Затем функцию можно выразить через FWHM, представленную w :
Альтернативно, параметр c можно интерпретировать, говоря, что две точки перегиба функции происходят в точках x = b ± c .
Полная ширина в десятой части максимума (FWTM) для гауссиана может представлять интерес и составляет
Гауссовы функции аналитичны , и их предел при x → ∞ равен 0 (для приведенного выше случая b = 0 ).
Гауссовы функции относятся к элементарным функциям, не имеющим элементарных первообразных ; интеграл функции Гаусса представляет собой функцию ошибок :
Тем не менее, их несобственные интегралы по всей вещественной линии можно точно вычислить, используя интеграл Гаусса
Произведение двух гауссовских функций является гауссовой, и свертка двух гауссовских функций также является гауссовой, причем дисперсия представляет собой сумму исходных дисперсий: . Однако произведение двух гауссовских функций плотности вероятности (PDF) вообще не является гауссовой PDF.
Тот факт, что функция Гаусса является собственной функцией непрерывного преобразования Фурье, позволяет нам вывести следующее интересное [ требуется пояснение ] тождество из формулы суммирования Пуассона :
В двух измерениях степень, до которой возводится e в функции Гаусса, представляет собой любую отрицательно определенную квадратичную форму. Следовательно, множества уровня гауссианы всегда будут эллипсами.
Частным примером двумерной функции Гаусса является
Здесь коэффициент A — это амплитуда, x 0 , y 0 — центр, а σ x , σ y — разбросы x и y капли. Фигура справа была создана с использованием A = 1, x 0 = 0, y 0 = 0, σ x = σ y = 1.
Объем под функцией Гаусса определяется выражением
В общем, двумерная эллиптическая функция Гаусса выражается как
Более общую формулировку функции Гаусса с плоской вершиной и спадом по Гауссу можно получить, возведя содержимое показателя степени в степень :
Эта функция известна как функция супергаусса и часто используется для формулировки гауссова луча. [4] Эту функцию также можно выразить через полную ширину на половине высоты (FWHM), представленную w :
В двумерной формулировке функция Гаусса вдоль и может быть объединена [5] с потенциально различными и для формирования прямоугольного распределения Гаусса:
Многомерная функция Гаусса
В -мерном пространстве функцию Гаусса можно определить как
Интеграл этой функции Гаусса по всему -мерному пространству задается как
Его можно легко вычислить, диагонализовав матрицу и заменив переменные интегрирования собственными векторами .
В более общем смысле сдвинутая функция Гаусса определяется как
Оценка параметров
Ряд областей, таких как звездная фотометрия , характеристика гауссовского пучка и спектроскопия линий излучения/поглощения , работают с выборочными функциями Гаусса и требуют точной оценки параметров высоты, положения и ширины функции. Есть три неизвестных параметра для 1D функции Гаусса ( a , b , c ) и пять для 2D функции Гаусса .
Самый распространенный метод оценки гауссовых параметров — логарифмирование данных и подгонка параболы к полученному набору данных. [6] [7] Хотя это обеспечивает простую процедуру подбора кривой , полученный алгоритм может быть смещен из-за чрезмерного взвешивания небольших значений данных, что может привести к большим ошибкам в оценке профиля. Эту проблему можно частично компенсировать с помощью взвешенной оценки методом наименьших квадратов , уменьшая вес небольших значений данных, но это также может быть смещено, позволяя хвосту гауссианы доминировать при подгонке. Чтобы устранить смещение, вместо этого можно использовать процедуру наименьших квадратов с итеративным перевзвешиванием , в которой веса обновляются на каждой итерации. [7]
Также возможно выполнить нелинейную регрессию непосредственно на данных, без использования логарифмического преобразования данных ; дополнительные параметры см. в разделе «Подбор распределения вероятностей» .
Точность параметра
Если у вас есть алгоритм оценки параметров функции Гаусса, важно также знать, насколько точны эти оценки. Любой алгоритм оценки методом наименьших квадратов может предоставить числовые оценки дисперсии каждого параметра (т. е. дисперсии предполагаемой высоты, положения и ширины функции). Можно также использовать теорию границ Крамера – Рао, чтобы получить аналитическое выражение для нижней границы дисперсии параметров при определенных предположениях относительно данных. [8] [9]
Расстояние между каждой выборкой (т.е. расстояние между пикселями, измеряющими данные) является одинаковым.
Пик является «хорошо дискретизированным», поэтому менее 10% площади или объема под пиком (площадь, если 1D-гауссиан, объем, если 2D-гауссиан) находится за пределами области измерения.
Ширина пика намного больше, чем расстояние между точками выборки (т.е. пиксели детектора должны быть как минимум в 5 раз меньше гауссовой полувысоты).
Когда эти предположения выполняются, следующая ковариационная матрица K применяется для параметров одномерного профиля , , и при iid гауссовском шуме и при пуассоновском шуме: [8]
а в случае шума Пуассона
Для параметров 2D-профиля, задающих амплитуду , положение и ширину профиля, применяются следующие ковариационные матрицы: [9]
Дискретный гауссов
Можно попросить дискретный аналог гауссова; это необходимо в дискретных приложениях, особенно в цифровой обработке сигналов . Простой ответ — выбрать непрерывную гауссову диаграмму, получив выборочное ядро Гаусса . Однако эта дискретная функция не имеет дискретных аналогов свойств непрерывной функции и может привести к нежелательным эффектам, описанным в статье Реализация масштабного пространства .
Это дискретный аналог непрерывного гауссиана в том смысле, что он является решением дискретного уравнения диффузии (дискретное пространство, непрерывное время), точно так же, как непрерывный гауссиан является решением непрерывного уравнения диффузии. [10] [11]
Функции Гаусса — это функция Грина для (однородного и изотропного) уравнения диффузии (и уравнения теплопроводности , которое представляет собой одно и то же), уравнения в частных производных , которое описывает эволюцию во времени массы-плотности при диффузии . В частности, если плотность массы в момент времени t = 0 задается дельтой Дирака , что по сути означает, что масса изначально сконцентрирована в одной точке, тогда распределение массы в момент времени t будет задаваться функцией Гаусса с параметр a линейно связан с 1/ √ t и c линейно связан с √ t ; эта изменяющаяся во времени гауссиана описывается тепловым ядром . В более общем смысле, если начальная плотность массы равна φ( x ), то плотность массы в более поздние моменты времени получается путем свертки φ с функцией Гаусса. Свертка функции с гауссовой функцией также известна как преобразование Вейерштрасса .
Математически производные функции Гаусса можно представить с помощью функций Эрмита . Для единичной дисперсии n -я производная гауссовой функции представляет собой саму функцию Гаусса, умноженную на n -й полином Эрмита с точностью до масштаба.
Гауссовы пучки используются в оптических системах, микроволновых системах и лазерах.
В представлении масштабного пространства функции Гаусса используются в качестве ядер сглаживания для создания многомасштабных представлений в компьютерном зрении и обработке изображений . В частности, производные гауссианов ( функций Эрмита ) используются в качестве основы для определения большого количества типов зрительных операций.
В геостатистике они использовались для понимания изменчивости моделей сложного обучающего изображения. Они используются с методами ядра для кластеризации шаблонов в пространстве объектов. [12]
^ Сквайрс, GL (30 августа 2001 г.). Практическая физика (4-е изд.). Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/cbo9781139164498. ISBN 978-0-521-77940-1.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Преобразование Фурье - Гауссово». Математический мир . Проверено 19 декабря 2013 г.
^ Наури, Николай. «Берехнунг фон Коварианцеллипсен» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 14 августа 2019 г. Проверено 14 августа 2019 г.
^ «Руководство по командам оптического программного обеспечения GLAD, Ввод команды GAUSSIAN» (PDF) . Прикладные оптические исследования . 15 декабря 2016 г.
^ Каруана, Ричард А.; Сирл, Роджер Б.; Хеллер, Томас; Шупак, Саул И. (1986). «Быстрый алгоритм разрешения спектров». Аналитическая химия . Американское химическое общество (ACS). 58 (6): 1162–1167. дои : 10.1021/ac00297a041. ISSN 0003-2700.
^ Аб Хунвэй Го, «Простой алгоритм подбора функции Гаусса», IEEE Sign. Учеб. Маг. 28(9): 134–137 (2011).
^ ab Н. Хаген, М. Купинский и Э. Л. Дереняк, «Оценка гауссовского профиля в одном измерении», Appl. Опция 46:5374–5383 (2007)
^ ab Н. Хаген и Э. Л. Дерениак, «Оценка гауссовского профиля в двух измерениях», Appl. Опция 47: 6842–6851 (2008)
^ Аб Линдеберг, Т., «Масштабное пространство для дискретных сигналов», PAMI (12), № 3, март 1990 г., стр. 234–254.
^ Кэмпбелл, Дж, 2007, Модель SMM как краевая задача с использованием дискретного уравнения диффузии , Theor Popul Biol. 2007 декабрь;72(4):539–46.
^ Хонарка М. и Каерс Дж., 2010, Стохастическое моделирование закономерностей с использованием дистанционного моделирования закономерностей , Mathematical Geosciences, 42: 487–517
Внешние ссылки
Mathworld включает доказательство связи между c и FWHM.