Волновое число

Пространственная частота волны

Диаграмма, иллюстрирующая связь между волновым числом и другими свойствами гармонических волн.

В физических науках волновое число (или волновое число ), также известное как повторяемость , ^[1] представляет собой пространственную частоту волны , измеряемую в циклах на единицу расстояния ( обычное волновое число ) или радианах на единицу расстояния ( угловое волновое число ). ^{[2] [3] [4]} Оно аналогично временной частоте , которая определяется как число волновых циклов в единицу времени ( обычная частота ) или радиан в единицу времени ( угловая частота ).

В многомерных системах волновое число является величиной волнового вектора . Пространство волновых векторов называется обратным пространством . Волновые числа и волновые векторы играют существенную роль в оптике и физике рассеяния волн , такой как дифракция рентгеновских лучей , дифракция нейтронов , дифракция электронов и физика элементарных частиц . Для квантово-механических волн волновое число, умноженное на приведенную постоянную Планка, является каноническим импульсом .

Волновое число может использоваться для указания величин, отличных от пространственной частоты. Например, в оптической спектроскопии оно часто используется как единица временной частоты, предполагающая определенную скорость света .

Определение

Волновое число, используемое в спектроскопии и большинстве областей химии, определяется как количество длин волн на единицу расстояния, обычно сантиметров (см ⁻¹ ):

${\displaystyle {\tilde {\nu }}\;=\;{\frac {1}{\lambda }},}$

где λ — длина волны. Иногда ее называют «спектроскопическим волновым числом». ^[1] Она равна пространственной частоте .

Например, волновое число в обратных сантиметрах можно преобразовать в частоту, выраженную в единицах гигагерц, умножив на29,979 2458  см/нс ( скорость света , в сантиметрах в наносекунду); ^[5] наоборот, электромагнитная волна с частотой 29,9792458 ГГц имеет длину волны 1 см в свободном пространстве.

В теоретической физике чаще используется волновое число, определяемое как число радиан на единицу расстояния, иногда называемое «угловым волновым числом»: ^[6]

${\displaystyle k\;=\;{\frac {2\pi }{\lambda }}}$

Когда волновое число представлено символом ν , частота все еще представлена, хотя и косвенно. Как описано в разделе спектроскопии, это делается через соотношение, где ν _s — частота, выраженная в единицах герц . Это сделано для удобства, поскольку частоты, как правило, очень большие. ^[7] ${\textstyle {\frac {\nu _{\text{s}}}{c}}\;=\;{\frac {1}{\lambda }}\;\equiv \;{\tilde {\nu }},}$

Волновое число имеет размерность , обратную длине , поэтому его единица СИ является обратной величиной метра (м ⁻¹ ). В спектроскопии волновые числа обычно указываются в единицах СГС (т. е. обратных сантиметрах; см ⁻¹ ); в этом контексте волновое число раньше называлось кайзером , в честь Генриха Кайзера (некоторые старые научные работы использовали эту единицу, сокращенно K , где 1  K = 1 см  − ¹ ). ^[8] Угловое волновое число может быть выражено в единице радиан на метр (рад⋅м ⁻¹ ), или как указано выше, поскольку радиан безразмерен .

Для электромагнитного излучения в вакууме волновое число прямо пропорционально частоте и энергии фотона . По этой причине волновые числа используются как удобная единица энергии в спектроскопии.

Сложный

Комплексное волновое число можно определить для среды с комплексными относительной диэлектрической проницаемостью , относительной магнитной проницаемостью и показателем преломления n как: ^[9] ${\displaystyle \varepsilon _{r}}$ ${\displaystyle \mu _{r}}$

${\displaystyle k=k_{0}{\sqrt {\varepsilon _{r}\mu _{r}}}=k_{0}n}$

где k ₀ — волновое число свободного пространства, как указано выше. Мнимая часть волнового числа выражает затухание на единицу расстояния и полезна при изучении экспоненциально затухающих нестационарных полей .

Плоские волны в линейных средах

Коэффициент распространения синусоидальной плоской волны, распространяющейся в положительном направлении x в линейном материале, определяется по формуле ^{[10] : 51}

${\displaystyle P=e^{-jkx}}$

где

• ${\displaystyle k=k'-jk''={\sqrt {-\left(\omega \mu ''+j\omega \mu '\right)\left(\sigma +\omega \varepsilon ''+j\omega \varepsilon '\right)}}\;}$
• ${\displaystyle k'=}$ фазовая постоянная в единицах радиан /метр
• ${\displaystyle k''=}$ постоянная затухания в единицах неперс /метр
• ${\displaystyle \omega =}$угловая частота
• ${\displaystyle x=}$пройденное расстояние в направлении x
• ${\displaystyle \sigma =}$ проводимость в Сименсах /метр
• ${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon '-j\varepsilon ''=}$ комплексная диэлектрическая проницаемость
• ${\displaystyle \mu =\mu '-j\mu ''=}$ комплексная проницаемость
• ${\displaystyle j={\sqrt {-1}}}$

Соглашение о знаках выбрано для согласованности с распространением в средах с потерями. Если константа затухания положительна, то амплитуда волны уменьшается по мере распространения волны в направлении x.

Длина волны , фазовая скорость и глубина скин-слоя имеют простые соотношения с компонентами волнового числа:

${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{k'}}\qquad v_{p}={\frac {\omega }{k'}}\qquad \delta ={\frac {1}{k''}}}$

В волновых уравнениях

Здесь мы предполагаем, что волна регулярна в том смысле, что различные величины, описывающие волну, такие как длина волны, частота и, следовательно, волновое число, являются константами. См. волновой пакет для обсуждения случая, когда эти величины не являются постоянными.

В общем случае угловое волновое число k (т.е. величина волнового вектора ) определяется выражением

${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {2\pi \nu }{v_{\mathrm {p} }}}={\frac {\omega }{v_{\mathrm {p} }}}}$

где ν — частота волны, λ — длина волны, ω = 2 πν — угловая частота волны, а v _p — фазовая скорость волны. Зависимость волнового числа от частоты (или, чаще, частоты от волнового числа) называется дисперсионным соотношением .

Для особого случая электромагнитной волны в вакууме, в котором волна распространяется со скоростью света, k определяется по формуле:

${\displaystyle k={\frac {E}{\hbar c}}={\frac {\omega }{c}}}$

где E — энергия волны, ħ — приведенная постоянная Планка , а c — скорость света в вакууме.

Для частного случая волны материи , например, электронной волны, в нерелятивистском приближении (в случае свободной частицы, то есть частицы, не имеющей потенциальной энергии):

${\displaystyle k\equiv {\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {p}{\hbar }}={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}}$

Здесь p — импульс частицы, m — масса частицы, E — кинетическая энергия частицы, ħ — приведенная постоянная Планка .

Волновое число также используется для определения групповой скорости .

В спектроскопии

В спектроскопии «волновое число» (в обратных сантиметрах , см ⁻¹ ) относится к временной частоте (в герцах), деленной на скорость света в вакууме (обычно в сантиметрах в секунду, см⋅с ⁻¹ ): ${\displaystyle {\tilde {\nu }}}$

${\displaystyle {\tilde {\nu }}={\frac {\nu }{c}}={\frac {\omega }{2\pi c}}.}$

Историческая причина использования этого спектроскопического волнового числа вместо частоты заключается в том, что это удобная единица измерения при изучении атомных спектров путем подсчета полос на см с помощью интерферометра :  спектроскопическое волновое число является обратной величиной длины волны света в вакууме:

${\displaystyle \lambda _{\rm {vac}}={\frac {1}{\tilde {\nu }}},}$

которая остается по существу той же самой в воздухе, и поэтому спектроскопическое волновое число напрямую связано с углами света, рассеянного от дифракционных решеток , и расстоянием между полосами в интерферометрах , когда эти приборы работают в воздухе или вакууме. Такие волновые числа были впервые использованы в расчетах Иоганна Ридберга в 1880-х годах. Комбинационный принцип Ридберга-Ритца 1908 года также был сформулирован в терминах волновых чисел. Несколько лет спустя спектральные линии могли пониматься в квантовой теории как различия между уровнями энергии, причем энергия пропорциональна волновому числу или частоте. Однако спектроскопические данные продолжали табулироваться в терминах спектроскопического волнового числа, а не частоты или энергии.

Например, спектроскопические волновые числа спектра излучения атомарного водорода определяются формулой Ридберга :

${\displaystyle {\tilde {\nu }}=R\left({\frac {1}{{n_{\text{f}}}^{2}}}-{\frac {1}{{n_{\text{i}}}^{2}}}\right),}$

где R — постоянная Ридберга , а n _i и n _f — главные квантовые числа начального и конечного уровней соответственно ( n _i больше n _f для излучения).

Спектроскопическое волновое число можно преобразовать в энергию на фотон E с помощью соотношения Планка :

${\displaystyle E=hc{\tilde {\nu }}.}$

Его также можно преобразовать в длину волны света:

${\displaystyle \lambda ={\frac {1}{n{\tilde {\nu }}}},}$

где n — показатель преломления среды . Обратите внимание , что длина волны света изменяется при прохождении через различные среды, однако спектроскопическое волновое число (т. е. частота) остается постоянным.

Часто пространственные частоты некоторые авторы указывают «в волновых числах», ^[11] неправильно перенося название величины на саму единицу СГС см ⁻¹ . ^[12]

Смотрите также

• Угловая длина волны
• Пространственная частота
• Показатель преломления
• Зональное волновое число

Ссылки

1. ISO 80000-3:2019 Величины и единицы. Часть 3: Пространство и время.
2. Родригес, А.; Сардинья, Р. А.; Пита, Г. (2021). Фундаментальные принципы физики окружающей среды. Springer International Publishing. стр. 73. ISBN 978-3-030-69025-0. Получено 2022-12-04 .
3. Солимини, Д. (2016). Понимание наблюдения за Землей: электромагнитная основа дистанционного зондирования. Дистанционное зондирование и цифровая обработка изображений. Springer International Publishing. стр. 679. ISBN 978-3-319-25633-7. Получено 2022-12-04 .
4. Робинсон, EA; Трейтель, S. (2008). Цифровая обработка изображений и деконволюция: азы сейсмической разведки и обработки. Геофизические ссылки. Общество геофизиков-разведчиков. стр. 9. ISBN 978-1-56080-148-1. Получено 2022-12-04 .
5. "NIST: Таблицы калибровки волновых чисел - Описание". physics.nist.gov . Получено 19 марта 2018 г. .
6. W., Weisstein, Eric. «Волновое число — из «Мира физики» Эрика Вайсштейна». scienceworld.wolfram.com . Получено 19 марта 2018 г. .{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
7. "Волновое число". Encyclopaedia Britannica . Получено 19 апреля 2015 г.
8. Murthy, VLR; Lakshman, SVJ (1981). «Электронный спектр поглощения комплекса кобальта и антипирина». Solid State Communications . 38 (7): 651–652. Bibcode : 1981SSCom..38..651M. doi : 10.1016/0038-1098(81)90960-1.
9. [1], ур.(2.13.3)
10. Харрингтон, Роджер Ф. (1961), Гармонические электромагнитные поля во времени (1-е изд.), McGraw-Hill, ISBN 0-07-026745-6
11. См. например,
    • Фихтнер, Г. (2001). «Поглощение и безразмерный интеграл перекрытия для двухфотонного возбуждения». Журнал количественной спектроскопии и переноса излучения . 68 (5): 543–557. Bibcode : 2001JQSRT..68..543F. doi : 10.1016/S0022-4073(00)00044-3.
    • US 5046846, Рэй, Джеймс К. и Асари, Логан Р., «Метод и аппаратура для спектроскопического сравнения составов», опубликовано 10 сентября 1991 г. 
    • «Бозонные пики и образование стекла». Science . 308 (5726): 1221. 2005. doi :10.1126/science.308.5726.1221a. S2CID  220096687.
12. Холлас, Дж. Майкл (2004). Современная спектроскопия. John Wiley & Sons. стр. xxii. ISBN 978-0470844151.

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с Wavenumber на Wikimedia Commons