Нигде не плотный набор

Математическое множество, замыкание которого имеет пустую внутреннюю часть.

В математике подмножество топологического пространства называется нигде не плотным ^{[1] [2]} или редким ^[3], если его замыкание имеет пустую внутреннюю часть . В очень широком смысле это набор, элементы которого нигде не сгруппированы плотно (как это определено топологией пространства ). Например, целые числа нигде не плотны среди действительных чисел , тогда как интервал (0, 1) нигде не плотен.

Счетное объединение нигде не плотных множеств называется скудным множеством . Тощие множества играют важную роль в формулировке теоремы Бэра о категориях , которая используется при доказательстве ряда фундаментальных результатов функционального анализа .

Определение

Плотность нигде не может быть охарактеризована разными (но эквивалентными) способами. Самое простое определение — определение плотности:

Подмножество топологического пространства называется плотным в другом множестве, если пересечение является плотным подмножеством , нигде не плотно или редко , если не плотно ни в одном непустом открытом подмножестве . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle S\cap U}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X.}$

Расширяя отрицание плотности, это эквивалентно требованию, чтобы каждое непустое открытое множество содержало непустое открытое подмножество, непересекающееся из ^[4]. Достаточно проверить любое условие на базе топологии на. В частности, плотность нигде в часто описывается как быть плотным ни в каком открытом интервале . ^{[5] [6]} ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Определение путем закрытия

Второе определение, приведенное выше, эквивалентно требованию, чтобы замыкание не могло содержать непустое открытое множество. ^[7] Это то же самое, что сказать, что внутренняя часть замыкания пуста ; то есть, ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S,}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}S\right)=\varnothing .}$^{[8] [9]}

Альтернативно, дополнение замыкания должно быть плотным подмножеством ^{[4] [8],} другими словами, внешняя часть замыкания плотна в ${\displaystyle X\setminus \left(\operatorname {cl} _{X}S\right)}$ ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$

Характеристики

Понятие нигде не плотного множества всегда относится к данному окружающему пространству. Предположим, где топология подпространства индуцирована из. Множество может быть нигде не плотным в, но не нигде плотным в. Примечательно, что множество всегда плотно в своей собственной топологии подпространства. Таким образом, если оно непусто, оно не будет нигде плотным как подмножество самого себя. Однако имеют место следующие результаты: ^{[10] [11]} ${\displaystyle A\subseteq Y\subseteq X,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle A}$

• Если нигде нет плотности, то нигде нет плотности. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$
• Если открыто в , то нигде не плотно в том и только в том случае, если нигде не плотно в ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$
• Если плотно в , то нигде не плотно в том и только в том случае, если нигде не плотно в ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$

Множество нигде не является плотным тогда и только тогда, когда его замыкание плотно. ^[1]

Каждое подмножество нигде неплотного множества является нигде не плотным, а конечное объединение нигде не плотных множеств нигде не плотно. ^{[12] [13]} Таким образом, нигде не плотные множества образуют идеал множеств , подходящее понятие пренебрежимо малого множества . В общем, они не образуют 𝜎-идеал , поскольку тощие множества , являющиеся счетными объединениями нигде не плотных множеств, не обязательно должны быть нигде плотными. Например, множество нигде не плотно в ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Граница всякого открытого множества и всякого замкнутого множества замкнута и нигде не плотна. ^{[14] [2]} Замкнутое множество нигде не плотно тогда и только тогда, когда оно равно своей границе, ^[14] тогда и только тогда, когда оно равно границе некоторого открытого множества ^[2] (например, открытое множество может рассматриваться как дополнение множества). Произвольное множество нигде не плотно тогда и только тогда, когда оно является подмножеством границы некоторого открытого множества (например, открытое множество можно рассматривать как внешнюю часть ) . ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle A}$

Примеры

• Множество и его замыкание нигде не являются плотными, поскольку замыкание имеет пустую внутреннюю часть. ${\displaystyle S=\{1/n:n=1,2,...\}}$ ${\displaystyle S\cup \{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$рассматриваемая как горизонтальная ось в евклидовой плоскости, нигде не плотна. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$
• ${\displaystyle \mathbb {Z} }$нигде не плотно, а рациональные числа нет (они плотны везде). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• ${\displaystyle \mathbb {Z} \cup [(a,b)\cap \mathbb {Q} ]}$нигде не плотен в : он плотен в открытом интервале и, в частности, внутри его замыкания ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (a,b),}$ ${\displaystyle (a,b).}$
• Пустое множество нигде не является плотным. В дискретном пространстве пустое множество — единственное нигде не плотное множество. ^[15]
• В пространстве T1 любое одноэлементное множество, не являющееся изолированной точкой, _нигде не является плотным.
• Векторное подпространство топологического векторного пространства либо плотно, либо нигде не плотно. ^[16]

Нигде не плотные множества с положительной мерой

Нигде не плотное множество не обязательно является пренебрежимо малым во всех смыслах. Например, если единичный интервал , возможно не только иметь плотное множество с нулевой мерой Лебега (например, множество рациональных чисел), но также возможно иметь нигде не плотное множество с положительной мерой. Одним из таких примеров является множество Смита–Вольтерры–Кантора . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [0,1],}$

В качестве другого примера (вариант набора Кантора ) удалите из всех двоичных дробей , т.е. дроби формы в наименьших терминах для положительных целых чисел и интервалов вокруг них: Поскольку для каждого из них удаляются интервалы, суммирующие максимум до нигде не плотного набора оставшийся после удаления всех таких интервалов имеет меру не менее (на самом деле чуть больше из-за перекрытий ^[17] ) и поэтому в некотором смысле представляет большую часть окружающего пространства. Это множество нигде не плотно, поскольку оно замкнуто и имеет пустая внутренняя часть: ни один интервал не содержится в наборе, поскольку двоичные дроби были удалены. ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle a/2^{n}}$ ${\displaystyle a,n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle \left(a/2^{n}-1/2^{2n+1},a/2^{n}+1/2^{2n+1}\right).}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1/2^{n+1},}$ ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle 0.535\ldots }$ ${\displaystyle [0,1].}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle (a,b)}$

Обобщая этот метод, можно построить в единичном интервале нигде не плотные множества любой меры меньше, чем хотя мера не может быть в точности 1 (потому что в противном случае дополнением к его замыканию было бы непустое открытое множество с нулевой мерой, что невозможно). ^[18] ${\displaystyle 1,}$

Другой более простой пример: если любое плотное открытое подмножество, имеющее конечную меру Лебега , то оно обязательно является замкнутым подмножеством, имеющим бесконечную меру Лебега, которое также нигде не плотно (поскольку его топологическая внутренность пуста). Такое плотное открытое подмножество конечной меры Лебега обычно строится при доказательстве того, что мера Лебега рациональных чисел равна Это можно сделать, выбрав любую биекцию (на самом деле достаточно, чтобы она была просто сюръекцией ) и для каждого разрешения (здесь Для упрощения описания интервалов использовалось обозначение суммы Минковского ). Открытое подмножество плотно , потому что это верно для его подмножества , а его мера Лебега не больше, чем Объединение закрытых, а не открытых интервалов, дает F 𝜎 -подмножество , которое удовлетворяет также нигде не плотно в Поскольку это пространство Бэра , множество представляет собой плотное подмножество (что означает, что, как и его подмножество, не может быть нигде плотным в ) с мерой Лебега, которая также является нетощим подмножеством ( то есть имеет вторую категория в ), что создает комическое подмножество , внутренняя часть которого в также пуста; однако оно нигде не является плотным тогда и только тогда, когда его замыкание имеет пустую внутреннюю часть. Подмножество в этом примере можно заменить любым счетным плотным подмножеством и, более того, даже множество можно заменить на для любого целого числа ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle r>0,}$ $${\displaystyle U_{r}~:=~\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\left(f(n)-r/2^{n},f(n)+r/2^{n}\right)~=~\bigcup _{n\in \mathbb {N} }f(n)+\left(-r/2^{n},r/2^{n}\right)}$$ ${\displaystyle f(n)+\left(-r/2^{n},r/2^{n}\right):=\left(f(n)-r/2^{n},f(n)+r/2^{n}\right)}$ ${\displaystyle U_{r}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }2r/2^{n}=2r.}$ $${\displaystyle S_{r}~:=~\bigcup _{n\in \mathbb {N} }f(n)+\left[-r/2^{n},r/2^{n}\right]}$$ ${\displaystyle S_{r/2}\subseteq U_{r}\subseteq S_{r}\subseteq U_{2r}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus S_{r}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus U_{r},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle D:=\bigcap _{m=1}^{\infty }U_{1/m}=\bigcap _{m=1}^{\infty }S_{1/m}}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n>0.}$

Смотрите также

• Пространство Бэра  - Понятие в топологии
• Множество Смита – Вольтерра – Кантора  - множество, которое нигде не плотно (в частности, не содержит интервалов), но имеет положительную меру.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Скудное множество  - «маленькое» подмножество топологического пространства.

Рекомендации

1. Бурбаки 1989, гл. IX, раздел 5.1.
2. Уиллард 2004, Проблема 4G.
3. Наричи и Бекенштейн 2011, раздел 11.5, стр. 387-389.
4. Фремлин 2002, 3A3F (а).
5. Окстоби, Джон К. (1980). Мера и категория (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 1–2. ISBN 0-387-90508-1. Множество нигде не плотно, если оно не плотно ни в одном интервале.; хотя обратите внимание, что Окстоби позже дает определение внутренней части замыкания на странице 40.
6. Натансон, Израиль П. (1955). Теория функций вещественной переменной . Том. Я (главы 1-9). Перевод Борона, Лео Ф. Нью-Йорк: Фредерик Унгар. п. 88. hdl :2027/mdp.49015000681685. LCCN  54-7420.
7. Стин, Линн Артур; Сибах-младший, Дж. Артур (1995). Контрпримеры в топологии (Дуврское переиздание Springer-Verlag, изд. 1978 г.). Нью-Йорк: Дувр. п. 7. ISBN 978-0-486-68735-3. Подмножество называется нигде не плотным, если ни одно непустое открытое множество не содержится в ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {A}}.}$
8. Гамелен, Теодор В. (1999). Введение в топологию (2-е изд.). Минеола: Дувр. стр. 36–37. ISBN 0-486-40680-6– через ProQuest ebook Central.
9. Рудин 1991, с. 41.
10. Наричи и Бекенштейн 2011, Теорема 11.5.4.
11. Хауорт и Маккой 1977, Предложение 1.3.
12. Фремлин 2002, 3A3F(c).
13. Уиллард 2004, Задача 25А.
14. Narici & Beckenstein 2011, пример 11.5.3(e).
15. Наричи и Бекенштейн 2011, пример 11.5.3(а).
16. Наричи и Бекенштейн 2011, пример 11.5.3(f).
17. «Некоторые нигде не плотные множества с положительной мерой и строго монотонной непрерывной функцией с плотным набором точек с нулевой производной».
18. Фолланд, Великобритания (1984). Реальный анализ: современные методы и их применение. Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. п. 41. hdl :2027/mdp.49015000929258. ISBN 0-471-80958-6.

Библиография

• Бурбаки, Николя (1989) [1967]. Общая топология 2: Главы 5–10 [ Общая топология ]. Элементы математики . Том. 4. Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4. ОСЛК  246032063.
• Фремлин, Д.Х. (2002). Теория меры . Лулу.com. ISBN 978-0-9566071-1-9.
• Хауорт, Колорадо; Маккой, Р.А. (1977), Baire Spaces, Варшава: Instytut Matematyczny Polskiej Polskiej Akademi Nauk
• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. ОСЛК  8588370.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. ОСЛК  21163277.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК  840278135.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. ОКЛК  853623322.
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология. Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. ОСЛК  115240.

Внешние ссылки

• Некоторые нигде не плотные множества с положительной мерой