Плотный набор

Подмножество, замыканием которого является все пространство

В топологии и смежных областях математики подмножество A топологического пространства X называется плотным в X , если каждая точка X либо принадлежит A , либо сколь угодно « близка» к члену A - например, рациональное Числа представляют собой плотное подмножество действительных чисел , поскольку каждое действительное число либо является рациональным числом, либо имеет сколь угодно близкое к нему рациональное число (см. Диофантово приближение ). Формально, является плотным, если наименьшее замкнутое подмножество содержащего есть оно само. ^[1] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$

The Плотность топологического пространства— это наименьшаямощностьплотного подмножества ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Определение

Подмножеством топологического пространства называется ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$плотное подмножество , ${\displaystyle X}$если выполнено любое из следующих эквивалентных условий:

1. Наименьшее закрытое подмножество содержащего — это оно само. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$
2. Замыкание in равно То есть , ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A=X.}$
3. Внутри комплект пуст . _ _ То есть, ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}(X\setminus A)=\varnothing .}$
4. Каждая точка либо принадлежит , либо является предельной точкой ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$
5. Для каждой окрестности пересечений , т.е. ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A;}$ ${\displaystyle U\cap A\neq \varnothing .}$
6. ${\displaystyle A}$пересекает каждое непустое открытое подмножество ${\displaystyle X.}$

и если это основа открытых множеств для топологии, то этот список можно расширить, включив в него: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$

7. Для каждой базовой окрестности пересечений _ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A.}$
8. ${\displaystyle A}$пересекает все непустые ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}.}$

Плотность в метрических пространствах

Альтернативное определение плотного множества в случае метрических пространств состоит в следующем. Когда топология задана метрикой , замыкание in представляет собой объединение и множество всех пределов последовательностей элементов в (его предельных точек ) , ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {A}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle {\overline {A}}=A\cup \left\{\lim _{n\to \infty }a_{n}:a_{n}\in A{\text{ for all }}n\in \mathbb {N} \right\}}$$

Тогда плотно в if ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle {\overline {A}}=X.}$$

Если — последовательность плотных открытых множеств в полном метрическом пространстве, то она также плотна в. Этот факт является одной из эквивалентных форм теоремы Бэра о категориях . ${\displaystyle \left\{U_{n}\right\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\textstyle \bigcap _{n=1}^{\infty }U_{n}}$ ${\displaystyle X.}$

Примеры

Действительные числа с обычной топологией имеют рациональные числа как счетное плотное подмножество, что показывает, что мощность плотного подмножества топологического пространства может быть строго меньше мощности самого пространства. Иррациональные числа — это еще одно плотное подмножество, которое показывает, что топологическое пространство может иметь несколько непересекающихся плотных подмножеств (в частности, два плотных подмножества могут дополнять друг друга), и они даже не обязательно должны иметь одинаковую мощность. Возможно, еще более удивительно то, что и рациональные, и иррациональные числа имеют пустую внутреннюю часть, показывая, что плотные множества не обязательно должны содержать непустое открытое множество. Пересечение двух плотных открытых подмножеств топологического пространства снова является плотным и открытым. ^{[доказательство 1]} Пустое множество является плотным подмножеством самого себя. Но каждое плотное подмножество непустого пространства также должно быть непустым.

По аппроксимационной теореме Вейерштрасса любая данная комплекснозначная непрерывная функция , определенная на замкнутом интервале, может быть сколь угодно близко равномерно аппроксимирована полиномиальной функцией . Другими словами, полиномиальные функции плотны в пространстве непрерывных комплекснозначных функций на отрезке, снабженном супремум нормой . ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle C[a,b]}$ ${\displaystyle [a,b],}$

Каждое метрическое пространство плотно в своем пополнении .

Характеристики

Каждое топологическое пространство является плотным подмножеством самого себя. Для множества , оснащенного дискретной топологией , все пространство является единственным плотным подмножеством. Каждое непустое подмножество множества, снабженное тривиальной топологией, плотно, и каждая топология, для которой каждое непустое подмножество плотно, должна быть тривиальной. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Плотность транзитивна : учитывая три подмножества топологического пространства с таким, что оно плотно в и плотно в (в соответствующей топологии подпространства ), то оно также плотно в ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq B\subseteq C\subseteq X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C.}$

Образ плотного подмножества под действием сюръективной непрерывной функции снова плотен. Плотность топологического пространства (наименьшая из мощностей его плотных подмножеств) является топологическим инвариантом .

Топологическое пространство со связным плотным подмножеством само по себе обязательно связно.

Непрерывные функции в хаусдорфовом пространстве определяются их значениями на плотных подмножествах: если две непрерывные функции в хаусдорфовом пространстве согласуются на плотном подмножестве, то они согласуются на всех ${\displaystyle f,g:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Для метрических пространств существуют универсальные пространства, в которые могут быть вложены все пространства заданной плотности : метрическое пространство плотности изометрично подпространству пространства вещественных непрерывных функций на произведении копий единичного отрезка . ^[2] ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle C\left([0,1]^{\alpha },\mathbb {R} \right),}$ ${\displaystyle \alpha }$

Связанные понятия

Точка подмножества топологического пространства называется предельной точкой ( в ), если каждая окрестность также содержит точку, отличную от самой себя, и изолированную точку в противном случае. Подмножество без изолированных точек называется плотным в себе . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$

Подмножество топологического пространства называется нигде не плотным (в ), если не существует окрестности, на которой оно было бы плотным. Эквивалентно, подмножество топологического пространства нигде не является плотным тогда и только тогда, когда внутренняя часть его замыкания пуста. Внутренность дополнения нигде не плотного множества всегда плотна. Дополнением к замкнутому нигде не плотному множеству является плотное открытое множество. В топологическом пространстве его подмножество , которое можно выразить как объединение счетного числа нигде не плотных подмножеств, называется скудным . Рациональные числа, хотя и плотны в действительных числах, являются скудным как подмножество действительных чисел. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Топологическое пространство со счетным плотным подмножеством называется сепарабельным . Топологическое пространство является пространством Бэра тогда и только тогда, когда пересечение счетного числа плотных открытых множеств всегда плотно. Топологическое пространство называется разрешимым , если оно представляет собой объединение двух непересекающихся плотных подмножеств. В более общем смысле топологическое пространство называется κ-разрешимым для кардинала κ, если оно содержит κ попарно непересекающихся плотных множеств.

Вложение топологического пространства в плотное подмножество компакта называется компактификацией . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Линейный оператор между топологическими векторными пространствами называется плотно определенным , если его область определения является плотным подмножеством и если его диапазон содержится в пределах См. также Непрерывное линейное расширение . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Топологическое пространство гиперсвязно тогда и только тогда, когда каждое непустое открытое множество плотно в . Топологическое пространство субмаксимально тогда и только тогда, когда каждое плотное подмножество открыто. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Если — метрическое пространство, то непустое подмножество называется -плотным, если ${\displaystyle \left(X,d_{X}\right)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

$${\displaystyle \forall x\in X,\;\exists y\in Y{\text{ such that }}d_{X}(x,y)\leq \varepsilon .}$$

Тогда можно показать, что оно плотно тогда и только тогда, когда оно ε-плотно для любого ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \left(X,d_{X}\right)}$ ${\displaystyle \varepsilon >0.}$

Смотрите также

• Теорема Блюмберга  . Любая действительная функция на R допускает непрерывное ограничение на плотное подмножество R.
• Плотный порядок  - частичный порядок, при котором между каждыми двумя различными сопоставимыми элементами есть еще один элемент.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Плотный (теория решеток)

Рекомендации

1. Стин, Лос-Анджелес; Зеебах, Дж. А. (1995), Контрпримеры в топологии , Дувр, ISBN 0-486-68735-Х
2. Кляйбер, Мартин; Первин, Уильям Дж. (1969). «Обобщенная теорема Банаха-Мазура». Бык. Австрал. Математика. Соц . 1 (2): 169–173. дои : 10.1017/S0004972700041411 .

доказательства

1. Предположим, что и являются плотным открытым подмножеством топологического пространства. Если тогда вывод о том, что открытое множество плотно , является немедленным, поэтому предположим иначе. Let — непустое открытое подмножество, поэтому осталось показать, что оно также не пусто. Поскольку плотно и является непустым открытым подмножеством, их пересечение не пусто. Аналогично, поскольку это непустое открытое подмножество и плотно в местах пересечения, оно не пусто. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X=\varnothing }$ ${\displaystyle A\cap B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle U\cap (A\cap B)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle U\cap A}$ ${\displaystyle U\cap A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle U\cap A\cap B}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Общие ссылки

• Николя Бурбаки (1989) [1971]. Общая топология, главы 1–4 . Элементы математики. Спрингер-Верлаг . ISBN 3-540-64241-2.
• Бурбаки, Николя (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Общая топология ]. Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. ОСЛК  18588129.
• Диксмье, Жак (1984). Общая топология . Тексты для бакалавриата по математике. Перевод Berberian, SK New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90972-1. ОСЛК  10277303.
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. ОСЛК  42683260.
• Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур младший (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( Дуврское переиздание издания 1978 года), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, МР  0507446
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология. Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. ОСЛК  115240.