stringtranslate.com

Почти все

В математике термин « почти все » означает «все, кроме незначительного количества». Точнее, если это множество , «почти все элементы » означают «все элементы, кроме тех, которые входят в незначительное подмножество » . Значение слова «незначительный» зависит от математического контекста; например, оно может означать «конечный» , «счетный » или «ноль» .

Напротив, « почти нет » означает «незначительное количество»; то есть «почти нет элементов » означает «незначительное количество элементов ».

Значения в разных областях математики

Преобладающее значение

В математике слово «почти все» иногда используется для обозначения «всех (элементов бесконечного множества ), за исключением конечного числа». [1] [2] Такое использование встречается и в философии. [3] Точно так же «почти все» может означать «все (элементы несчетного множества ), кроме счетного числа». [сек 1]

Примеры:

Значение в теории меры

Функция Кантора как функция, имеющая почти всюду нулевую производную.

Говоря о вещественных числах , иногда «почти все» может означать «все вещественные числа, кроме нулевого множества ». [6] [7] [сек 2] Аналогично, если S — некоторый набор действительных чисел, «почти все числа в S » могут означать «все числа в S , за исключением тех, которые входят в нулевой набор». [8] Реальную линию можно рассматривать как одномерное евклидово пространство . В более общем случае n -мерного пространства (где n — положительное целое число) эти определения можно обобщить на «все точки, кроме тех, которые находятся в нулевом множестве» [раздел 3] или «все точки в S , кроме тех, которые в нулевом множестве» (на этот раз S — множество точек в пространстве). [9] Даже в более общем смысле слово «почти все» иногда используется в смысле « почти везде » в теории меры , [10] [11] [раздел 4] или в тесно связанном смысле « почти наверняка » в теории вероятностей. . [11] [сек 5]

Примеры:

Значение в теории чисел

В теории чисел «почти все положительные целые числа» могут означать «натуральные целые числа в наборе, естественная плотность которых равна 1». То есть, если A — набор положительных целых чисел, и если доля положительных целых чисел в A ниже n (из всех положительных целых чисел ниже n ) стремится к 1, когда n стремится к бесконечности, то почти все положительные целые числа находятся в A. [16] [17] [сек 7]

В более общем смысле, пусть S будет бесконечным набором положительных целых чисел, таким как набор четных положительных чисел или набор простых чисел , если A является подмножеством S и если доля элементов S ниже n , которые находятся в A ( из всех элементов S ниже n ) стремится к 1, когда n стремится к бесконечности, то можно сказать, что почти все элементы S находятся в A.

Примеры:

Значение в теории графов

В теории графов , если A представляет собой набор (конечных помеченных ) графов , можно сказать, что он содержит почти все графы, если доля графов с n вершинами, находящихся в A , стремится к 1, поскольку n стремится к бесконечности. [19] Однако иногда проще работать с вероятностями, [20] поэтому определение переформулируется следующим образом. Доля графов с n вершинами, находящихся в A , равна вероятности того, что случайный граф с n вершинами (выбранный с равномерным распределением ) находится в A , и выбор графа таким образом имеет тот же результат, что и создание графа путем переворачивания графа. монета за каждую пару вершин, чтобы решить, соединять ли их. [21] Следовательно, что эквивалентно предыдущему определению, множество A содержит почти все графы, если вероятность того, что граф, созданный подбрасыванием монеты с n вершинами, находится в A , стремится к 1, поскольку n стремится к бесконечности. [20] [22] Иногда последнее определение модифицируется так, что граф выбирается случайным образом каким-либо другим способом , при этом не все графы с n вершинами имеют одинаковую вероятность, [21] и эти измененные определения не всегда эквивалентны главный.

Использование термина «почти все» в теории графов не является стандартным; Для этой концепции чаще используется термин « асимптотически почти наверняка ». [20]

Пример:

Значение в топологии

В топологии [24] и особенно в теории динамических систем [25] [26] [27] (включая приложения в экономике) [28] «почти все» точки топологического пространства могут означать «все точки пространства, за исключением те, что в скудном наборе ». Некоторые используют более ограниченное определение, согласно которому подмножество содержит почти все точки пространства, только если оно содержит некоторое открытое плотное множество . [26] [29] [30]

Пример:

Значение в алгебре

В абстрактной алгебре и математической логике , если U является ультрафильтром на множестве X, «почти все элементы X » иногда означают «элементы некоторого элемента U ». [31] [32] [ 33] [34] Для любого разделения X на два непересекающихся множества одно из них обязательно будет содержать почти все элементы X. Можно думать об элементах фильтра на X как о содержащих почти все элементы X , даже если это не ультрафильтр. [34]

Доказательства

  1. ^ Теорема о простых числах показывает, что количество простых чисел, меньших или равных n , асимптотически равно n /ln( n ). Следовательно, доля простых чисел примерно равна ln( n )/ n , которая стремится к 0, когда n стремится к бесконечности , поэтому доля составных чисел, меньших или равных n , стремится к 1, когда n стремится к бесконечности. [17]

Смотрите также

Рекомендации

Основные источники

  1. ^ Каэн, Поль-Жан; Шабер, Жан-Люк (3 декабря 1996 г.). Целочисленные полиномы . Математические обзоры и монографии . Том. 48. Американское математическое общество . п. XIX. ISBN 978-0-8218-0388-2. ISSN  0076-5376.
  2. ^ Каэн, Поль-Жан; Шабер, Жан-Люк (7 декабря 2010 г.) [Впервые опубликовано в 2000 г.]. «Глава 4: Что нового в целочисленных полиномах в подмножестве?». В Хазевинкеле, Михил (ред.). Ненётерова коммутативная теория колец . Математика и ее приложения. Том. 520. Спрингер . п. 85. дои : 10.1007/978-1-4757-3180-4. ISBN 978-1-4419-4835-9.
  3. ↑ Гарденфорс, Питер (22 августа 2005 г.). Динамика мысли . Синтезирующая библиотека. Том. 300. Спрингер . стр. 190–191. ISBN 978-1-4020-3398-8.
  4. ^ аб Курант, Ричард ; Роббинс, Герберт ; Стюарт, Ян (18 июля 1996 г.). Что такое математика? Элементарный подход к идеям и методам (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-510519-3.
  5. ^ Мовшовиц-хадар, Ница; Шрики, Атара (08 октября 2018 г.). Логика в стране чудес: введение в логику через чтение «Приключений Алисы в стране чудес» — пособие для учителя. Всемирная научная. п. 38. ISBN 978-981-320-864-3. Это также можно выразить в утверждении: «Почти все простые числа нечетные».
  6. ^ Аб Кореваар, Джейкоб (1 января 1968 г.). Математические методы: Линейная алгебра / Нормированные пространства / Распределения / Интегрирование . Том. 1. Нью-Йорк: Академик Пресс . стр. 359–360. ISBN 978-1-4832-2813-6.
  7. ^ Натансон, Исидор П. (июнь 1961 г.). Теория функций действительного переменного . Том. 1. Перевод Борона Лео Ф. (переработанная ред.). Нью-Йорк: Издательство Фредерика Унгара . п. 90. ИСБН 978-0-8044-7020-9.
  8. ↑ Сохраб, Хоушанг Х. (15 ноября 2014 г.). Базовый реальный анализ (2-е изд.). Биркхойзер . п. 307. дои : 10.1007/978-1-4939-1841-6. ISBN 978-1-4939-1841-6.
  9. ^ Хельмберг, Гилберт (декабрь 1969 г.). Введение в спектральную теорию в гильбертовом пространстве . Серия Северной Голландии по прикладной математике и механике. Том. 6 (1-е изд.). Амстердам: Издательская компания Северной Голландии . п. 320. ИСБН 978-0-7204-2356-3.
  10. ↑ Веструп, Эрик М. (18 сентября 2003 г.). Теория меры и интегрирование . Ряд Уайли по вероятности и статистике. США: Wiley-Interscience . п. 182. ИСБН 978-0-471-24977-1.
  11. ^ аб Биллингсли, Патрик (1 мая 1995 г.). Вероятность и мера (PDF) . Серия Уайли по вероятности и статистике (3-е изд.). США: Wiley-Interscience . п. 60. ИСБН 978-0-471-00710-4. Архивировано из оригинала (PDF) 23 мая 2018 года.
  12. ^ Нивен, Иван (1 июня 1956 г.). Иррациональные числа . Карус Математические монографии . Том. 11. Рэуэй: Математическая ассоциация Америки . стр. 2–5. ISBN 978-0-88385-011-4.
  13. ^ Бейкер, Алан (1984). Краткое введение в теорию чисел. Издательство Кембриджского университета . п. 53. ИСБН 978-0-521-24383-4.
  14. ^ Гранвилл, Эндрю ; Рудник, Зеев (7 января 2007 г.). Равнораспределение в теории чисел. Введение . Наука НАТО, серия II. Том. 237. Спрингер . п. 11. ISBN 978-1-4020-5404-4.
  15. ↑ Берк, Фрэнк (3 ноября 1997 г.). Мера Лебега и интегрирование: Введение . Серия текстов, монографий и трактатов Wiley-Interscience. США: Wiley-Interscience . п. 260. ИСБН 978-0-471-17978-8.
  16. ^ Харди, GH (1940). Рамануджан: Двенадцать лекций на темы, предложенные его жизнью и творчеством. Издательство Кембриджского университета . п. 50.
  17. ^ аб Харди, GH ; Райт, Э.М. (декабрь 1960 г.). Введение в теорию чисел (4-е изд.). Издательство Оксфордского университета . стр. 8–9. ISBN 978-0-19-853310-8.
  18. ^ Прачар, Карл (1957). Primzahlverteiung . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (на немецком языке). Том. 91. Берлин: Шпрингер . п. 164.Цитируется в Гроссвальде, Эмиль (1 января 1984 г.). Темы из теории чисел (2-е изд.). Бостон: Биркхойзер . п. 30. ISBN 978-0-8176-3044-7.
  19. ↑ Аб Бабай, Ласло (25 декабря 1995 г.). «Группы автоморфизмов, изоморфизм, реконструкция». В Грэме, Рональде ; Гретшель, Мартин ; Ловас, Ласло (ред.). Справочник по комбинаторике . Том. 2. Нидерланды: Издательство Северной Голландии . п. 1462. ИСБН 978-0-444-82351-9.
  20. ^ abc Спенсер, Джоэл (9 августа 2001 г.). Странная логика случайных графов . Алгоритмы и комбинаторика. Том. 22. Спрингер . стр. 3–4. ISBN 978-3-540-41654-8.
  21. ^ аб Боллобас, Бела (8 октября 2001 г.). Случайные графики . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 73 (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . стр. 34–36. ISBN 978-0-521-79722-1.
  22. ^ Гредель, Эрик; Колайтис, Фокион Г.; Либкин Леонид ; Маркс, Мартен; Спенсер, Джоэл ; Варди, Моше Ю .; Венема, Иде; Вайнштейн, Скотт (11 июня 2007 г.). Теория конечных моделей и ее приложения . Тексты по теоретической информатике ( серия EATCS ). Спрингер . п. 298. ИСБН 978-3-540-00428-8.
  23. ^ Бакли, Фред; Харари, Фрэнк (21 января 1990 г.). Расстояние в графиках . Аддисон-Уэсли . п. 109. ИСБН 978-0-201-09591-3.
  24. ^ Окстоби, Джон К. (1980). Мера и категория . Тексты для аспирантов по математике . Том. 2 (2-е изд.). США: Спрингер . стр. 59, 68. ISBN. 978-0-387-90508-2.Хотя Окстоби не дает здесь явного определения этого термина, Бабай заимствовал его из « Меры и категорий» в своей главе «Группы автоморфизмов, изоморфизм, реконструкция» Грэма, Гретшеля и «Справочника по комбинаторике » Ловаса (том 2), а также Броера и Такенса . обратите внимание в своей книге «Динамические системы и хаос» , что «Мера и категория » сравнивают это значение слова «почти все» с теоретико-мерным значением в реальной линии (хотя в книге Окстоби также обсуждаются скудные множества в общих топологических пространствах).
  25. ^ Баратшар, Лоран (1987). «Недавние и новые результаты в рациональном L 2- приближении». В «Занавесе», Рут Ф. (ред.). Моделирование, снижение робастности и чувствительности в системах управления . НАТО ASI Series F. Vol. 34. Спрингер . п. 123. дои : 10.1007/978-3-642-87516-8. ISBN 978-3-642-87516-8.
  26. ^ Аб Броер, Хенк; Такенс, Флорис (28 октября 2010 г.). Динамические системы и хаос . Прикладные математические науки. Том. 172. Спрингер . п. 245. дои : 10.1007/978-1-4419-6870-8. ISBN 978-1-4419-6870-8.
  27. ^ Шарковский, АН; Коляда, Сан-Франциско; Сивак, АГ; Федоренко В.В. (30 апреля 1997 г.). Динамика одномерных карт . Математика и ее приложения. Том. 407. Спрингер . п. 33. дои : 10.1007/978-94-015-8897-3. ISBN 978-94-015-8897-3.
  28. ↑ Юань, Джордж Сянь-Чжи (9 февраля 1999 г.). Теория ККМ и ее приложения в нелинейном анализе . Чистая и прикладная математика; Серия монографий и учебников. Марсель Деккер . п. 21. ISBN 978-0-8247-0031-7.
  29. ^ Альбертини, Франческа; Зонтаг, Эдуардо Д. (1 сентября 1991 г.). «Транзитивность и прямая доступность нелинейных систем с дискретным временем». В Боннаре, Бернар; Невеста, Бернар; Готье, Жан-Поль; Купка, Иван (ред.). Анализ управляемых динамических систем . Прогресс в теории систем и управления. Том. 8. Биркхойзер . п. 29. дои : 10.1007/978-1-4612-3214-8. ISBN 978-1-4612-3214-8.
  30. ↑ Де ла Фуэнте, Анхель (28 января 2000 г.). Математические модели и методы для экономистов . Издательство Кембриджского университета . п. 217. ИСБН 978-0-521-58529-3.
  31. ^ Комьят, Питер ; Тотик, Вилмос (2 мая 2006 г.). Проблемы и теоремы классической теории множеств . Задачи по математике. США: Спрингер . п. 75. ИСБН 978-0387-30293-5.
  32. ^ Зальцманн, Гельмут; Грундхёфер, Тео; Хель, Герман; Лёвен, Райнер (24 сентября 2007 г.). Классические поля: структурные особенности действительных и рациональных чисел. Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 112. Издательство Кембриджского университета . п. 155. ИСБН 978-0-521-86516-6.
  33. ↑ Схоутенс, Ганс (2 августа 2010 г.). Использование ультрапроизведений в коммутативной алгебре . Конспект лекций по математике . Том. 1999. Спрингер . п. 8. дои : 10.1007/978-3-642-13368-8. ISBN 978-3-642-13367-1.
  34. ^ Аб Раутенберг, Вольфганг (17 декабря 2009 г.). Краткое изложение математической логики . Университетский текст (3-е изд.). Спрингер . стр. 210–212. дои : 10.1007/978-1-4419-1221-3. ISBN 978-1-4419-1221-3.

Вторичные источники

  1. ^ Шварцман, Стивен (1 мая 1994 г.). Слова математики: этимологический словарь математических терминов, используемых на английском языке . Серия Спектр. Математическая ассоциация Америки . п. 22. ISBN 978-0-88385-511-9.
  2. ^ Клэпхэм, Кристофер; Николсон, Джеймс (7 июня 2009 г.). Краткий Оксфордский математический словарь . Оксфордские справочники в мягкой обложке (4-е изд.). Издательство Оксфордского университета . п. 38. ISBN 978-0-19-923594-0.
  3. ↑ Джеймс, Роберт С. (31 июля 1992 г.). Математический словарь (5-е изд.). Чепмен и Холл . п. 269. ИСБН 978-0-412-99031-1.
  4. ↑ Битюцков, Вадим И. (30 ноября 1987 г.). "Почти везде". В Хазевинкеле, Михил (ред.). Энциклопедия математики . Том. 1. Академическое издательство Клювер . п. 153. дои : 10.1007/978-94-015-1239-8. ISBN 978-94-015-1239-8.
  5. ^ Ито, Кийоси , изд. (4 июня 1993 г.). Энциклопедический словарь математики . Том. 2 (2-е изд.). Кингспорт: MIT Press . п. 1267. ИСБН 978-0-262-09026-1.
  6. ^ «Почти все действительные числа трансцендентны — ProofWiki» . prowiki.org . Проверено 11 ноября 2019 г.
  7. ^ аб Вайсштейн, Эрик В. «Почти все». Математический мир .См. также Вайсштейн, Эрик В. (25 ноября 1988 г.). CRC Краткая математическая энциклопедия (1-е изд.). ЦРК Пресс . п. 41. ИСБН 978-0-8493-9640-3.
  8. ^ Ито, Кийоси , изд. (4 июня 1993 г.). Энциклопедический словарь математики. Том. 1 (2-е изд.). Кингспорт: MIT Press . п. 67. ИСБН 978-0-262-09026-1.