Уравнение Ланжевена

Стохастическое дифференциальное уравнение

В физике уравнение Ланжевена (названное в честь Поля Ланжевена ) представляет собой стохастическое дифференциальное уравнение , описывающее, как система развивается под воздействием комбинации детерминированных и флуктуирующих («случайных») сил. Зависимые переменные в уравнении Ланжевена обычно представляют собой коллективные (макроскопические) переменные, изменяющиеся лишь медленно по сравнению с другими (микроскопическими) переменными системы. Быстрые (микроскопические) переменные ответственны за стохастический характер уравнения Ланжевена. Одним из применений является броуновское движение , которое моделирует колебательное движение маленькой частицы в жидкости.

Броуновское движение как прототип

Исходное уравнение Ланжевена ^{[1] [2]} описывает броуновское движение , очевидно случайное движение частицы в жидкости вследствие столкновений с молекулами жидкости,

$${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=-\lambda \mathbf {v} +{\boldsymbol {\eta }}\left(t\right).}$$

Здесь – скорость частицы, – ее коэффициент затухания, – ее масса. Сила, действующая на частицу, записывается как сумма силы вязкости, пропорциональной скорости частицы ( закон Стокса ), и шумового члена , представляющего эффект столкновений с молекулами жидкости. Сила имеет гауссово распределение вероятностей с корреляционной функцией. ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}\left(t\right)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}\left(t\right)}$

$${\displaystyle \left\langle \eta _{i}\left(t\right)\eta _{j}\left(t'\right)\right\rangle =2\lambda k_{\text{B}}T\delta _{i,j}\delta \left(t-t'\right),}$$

постоянная Больцмана-функции ${\displaystyle k_{\text{B}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \eta _{i}\left(t\right)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}\left(t\right)}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \delta }$

Другой общей особенностью уравнения Ланжевена является появление коэффициента затухания в корреляционной функции случайной силы, который в равновесной системе является выражением соотношения Эйнштейна . ${\displaystyle \lambda }$

Математические аспекты

Строго коррелированная флуктуирующая сила не является функцией в обычном математическом смысле, и даже производная в этом пределе не определена. Эта проблема исчезает, если уравнение Ланжевена записать в интегральной форме ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}\left(t\right)}$ ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {v} /\mathrm {d} t}$

$${\displaystyle m\mathbf {v} =\int ^{t}\left(-\lambda \mathbf {v} +{\boldsymbol {\eta }}\left(t\right)\right)\mathrm {d} t.}$$

Следовательно, дифференциальная форма — это всего лишь сокращение от интеграла по времени. Общий математический термин для уравнений этого типа — « стохастическое дифференциальное уравнение ».

Другая математическая неоднозначность возникает для уравнений Ланжевена с мультипликативным шумом, который относится к шумовым членам, которые умножаются на непостоянную функцию зависимых переменных, например, . Если мультипликативный шум присущ системе, его определение неоднозначно, так как его одинаково справедливо интерпретировать по схеме Стратоновича или по схеме Ито (см. исчисление Ито ). Тем не менее, физические наблюдаемые не зависят от интерпретации, при условии, что последняя последовательно применяется при манипулировании уравнением. Это необходимо, поскольку символические правила исчисления различаются в зависимости от схемы интерпретации. Если шум является внешним по отношению к системе, подходящей интерпретацией является интерпретация Стратоновича. ^{[3] [4]} ${\displaystyle \left|{\boldsymbol {v}}(t)\right|{\boldsymbol {\eta }}(t)}$

Общее уравнение Ланжевена

Существует формальный вывод общего уравнения Ланжевена из классической механики. ^{[5] [6]} Это общее уравнение играет центральную роль в теории критической динамики , ^[7] и других областях неравновесной статистической механики. Уравнение броуновского движения, приведенное выше, представляет собой частный случай.

Существенным шагом в выводе является разделение степеней свободы на категории медленные и быстрые . Например, локальное термодинамическое равновесие в жидкости достигается за несколько времен столкновения, но для релаксации к равновесию плотности сохраняющихся величин, таких как масса и энергия, требуется гораздо больше времени. Таким образом, плотности сохраняющихся величин и, в частности, их длинноволновые компоненты являются кандидатами на медленные переменные. Это деление можно формально выразить с помощью оператора проекции Цванцига . ^[8] Тем не менее, этот вывод не является полностью строгим с точки зрения математической физики, поскольку он опирается на предположения, которым не хватает строгих доказательств и вместо этого оправдываются только как правдоподобные аппроксимации физических систем.

Обозначим медленные переменные. Тогда общее уравнение Ланжевена будет иметь вид ${\displaystyle A=\{A_{i}\}}$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A_{i}}{\mathrm {d} t}}=k_{\text{B}}T\sum \limits _{j}{\left[{A_{i},A_{j}}\right]{\frac {{\mathrm {d} }{\mathcal {H}}}{\mathrm {d} A_{j}}}}-\sum \limits _{j}{\lambda _{i,j}\left(A\right){\frac {\mathrm {d} {\mathcal {H}}}{\mathrm {d} A_{j}}}+}\sum \limits _{j}{\frac {\mathrm {d} {\lambda _{i,j}\left(A\right)}}{\mathrm {d} A_{j}}}+\eta _{i}\left(t\right).}$$

Флуктуирующая сила подчиняется гауссовскому распределению вероятностей с корреляционной функцией ${\displaystyle \eta _{i}\left(t\right)}$

$${\displaystyle \left\langle {\eta _{i}\left(t\right)\eta _{j}\left(t'\right)}\right\rangle =2\lambda _{i,j}\left(A\right)\delta \left(t-t'\right).}$$

Отсюда следует соотношение взаимности Онзагера для коэффициентов затухания . Зависимость от в большинстве случаев незначительна . Символ обозначает гамильтониан системы, где – равновесное распределение вероятностей переменных . Наконец, – проекция скобки Пуассона медленных переменных на пространство медленных переменных. ${\displaystyle \lambda _{i,j}=\lambda _{j,i}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathrm {d} \lambda _{i,j}/\mathrm {d} A_{j}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}=-\ln \left(p_{0}\right)}$ ${\displaystyle p_{0}\left(A\right)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle [A_{i},A_{j}]}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle A_{j}}$

В случае броуновского движения можно было бы иметь , или и . Уравнение движения для точное: нет колеблющейся силы и коэффициента затухания . ${\displaystyle {\mathcal {H}}=\mathbf {p} ^{2}/\left(2mk_{\text{B}}T\right)}$ ${\displaystyle A=\{\mathbf {p} \}}$ ${\displaystyle A=\{\mathbf {x} ,\mathbf {p} \}}$ ${\displaystyle [x_{i},p_{j}]=\delta _{i,j}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} /\mathrm {d} t=\mathbf {p} /m}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \eta _{x}}$ ${\displaystyle \lambda _{x,p}}$

Примеры

Тепловой шум в электрическом резисторе

Электрическая цепь, состоящая из резистора и конденсатора.

Существует близкая аналогия между парадигматической броуновской частицей, обсуждавшейся выше, и шумом Джонсона , электрическим напряжением, генерируемым тепловыми флуктуациями в резисторе. ^[9] На схеме справа показана электрическая цепь, состоящая из сопротивления R и емкости C. Медленная переменная — это напряжение U между концами резистора. Гамильтониан имеет вид , а уравнение Ланжевена принимает вид ${\displaystyle {\mathcal {H}}=E/k_{\text{B}}T=CU^{2}/(2k_{\text{B}}T)}$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {U}{RC}}+\eta \left(t\right),\;\;\left\langle \eta \left(t\right)\eta \left(t'\right)\right\rangle ={\frac {2k_{\text{B}}T}{RC^{2}}}\delta \left(t-t'\right).}$$

Это уравнение можно использовать для определения корреляционной функции

$${\displaystyle \left\langle U\left(t\right)U\left(t'\right)\right\rangle ={\frac {k_{\text{B}}T}{C}}\exp \left(-{\frac {\left|t-t'\right|}{RC}}\right)\approx 2Rk_{\text{B}}T\delta \left(t-t'\right),}$$

C

Критическая динамика

Динамика параметра порядка фазового перехода второго рода замедляется вблизи критической точки и может быть описана уравнением Ланжевена. ^[7] Простейшим случаем является класс универсальности «модель А» с несохраняющимся скалярным параметром порядка, реализованный, например, в аксиальных ферромагнетиках: ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}\varphi {\left(\mathbf {x} ,t\right)}&=-\lambda {\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \varphi }}+\eta {\left(\mathbf {x} ,t\right)},\\[2ex]{\mathcal {H}}&=\int d^{d}x\left[{\frac {1}{2}}r_{0}\varphi ^{2}+u\varphi ^{4}+{\frac {1}{2}}\left(\nabla \varphi \right)^{2}\right],\\[2ex]\left\langle \eta {\left(\mathbf {x} ,t\right)}\,\eta {\left(\mathbf {x} ',t'\right)}\right\rangle &=2\lambda \,\delta {\left(\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right)}\;\delta {\left(t-t'\right)}.\end{aligned}}}$$

^[7]

Гармонический осциллятор в жидкости

$${\displaystyle m{\frac {dv}{dt}}=-\lambda v+\eta (t)-kx}$$

Частица в жидкости описывается уравнением Ланжевена с функцией потенциальной энергии, силой демпфирования и тепловыми флуктуациями, заданными теоремой о диссипации флуктуаций . Если потенциал квадратичен, то кривые постоянной энергии представляют собой эллипсы, как показано на рисунке. Если есть диссипация, но нет теплового шума, частица постоянно теряет энергию в окружающую среду, и ее зависящий от времени фазовый портрет (скорость в зависимости от положения) соответствует внутренней спирали в направлении скорости 0. Напротив, тепловые флуктуации постоянно добавляют энергии частице и не позволяют ей достичь точно нулевой скорости. Скорее, исходный ансамбль стохастических осцилляторов приближается к установившемуся состоянию, в котором скорость и положение распределяются в соответствии с распределением Максвелла-Больцмана . На графике ниже (рис. 2) долговременное распределение скорости (оранжевый) и распределения положений (синий) в гармоническом потенциале ( ) показано с вероятностями Больцмана для скорости (красный) и положения (зеленый). В частности, поведение в позднее время отражает тепловое равновесие. ${\textstyle U={\frac {1}{2}}kx^{2}}$

Траектории свободных броуновских частиц

Рассмотрим свободную частицу массы с уравнением движения, описываемым формулой ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=-{\frac {\mathbf {v} }{\mu }}+{\boldsymbol {\eta }}(t),}$$

${\displaystyle \mathbf {v} =d\mathbf {r} /dt}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}(t)=m\mathbf {a} (t)}$ ${\displaystyle t_{c}}$ ${\displaystyle {\overline {{\boldsymbol {\eta }}(t)}}=0}$

$${\displaystyle \mathbf {v} (t)=\mathbf {v} (0)e^{-t/\tau }+\int _{0}^{t}\mathbf {a} (t')e^{-(t-t')/\tau }dt',}$$

автокорреляционная функция^[10] ${\displaystyle \tau =m\mu }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

Смоделированные квадраты смещений свободных броуновских частиц (полупрозрачные волнистые линии) как функция времени для трех выбранных вариантов начального квадрата скорости, которые составляют 0, 3 k _B T / m и 6 k _B T / m соответственно, с 3 k _B T / m – величина равнораспределения в тепловом равновесии. Цветные сплошные кривые обозначают среднеквадратические смещения для соответствующих вариантов выбора параметров.

$${\displaystyle {\begin{aligned}R_{vv}(t_{1},t_{2})&\equiv \langle \mathbf {v} (t_{1})\cdot \mathbf {v} (t_{2})\rangle \\&=v^{2}(0)e^{-(t_{1}+t_{2})/\tau }+\int _{0}^{t_{1}}\int _{0}^{t_{2}}R_{aa}(t_{1}',t_{2}')e^{-(t_{1}+t_{2}-t_{1}'-t_{2}')/\tau }dt_{1}'dt_{2}'\\&\simeq v^{2}(0)e^{-|t_{2}-t_{1}|/\tau }+\left[{\frac {3k_{\text{B}}T}{m}}-v^{2}(0)\right]{\Big [}e^{-|t_{2}-t_{1}|/\tau }-e^{-(t_{1}+t_{2})/\tau }{\Big ]},\end{aligned}}}$$

теореме о равнораспределении ${\displaystyle \mathbf {a} (t_{1}')}$ ${\displaystyle \mathbf {a} (t_{2}')}$ ${\displaystyle t_{2}'-t_{1}'\gg t_{c}}$ ${\textstyle \lim _{t\to \infty }\langle v^{2}(t)\rangle =\lim _{t\to \infty }R_{vv}(t,t)}$ ${\displaystyle 3k_{\text{B}}T/m}$ ${\displaystyle v^{2}(0)=3k_{\text{B}}T/m}$ ${\displaystyle \langle v^{2}(t)\rangle =3k_{\text{B}}T/m}$ ${\displaystyle t}$

Скорость броуновской частицы можно проинтегрировать, чтобы получить ее траекторию . Если он изначально находится в начале координат с вероятностью 1, то результат будет ${\displaystyle \mathbf {v} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$

$${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\mathbf {v} (0)\tau \left(1-e^{-t/\tau }\right)+\tau \int _{0}^{t}\mathbf {a} (t')\left[1-e^{-(t-t')/\tau }\right]dt'.}$$

Следовательно, асимптоты среднего смещения равны по мере релаксации системы. Среднеквадратичное перемещение можно определить аналогично: ${\textstyle \langle \mathbf {r} (t)\rangle =\mathbf {v} (0)\tau \left(1-e^{-t/\tau }\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} (0)\tau }$

$${\displaystyle \langle r^{2}(t)\rangle =v^{2}(0)\tau ^{2}\left(1-e^{-t/\tau }\right)^{2}-{\frac {3k_{\text{B}}T}{m}}\tau ^{2}\left(1-e^{-t/\tau }\right)\left(3-e^{-t/\tau }\right)+{\frac {6k_{\text{B}}T}{m}}\tau t.}$$

Это выражение подразумевает, что , что указывает на то, что движение броуновских частиц на временных масштабах, намного меньших, чем время релаксации системы, (приблизительно) инвариантно относительно обращения времени . С другой стороны, , что указывает на необратимый , диссипативный процесс . ${\displaystyle \langle r^{2}(t\ll \tau )\rangle \simeq v^{2}(0)t^{2}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \langle r^{2}(t\gg \tau )\rangle \simeq 6k_{\text{B}}T\tau t/m=6\mu k_{\text{B}}Tt=6Dt}$

Этот график соответствует решениям полного уравнения Ланжевена, полученным методом Эйлера–Маруямы . На левой панели показана временная эволюция фазового портрета гармонического осциллятора при различных температурах. На правой панели показаны соответствующие равновесные распределения вероятностей. При нулевой температуре скорость быстро падает от первоначального значения (красная точка) до нуля из-за затухания. При ненулевых температурах скорость может быть увеличена до значений, превышающих начальное значение, из-за тепловых флуктуаций. На больших временах скорость остается отличной от нуля, а распределение положения и скорости соответствует термическому равновесию.

Восстановление статистики Больцмана

Если внешний потенциал консервативен, а шумовой член происходит из резервуара, находящегося в тепловом равновесии, то долговременное решение уравнения Ланжевена должно сводиться к распределению Больцмана , которое является функцией распределения вероятностей для частиц, находящихся в тепловом равновесии. В частном случае перезатухающей динамики инерция частицы пренебрежимо мала по сравнению с силой демпфирования, а траектория описывается перезатухающим уравнением Ланжевена ${\displaystyle x(t)}$

$${\displaystyle \lambda {\frac {dx}{dt}}=-{\frac {\partial V(x)}{\partial x}}+\eta (t)\equiv -{\frac {\partial V(x)}{\partial x}}+{\sqrt {2\lambda k_{\text{B}}T}}{\frac {dB_{t}}{dt}},}$$

где константа затухания. Термин — белый шум, характеризующийся (формально — винеровским процессом). Один из способов решения этого уравнения — ввести тестовую функцию и вычислить ее среднее значение. Среднее значение должно быть независимым от времени для конечных , что приводит к ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \eta (t)}$ ${\displaystyle \left\langle \eta (t)\eta (t')\right\rangle =2k_{\text{B}}T\lambda \delta (t-t')}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x(t))}$ ${\displaystyle x(t)}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left\langle f(x(t))\right\rangle =0,}$$

Лемма Ито для процесса дрейфа-диффузии Ито гласит, что дифференциал дважды дифференцируемой функции f ( t , x ) определяется выражением ${\displaystyle dX_{t}=\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dB_{t}}$

$${\displaystyle df=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\mu _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\sigma _{t}^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+\sigma _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dB_{t}.}$$

Применяя это к расчету дает ${\displaystyle \langle f(x(t))\rangle }$

$${\displaystyle \left\langle -f'(x){\frac {\partial V}{\partial x}}+k_{\text{B}}Tf''(x)\right\rangle =0.}$$

Это среднее значение можно записать с помощью функции плотности вероятности ; ${\displaystyle p(x)}$

$${\displaystyle \int \left(-f'(x){\frac {\partial V}{\partial x}}p(x)+{k_{\text{B}}T}f''(x)p(x)\right)dx=\int \left(-f'(x){\frac {\partial V}{\partial x}}p(x)-{k_{\text{B}}T}f'(x)p'(x)\right)dx=0,}$$

${\displaystyle f}$

$${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial x}}p(x)+{k_{\text{B}}T}p'(x)=0,}$$

$${\displaystyle p(x)\propto \exp \left({-{\frac {V(x)}{k_{\text{B}}T}}}\right).}$$

Турбулентная кинетическая энергия в приземном слое атмосферы

Исследуется функция плотности вероятности p(k) турбулентной кинетической энергии k для диабатических течений в приземном слое атмосферы (ППС). ^[11] В последней ссылке авторы показывают, что когда компоненты скорости близки к гауссовым, а их квадраты амплитуд почти независимы, результирующий p(k) оказывается γ-распределенным. поэтому нелинейное уравнение Ланжевена, которое сохраняет γ-распределенное значение p(k), но допускает линейную релаксацию k до его среднего состояния, предложено и протестировано с использованием нескольких наборов данных ASL.

Эквивалентные методы

В некоторых ситуациях в первую очередь интересует усредненное по шуму поведение уравнения Ланжевена, а не решение для конкретных реализаций шума. В этом разделе описываются методы получения этого усредненного поведения, которые отличаются от стохастического исчисления, присущего уравнению Ланжевена, но также эквивалентны ему.

Уравнение Фоккера – Планка

Уравнение Фоккера-Планка — это детерминированное уравнение для зависящей от времени плотности вероятности стохастических переменных . Уравнение Фоккера-Планка, соответствующее общему уравнению Ланжевена, описанному в этой статье, имеет следующий вид: ^[12] ${\displaystyle P\left(A,t\right)}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle {\frac {\partial P\left(A,t\right)}{\partial t}}=\sum _{i,j}{\frac {\partial }{\partial A_{i}}}\left(-k_{\text{B}}T\left[A_{i},A_{j}\right]{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial A_{j}}}+\lambda _{i,j}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial A_{j}}}+\lambda _{i,j}{\frac {\partial }{\partial A_{j}}}\right)P\left(A,t\right).}$$

${\displaystyle P(A)=p_{0}(A)={\text{const}}\times \exp(-{\mathcal {H}})}$

Уравнение Клейна – Крамерса

Уравнение Фоккера-Планка для недодемпфированной броуновской частицы называется уравнением Клейна-Крамерса . ^{[13] [14]} Если уравнения Ланжевена записать в виде

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {r} }}&={\frac {\mathbf {p} }{m}}\\{\dot {\mathbf {p} }}&=-\xi \,\mathbf {p} -\nabla V(\mathbf {r} )+{\sqrt {2m\xi k_{\mathrm {B} }T}}{\boldsymbol {\eta }}(t),\qquad \langle {\boldsymbol {\eta }}^{\mathrm {T} }(t){\boldsymbol {\eta }}(t')\rangle =\mathbf {I} \delta (t-t')\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \mathbf {p} }$

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{m}}\mathbf {p} \cdot \nabla _{\mathbf {r} }f=\xi \nabla _{\mathbf {p} }\cdot \left(\mathbf {p} \,f\right)+\nabla _{\mathbf {p} }\cdot \left(\nabla V(\mathbf {r} )\,f\right)+m\xi k_{\mathrm {B} }T\,\nabla _{\mathbf {p} }^{2}f}$$

оператор градиентаrpлапласианp ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {r} }}$ ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {p} }}$ ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {p} }^{2}}$

В -мерном свободном пространстве, соответствующем on , это уравнение можно решить с помощью преобразований Фурье . Если частица инициализируется с положением и импульсом , соответствующими начальному условию , то решение будет ^{[14] [15]} ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle V(\mathbf {r} )={\text{constant}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle \mathbf {p} '}$ ${\displaystyle f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,0)=\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p} ')}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)={\frac {1}{\left(2\pi \sigma _{X}\sigma _{P}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}\right)^{d}}}\exp \left[-{\frac {1}{2(1-\beta ^{2})}}\left({\frac {|\mathbf {r} -{\boldsymbol {\mu }}_{X}|^{2}}{\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {|\mathbf {p} -{\boldsymbol {\mu }}_{P}|^{2}}{\sigma _{P}^{2}}}-{\frac {2\beta (\mathbf {r} -{\boldsymbol {\mu }}_{X})\cdot (\mathbf {p} -{\boldsymbol {\mu }}_{P})}{\sigma _{X}\sigma _{P}}}\right)\right]\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\sigma _{X}^{2}={\frac {k_{\mathrm {B} }T}{m\xi ^{2}}}\left[1+2\xi t-\left(2-e^{-\xi t}\right)^{2}\right];\qquad \sigma _{P}^{2}=mk_{\mathrm {B} }T\left(1-e^{-2\xi t}\right)\\&\beta ={\frac {k_{\text{B}}T}{\xi \sigma _{X}\sigma _{P}}}\left(1-e^{-\xi t}\right)^{2}\\&{\boldsymbol {\mu }}_{X}=\mathbf {r} '+(m\xi )^{-1}\left(1-e^{-\xi t}\right)\mathbf {p} ';\qquad {\boldsymbol {\mu }}_{P}=\mathbf {p} 'e^{-\xi t}.\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \langle \mathbf {r} (t)^{2}\rangle =\int f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)\mathbf {r} ^{2}\,d\mathbf {r} d\mathbf {p} ={\boldsymbol {\mu }}_{X}^{2}+3\sigma _{X}^{2}}$$

Интеграл по траектории

Интеграл по траектории, эквивалентный уравнению Ланжевена, можно получить из соответствующего уравнения Фоккера-Планка или схематически преобразуя гауссово распределение вероятностей флуктуирующей силы в распределение вероятностей медленных переменных . Функциональный определитель и связанные с ним математические тонкости отпадают, если уравнение Ланжевена дискретизируется естественным (каузальным) способом, где зависит от , но не от . Оказывается, удобно ввести вспомогательные переменные отклика . Тогда интеграл по путям, эквивалентный общему уравнению Ланжевена, имеет вид ^[16] ${\displaystyle P^{(\eta )}(\eta )\mathrm {d} \eta }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle P(A)\mathrm {d} A=P^{(\eta )}(\eta (A))\det(\mathrm {d} \eta /\mathrm {d} A)\mathrm {d} A}$ ${\displaystyle A(t+\Delta t)-A(t)}$ ${\displaystyle A(t)}$ ${\displaystyle A(t+\Delta t)}$ ${\displaystyle {\tilde {A}}}$

$${\displaystyle \int P(A,{\tilde {A}})\,\mathrm {d} A\,\mathrm {d} {\tilde {A}}=N\int \exp \left(L(A,{\tilde {A}})\right)\mathrm {d} A\,\mathrm {d} {\tilde {A}},}$$

${\displaystyle N}$

$${\displaystyle L(A,{\tilde {A}})=\int \sum _{i,j}\left\{{\tilde {A}}_{i}\lambda _{i,j}{\tilde {A}}_{j}-{\widetilde {A}}_{i}\left\{\delta _{i,j}{\frac {\mathrm {d} A_{j}}{\mathrm {d} t}}-k_{\text{B}}T\left[A_{i},A_{j}\right]{\frac {\mathrm {d} {\mathcal {H}}}{\mathrm {d} A_{j}}}+\lambda _{i,j}{\frac {\mathrm {d} {\mathcal {H}}}{\mathrm {d} A_{j}}}-{\frac {\mathrm {d} \lambda _{i,j}}{\mathrm {d} A_{j}}}\right\}\right\}\mathrm {d} t.}$$

квантовой теории поля

Смотрите также

• Теория Грота – Хайнса
• Динамика Ланжевена
• Стохастическая термодинамика

Рекомендации

1. Ланжевен, П. (1908). «Sur la theorie du mouvement Brownien [К теории броуновского движения]». ЧР акад. наук. Париж . 146 : 530–533.
2. Лимонс, Дон С.; Гитиэль, Энтони (1997). «Статья Поля Ланжевена 1908 года «О теории броуновского движения» [«Sur la théorie du mouvement Brownien», CR Acad. Sci. (Париж) 146, 530–533 (1908)]». Американский журнал физики . 65 (11). Американская ассоциация учителей физики (AAPT): 1079–1081. Бибкод : 1997AmJPh..65.1079L. дои : 10.1119/1.18725. ISSN  0002-9505.
3. ван Кампен, НГ (1981). «Ито против Стратоновича». Журнал статистической физики . 24 (1). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 175–187. Бибкод : 1981JSP....24..175В. дои : 10.1007/bf01007642. ISSN  0022-4715. S2CID  122277474.
4. Случайные процессы в физике и химии . Эльзевир. 2007. doi :10.1016/b978-0-444-52965-7.x5000-4. ISBN 978-0-444-52965-7.
5. Кавасаки, К. (1973). «Простые выводы обобщенных линейных и нелинейных уравнений Ланжевена». Дж. Физ. А: Математика. Нукл. Ген . 6 (9): 1289–1295. Бибкод : 1973JPhA....6.1289K. дои : 10.1088/0305-4470/6/9/004.
6. Денглер, Р. (2015). «Еще один вывод обобщенных уравнений Ланжевена». arXiv : 1506.02650v2 [physical.class-ph].
7. Хоэнберг, ПК; Гальперин, Б.И. (1977). «Теория динамических критических явлений». Обзоры современной физики . 49 (3): 435–479. Бибкод : 1977RvMP...49..435H. doi : 10.1103/RevModPhys.49.435. S2CID  122636335.
8. Цванциг, Р. (1961). «Эффекты памяти в необратимой термодинамике». Физ. Откр. 124 (4): 983–992. Бибкод : 1961PhRv..124..983Z. doi : 10.1103/PhysRev.124.983.
9. Джонсон, Дж. (1928). «Тепловое перемешивание электричества в проводниках». Физ. Преподобный . 32 (1): 97. Бибкод : 1928PhRv...32...97J. дои : 10.1103/PhysRev.32.97.
10. Патрия РК (1972). Статистическая механика . Оксфорд: Пергамон Пресс. стр. 443, 474–477. ISBN 0-08-018994-6.
11. Аллуш, Мохаммед; Катул, Габриэль Г.; Фуэнтес, Хосе Д.; Бу-Зейд, Эли (1 июля 2021 г.). «Вероятностный закон турбулентной кинетической энергии в приземном слое атмосферы». Физический обзор жидкостей . 6 (7): 074601. doi :10.1103/PhysRevFluids.6.074601. S2CID  237743132.
12. Ичимару, С. (1973), Основные принципы физики плазмы (1-е изд.), США: Бенджамин, стр. 231, ISBN 0805387536
13. Крамерс, HA (1940). «Броуновское движение в силовом поле и диффузионная модель химических реакций». Физика . 7 (4). Эльзевир Б.В.: 284–304. Бибкод : 1940Phy.....7..284K. дои : 10.1016/s0031-8914(40)90098-2. ISSN  0031-8914. S2CID  33337019.
14. Рискен, Х. (1989). Уравнение Фоккера–Планка: метод решения и приложения . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0387504988.
15. Чандрасекхар, С. (1943). «Стохастические проблемы физики и астрономии». Обзоры современной физики . 15 (1): 1–89. Бибкод : 1943РвМП...15....1С. doi : 10.1103/RevModPhys.15.1. ISSN  0034-6861.
16. Янссен, Гонконг (1976). «Лагранжиан для классической динамики поля и ренормгрупповые расчеты динамических критических свойств». З. Физ. Б.​ 23 (4): 377–380. Бибкод : 1976ZPhyB..23..377J. дои : 10.1007/BF01316547. S2CID  121216943.

дальнейшее чтение

• У. Т. Коффи ( Тринити-колледж, Дублин , Ирландия) и Ю. П. Калмыков ( Университет Перпиньяна , Франция ), Уравнение Ланжевена: с применением к стохастическим задачам физики, химии и электротехники (третье издание), Всемирная научная серия по современной химической физике - Том 27.
• Рейф, Ф. Основы статистической и теплофизики , McGraw Hill, Нью-Йорк, 1965. См. раздел 15.5. Уравнение Ланжевена.
• Р. Фридрих, Й. Пейнке и Ч. Реннер. Как количественно оценить детерминированные и случайные влияния на статистику валютного рынка , Физ. Преподобный Летт. 84, 5224 - 5227 (2000)
• LCG Роджерс и Д. Уильямс. Диффузии, марковские процессы и мартингалы , Кембриджская математическая библиотека, издательство Кембриджского университета, Кембридж, переиздание 2-го (1994 г.) издания, 2000 г.