Плотный порядок

В математике частичный или полный порядок < на множестве называется плотным, если для всех и для которого существует такое , что . То есть для любых двух элементов, один меньше другого, между ними находится другой элемент. Для общих заказов это можно упростить до «для любых двух различных элементов между ними есть еще один элемент», поскольку все элементы общего заказа сопоставимы . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x<z<y}$

Пример

Рациональные числа как линейно упорядоченный набор в этом смысле являются плотно упорядоченным набором, как и алгебраические числа , действительные числа , двоично-рациональные числа и десятичные дроби . Фактически, каждое архимедово упорядоченное кольцевое расширение целых чисел представляет собой плотно упорядоченное множество. ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$

Доказательство

Для элемента из-за архимедова свойства, если , существует наибольшее целое число с , а если , , и существует наибольшее целое число с . Как результат, . Для любых двух элементов с , и . Поэтому густой. ${\displaystyle x\in \mathbb {Z} [x]}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle n<x}$ ${\displaystyle n<x<n+1}$ ${\displaystyle x<0}$ ${\displaystyle -x>0}$ ${\displaystyle m=-n-1<-x}$ ${\displaystyle -n-1<-x<-n}$ ${\displaystyle 0<x-n<1}$ ${\displaystyle y,z\in \mathbb {Z} [x]}$ ${\displaystyle z<y}$ ${\displaystyle 0<(x-n)(y-z)<y-z}$ ${\displaystyle z<(x-n)(y-z)+z<y}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$

С другой стороны, линейный порядок целых чисел не является плотным.

Уникальность для всех плотных заказов без конечных точек

Георг Кантор доказал, что любые два непустых плотных вполне упорядоченных счетных множества без нижних или верхних границ порядково-изоморфны . ^[1] Это делает теорию плотных линейных порядков без границ примером ω- категориальной теории , где ω — наименьший предельный ординал . Например, существует изоморфизм порядка между рациональными числами и другими плотно упорядоченными счетными множествами, включая двоично-рациональные числа и алгебраические числа . Для доказательства этих результатов используется метод «туда-обратно» . ^[2]

Функция вопросительного знака Минковского может использоваться для определения изоморфизма порядка между квадратичными алгебраическими числами и рациональными числами , а также между рациональными и двоично-рациональными числами .

Обобщения

Любое бинарное отношение R называется плотным , если для всех R -связанных x и y существует z такой, что x и z , а также z и y являются R -связанными. Формально:

${\displaystyle \forall x\ \forall y\ xRy\Rightarrow (\exists z\ xRz\land zRy).}$Альтернативно, с точки зрения композиции R самого себя , плотное условие может быть выражено как R ⊆ R  ; Р . ^[3]

Достаточными условиями для того, чтобы бинарное отношение R на множестве X было плотным, являются:

• R – рефлексивный ;
• R является корефлексивным ;
• R — квазирефлексивный ;
• R — лево- или право -евклидово ; или
• R симметричен и полусвязен , а X имеет не менее 3 элементов.

Ни один из них не является необходимым . Например, существует отношение R, которое не является рефлексивным, но плотным. Непустое и плотное отношение не может быть антитранзитивным .

Строгий частичный порядок < является плотным порядком тогда и только тогда, когда < является плотным отношением. Плотное отношение, которое также является транзитивным , называется идемпотентным .

Смотрите также

• Плотное множество - подмножество топологического пространства, замыканием которого является все пространство.
• Плотное в себе - подмножество топологического пространства, не содержащее изолированной точки. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$
• Семантика Крипке - плотное отношение доступности соответствует аксиоме ${\displaystyle \Box \Box A\rightarrow \Box A}$

Рекомендации

1. Ройтман, Джудит (1990), «Теорема 27, стр. 123», Введение в современную теорию множеств, Чистая и прикладная математика, том. 8, Джон Уайли и сыновья, ISBN 9780471635192.
2. Дасгупта, Абхиджит (2013), Теория множеств: введение в наборы реальных точек, Springer-Verlag, стр. 161, ИСБН 9781461488545.
3. Гюнтер Шмидт (2011) Реляционная математика , страница 212, ISBN Cambridge University Press 978-0-521-76268-7 

дальнейшее чтение

• Дэвид Харел , Декстер Козен , Ежи Тюрин, Динамическая логика , MIT Press, 2000, ISBN 0-262-08289-6 , с. 6 и далее