. ^[32] Гравитационные волны — это нарушения кривизны пространства-времени , предсказанные общей теорией относительности Эйнштейна .

Смотрите также

• Указатель волновых статей

Волны в целом

• Механическая волна в передаче средств массовой информации
• Одностороннее волновое уравнение для волн, бегущих в заданном направлении.
• Волновое уравнение , общее
• Волновая интерференция — явление, при котором две волны накладываются друг на друга, образуя результирующую волну.
• Wave Motion (журнал) , научный журнал
• Волновой фронт , наступающая поверхность распространения волн.

Параметры

• Частота
• Фаза (волны) , смещение или угол синусоидальной волновой функции в ее начале.
• Коэффициент стоячей волны в телекоммуникациях
• Длина волны
• Волновое число

Формы сигналов

• Ползущая волна , волна, дифрагирующая вокруг сферы
• Исчезающее поле
• Продольная волна
• Периодическая бегущая волна
• Синусоидальная волна
• Прямоугольная волна
• Стоячая волна
• Поперечная волна

Электромагнитные волны

• Поверхностная волна Дьяконова
• Волна Дьяконова – Фойгта
• Волновод Земля–ионосфера , в радиопередаче
• Электромагнитное излучение
• Уравнение электромагнитной волны , описывает распространение электромагнитных волн.
• Микроволновая печь , форма электромагнитного излучения

В жидкостях

• Теория волн Эйри в гидродинамике
• Капиллярная волна в гидродинамике
• Кноидальная волна в гидродинамике
• Краевая волна — поверхностная гравитационная волна, зафиксированная за счет преломления на твердой границе.
• Волна Фарадея — разновидность волны в жидкостях.
• Гравитационная волна в гидродинамике
• Внутренняя волна , волна в жидкой среде.
• Ударная волна в аэродинамике
• Звуковая волна, волна звука в такой среде, как воздух или вода.
• Приливная волна — научно неверное название цунами .
• Волна Толлмина – Шлихтинга в гидродинамике
• Ветровая волна

В квантовой механике

• Теорема Блоха
• Волна материи
• Теория пилотных волн в механике Бома
• Волновая функция
• Волновой пакет
• Корпускулярно-волновой дуализм

В теории относительности

• Гравитационная волна в теории относительности
• Релятивистские волновые уравнения , волновые уравнения, учитывающие специальную теорию относительности.
• pp-волновое пространство-время , набор точных решений уравнения поля Эйнштейна

Другие специфические типы волн

• Волна Альвена в физике плазмы
• Атмосферная волна — периодическое возмущение полей атмосферных переменных.
• Еловая волна , конфигурация леса
• Волны Лэмба в твердых материалах
• Волна Рэлея , поверхностные акустические волны, распространяющиеся по твердым телам.
• Спиновая волна в магнетизме
• Волна спиновой плотности в твердых материалах
• Троянский волновой пакет в науке о частицах
• Волны в плазме , в физике плазмы.

похожие темы

• Поглощение (электромагнитное излучение)
• Антенна (радио)
• Бит (акустика)
• Разветвленный поток
• Киматика
• Дифракция
• Дисперсия (волны на воде)
• Эффект Допплера
• Детектор конвертов
• Преобразование Фурье для вычисления периодичности в равномерно распределенных данных
• Групповая скорость
• Гармонический
• Принцип Гюйгенса – Френеля
• Указатель волновых статей
• Инерционная волна
• Спектральный анализ методом наименьших квадратов для вычисления периодичности в неравномерно расположенных данных
• Список волн, названных в честь людей
• Одностороннее волновое уравнение
• Фазовая скорость
• Фотон
• Поляризация (физика)
• Константа распространения
• Распространение радио
• Рэй (оптика)
• Реакционно-диффузионная система
• Отражение (физика)
• Преломление
• Резонанс
• Пульсирующий резервуар
• Волна-убийца
• Рассеяние
• Уравнения мелкой воды
• Волновая машина Шайва
• Звук
• Стоячая волна
• Среда передачи
• Фактор скорости
• Волновое уравнение
• Мощность волны
• Волновая турбулентность
• Ветровая волна
• Ветровая волна # Формирование

Рекомендации

1. (Hall 1982, стр. 8) ^{[ нужна полная цитата ]} harv error: no target: CITEREFHall1982 (help)
2. Прагнан Чакраворти, «Что такое сигнал? [Конспекты лекций]», Журнал IEEE Signal Processing Magazine , том. 35, нет. 5, стр. 175–177, сентябрь 2018 г.  doi :10.1109/MSP.2018.2832195
3. Сантос, Эдгар; Шёлль, Майкл; Санчес-Поррас, Ренан; Далем, Маркус А.; Силос, Умберто; Унтерберг, Андреас; Дикхаус, Хартмут; Саковиц, Оливер В. (1 октября 2014 г.). «Радиальные, спиральные и реверберирующие волны распространяющейся деполяризации возникают в гигрэнцефалическом мозге». НейроИмидж . 99 : 244–255. doi :10.1016/j.neuroimage.2014.05.021. ISSN  1095-9572. PMID  24852458. S2CID  1347927.
4. Майкл А. Славински (2003). «Волновые уравнения». Сейсмические волны и лучи в упругих средах . Эльзевир. стр. 131 и далее . ISBN 978-0-08-043930-3.
5. Лев А. Островский и Александр И. Потапов (2001). Модулированные волны: теория и применение. Издательство Университета Джонса Хопкинса. ISBN 978-0-8018-7325-6.
6. Грааф, Карл Ф (1991). Волновое движение в упругих твердых телах (переиздание Оксфорда, 1975 г.). Дувр. стр. 13–14. ISBN 978-0-486-66745-4.
7. Пример вывода см. в шагах, ведущих к уравнению. (17) в Редферне, Фрэнсис. «Кинематический вывод волнового уравнения». Физический журнал . Архивировано из оригинала 24 июля 2013 г. Проверено 11 декабря 2012 г.
8. Джалал М. Ихсан Шатах; Майкл Струве (2000). «Линейное волновое уравнение». Геометрические волновые уравнения . Книжный магазин Американского математического общества. стр. 37 и далее . ISBN 978-0-8218-2749-9.
9. Луи Лайонс (1998). Все, что вы хотели знать о математике, но боялись спросить. Издательство Кембриджского университета. стр. 128 и далее . ISBN 978-0-521-43601-4.
10. Макферсон, Александр (2009). «Волны и их свойства». Введение в макромолекулярную кристаллографию (2-е изд.). Уайли. п. 77. ИСБН 978-0-470-18590-2.
11. Кристиан Йираушек (2005). МНОГОцикловая лазерная динамика и фазовый детектор несущей. Кювилье Верлаг. п. 9. ISBN 978-3-86537-419-6.
12. Фриц Курт Кнойбюль (1997). Колебания и волны. Спрингер. п. 365. ИСБН 978-3-540-62001-3.
13. Марк Лундстрем (2000). Основы перевозчика транспорта. Издательство Кембриджского университета. п. 33. ISBN 978-0-521-63134-1.
14. Чин-Лин Чен (2006). «§13.7.3 Огибающая импульса в недисперсионных средах». Основы волноводной оптики . Уайли. п. 363. ИСБН 978-0-471-75687-3.
15. Лонги, Стефано; Яннер, Давиде (2008). «Локализация и волновые пакеты Ванье в фотонных кристаллах». В Уго Э. Эрнандес-Фигероа; Мишель Замбони-Рашед; Эразмо Реками (ред.). Локализованные волны . Уайли-Интерсайенс. п. 329. ИСБН 978-0-470-10885-7.
16. Анимации взяты из Poursartip, Babak (2015). «Топографическое усиление сейсмических волн». ЮТ ​​Остин.
17. Ньютон, Исаак (1704). «Реквизит VII, Теория V». Оптика: Или трактат об отражениях, преломлениях, изгибах и цветах света. Также Два трактата о видах и величине криволинейных фигур . Том. 1. Лондон. п. 118. Все Цвета во Вселенной, созданные Светом... являются либо Цветами однородных Светов, либо составлены из них...
18. Джордано, Николас (2009). Студенческая физика: рассуждения и отношения. Cengage Обучение. стр. 421–424. ISBN 978-0534424718.
19. Джанколи, округ Колумбия (2009) Физика для ученых и инженеров с современной физикой (4-е изд.). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси: Пирсон Прентис Холл.
20. Андерсон, Джон Д. младший (январь 2001 г.) [1984], Основы аэродинамики (3-е изд.), McGraw-Hill Science/Engineering/Math , ISBN 978-0-07-237335-6
21. MJ Лайтхилл ; ГБ Уизем (1955). «О кинематических волнах. II. Теория транспортных потоков на длинных загруженных дорогах». Труды Лондонского королевского общества. Серия А. 229 (1178): 281–345. Бибкод : 1955RSPSA.229..281L. CiteSeerX 10.1.1.205.4573 . дои : 10.1098/rspa.1955.0088. S2CID  18301080. 
22. ПИ Ричардс (1956). «Ударные волны на шоссе». Исследование операций . 4 (1): 42–51. дои : 10.1287/опре.4.1.42.
23. В Фромхолде (1991). «Волновые пакетные решения». Квантовая механика для прикладной физики и техники (переиздание Academic Press, 1981 г.). Публикации Courier Dover. стр. 59 и далее . ISBN 978-0-486-66741-6. (стр. 61) ...отдельные волны движутся медленнее, чем пакет, и поэтому проходят обратно через пакет по мере его продвижения.
24. Мин Чан Ли (1980). «Электронная интерференция». В Л. Мартоне; Клэр Мартон (ред.). Достижения электроники и электронной физики . Том. 53. Академическая пресса. п. 271. ИСБН 978-0-12-014653-6.
25. Уолтер Грейнер; Д. Аллан Бромли (2007). Квантовая механика (2-е изд.). Спрингер. п. 60. ИСБН 978-3-540-67458-0.
26. Джон Джозеф Гилман (2003). Электронные основы сопротивления материалов. Издательство Кембриджского университета. п. 57. ИСБН 978-0-521-62005-5.
27. Дональд Д. Фиттс (1999). Принципы квантовой механики. Издательство Кембриджского университета. п. 17. ISBN 978-0-521-65841-6.
28. Чан К. Мэй (1989). Прикладная динамика поверхностных волн океана (2-е изд.). Всемирная научная. п. 47. ИСБН 978-9971-5-0789-3.
29. Грейнер, Уолтер; Бромли, Д. Аллан (2007). Квантовая механика (2-е изд.). Спрингер. п. 60. ИСБН 978-3-540-67458-0.
30. Зигмунд Брандт; Ганс Дитер Дамен (2001). Книжка с картинками по квантовой механике (3-е изд.). Спрингер. п. 23. ISBN 978-0-387-95141-6.
31. Сайрус Д. Кантрелл (2000). Современные математические методы для физиков и инженеров . Издательство Кембриджского университета. п. 677. ИСБН 978-0-521-59827-9.
32. «Гравитационные волны, обнаруженные впервые,« открывают совершенно новое окно во Вселенную »» . Канадская радиовещательная корпорация. 11 февраля 2016 г.

Источники

• Флейш, Д.; Киннаман, Л. (2015). Путеводитель по волнам для студентов . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. Бибкод : 2015sgw..книга.....F. ISBN 978-1107643260.
• Кэмпбелл, Мюррей; Великий, Клайв (2001). Путеводитель музыканта по акустике (Отв. ред.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0198165057.
• Французский, AP (1971). Вибрации и волны (серия вводного курса физики MIT) . Нельсон Торнс. ISBN 978-0-393-09936-2. ОСЛК  163810889.
• Холл, Делавэр (1980). Музыкальная акустика: Введение . Бельмонт, Калифорния: Издательская компания Wadsworth. ISBN 978-0-534-00758-4..
• Хант, Фредерик Винтон (1978). Истоки акустики . Вудбери, Нью-Йорк: Опубликовано для Акустического общества Америки через Американский институт физики. ISBN 978-0300022209.
• Островский, Л.А.; Потапов А.С. (1999). Модулированные волны, теория и приложения . Балтимор: Издательство Университета Джона Хопкинса. ISBN 978-0-8018-5870-3..
• Гриффитс, Г.; Шиссер, МЫ (2010). Анализ бегущей волны уравнений в частных производных: численные и аналитические методы с использованием Matlab и Maple . Академическая пресса. ISBN 9780123846532.
• Кроуфорд-младший, Фрэнк С. (1968). Волны (Курс физики Беркли, Том 3) , McGraw-Hill, ISBN 978-0070048607 Бесплатная онлайн-версия 
• АЭХ Лав (1944). Трактат по математической теории упругости . Нью-Йорк: Дувр .
• Э.В. Вайсштейн. «Скорость волны». Мир Науки . Проверено 30 мая 2009 г.

Внешние ссылки

• Фейнмановские лекции по физике: волны
• Линейные и нелинейные волны
• Научное пособие: Свойства волн – Краткое руководство, предназначенное для подростков
• «Архивы AT&T: сходство волнового поведения», продемонстрированное Дж. Н. Шайвом из Bell Labs (видео на YouTube )