Деформация (физика)

Трансформация кузова из эталонной конфигурации в текущую конфигурацию

В физике и механике сплошных сред деформация — это изменение формы или размера объекта. Он имеет размерность длины в единицах СИ - метр (м ) . Оно количественно выражается как остаточное смещение частиц в нетвердом теле от начальной конфигурации до конечной конфигурации, исключая среднее перемещение и вращение тела (его жесткое преобразование ). ^[1] Конфигурация – это набор, содержащий положения всех частиц тела.

Деформация может возникнуть из-за внешних нагрузок , ^[2] внутренней активности (например , сокращения мышц ), сил тела (таких как гравитация или электромагнитные силы ) или изменений температуры, содержания влаги или химических реакций и т. д.

В сплошном теле поле деформаций возникает в результате поля напряжений вследствие приложенных сил или из-за некоторых изменений состояния тела. Связь между напряжением и деформацией (относительной деформацией) выражается определяющими уравнениями , например законом Гука для линейно-упругих материалов.

Деформации, которые перестают существовать после устранения поля напряжений, называются упругими деформациями . В этом случае континуум полностью восстанавливает свою первоначальную конфигурацию. С другой стороны, необратимые деформации могут сохраняться, причем они существуют даже после снятия напряжений. Одним из типов необратимой деформации является пластическая деформация , которая возникает в материальных телах после того, как напряжения достигли определенного порогового значения, известного как предел упругости или предел текучести , и являются результатом скольжения или дислокационных механизмов на атомном уровне. Другой тип необратимой деформации — вязкая деформация , которая является необратимой частью вязкоупругой деформации. В случае упругих деформаций функцией отклика, связывающей деформацию с деформирующим напряжением, является тензор податливости материала.

Определение и формулировка

Деформация — это изменение метрических свойств непрерывного тела, то есть кривая, нарисованная при первоначальном размещении тела, меняет свою длину при смещении на кривую при окончательном размещении. Если ни одна из кривых не меняет длину, говорят, что произошло перемещение твердого тела .

Удобно определить эталонную конфигурацию или начальное геометрическое состояние сплошного тела, от которого отсчитываются все последующие конфигурации. Эталонная конфигурация не обязательно должна быть той, которую тело когда-либо будет занимать. Часто конфигурация в момент t = 0 считается эталонной конфигурацией κ ₀ ( B ) . Конфигурация в текущий момент времени t является текущей конфигурацией .

Для анализа деформации эталонная конфигурация идентифицируется как недеформированная конфигурация , а текущая конфигурация — как деформированная конфигурация . Кроме того, при анализе деформации не учитывается время, поэтому последовательность конфигураций между недеформированной и деформированной конфигурациями не представляет интереса.

Компоненты X _i вектора положения X частицы в опорной конфигурации, взятые относительно опорной системы координат, называются материальными или опорными координатами . С другой стороны, компоненты x _i вектора положения x частицы в деформированной конфигурации, взятые относительно пространственной системы координат, называются пространственными координатами

Существует два метода анализа деформации сплошной среды. Одно описание выполнено в терминах материальных или референтных координат и называется описанием материала или лагранжевым описанием . Второе описание деформации производится в терминах пространственных координат и называется пространственным описанием или эйлеровым описанием .

Непрерывность при деформации сплошного тела существует в том смысле, что:

• Материальные точки, образующие замкнутую кривую в любой момент времени, всегда будут образовывать замкнутую кривую в любой последующий момент времени.
• Материальные точки, образующие замкнутую поверхность в любой момент, всегда будут образовывать замкнутую поверхность в любой последующий момент, и материя внутри замкнутой поверхности всегда останется внутри.

Аффинная деформация

Аффинная деформация — это деформация, которую можно полностью описать с помощью аффинного преобразования . Такое преобразование состоит из линейного преобразования (например, вращения, сдвига, растяжения и сжатия) и перемещения твердого тела. Аффинные деформации также называют однородными деформациями . ^[3]

Поэтому аффинная деформация имеет вид

$${\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)={\boldsymbol {F}}(t)\cdot \mathbf {X} +\mathbf {c} (t)}$$

xXtFc

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\\x_{2}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\\x_{3}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}F_{11}(t)&F_{12}(t)&F_{13}(t)\\F_{21}(t)&F_{22}(t)&F_{23}(t)\\F_{31}(t)&F_{32}(t)&F_{33}(t)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}c_{1}(t)\\c_{2}(t)\\c_{3}(t)\end{bmatrix}}}$$

Вышеуказанная деформация становится неаффинной или неоднородной , если F = F ( X , t ) или c = c ( X , t ) .

Жесткое движение тела

Движение твердого тела — это особая аффинная деформация, не предполагающая сдвига, растяжения или сжатия. Матрица преобразования F является правильной ортогональной , чтобы допускать вращения, но не отражать .

Движение твердого тела можно описать формулой

$${\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)={\boldsymbol {Q}}(t)\cdot \mathbf {X} +\mathbf {c} (t)}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}\cdot {\boldsymbol {Q}}^{T}={\boldsymbol {Q}}^{T}\cdot {\boldsymbol {Q}}={\boldsymbol {\mathit {1}}}}$$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\\x_{2}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\\x_{3}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Q_{11}(t)&Q_{12}(t)&Q_{13}(t)\\Q_{21}(t)&Q_{22}(t)&Q_{23}(t)\\Q_{31}(t)&Q_{32}(t)&Q_{33}(t)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}c_{1}(t)\\c_{2}(t)\\c_{3}(t)\end{bmatrix}}}$$

Предыстория: перемещение

Рис. 1. Движение сплошного тела.

Изменение конфигурации сплошного тела приводит к смещению . Перемещение тела имеет две составляющие: перемещение твердого тела и деформацию. Перемещение твердого тела состоит из одновременного перемещения и вращения тела без изменения его формы и размера. Деформация подразумевает изменение формы и/или размеров тела от исходной или недеформированной конфигурации κ ₀ ( B ) до текущей или деформированной конфигурации κ _t ( B ) (рис. 1).

Если после смещения континуума происходит относительное смещение между частицами, произошла деформация. С другой стороны, если после смещения континуума относительное смещение между частицами в текущей конфигурации равно нулю, то деформации нет и говорят, что произошло твердотельное смещение.

Вектор, соединяющий положения частицы P в недеформированной конфигурации и деформированной конфигурации _, называется вектором смещения u ( X , t ) = u _i ei в лагранжевом описании, или U ( x , t ) = U _J E _J в лагранжевом описании. Эйлерово описание.

Поле смещений — это векторное поле всех векторов смещений для всех частиц тела, которое связывает деформированную конфигурацию с недеформированной конфигурацией. Анализ деформации или движения сплошного тела удобно проводить в терминах поля смещений. В общем, поле перемещений выражается через материальные координаты как

$${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {b} (\mathbf {X} ,t)+\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=\alpha _{iJ}b_{J}+x_{i}-\alpha _{iJ}X_{J}}$$

$${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {b} (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=b_{J}+\alpha _{Ji}x_{i}-X_{J}}$$

α _JiE _Je _i

$${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\alpha _{Ji}=\alpha _{iJ}}$$

u _iU _J

$${\displaystyle u_{i}=\alpha _{iJ}U_{J}\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\alpha _{Ji}u_{i}}$$

Знаю это

$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J}}$$

$${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}=u_{i}(\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J})=U_{J}\mathbf {E} _{J}=\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)}$$

Обычно системы координат для недеформированной и деформированной конфигураций накладываются друг на друга, в результате чего b = 0 , а направляющие косинусы становятся дельтами Кронекера :

$${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\delta _{Ji}=\delta _{iJ}}$$

Таким образом, мы имеем

$${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}=x_{i}-X_{i}}$$

$${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}=x_{J}-X_{J}}$$

Тензор градиента смещения

Частное дифференцирование вектора смещения по координатам материала дает тензор градиента смещения материала ∇ _X u . Таким образом мы имеем:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)&=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \\\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} &=\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {x} -\mathbf {I} \\\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} &=\mathbf {F} -\mathbf {I} \end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}u_{i}&=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}=x_{i}-X_{i}\\{\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{K}}}&={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}-\delta _{iK}\end{aligned}}}$$

Fтензор градиента деформации

Аналогично, частичное дифференцирование вектора смещения по пространственным координатам дает тензор градиента пространственного смещения ∇ _x U . Таким образом, мы имеем,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)&=\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\\\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} &=\mathbf {I} -\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {X} \\\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} &=\mathbf {I} -\mathbf {F} ^{-1}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}U_{J}&=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}=x_{J}-X_{J}\\{\frac {\partial U_{J}}{\partial x_{k}}}&=\delta _{Jk}-{\frac {\partial X_{J}}{\partial x_{k}}}\end{aligned}}}$$

Примеры

Однородные (или аффинные) деформации полезны для объяснения поведения материалов. Некоторые представляющие интерес однородные деформации:

• равномерное расширение
• чистое расширение
• равнобиаксиальное натяжение
• простой сдвиг
• чистый сдвиг

Линейные или продольные деформации длинных предметов, например балок и волокон, называются удлинением или укорочением ; производными величинами являются относительное удлинение и степень растяжения .

Плоские деформации также представляют интерес, особенно в экспериментальном контексте.

Объемная деформация — это равномерное масштабирование вследствие изотропного сжатия ; относительная объемная деформация называется объемной деформацией .

Плоская деформация

Плоская деформация, также называемая плоской деформацией , — это деформация, при которой деформация ограничивается одной из плоскостей в базовой конфигурации. Если деформация ограничена плоскостью, описываемой базисными векторами e ₁ , e ₂ , градиент деформации имеет вид

$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}=F_{11}\mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{1}+F_{12}\mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2}+F_{21}\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{1}+F_{22}\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\otimes \mathbf {e} _{3}}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\begin{bmatrix}F_{11}&F_{12}&0\\F_{21}&F_{22}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$

теоремы полярного разложения^[3]

$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {U}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&0\\0&\lambda _{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$

θλ ₁λ ₂главные растяжения

Изохорная плоская деформация

Если деформация изохорна (с сохранением объема), то det( F ) = 1 и мы имеем

$${\displaystyle F_{11}F_{22}-F_{12}F_{21}=1}$$

$${\displaystyle \lambda _{1}\lambda _{2}=1}$$

Простой сдвиг

Простая сдвиговая деформация определяется как изохорная плоская деформация, в которой существует набор линейных элементов с заданной базовой ориентацией, которые не меняют длину и ориентацию во время деформации. ^[3]

Если e ₁ является фиксированной базовой ориентацией, при которой линейные элементы не деформируются во время деформации, то λ ₁ = 1 и F · e ₁ = e ₁ . Поэтому,

$${\displaystyle F_{11}\mathbf {e} _{1}+F_{21}\mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{1}\quad \implies \quad F_{11}=1~;~~F_{21}=0}$$

$${\displaystyle F_{11}F_{22}-F_{12}F_{21}=1\quad \implies \quad F_{22}=1}$$

$${\displaystyle \gamma :=F_{12}}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}\cdot \mathbf {e} _{2}=F_{12}\mathbf {e} _{1}+F_{22}\mathbf {e} _{2}=\gamma \mathbf {e} _{1}+\mathbf {e} _{2}\quad \implies \quad {\boldsymbol {F}}\cdot (\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{2})=\gamma \mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{2}}$$

$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{i}={\boldsymbol {\mathit {1}}}}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {\mathit {1}}}+\gamma \mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2}}$$

Смотрите также

• Деформация длинных элементов, таких как балки или стойки, из-за изгибающих сил, известна как прогиб .
• Теория пучка Эйлера – Бернулли
• Деформация (инженерия)
• Теория конечной деформации
• Теория бесконечно малых деформаций
• Муаровый узор
• Модуль сдвига
• Напряжение сдвига
• Прочность на сдвиг
• Штамм (механика)
• Стресс (механика)
• Стрессовые меры

Рекомендации

1. Трусделл, К.; Нолл, В. (2004). Нелинейные теории поля в механике (3-е изд.). Спрингер. п. 48.
2. Ву, Х.-К. (2005). Механика сплошной среды и пластичность . ЦРК Пресс. ISBN 1-58488-363-4.
3. Огден, RW (1984). Нелинейные упругие деформации . Дувр.

дальнейшее чтение

• Базант, Зденек П.; Чедолин, Луиджи (2010). Неустойчивости трехмерного континуума и эффекты тензора конечной деформации, глава 11 в «Устойчивости конструкций», 3-е изд. Сингапур, Нью-Джерси, Лондон: World Scientific Publishing. ISBN 978-9814317030.
• Дилл, Эллис Гарольд (2006). Механика сплошных сред: упругость, пластичность, вязкоупругость. Германия: CRC Press. ISBN 0-8493-9779-0.
• Хаттер, Колумбан; Джонк, Клаус (2004). Непрерывные методы физического моделирования. Германия: Шпрингер. ISBN 3-540-20619-1.
• Йирасек, М; Базант, З.П. (2002). Неупругий анализ конструкций. Лондон и Нью-Йорк: Дж. Уайли и сыновья. ISBN 0471987166.
• Лубарда, Владо А. (2001). Теория упругопластичности. ЦРК Пресс. ISBN 0-8493-1138-1.
• Макоско, CW (1994). Реология: принципы, измерения и приложения . Издательство ВЧ. ISBN 1-56081-579-5.
• Мейс, Джордж Э. (1970). Механика сплошной среды. МакГроу-Хилл Профессионал. ISBN 0-07-040663-4.
• Мейс, Дж. Томас; Мейс, Джордж Э. (1999). Механика сплошных сред для инженеров (2-е изд.). ЦРК Пресс. ISBN 0-8493-1855-6.
• Немат-Насер, Сиа (2006). Пластичность: трактат о конечной деформации неоднородных неупругих материалов. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-83979-3.
• Прагер, Уильям (1961). Введение в механику сплошных сред. Бостон: ISBN Джинн и Ко. 0486438090.