pp-волна пространство-время

В общей теории относительности pp -волны-пространства , или сокращенно pp-волны , представляют собой важное семейство точных решений уравнения поля Эйнштейна . Термин pp означает плосколобые волны с параллельным распространением и был введен в 1962 году Юргеном Элерсом и Вольфгангом Кундтом .

Обзор

Решения pp-волн моделируют излучение , движущееся со скоростью света . Это излучение может состоять из:

• электромагнитное излучение ,
• гравитационное излучение ,
• безмассовое излучение, связанное с фермионами Вейля ,
• безмассовое излучение, связанное с неким гипотетическим релятивистским классическим полем особого типа,

или любую их комбинацию, при условии, что все излучение движется в одном направлении.

Особый тип пространства-времени pp-волн, пространство-время плоских волн, представляет собой наиболее общий аналог в общей теории относительности плоских волн , знакомых изучающим электромагнетизм . В частности, в общей теории относительности мы должны учитывать гравитационные эффекты плотности энергии самого электромагнитного поля . Когда мы это делаем, чисто электромагнитные плоские волны обеспечивают прямое обобщение обычных плоских волновых решений в теории Максвелла .

Более того, в общей теории относительности возмущения в самом гравитационном поле могут распространяться со скоростью света в виде «морщин» на искривлении пространства-времени. Такое гравитационное излучение является гравитационно-полевым аналогом электромагнитного излучения. В общей теории относительности гравитационным аналогом плоских электромагнитных волн являются именно вакуумные решения среди плоских волновых пространств-временей. Их называют гравитационными плоскими волнами .

Существуют физически важные примеры пространств-времени pp-волн, которые не являются пространствами-временями плоских волн. В частности, физический опыт наблюдателя, проносящегося мимо гравитирующего объекта (например, звезды или черной дыры) почти со скоростью света, можно смоделировать с помощью импульсной pp -волны в пространстве-времени, называемой ультраускорением Айхельбурга-Сексля . Гравитационное поле луча света моделируется в общей теории относительности некоторой осесимметричной pp-волной.

Примером pp-волны, когда гравитация присутствует в присутствии материи, является гравитационное поле, окружающее нейтральный фермион Вейля: система состоит из гравитационного поля, которое представляет собой pp-волну, без электродинамического излучения и безмассового спинора, проявляющего осевую симметрию. В пространстве-времени Вейля-Льюиса-Папапетру существует полный набор точных решений как для гравитации, так и для материи. ^[1]

Pp-волны были введены Гансом Бринкманом в 1925 году и с тех пор много раз открывались заново, в первую очередь Альбертом Эйнштейном и Натаном Розеном в 1937 году.

Математическое определение

Пространство -время pp-волны — это любое лоренцево многообразие , метрический тензор которого можно описать относительно координат Бринкмана в виде

${\displaystyle ds^{2}=H(u,x,y)\,du^{2}+2\,du\,dv+dx^{2}+dy^{2}}$

где – любая гладкая функция . Это было первоначальное определение Бринкмана, и его достоинством является простота понимания. ${\displaystyle H}$

Определение, которое сейчас является стандартным в литературе, является более сложным. Оно не имеет ссылки на какую-либо координатную карту, поэтому это определение не содержит координат . Он утверждает, что любое лоренцево многообразие , допускающее ковариантно постоянное нулевое векторное поле , называется pp-волновым пространством-временем. То есть ковариантная производная должна тождественно обращаться в нуль: ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \nabla k=0.}$

Это определение было введено Элерсом и Кундтом в 1962 году. Чтобы связать определение Бринкмана с этим, возьмем координатный вектор , ортогональный гиперповерхностям . В обозначениях индексной гимнастики для тензорных уравнений условие on можно записать . ${\displaystyle k=\partial _{v}}$ ${\displaystyle v=v_{0}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k_{a;b}=0}$

Ни в одном из этих определений не упоминается какое-либо уравнение поля; на самом деле они совершенно независимы от физики . Вакуумные уравнения Эйнштейна для pp-волн очень просты и фактически линейны: метрика подчиняется этим уравнениям тогда и только тогда, когда . Но определение pp-волнового пространства-времени не накладывает это уравнение, поэтому оно полностью математическое и принадлежит изучению псевдоримановой геометрии . В следующем разделе мы обратимся к физическим интерпретациям пространства-времени pp-волн. ${\displaystyle ds^{2}=H(u,x,y)\,du^{2}+2\,du\,dv+dx^{2}+dy^{2}}$ ${\displaystyle H_{xx}+H_{yy}=0}$

Элерс и Кундт дали еще несколько бескоординатных характеристик, в том числе:

• Лоренцево многообразие является pp-волной тогда и только тогда, когда оно допускает однопараметрическую подгруппу изометрий, имеющих нулевые орбиты и тензор кривизны которого имеет исчезающие собственные значения.
• Лоренцево многообразие с ненулевой кривизной является (нетривиальной) pp-волной тогда и только тогда, когда оно допускает ковариантно постоянный бивектор . (Если да, то этот бивектор является нулевым бивектором.)

Физическая интерпретация

Это чисто математический факт, что характеристический полином тензора Эйнштейна любого pp-волнового пространства-времени тождественно обращается в нуль. Аналогично, мы можем найти комплексную нулевую тетраду Ньюмана-Пенроуза, такую, что скаляры Риччи-NP (описывающие любую материю или негравитационные поля, которые могут присутствовать в пространстве-времени) и скаляры Вейля-NP (описывающие любое гравитационное поле, которое может присутствовать) каждый имеет только один ненулевой компонент. В частности, по отношению к тетраде NP ${\displaystyle \Phi _{ij}}$ ${\displaystyle \Psi _{i}}$

${\displaystyle {\vec {\ell }}=\partial _{u}-H/2\,\partial _{v}}$

${\displaystyle {\vec {n}}=\partial _{v}}$

${\displaystyle {\vec {m}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,\left(\partial _{x}+i\,\partial _{y}\right)}$

единственная неисчезающая компонента спинора Риччи - это

${\displaystyle \Phi _{00}={\frac {1}{4}}\,\left(H_{xx}+H_{yy}\right)}$

и единственная ненулевая компонента спинора Вейля — это

${\displaystyle \Psi _{0}={\frac {1}{4}}\,\left(\left(H_{xx}-H_{yy}\right)+2i\,H_{xy}\right).}$

Это означает, что любое пространство-время с pp-волнами можно интерпретировать в контексте общей теории относительности как решение с нулевой пылью . Кроме того, тензор Вейля всегда имеет тип Петрова N , что можно проверить с помощью критериев Бела .

Другими словами, pp-волны моделируют различные виды классического и безмассового излучения , движущегося с локальной скоростью света . Это излучение может быть гравитационным, электромагнитным, фермионами Вейля или каким-то гипотетическим видом безмассового излучения, отличным от этих трех, или любой их комбинацией. Все это излучение распространяется в одном направлении, а нулевой вектор играет роль волнового вектора . ${\displaystyle k=\partial _{v}}$

Связь с другими классами точных решений

К сожалению, терминология, касающаяся pp-волн, хотя и довольно стандартна, но очень запутанна и способствует недопониманию.

В любом pp-волновом пространстве-времени ковариантно постоянное векторное поле всегда имеет тождественно исчезающие оптические скаляры . Следовательно, pp-волны принадлежат классу Кундта (классу лоренцевых многообразий, допускающих нулевую конгруэнтность с исчезающими оптическими скалярами). ${\displaystyle k}$

Идя в другом направлении, pp-волны включают в себя несколько важных особых случаев.

Из формы спинора Риччи, приведенной в предыдущем разделе, сразу становится очевидным, что пространство-время pp-волны (записанное в карте Бринкмана) является вакуумным решением тогда и только тогда, когда оно является гармонической функцией (относительно пространственных координат ). Физически они представляют собой чисто гравитационное излучение, распространяющееся вдоль нулевых лучей . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle \partial _{v}}$

Элерс, Кундт, Сиппель и Гённер классифицировали вакуумные пространства-времени с pp-волнами по их группе автометрии или группе самоизометрий . Это всегда группа Ли , и, как обычно, легче классифицировать алгебры Ли , лежащие в основе векторных полей Киллинга . Оказывается, что наиболее общее pp-волновое пространство-время имеет только одно векторное поле Киллинга — нулевую геодезическую конгруэнтность . Однако для различных специальных форм существуют дополнительные векторные поля Киллинга. ${\displaystyle k=\partial _{v}}$ ${\displaystyle H}$

Важнейшим классом особенно симметричных pp-волн являются плоские волны пространства-времени, которые впервые были изучены Болдуином и Джеффри. Плоская волна — это pp-волна, которая является квадратичной и, следовательно, может быть преобразована к простой форме ${\displaystyle H}$

${\displaystyle H(u,x,y)=a(u)\,(x^{2}-y^{2})+2\,b(u)\,xy+c(u)\,(x^{2}+y^{2})}$

Здесь – произвольные гладкие функции от . Говоря физически, опишите волновые профили двух линейно независимых мод поляризации гравитационного излучения, которые могут присутствовать, и при этом опишите волновой профиль любого негравитационного излучения. Если , мы имеем вакуумные плоские волны, которые часто называют плоскими гравитационными волнами . ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c=0}$

Эквивалентно, плоская волна — это pp-волна с по крайней мере пятимерной алгеброй Ли векторных полей Киллинга , включая и еще четыре, которые имеют вид ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\partial _{v}}$

${\displaystyle X={\frac {\partial }{\partial u}}(px+qy)\,\partial _{v}+p\,\partial _{x}+q\,\partial _{y}}$

где

${\displaystyle {\ddot {p}}=-ap+bq-cp}$

${\displaystyle {\ddot {q}}=aq-bp-cq.}$

Интуитивно разница состоит в том, что волновые фронты плоских волн действительно плоские ; все точки на данном двумерном волновом фронте эквивалентны. Это не совсем верно для более общих pp-волн. Плоские волны важны по многим причинам; упомянем лишь одно: они важны для прекрасной темы сталкивающихся плоских волн.

Более общий подкласс состоит из осесимметричных pp-волн , которые в общем случае имеют двумерную абелеву алгебру Ли векторных полей Киллинга. Их еще называют плоскими волнами SG2 , поскольку они являются вторым типом в классификации симметрии Зиппеля и Гённера. Предельный случай некоторых осесимметричных pp-волн дает ультраускорение Айхельбурга/Сексла, моделирующее ультрарелятивистскую встречу с изолированным сферически симметричным объектом.

(См. также статью о пространстве-времени плоских волн, где обсуждаются физически важные частные случаи плоских волн.)

Дж. Д. Стил ввел понятие обобщенного пространства-времени pp-волн . Это неплоские лоренцевы пространства-времени, допускающие самодуальное ковариантно постоянное нулевое бивекторное поле. Название потенциально может ввести в заблуждение, поскольку, как указывает Стил, номинально это частный случай неплоских pp-волн в смысле, определенном выше. Они являются лишь обобщением в том смысле, что, хотя метрическая форма Бринкмана сохраняется, они не обязательно являются вакуумными решениями, изученными Элерсом и Кундтом, Зиппелем и Гённером и т. д.

Другим важным специальным классом pp-волн являются сэндвич-волны. Они имеют исчезающую кривизну, за исключением некоторого диапазона , и представляют собой гравитационную волну, движущуюся через фон пространства-времени Минковского . ${\displaystyle u_{1}<u<u_{2}}$

Связь с другими теориями

Поскольку они составляют очень простой и естественный класс лоренцевых многообразий, определенных в терминах нулевой конгруэнции, неудивительно, что они также важны и в других релятивистских классических теориях поля гравитации . В частности, pp-волны являются точными решениями в теории Бранса-Дикке , различных теориях высшей кривизны и теориях Калуцы-Клейна , а также некоторых теориях гравитации Дж. В. Моффата . Действительно, Бо Джей Таппер показал, что обычные вакуумные решения в общей теории относительности и в теории Брана/Дикке представляют собой именно вакуумные pp-волны (но теория Бранса/Дикке допускает и другие волнообразные решения). Ганс-Юрген Шмидт переформулировал теорию (четырехмерных) pp-волн в терминах двумерной метрико-дилатонной теории гравитации.

Pp-волны также играют важную роль в поисках квантовой гравитации , потому что, как отметил Гэри Гиббонс , все квантовые поправки в петлевых членах исчезают одинаково для любого pp-волнового пространства-времени. Это означает, что изучение древесного квантования пространства-времени pp-волн дает возможность заглянуть в пока еще неизвестный мир квантовой гравитации.

Естественно обобщить pp-волны на более высокие измерения, где они обладают свойствами, аналогичными тем, которые мы обсуждали. К.М. Халл показал, что такие pp-волны более высокой размерности являются важными строительными блоками для одиннадцатимерной супергравитации .

Геометрические и физические свойства

ПП-волны обладают множеством ярких свойств. Некоторые из их более абстрактных математических свойств уже упоминались. В этом разделе представлены несколько дополнительных свойств.

Рассмотрим инерционного наблюдателя в пространстве-времени Минковского, который сталкивается с плоской сэндвич-волной. Такой наблюдатель испытает некоторые интересные оптические эффекты. Если он посмотрит на встречные волновые фронты на далекие галактики, которые уже столкнулись с волной, он увидит их изображения неискаженными. Это должно быть так, поскольку он не может знать, что волна приближается, пока она не достигнет его местоположения, поскольку она движется со скоростью света. Однако это можно подтвердить прямым вычислением оптических скаляров нулевой конгруэнции . Теперь предположим, что после прохождения волны наш наблюдатель поворачивается лицом и смотрит сквозь уходящие волновые фронты на далекие галактики, которых волна еще не достигла. Теперь он видит их оптические изображения сдвинутыми и увеличенными (или уменьшенными) в зависимости от времени. Если волна окажется поляризованной гравитационной плоской волной , он увидит круглые изображения, попеременно сжимаемые по горизонтали и расширяемые по вертикали, и сжатые по вертикали и расширяющиеся по горизонтали. Это непосредственно демонстрирует характерное влияние гравитационной волны в общей теории относительности на свет. ${\displaystyle \partial _{v}}$

Влияние проходящей поляризованной плоской гравитационной волны на взаимное расположение облака (изначально статических) пробных частиц будет качественно очень похожим. Здесь мы могли бы упомянуть, что в целом движение пробных частиц в пространстве-времени с pp-волнами может проявлять хаос .

Тот факт, что уравнение поля Эйнштейна является нелинейным , хорошо известен. Это означает, что если у вас есть два точных решения, практически никогда не существует способа их линейно наложить . Волны PP представляют собой редкое исключение из этого правила: если у вас есть две волны PP, имеющие один и тот же ковариантно постоянный нулевой вектор (одна и та же геодезическая конгруэнтность нулей, т. е. одно и то же поле волновых векторов) с метрическими функциями соответственно, тогда получается третье точное решение. ${\displaystyle H_{1},H_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}+H_{2}}$

Роджер Пенроуз заметил, что вблизи нулевой геодезической каждое лоренцево пространство-время выглядит как плоская волна . Чтобы показать это, он использовал методы, импортированные из алгебраической геометрии, чтобы «взорвать» пространство-время так, чтобы данная нулевая геодезическая стала ковариантно постоянной нулевой геодезической конгруэнтностью плоской волны. Эта конструкция называется пределом Пенроуза.

Пенроуз также отметил, что в pp-волновом пространстве-времени все полиномиальные скалярные инварианты тензора Римана тождественно равны нулю , однако кривизна почти никогда не равна нулю. Это связано с тем, что в четырехмерном измерении все pp-волны относятся к классу пространства-времени VSI . Такое утверждение не справедливо в более высоких измерениях, поскольку существуют pp-волны более высокой размерности алгебраического типа II с ненулевыми полиномиальными скалярными инвариантами. Если вы рассматриваете тензор Римана как тензор второго ранга, действующий на бивекторы, исчезновение инвариантов аналогично тому факту, что ненулевой нулевой вектор имеет нулевой квадрат длины.

Пенроуз также был первым, кто понял странную природу причинности в пространстве-времени pp-сэндвич-волн. Он показал, что некоторые или все нулевые геодезические, испускаемые в данном событии, будут перефокусированы на более позднее событие (или цепочку событий). Детали зависят от того, является ли волна чисто гравитационной, чисто электромагнитной или ни одной из них.

Каждая pp-волна допускает множество различных графиков Бринкмана. Они связаны преобразованиями координат , которые в этом контексте можно рассматривать как калибровочные преобразования . В случае плоских волн эти калибровочные преобразования позволяют нам всегда считать, что две сталкивающиеся плоские волны имеют параллельные волновые фронты , и, таким образом, можно сказать, что волны сталкиваются лоб в лоб . Это точный результат полностью нелинейной общей теории относительности, который аналогичен аналогичному результату, касающемуся плоских электромагнитных волн , который рассматривается в специальной теории относительности .

Примеры

Существует множество примечательных явных примеров pp-волн. («Явный» означает, что метрические функции могут быть записаны в терминах элементарных функций или, возможно, хорошо известных специальных функций , таких как функции Матье .)

Явные примеры осесимметричных pp-волн включают:

• Ультраускорение Айхельбурга-Сексля представляет собой импульсивную плоскую волну, которая моделирует физический опыт наблюдателя, проносящегося мимо сферически-симметричного гравитирующего объекта со скоростью, близкой к скорости света.
• Луч Боннора представляет собой осесимметричную плоскую волну, моделирующую гравитационное поле бесконечно длинного луча некогерентного электромагнитного излучения.

Явные примеры пространства-времени плоских волн включают:

• точные монохроматические гравитационные плоские волны и монохроматические электромагнитные плоские волновые решения, которые обобщают решения, хорошо известные из приближения слабого поля,
• точные решения гравитационного поля фермиона Вейля ,
• генерирующая плоская волна Шварцшильда, гравитационная плоская волна, которая, если она столкнется лоб в лоб с двойником, создаст в зоне взаимодействия результирующего раствора сталкивающейся плоской волны область, которая локально изометрична части внутренней части черного Шварцшильда . дыра , тем самым позволяя классический взгляд на локальную геометрию внутри горизонта событий ,
• однородная электромагнитная плоская волна; это пространство-время расслоено на пространственноподобные гиперсрезы, которые изометричны , ${\displaystyle S^{3}}$
• волна смерти — это плоская гравитационная волна, демонстрирующая сильную нескалярную особенность нулевой кривизны , которая распространяется через изначально плоское пространство-время, постепенно разрушая Вселенную.
• однородные плоские волны, или плоские волны SG11 (тип 11 в классификации симметрии Сиппеля и Гённера), которые демонстрируют слабую нескалярную особенность нулевой кривизны и возникают как пределы Пенроуза соответствующей нулевой геодезической, приближающейся к сингулярности кривизны, которая присутствует во многих физически важные решения, включая черные дыры Шварцшильда и космологические модели FRW .

Смотрите также

• Гравитационная волна
• Формализм Ньюмана – Пенроуза

Примечания

1. Чианчи, Р.; Фаббри, Л.; Виньоло С., Точные решения для фермионов Вейля с гравитацией

Рекомендации

• «Об обобщенных волнах PP» (PDF) . Джей Ди Стил . Проверено 12 июня 2005 г.
• Холл, Грэм (2004). Симметрии и структура кривизны в общей теории относительности (Всемирные научные конспекты лекций по физике) . Сингапур: Всемирный научный паб. ISBN компании 981-02-1051-5.
• Стефани, Ганс; Крамер, Дитрих; МакКаллум, Малькольм; Хоэнселерс, Корнелиус и Херлт, Эдуард (2003). Точные решения уравнений поля Эйнштейна . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-46136-7. См. раздел 24.5.
• Сиппель Р. и Гённер Х. (1986). «Классы симметрии pp-волн». Генерал Отл. Грав . 12 : 1129–1243.
• Пенроуз, Роджер (1976). «Любое пространство-время имеет предел — плоскую волну». Дифференциальная геометрия и теория относительности . стр. 271–275.
• Таппер, Б. Я. (1974). «Общие решения теорий Эйнштейна и Бранса-Дике». Межд. Дж. Теория. Физ . 11 (5): 353–356. Бибкод : 1974IJTP...11..353T. дои : 10.1007/BF01808090. S2CID  122456995.
• Пенроуз, Роджер (1965). «Замечательное свойство плоских волн в общей теории относительности». Преподобный Мод. Физ . 37 (1): 215–220. Бибкод : 1965РвМП...37..215П. doi : 10.1103/RevModPhys.37.215.
• Элерс, Юрген и Кундт, Вольфганг (1962). «Точные решения уравнений гравитационного поля». Гравитация: введение в современные исследования . стр. 49–101. См. раздел 2-5.
• Болдуин, Орегон, и Джеффри, Великобритания (1926). «Теория относительности плоских волн». Учеб. Р. Сок. Лонд. А. _ 111 (757): 95. Бибкод : 1926RSPSA.111...95Б. дои : 10.1098/rspa.1926.0051 .
• Х. В. Бринкманн (1925). «Пространства Эйнштейна, конформно отображающиеся друг на друга». Математика. Анна . 18 : 119–145. дои : 10.1007/BF01208647. S2CID  121619009.
• И-Фей Чен и JX Лу (2004), «Генерация динамической браны M2 из супергравитонов на фоне pp-волн»
• Бум-Хун Ли (2005), «D-браны на фоне pp-волн»
• Х.-Ж. Шмидт (1998). «Двумерное представление четырехмерных гравитационных волн», Int. Дж. Мод. Физ. D7 (1998) 215–224 (arXiv:gr-qc/9712034).
• Альберт Эйнштейн , «О гравитационных волнах», Институт Дж. Франклина. 223 (1937).

43–54.

• Натан Розен , «Плоские поляризованные волны в общей теории относительности», Phys. З. Советюнион 12 (1937).
• Чианчи, Р.; Фаббри, Л.; Виньоло С. (2015). «Точные решения для фермионов Вейля с гравитацией». Евро. Физ. Джей Си . 75 (10): 478. arXiv : 1507.06439 . Бибкод : 2015EPJC...75..478C. doi : 10.1140/epjc/s10052-015-3698-9. S2CID  119618017.

Внешние ссылки

• Pp-волна на arxiv.org